AULA Produto interno em espaços vectoriais reais ou complexos Produto Interno. Norma. Distância.

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1 Note bem: a letura destes apotametos ão dspesa de modo algum a letura ateta da bblografa prcpal da cadera Chama-se a ateção para a mportâca do trabalho pessoal a realzar pelo aluo resoledo os problemas apresetados a bblografa, sem cosulta préa das soluções propostas, aálse comparata etre as suas resposta e a respostas propostas, e posteror exposção juto do docete de todas as dúdas assocadas. AULA TÓPICOS Produto tero em espaços ectoras reas ou complexos. Produto Itero. Norma. Dstâca. Desgualdade de Cauchy-Schwarz. Âgulo. Vectores ortogoas. Base ortogoal. Base ortoormada. Projecção Ortogoal. Ortogoalzação de Gram-Schmdt.. Produto tero em espaços ectoras reas ou complexos... Produto Itero. Norma. Dstâca. Seja E um espaço ectoral real ou complexo. Um produto tero em E é uma aplcação ( ): E E C que erfca as segutes propredades:. u ( u ). u ( + w) u + u w. ( αu) α( u ) 4. u α ( ) α( u ) 5. u u e u u sse u Se E é um espaço ectoral sobre C (respectamete, R ) de dmesão fta com um produto tero, E dz-se um espaço utáro (respectamete, eucldao) Se E é um espaço ectoral, real ou complexo, uma orma em E é uma aplcação : R E que erfca as segutes propredades. u. u sse u. α u α u 4. u + u + Embora as defções sejam depedetes, em qualquer espaço com produto tero E, a aplcação E R defda por u u u Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 erfca as 4 propredades da orma, logo, costtu uma orma em E. Sedo E um espaço ectoral em que está defdo um produto tero, a dstâca etre dos ectores u, E é a orma do ector etre eles: Exemplos. Em R, a aplcação é um produto tero. Com efeto:. Verfca u ( u ). Verfca u ( + w) u + u w d( u, ) u g : R R R defda por g( u, ) g(( u, u),(, )) 4u + u + u + u g( u, ) g((, ),( u, u)) 4u + u + u + u 4u + u + u + u g(( u, u),(, )) g( u, ) g( u, + w) g(( u, u),((, ) + ( w, w))) g(( u, u),( + w, + w)) 4 u( + w) + u( + w) + u( + w) + u( + w) (4u + u + u + u ) + (4uw + uw + uw + uw ) g(( u, u),(, )) + g(( u, u),( w, w)) g( u, ) + g( uw, ). Verfca ( αu) α( u ) 4. u α ( ) α( u ) g( α u, ) g(( αu, αu),(, )) 4( α u ) + ( α u ) + ( α u ) + ( αu ) α (4u + u + u + u ) αg(( u, u),(, )) αg( u, ) g( u, α ) g(( u, u),( α, α)) g(( α, α ),( u, u ))... αg((, ),( u, u )) αg(( u, u ),(, )) αg( u, ) Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 5. u u e u u sse u e g( uu, ) g(( u, u ),( u, u )) 4u + u u + u u + u u + ( u + u u + u ) + u u + ( u + u ) + u g( uu, ) g(( u, u),( u, u)) u + ( u + u) + u u ( u + u) u u u ( u, u ) Para este produto tero, que ão é o usual, u u + ( u + u ) + u Por exemplo, sedo e (, ) e e (,), temos e e g( e, e) g(( u, u),(, )) 4u + u + u + u e (, ) + ( + ) + e (,) + ( + ) + Em R com o produto tero g( u, ) 4u+ u+ u+ u, os ectores e (, ) e e (,) ão são ortogoas e as suas ormas ão são utáras. Como mos, em R com o produto tero usual e e e são ortogoas e têm orma utára. Temos assm dos exemplos de dferetes produtos teros defdos sobre o mesmo espaço, ou seja, o mesmo espaço com uma métrca dferete: cada um dos produtos teros tem assocado uma orma, e deles resultam dferetes oções de ortogoaldade e dstâca etre os elemetos do espaço ectoral.. Sedo fx ( ) e gx ( ) dos ectores do espaço das fuções cotíuas um teralo [ ab,, ] C [ ab, ], podemos demostrar que defe um produto tero o espaço [ ] subespaços, C [ ab, ]. b f g f( x) g ( x) a C ab,, bem como em qualquer um dos seus Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 Cosderemos os ectores de C [,], p ( x x produto tero, tal como acma defdo é p p ( + x + x )( + x x ) + + e p x x x 4 (+ x + x + x + x + x x x x ) 4 ( + x + x + x x ) 4 5 x + x + x + x x ( ) +. O seu. São exemplos de ormas um espaço ectoral (real ou complexo): A orma eucldaa em R, tal como fo defda as aulas aterores u u T u u que, em R, R, e R assocamos à oção de dstâca, oção esta que podemos geeralzar a outros espaços (já o fzemos em R ). A orma eucldaa em C u u T u u A orma p em R ou C u p p A orma eucldaa é um caso partcular da orma p, para p, podedo escreer-se u, orma. u p 4. Eerga e potêca méda de um sal cotíuo. Defe-se o produto tero etre dos sas cotíuos, x () t e x () t, um teralo [ t, t ] I R (ou seja, o produto tero etre dos ectores do espaço C () I ) como, sedo a orma assocada t t x x x () t x () t dt t x x x x() t dt t Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 Sas de potêca Dado um sal cotíuo xt (), peródco de período T, sto é, um sal tal que xt () xt ( + T ), t R em que T é uma costate posta, defe-se a potêca méda do sal, P, como P x t dt T T () T Dzemos que um sal é um sal de potêca se a sua potêca for fta ão ula, P < <. Sas de eerga Dado um sal cotíuo xt () pertecete ao espaço das fuções quadratcamete tegráes, L ( R), defe-se a eerga do sal, E, como E x x xtx () () tdt xt () dt Dzemos que um sal é um sal de eerga se a sua eerga for fta ão ula, E < <. 5. Eerga e potêca méda de um sal dscreto. Defe-se o produto tero etre dos sas dscretos, x [ ] e x [ ] I [, ] Z, como, sedo a orma assocada Sas de potêca [ ] [ ] x x x x x x x x[ ], um teralo Dado um sal dscreto x, [ ] peródco de período N, sto é, um sal tal que x [ ] x [ + N], Z em que N é um tero posto, defe-se a potêca méda do sal, P, como Sas de eerga P N N Dado um sal dscreto x, [ ] pertecete ao espaço das fuções quadratcamete [ ] x somáes, l ( Z ), defe-se a eerga do sal, E, como [ ] [ ] [ ] E x x x x x Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 .. Desgualdade de Cauchy-Schwarz. Âgulo. Vectores ortogoas. Base ortogoal. Base ortoormada. Seja E um espaço ectoral real ou complexo com um produto tero. Para quasquer ectores u e de E u u (desgualdade de Cauchy Schwarz) Se u e são ão ulos, resulta desta desgualdade que u u, ou seja, u u Faz por sso setdo a segute defção: Se u e são ectores ão ulos de E, o âgulo etre u e é arccos u θ u Se o produto tero etre os dos ectores for ulo, u, os ectores dzem-se ectores ortogoas. Se { u u u } S,,, é um cojuto de ectores ão ulos de E, ortogoas dos a dos, etão S é learmete depedete. Sedo { u u u } S,,, uma base de um subespaço W de E, dzemos que S é uma base ortogoal se u uj para j, ou seja, se os ectores da base são ortogoas. S é uma base ortoormada se, para além de ser uma base ortogoal, u para,,. Exemplos 6. A base {(, ),(, 5) } B é ortogoal relatamete ao produto tero defdo o exemplo. Com efeto (,) (, 5) g((,),(, 5)) 4 ( ) + 5+ ( ) O cojuto de ectores { f( x), f( x) x, f( x) x } B costtu uma base de um subespaço W de C [,]. Relatamete ao produto tero em C [,] f g f( x) g ( x) B ão é uma base ortogoal de W, dado que f e f são ortogoas Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

7 , tal como f e f x f f ( x), mas f e f ão são ortogoas 4 x f f ( x x ) 4 x f f ( x ) 8. Espaço de sas. Um cojuto de m sas cotíuos ão ulos { k () } um teralo [, ] y t, com k,,, m, ortogoas t t, costtu uma base ortogoal de sas. Qualquer sal cotíuo xt () que pertecete a esse espaço, pode escreer-se como combação lear dos ectores que defem a base, ou seja, dos sas yk() t, dtos sas de base xt () ay() t m k O mesmo se pode dzer para um cojuto de m sas dscretos { yk [ ]}, com k,,, m, ortogoas um teralo [, ]. Estes sas costtuem uma base dum espaço de sas dscretos, sedo que qualquer sal dscreto x [ ] que perteça a esse espaço pode serescrto como combação lear dos ectores que defem a base, k k m [ ] [ ] x ay k k k cos(t) se(t) cos(t)se(t) Ortogoaldade o espaço de sas Fgura. Dos sas cotíuos, x () t e x () t, dzem-se sas ortogoas, um teralo [, ] tero for ulo t t x () t x () t dt t t, se o seu produto Obsere a fgura.. A área sob a cura do sal xt () cos( t)se( t) acma e abaxo do exo das abcssas é gual, ou seja, o produto tero etre os sas x () t cos( t ) e x () t se( t ) o teralo [ π, π ], dado por π π cos( t)se( t) dt, é ulo, pelo que os sas são ortogoas o teralo π, π. [ ] Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

8 cos(t) cos(t) cos(t)cos(t) Obsere a fgura. A área sob a cura do sal xt () cos( t)cos( t) acma e abaxo do exo das abcssas é gual, ou seja, o produto tero etre os sas x () t cos( t ) e x () t cos( t ), o teralo [ π, π ], dado por π π cos( t)cos( t) dt, é ulo, pelo que os sas são ortogoas o teralo π, π. [ ] Fgura. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

9 .. Projecção Ortogoal. Sejam E um espaço ectoral real ou complexo com um produto tero e u e dos ectores ão ulos de E. Podemos sempre decompor u a soma de dos ectores, u e u, u u + u, tedo u a drecção de e sedo u ortogoal a. O ector u é chamado projecção ortogoal de u sobre, proj u, sedo, e a compoete ortogoal Verfcamos que é ortogoal a : Exemplos proj perp u u u u u u u u u u u u u u u u u u u. Em R cosderemos os ectores u (, ) e (, ) e o produto tero defdo o exemplo u ( u, u) (, ) 4u + u + u + u Temos u 4 4 proj + (,), u perp u u proj u (,),, Verfcamos que perp u (, ), ( ) Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

10 . Cosderemos os ectores fuções cotíuas o teralo [, ] f ( x) x e ( ) cos π f x x o espaço das C,, com o produto tero, [ ] f g f( x) g ( x) A projecção ortogoal de f sobre f é proj, sedo a compoete ortogoal f f f f f f f π cos x ( x ) x ( x )( x ) ( x ) π ( ) π perpf f f projf f cos x ( x ) π Podemos erfcar que π (proj f )(perp f ) ( x ) cos x ( x ) π π f f A fgura. mostra os ectores (a ermelho) e (a azul). ( ) cos π f x x proj f f ( ) π x Fgura. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

11 .4. Ortogoalzação de Gram-Schmdt. A ortogoalzação de Gram-Schmdt é um método que, a partr de uma qualquer base de um subespaço W dum espaço ectoral E, em que está defdo um produto tero, permte obter uma base ortoormada para esse subespaço. Seja U { u, u,, u} uma base do subespaço W, e façamos:. u. Para k k u k. q k uk O cojuto de ectores { q q q } W. Exemplos Q,,, é uma base ortoormada, do subespaço. Em C [,], cosderemos o subespaço W gerado por { f ( x ), f ( x ) x, f ( x ) x } B e o produto tero f g f( x) g ( x) Como mos, os ectores de B são learmete depedetes e ão são ortogoas. Aplcado o método de ortogoalzação de Gram-Schmdt aos ectores de B podemos costrur uma base ortogoal para W. Temos etão. r p.. p r x r p r x x x r r p r p r r p r r r r r r x x x x x x x x Assm, o cojuto U, xx, costtu uma base ortogoal de W relatamete ao produto tero f g f( x) g ( x) Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

12 Exercícos. ORTOGONALIDADE EM ESPAÇOS DE SINAIS jk.. O sal t xk() t e ω, com k tero, é um sal peródco de período T π ω. Em qualquer teralo correspodete a um período [ t, t T ] Temos assm que o sal t+ T ([] t t ) +, a orma de x () t é t+ T xk xk xk xk() t xk() t dt t t+ T jkωt jkωt e e dt t t+ T dt t t + T t T xk() t ω ek() t e e x () t T π k jkωt jkωt é um ector de orma utára o espaço [ t, t + T ] C. k.. Uma forma de erfcar que fx ( ) se( x) ão pertece ao espaço gerado por f ( x) se( x) e f ( x) cos( x), é mostrar que se( x ) é ortogoal a se( x ) e a cos( x ) um certo teralo de úmeros reas. Atededo a que se( x) se( x)cos( x), temos e π π se( x) se( x) se( x) cos( x) se( x) π se ( x)cos( x) se ( x) π Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

13 π π se( x) cos( x) se( x) cos( x) cos( x) π se( x)cos ( x) cos ( x) Alás, e em geral, podemos demostrar que, com m se( x ), cos( mx ) e cos( x ) são ortogoas. π, as fuções se( mx ),.. Calcular a eerga do sal cotíuo defdo por t t, 4 xt (), t [, 4] Sedo a eerga de um sal cotíuo x (t) defda por, temos em partcular E x x x() t dt E t 4 t dt Calcular a potêca do sal cotíuo defdo por xt () 4cos( π t) Sedo a potêca de um sal cotíuo peródco xt () defda por, temos em partcular, e P x t dt T T () T π ω t πt t πt T T 5 P 5 4 cos ( πt) dt 5t 4 4 cos( πt)s( π t) + 8 4π A Em geral, a potêca do sal xt () Acos( ω t) é gual a. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

14 .5. Calcular a eerga do sal dscreto x [ ] defdo por < 4 x [ ] + 4 < Sedo a eerga de um sal dscreto [ ], temos em partcular E [ ] x x defda por E ( ) + ( ) + () + () + () + (4) 5 Fgura.4.6. Calcular a potêca dos sas dscretos x [ ] e x [ ] defdos por x [ ] cos π x [ ] cos π Fgura Fgura.6 Sedo a potêca de um sal dscreto peródco x [ ] defda por N P x[ ] N, temos em partcular π π π Ω N 6 N 5 π P cos 6 () 6 + (.5) + (.5) + ( ) + (.5) + (.5).5 ( ) Para o segudo sal temos N, pelo que 9 π P cos.5 5 Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A