Radiosidade. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti

Transcrição

1 Radosdade Claudo Esperaça Paulo Roma Cavalcat

2 Radosdade Resumo Modelo de lumação global Lumosdade aparete de um poto de uma superfíce depede de todos os potos de todas as superfíces Cada obeto da cea é vsto como um retalho de superfíce que pode emtr e refletr luz Cea é um ambete fechado do poto de vsta termodâmco Eerga que etra o sstema eerga que sa do sstema Temperatura das superfíces é varate o tempo Eerga total que atravessa uma curva fechada é ula

3 Lumosdade Aparete Modelo da lumosdade aparete de um poto leva em cota, além de sua luz própra, como o poto reflete a luz (eerga) que vem de cada dreção BRD: Bdrectoal Reflectace Dstrbuto ucto 3

4 Quatdades dferecas Cosderemos apeas um poto e uma dreção Poto é um elemeto dferecal de área (dx) Udade de área m Dreção é um elemeto dferecal de âgulo sóldo (dω) Udade de âgulo sóldo sr (estéreo-radao) θ dω dx φ 4

5 Radâca, luxo e Irradâca A radâca L (x, θ, φ) é a lumosdade aparete de um poto uma dreção Udade: W/(m sr) A potêca (ou fluxo) da luz de um poto x uma determada dreção (θ, φ) é dada por Φ(x, θ, φ) L (x, θ, φ) dx cos θ dω O termo cos θ trasforma o elemeto de área real dx um elemeto de área aparete Udade: W A rradâca de um poto x uma dreção (θ, φ) é a potêca rradada por udade de área e é dada por E (x, θ, φ) Φ (x, θ, φ)/ dx L (x, θ, φ) cos θ dω Udade: W/m θ dx cosθ dx 5

6 Âgulo sóldo como produto de âgulos Para expressar o elemeto dferecal de âgulo sóldo dω em termos dos dferecas de âgulo dθ e dφ temos dω (s θ) dθ dφ O termo s θ corrge a deformação de dφ àmedda que θ se aproxma de 0 s θ dφ θ dθ dω dφ 6

7 Radosdade Portato, a rradâca de um poto x uma determada dreção (θ, φ) é dada por E (x, θ, φ) L (x, θ, φ)cosθ s θ dθ dφ A radosdade do poto x é a rradâca total da luz que sa de x e é computada somado as cotrbuções da potêca drecoal E (x, θ, φ) por todo o hemsféro Ω sobre x B( x) Ω L( x, θ, φ)cosθdω π / π 0 0 L( x, θ, φ)cosθ sθdθdφ 7

8 Radosdade de refletores lambertaos Na radosdade clássca, a reflexão é perfetamete lambertaa, sto é, espalha luz cdete uformemete em todas as dreções A radâca L (x, θ, φ) de um poto x ão depede da dreção e pode ser escrta mas smplesmete como L(x) A radosdade B(x) pode ser etão ser escrta como B( x) π/ π 0 0 L( x) L( x)cosθsθdθdφ π/ π 0 0 cosθsθdθdφ πl( x) 8

9 Radâca em equlíbro Resumdo: Para refletores lambertaos, a radosdade depede apeas da radâca, sto é, B(x) π L(x) Para motarmos as equações de equlíbro de eerga precsamos correlacoar a radosdade (ou radâca) de todos os potos A radâca de um poto x é sua radâca própra (ex., se é uma fote de luz) somada à radâca devda à reflexão da luz de outros potos da cea d( x) L( x) Le( x) + L( x, θ, φ)cosθdω π Ω L e (x) é a radâca emtda L (x, θ, φ) é a radâca cdete (ão uforme em todas as dreções) d (x) é o coefcete de reflexão dfusa (precsamos dvdr por π porque o coefcete relacoa radosdades e ão radâcas) 9

10 Radosdade em equlíbro Multplcado a equação de equlíbro da radâca por π temos πl( x) πl ( x) + ( x) L ( x, θ, φ)cosθdω e Defmos H(x) como a radosdade cdete em x H ( x) L( x, θ, φ)cosθdω Ω Lembrado que B(x) π L(x) e defdo a radosdade emtda E(x) π L e (x) temos B( x) E( x) + ( x) H( x) d d Ω 0

11 Radosdade cdete A radosdade cdete H(x) pode ser obtda tegrado-se as cotrbuções de todos os potos y de todas as superfíces S da cea (ao vés das cotrbuções proveetes de todos os elemetos de âgulo sóldo) r é a dstâca etre x e y θ e φ são os âgulos aálogos a θ e φ com relação a y dy θ θ dx

12 Radosdade cdete Observamos que: A eerga evada de x para y é dêtca àquela evada de y para x e portato L (x, θ, φ) L (y, θ, φ ) Se assummos que todos as superfíces são lambertaas, etão L (y, θ, φ ) L (y) B(y)/π A eerga trocada etre x e y pode ser bloqueada por um ateparo e portato precsamos defr uma fução de vsbldade V(x,y). Logo, B( y) L ( x, θ, φ) V( x, y) π

13 Radosdade cdete Lembramos que a radosdade cdete é dada por H( x) L( x, θ, φ)cosθdω Ω Para expressar o elemeto dferecal de âgulo sóldo dω como cosθ dy dω r Observe que a área aparete de dy decresce com o quadrado da dstâca a x Podemos portato exprmr a radosdade cdete em x como uma tegral das cotrbuções de todos os potos y: cosθcosθ H ( x) B( y) V( x, y) dy πr y S 3

14 ator de forma Na prátca, ao vés de relacoar elemetos dferecas de área (.e., dx e dy), o método da radosdade relacoa pequeos retalhos de área Se P e P são retalhos de superfíce com áreas A e A, respectvamete etão defe-se o fator de forma, como a fração de eerga que sa de P e atge P, é admesoal Sob a hpótese do equlíbro de eerga e assumdo que a radosdade de cada retalho é costate por toda sua superfíce, temos A, A, x P y P cosθcosθ V( x, y) dydx πr 4

15 Sstema de equações Podemos etão defr um sstema de equações leares que espelha o balaço de eerga global a cea A B A E + Como sabemos que A, A,, podemos smplfcar a equação acma: B, A B E + B, ou retalhos é o fator de refletvdade do retalho B é a radosdade total (costate) do retalho E é a radosdade emssva do retalho (ão ula apeas se o retalho é fote de luz) E B B, 5

16 6 Sstema de equações em forma matrcal Sstema de equações em forma matrcal E E E B B B M M L M O M M L L Observe que os elemetos da dagoal prcpal valem se, 0 Váldo a meos que o retalhos sea côcavo A grade dfculdade resde em computar os fatores de forma!