Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos

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1 Apostla de Itrodução Aos Métodos Numércos PARTE III o Semestre - Pro a. Salete Souza de Olvera Buo

2 Ídce INTERPOAÇÃO POINOMIA...3 INTRODUÇÃO...3 FORMA DE AGRANGE... 4 Iterpolação para potos (+) - ajuste de retas ()... 5 Iterpolação para 3 potos (+3) - ajuste de parábolas ()... 6 SÉTIMA ISTA DE EXERCÍCIOS...9 FORMA DE NEWTON... Tabela de Dereças Dvddas... Forma de Newto para o Polômo Iterpolador... OITAVA ISTA DE EXERCÍCIOS...5

3 Iterpolação Polomal Itrodução Vamos supor que temos um cojuto de dados {,( )} tal como a tabela abao:,5 3, 4,5 6, ( ),,6,8,46,57 Nosso problema é obter o valor de () para um valor de que ão teha sdo meddo, como por eemplo,.. Por eemplo, quado ão temos mutos dados (que levara a um mau ajuste de uma ução) e só queremos saber o valor de () para um termedáro etre duas meddas, sto é, << +, podemos usar as téccas da terpolação. Portato, terpolar um poto a um cojuto de + dados {,( )}, sgca smplesmete, calcular o valor de (), sem cohecer a orma aalítca de () ou ajustar uma ução aalítca aos dados. A terpolação polomal cosste em se obter um polômo p() que passe por todos os potos do cojuto de (+) dados {,( )}, sto é: p( )( ) () p( )( )... p( )( ) (ote que a cotagem começa em zero, portato temos + potos a epressão acma). O polômo p() é chamado de polômo terpolador. É possível se demostrar que este um úco polômo p() de grau meor ou gual a que passa por todos os (+) potos do cojuto {,( )} Portato, podemos escrever: ( ) ( ) p a a a a ( ) ( ) p a a a a... ( ) ( ) p a a a a 3

4 Esse cojuto de equações correspode a um sstema lear de + equações e + varáves. Portato, ele podera ser resolvdo dretamete. Essa é uma das ormas de se obter o polômo terpolador. Etretato, estem outras ormas, como a orma de agrage e a orma de Newto, que veremos a segur. Forma de agrage Itrodução : Sedo cohecdos os valores de uma ução apeas em determados potos, a INTERPOAÇÃO é um procedmeto que possblta a estmatva de valores descohecdos da ução, bem como aula a tegraçãode uma ução descohecda ou de dícl tegração. Seja um cojuto de + dados {,( )}. Queremos ecotrar um polômo terpolador p() que satsaça a codção (), sto é, passe por todos os potos. Uma possível orma para p() que satsaça () é: p( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) () ode os k () são polômos tas que: ( ) δ k k sedo que: se, k δ k se, k Portato, p( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) p( ) ( ) + ( ) + + ( ) p ( ) ( ) e, p( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) p( ) ( ) + ( ) + + ( ) p ( ) ( ) ou seja: p ( ) ( ) o que mostra que o polômo terpolador p() passa eatamete sobre os potos {,( )} da tabela dada. (3) (4) 4

5 Temos agora que ecotrar os polômos k (), que satsaçam (3). Uma ução que satsaz a codção (3) é: k ( ) ( ) ( ) ( k ) ( k + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k que é ácl vercar, pos: ( k) ( ) e k se, k k k k k k + De maera compacta, podemos escrever o polômo terpolador a Forma de agrage, como: ( ) ( ) ( ) p e, ( ) j j j j ( j ) ( j) k (5) Iterpolação para potos (+) - ajuste de retas () ( ) ( ) ( ) De (5) : p( ) ( ). ( ) ( ). ( ) + ( ). ( ) As uções () devem satsazer (3), ou seja: (6) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) 5

6 6 É ácl vercar que, as segutes uções, satsazem (7) : (8) De (8) em (6) : ( ) ( ) ( ) p + Iterpolação para 3 potos (+3) - ajuste de parábolas () ( ) ( ) ( ) ( ) De (5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p + + (9) ode: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por costrução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (

7 Portato: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p( ) + + ( ) Eemplo: Ajuste uma reta aos segutes potos: 4 () 3, 5,6 p p p ( ) ( ) + ( ) ( ) ( 4) +.8 ( ) ( ) E.: Iterpolação lear Tabela y + 5 Qual o valor de y para 5?

8 Iterpolação lear etre potos cohecdos (, y ) (, y ) - +- y y + ( y - y ) y 5 + (43-5) 34-8

9 Sétma sta de Eercícos ) Qual a relação etre o úmero de potos usados a terpolação e o grau do polômo terpolador que pode ser calculado? ) Se você tver um cojuto de 5 dados {(,( ), (,( ), (,( ), ( 3,( 3 ), ( 4,( 4 ),}, e deseja azer uma terpolação lear, sto é, ecotrar uma reta que lhe permta obter o valor de ( ), ode < < : a) Qual sera o grau do polômo que você calculara, sto é, quatos potos você utlzara? b) E quas potos da tabela você usara? 3 ) A segute tabela orma o úmero de carros que passam por um determado pedágo em um determado da: Horáro : :3 : :3 : :3 Número (em ml) a) Faça um gráco de horáro vs. úmero de carros para vercar qual a tedêca da curva. b) Estme o úmero de carros que passaram pelo pedágo às :, usado a orma de agrage para ecotrar um polômo terpolador p() que estma o úmero de carros em ução do tempo. Use uma reta como ução terpoladora. c) Agora, aça a mesma estmatva, mas utlzado uma parábola como polômo terpolador. 9

10 Forma de Newto Tabela de Dereças Dvddas. O prómo a método de terpolação a ser estudado é a Forma de Newto. No etato, para que possamos dscutr este método temos que ates os amlarzar com a costrução da chamada Tabela de Dereças Dvddas Seja a tabela de valores: 3 () ( ) ( ) ( ) ( 3 ) Podemos costrur a segute tabela: ( ) [, + ] [, +, + ] [, +, +, +3 ] ( ) ( ) [, ] [,, ] [, ] [,,, 3 ] ( ) [,, 3 ] [, 3 ] 3 ( 3 ) ode: [ ], [ ], [ 3], [,, ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 [, ] [, ]

11 [,, 3] [,,, 3] [, 3] [, ] Eemplo: 3 [,, 3] [,, ] 3,,4,7, ( ),83,536,68,5,864 A tabela de dereças dvddas é: ( ) [, + ] [, +, + ] [, +, +, +3 ],,83,4,536,7,68,5,,864,536,83,93,4,,68,536,7,4,487,5,68,7,893,864,5, 3,7,487 (,93),7,,35,893,487,343,4 3,7,893,354,,7,343,35,8,,354,343,4,,4 [, +, +, +3, +4 ],4 (,8),,, Forma de Newto para o Polômo Iterpolador Para calcular a Forma de Newto do polômo terpolador, vamos começar com o caso mas smples: ecotrar um polômo de grau, p (), que terpola () o poto. Vamos partr da dereça dvdda [,], que é dada por: [ ], ( ) ( ) Isolado-se () da epressão acma, tem-se: ()

12 ( ) ( ) [, ] ( ) ( ) ( ) + [, ] ( ) () Da própra deção de polômo terpolador, sabe-se que (ver epressão da aula ateror): p ()( ) Portato, a epressão () pode ser escrta como: ( ) ( ) + [, ] ( ) p A epressão acma ão pode ser usada dretamete, pos ão podemos calcular o valor [,], já que ão cohecemos o valor de () em qualquer poto (veja epressão () acma). Fora do poto, sabemos que o polômo terpolador é apeas uma apromação de (), caso cotráro teríamos uma resposta eata e ão precsaríamos da terpolação. Em outras palavras, tem-se que: p () (), para Portato, da epressão (3), cocluímos que [, ](- ) é smplesmete a dereça etre o valor de () (valor real da ução) e o valor p () que obtvemos com a terpolação. Em outras palavras, esse termo é o erro o processo de terpolação, sto é: E ( ) ( ) p ( ) [ ] ( ), Podemos realzar o mesmo eercíco, partdo de uma dereça dvda de ordem maor, ou seja [,,], que é dada por: e [,, ] [,, ] ( ) ( ) ( ) [, ] ( ) ( ) Portato, tem-se que: [, ] [, ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [, ],, ( ) ( ) + ( ) [ ] + ( ) ( ) [, ], p, [, ] Podemos vercar que o polômo terpolador de ordem, p (), é dado por: ( ) ( ) + ( ) [ ], pos, e ( ) ( ) + ( ) [ ] ( ) p, (3) (4)

13 ( ) ( ) + ( ) [ ] ( ) + ( ) ( ) ( ) p, que são as codções udametas para se ecotrar tal polômo. Portato, o erro cometdo ao se apromar () por p () é: ( ) ( ) ( ) [ ] E,, Podemos cotuar dedamete, até ecotrarmos o polômo terpolador de uma ordem qualquer, aplcado sempre o mesmo racocío. A epressão geral para um polômo terpolador de ordem será etão: p + ( ) ( ) + ( ) [, ] + ( ) ( ) [,, ] ( ) ( ) K ( ) [,, K, ] e o erro é dado por: E ( ) ( ) ( ) K ( ) [, ],, K, + + ( ) Eemplo:,,5,9,5, () 4,88 5, 5,7 8,, Ecotre o polômo terpolador p() usado a orma de Newto: ( ) [, + ] [, +, + ], 4,88,5 5,,9 5,7,5 8,,, 5, 4,88,5,,4 5,7 5,,9,5,8 8, 5,7,5,9 3,8, 8,,,5 6,,8,4,9, 3,8,8,5,5 6, 3,8,,9 Usado (): 3

14 p( ) 4,88 + (,).4 + (,).(,5). p( ) 4,88 +,4,8 + (,5, +,). p( ) 4,88 +,4,8 +,4 +, p( ) + 5 Note que usado a orma de Newto, p( ) ( ) 4

15 Otava sta de Eercícos ) Qual é a codção básca para se obter o polômo terpolador? ) Na abrcação de determadas cerâmcas é muto mportate saber as codções de temperatura em que o produto o assado o oro. Como ão é possível medr a temperatura do oro a todo state, ela é medda em tervalos peródcos de tempo e esses dados são terpolados para o state em que cada peça o quemada a m de se cohecer a temperatura do oro esse state. Em um da de ucoameto do oro, os segutes dados oram coletados: Horáro 7: : 3: 6: 9: : Temperatura ( o C) a) Costrua a tabela de dereças dvddas para esses potos. b) Estme a temperatura do oro ás 4:3 usado a orma de Newto para apeas dos potos. c) Faça essa estmatva ovamete, desta vez usado 3 potos. 3 ) Dado o segute cojuto de dados, ( ).4±..9±. 4.±..4±.3-7.5±.4 ecotre o valor de () para., usado: a) uma parábola do tpo g()a +b ajustada aos dados; b) um polômo terpolador de ordem gual a, a orma de agrage; c) um polômo terpolador de ordem gual a, a orma de Newto; 5

16 Reerêcas Bblográcas RUGGIERO/OPES - Cálculo Numérco. Makro Books CHAPRA/CARRAE - Numercal Methods or Egeers. Ed. McGrawHll CONTE - Elemetos de Aálse Numérca. Ed. Globo BARROSO - Cálculo Numérco - Ed. Harper & How do Brasl MARCEO G. MUNHOZ- Apostla de Cálculo Numérco - FACENS 6

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