APLICAÇÃO DO MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO AO PROBLEMA DA RADIAÇÃO ACÚSTICA

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1 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE ELEMENTO DE CONTORNO AO PROBLEMA DA RADIAÇÃO ACÚTICA Marco Eustáquo Mara Resumo: A preocupação com o ruído as comudades urbaas cresceu as últmas décadas com o aumeto do úmero de veículos e a atvdade dustral. abe-se que a exposção humaa a íves sooros elevados causa dversos problemas de saúde. Por sso, o estudo de feômeos como radação soora é de grade teresse socal e ecoômco. Esse trabalho estuda o espalhameto da oda soora por uma superfíce clídrca bdmesoal stuada em um espaço aberto. O método umérco utlzado esse estudo é o método de elemetos de cotoro que apreseta algumas vatages a solução de problemas de domío exteror quado comparado com outros, como o método de elemetos. Os resultados obtdos utlzado a solução aalítca e pela solução umérca foram comparados e mostram-se satsfatoramete próxmos. Palavras chaves: Radação acústca; Cldro; Elemetos de cotoro; mulação. INTRODUÇÃO A polução soora é um dos problemas da socedade atual. Devdo ao crescmeto urbao desordeado, a população vve costatemete exposta a ruídos provocados pelo tráfego teso de veículos e de avões, realzação de obras públcas e prvadas e realzação de evetos, como cocertos muscas e competções desportvas, detre outros. O crescmeto ecoômco cotrbu para o aumeto do úmero de stalações dustras, comercas e de edfícos destados à stalação de escolas, uversdades, grades empresas e repartções públcas. No teror desses rectos, o ível de ruído também é teso, devdo à preseça de pessoas realzado dversas atvdades ao mesmo tempo. Mestre em Matemátca, professor do Cetro Uverstáro Newto Pava

2 Estudos realzados mostram que a exposção costate do homem ao ruído pode ocasoar dversos problemas para o orgasmo, tas como o aumeto da produção de hormôos pela glâdula treóde e também lesões o aparelho audtvo, sedo que a surdez é a por delas. Esses daos sofrdos pelos dvíduos preudcam também o país, que perde recursos faceros devdo à redução da atvdade ecoômca e ao aumeto de verbas públcas destadas ao tratameto de dversas doeças as redes hosptalares. O cotrole do ruído pode ser obtdo de forma prevetva ou corretva estudado-se os prcípos físcos assocados às odas sooras e aplcado-os a cocepção de espaços teros e exteros com característcas acústcas adequadas ou o desevolvmeto de dspostvos destados à redução de ruídos. Um dos prcípos físcos a ser estudado é a radação da oda soora por obetos com forma geométrca smples como, por exemplo, um cldro rígdo. A RADIAÇÃO ACÚTICA Cosdere um cldro bdmesoal rígdo de rao r = a, fto em relação ao exo z. A superfíce de tal cldro vbra o modo moopólo, sto é, vbra uformemete com uma ampltude de velocdade V o, emtdo odas sooras que se propagam em todas as dreções do plao, como mostrado a Fgura. Fgura : Odas radadas por um cldro vbrate

3 A regão teror do cldro bdmesoal é chamada Ω, a exteror, Ω e o cotoro,. Neste trabalho, o meo é cosderado homogêeo, ão vscoso e sem perdas, assm, a velocdade das partículas do fludo é expressa como o gradete de uma fução escalar, deomada potecal de velocdade. Estudar o potecal de velocdade é estudar a oda soora radada por um cldro. O potecal de velocdade ( p) um poto ( x y) p, o cotoro do cldro ou a regão exteror Ω satsfaz a equação de elmholtz, Ksler (98), dada pela expressão: ( p) + κ ( p) = () e a codção de cotoro de Neuma: ( p ) = V () Na equação (), V é a ampltude de velocdade do fluído a superfíce do cldro. Nesse trabalho, cosdera-se que a velocdade do fluído a superfíce do cldro rígdo e fto é V =. 3 FORMULAÇÃO ANALÍTICA DA RADIAÇÃO ACÚTICA Para obetos com forma geométrca smples, como um cldro rígdo, o problema da radação acústca tem solução aalítca. A solução aalítca procurada para a equação () é da forma: ( r θ ) = R( r) Θ( θ ) E, (3)

4 Na equação (3), R e Θ são fuções que depedem, respectvamete, da dstâca radal r e do âgulo θ. ubsttudo-se a equação (3) a equação () tem-se, Butkov (988): d R dr Θ + r dr dr Θ + r d Θ R = dθ (4) O método de separação de varáves é aplcado à equação (4) para estabelecer a solução aalítca do problema. Tal solução é dada pela expressão que se segue: φ ( ) (, V κr r θ ) = ( ), κ κa (5) Na equação (5), ( κr ), ( κr ), κ e r represetam, respectvamete, a fuções de akel de ordes zero e e tpo, o úmero de oda do som o ar e a dstâca etre os potos de fote q e o poto de observação p. 4 FORMULAÇÃO INTERAL DA RADIAÇÃO ACÚTICA Nesse trabalho, a formulação tegral para o problema da radação acústca será obtda utlzado-se a fução de ree. Por essa razão, é ecessáro utlzar a equação () para o caso de uma fote potual com ampltude utára que toma a forma: ( p, q) + κ ( p, q) = δ ( p q) (6) A fução auxlar ( p q),, cohecda como fução de ree, é defda, para problemas bdmesoas, pela expressão, Zomek (995): ( p q) = ( r), (7) κ

5 Na equação (7),, κ e r represetam, respectvamete, a fução de akel de ordem e tpo, o úmero de oda do som o ar e a dstâca etre os potos q e p. Uma vez estabelecdas tas formações, para obter a equação tegral do espalhameto acústco, multplca-se a equação () por ( p q) E.N.M.; Afoso, M.M. (9):, e obtem-se, Mara, M.E.; Borges, ( p, q) ( p) + ( p, q) κ ( p) = (8) Em seguda, multplca-se a equação (6) por ( p) ( p) ( p, q) + ( p) κ ( p q) = ( p) δ ( p q), (9) posterormete, toma-se a dfereça etre as equações (9) e (8) e obtem-se: ( p ) δ ( p q) f ( p) ( p, q) = ( p, q) ( p) ( p) ( p, q) () Agora, tomado-se a tegral em ambos os lados da equação () em relação a regão exteror Ω, tem-se: Ω ( q ) δ ( p q) d = ( p, q) ( q) ( q) ( p, q) Ω ( ) d () Ω A aplcação do teorema de ree à equação () e a utlzação das propredades das fuções de ree e delta de Drac estabelece a tegral ao logo do cotoro da regão lmtada Ω : Ω ( q) c( p) ( p) = ( p, q) ( q) d ( p, q) d () A equação () estabelece o potecal de velocdade em potos p ( x, y) localzado o cotoro ou a regão exteror Ω. Para potos localzados o cotoro a fução vale e para potos o exteror. A equação () é resolvda umercamete pela técca umérca cohecda como método de elemetos de cotoro a qual dscretza o cotoro do cldro e a equação (), formado, em

6 coseqüêca, um sstema de equações leares. A solução desse sstema estabelece o valor do potecal de velocdade os potos deseados. 5 DICRETIZAÇÃO EOMÉTRICA DO CONTORNO DE UMA UPERFÍCIE BIDIMENIONAL N segmetos de reta A dscretzação do cotoro do obstáculo é feta por uma malha cotedo deomados elemetos, que são mostrados a fgura. Fgura Dscretzação do cotoro. Neste trabalho, cosdera-se que os valores descohecdos do potecal ( q) e de sua dervada ormal ( q) são costates ao logo de cada elemeto da malha. Nesse caso, o poto de observação p é colocado o cetro de cada elemeto cosderado e os valores descohecdos de ( q) e de ( q) ao logo desses elemetos são cosderados guas ao valor do potecal e de sua dervada o poto cetral p. Dessa forma, o potecal de velocdade ( p) um poto de observação p o cetro de um dado elemeto é dado pela expressão:

7 N ( p, q) ( q) ( p) + ( q) N J J d = J = J = J J ( p, q) d (3) o A equação (3) descreve o valor do potecal de velocdade ( p) cetro de um dado elemeto fxo como sedo a soma dos potecas produzdos pelas fotes o elemeto cosderado, cludo as fotes do própro elemeto que cotém o poto de observação p. Na equação (3), as tegras que cotém o termo da dervada ormal da solução fudametal são represetadas por: ( p q), (4) = d e as tegras da solução fudametal, defda pela equação (4), são represetadas por: ( p q) =, (5) d Assm, a equação (5) toma a forma que se segue: N N ( p) + = = = (6) 6 A CONTRUÇÃO DO ITEMA DE EQUAÇÕE LINEARE O potecal de velocdade ( p) é calculado em cada elemeto, formado um sstema de equações. Em seguda, é descrta a forma como é obtda a prmera equação deste sstema. Cosdera-se o que o poto p de observação está stuado o cetro do elemeto e as tegras e são avaladas em cada um dos elemetos, ou sea, em,, 3...e. Em seguda, para cada elemeto, as varáves descohecdas ( q) e ( q) são multplcadas pelas tegras e e

8 etão os termos são adcoados o lado esquerdo da equação. No lado dreto da equação, os termos são somados com a expressão da oda I cdete o poto de observação. A equação obtda tem a segute expressão: = I ( p) (7) elemetos, 3... Em seguda, o poto de observação p é colocado sucessvamete os, repetdo-se, para cada um deles, o procedmeto descrto para obteção da prmera equação. Assm, é formado o sstema de N equações e N cógtas que pode ser escrto de forma mas compacta a forma matrcal: = (8) No sstema de equações (8), é dado pela expressão: = + para para = (9) e a equação (8) pode ser reescrta da forma que se segue: U = Q () Na equação (), é uma matrz de ordem NxN ão esparsa e ão smétrca e U e Q são vetores de ordem Nx. O vetor U cotém os valores descohecdos de ( q), o vetor Q cotém os valores cohecdos dos potecas de

9 velocdade cdetes os potos cetras dos elemetos e a matrz é composta pelas expressões tegras das dervadas ormas da fução de ree o poto cetral de cada elemeto. Pré-multplcado a equação () pela matrz, obtém-se os valores de ( p) para todos os potos do cotoro do cldro: U = Q () O vetor U cotém os valores dos potecas de velocdade ( p) os potos de observação o cotoro do cldro. 7 REULTADO ANALÍTICO E NUMÉRICO Neste trabalho, o cotoro do cldro rígdo fo dscretzado por uma malha cotedo 3 elemetos costates para a aálse da varação do potecal de velocdade em decorrêca da varação da freqüêca e por uma malha cotedo 96 elemetos costates para a aálse da varação do potecal de velocdade em decorrêca da varação do rao do cldro. Essas duas escolhas foram fetas para assegurar um erro satsfatóro a mplemetação da solução umérca. A smulação do potecal de velocdade radado fo realzada para potos de observação que se localzam o cotoro do cldro. O potecal de velocdade fo smulado os potos de observação o cotoro do cldro e, para cada um deles, fo calculado o erro absoluto defdo por: ea = () A N Na equação (), A e N são, respectvamete, o potecal de velocdade aalítco e o potecal de velocdade umérco em cada poto.

10 Em prmera aálse, verfcou-se como a varação da freqüêca flueca o valor do potecal de velocdade radado pelo cldro. As freqüêcas escolhdas para os testes foram 5,, 5,, 5, 35, 4, 45 e 5 hertz. O cldro utlzado cotém rao metro. Os resultados dessas smulações computacoas são apresetados a fgura:.9 Aaltco - Numérco *.8 Potecal de velocdade m /s Frequeca z Fgura 3: Potecal de velocdade em fução da freqüêca Na fgura 3, o potecal de velocdade aalítco é represetado pela lha cotíua e o potecal de velocdade umérco obtdo pelo método de elemetos de cotoro é represetado pelos potos. A aálse da fgura mostra que o aumeto da freqüêca produz uma ateuação o valor do potecal de velocdade radado. Os valores dos potecas de velocdade radado aalítco, umérco e os erros absolutos para varação a freqüêca foram dspostos a tabela.

11 Aalítco Numérco Erro absoluto Tabela : Erros relatvos para varação da freqüêca Em seguda aálse, verfcou-se como a varação do rao do cldro flueca o valor do potecal de velocdade radado. Os raos escolhdos para os testes foram,, 3, 4, 5 e 7 metros. A freqüêca utlzada em tas aálses fo 5 hertz. Os resultados dessas smulações são apresetados a fgura:

12 .9.85 Aaltco - Numérco * Potecal de velocdade m /s Rao do cldro (m) Fgura 4: Potecal de velocdade radado em fução do rao do cldro Na fgura 4, o potecal de velocdade aalítco é represetado pela lha cotíua e o potecal umérco obtdo pelo método de elemetos de cotoro é represetado pelos potos. A aálse da fgura mostra que o crescmeto do rao do cldro produz o aumeto o valor do potecal de velocdade radado. Os valores dos potecas de velocdade radado aalítco, umérco e os erros absolutos para a varação do rao foram dspostos a tabela. Aalítco Numérco Erro absoluto

13 Tabela : Erros relatvos para varação do rao do cldro A execução do códgo computacoal utlzado malhas de dscretzação compostas por 3 e 96 elemetos duraram, respectvamete, e segudos. Esses tempos foram estabelecdos pela fução Tc Toc do Matlab. O códgo computacoal fo executado em lguagem Matlab, versão 7.8/9a, stalado em uma máqua com dos ggabytes de memóra Ram, dsco rígdo com 36 ggabytes e com processador Dual Core. 8 CONCLUÕE As smulações computacoas mostram que o aumeto da freqüêca produz uma ateuação o valor do potecal de velocdade radado e que o crescmeto do rao do cldro produz o aumeto o valor do potecal de velocdade radado. A aálse os valores dos erros as tabelas e do curto tempo de execução do códgo computacoal mostram que o Método de elemetos de Cotoro é uma ferrameta efcete e precsa para estudar o espalhameto da oda soora por um cldro rígdo REFERENCIA BIBLIORÁFICA Butkov, E. Fsca matemátca. Ro de Jaero: LTC, 988 Ksler, L. E. Fudametals of acoustcs. New York: 98 Mara, M.E.; Borges, E.N.M.; Afoso, M.M. Aalytcal ad umercal study of the acoustcal scatterg usg boudary elemet method. CILAMCE 3 Cogresso Ibero Lato Amercao de Métodos Numércos Computacoas em Egehara, 9. Zomek, L.J. Fudametals of acoustc feld theory ad space-tme sgal processg. Boca Rato CRC, 995.