3 Fundamentação Teórica

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1 3 Fudametação Teórca A segur são apresetados os fudametos teórcos os quas é embasado o desevolvmeto do trabalho. 3.. Espectros de Resposta De acordo com Sampao [3], é descrta a resposta máxma de um osclador smples (SGL), submetdo a um ssmo, como uma fução da freqüêca atural e do amortecmeto do SGL, Fgura 3; a resposta pode ser expressa em aceleração, velocdade ou deslocameto. Note que o SGL de freqüêca atural fta é rígdo e sua aceleração espectral gual à máxma aceleração do solo. Fgura 4 Espectro de resposta. Acelerações espectras são os valores da pseudo-aceleração do SGL em resposta à mesma exctação. Kramer [4].

2 Capítulo 3 Fudametação Teórca 6 Uma forma coveete de represetar o espectro de resposta é através do chamado espectro de quatro escalas logarítmcas. O deslocameto máxmo do SGL relatvo à sua base é desgado por D e deomado de deslocameto espectral. O produto de D pela freqüêca crcular atural (ω ) é a chamada pseudovelocdade (PSV) do sstema. De maera aáloga, o produto V ω refere-se à pseudo-aceleração (PSA), assm: PSV = ω. D (3.) PSA = PSV. ω = ω. D (3.) Em algus casos, o deslocameto espectral pode ser mas coveetemete expresso de forma dreta em termos de PSV ou PSA, do que dretamete em termos de D. Ada, as característcas do espectro de resposta podem ser mas bem aproxmadas com o auxílo das três quatdades do que em termos de apeas uma delas. Aplcado-se o logartmo os dos lados da equação (3.) tem-se: log( PSV ) = log( ω ) + log( D) (3.3) se D é costate e ω = πf, etão: log( PSV ) = a + log( f ) (3.4) ode a é uma costate, represeta uma lha reta com clação de 45. De maera aáloga, trabalhado-se com a equação (3.) chega-se a: log( PSV ) = a log( f ) (3.5), que represeta uma reta com clação de 45. Assm, o gráfco em escala logarítmca ode a ordeada represeta a pseudovelocdade e a abscssa a freqüêca atural do sstema, as dagoas cladas a +45 represetam valores costates de D e as dagoas

3 Capítulo 3 Fudametação Teórca 7 cladas a 45, valores costates de PSA, coforme esquematcamete represetado a Fgura 5. Fgura 5 Represetação de um espectro de resposta de quatro escalas logarítmcas. 3.. Aálse modal espectral A defção da exctação segudo um espectro de resposta de projeto é uma forma stétca de represetação que aceou, desde os prmeros tempos, para uma aálse evolvedo a dscrmação do comportameto dâmco da estrutura, modo a modo, para sstemas com mutos graus de lberdade, dos valores extremos das gradezas cemátcas e dos esforços e tesões os elemetos. A estrutura é decomposta em város sstemas com um grau de lberdade (modos de vbração), e a cada um deles é atrbuída a amplfcação máxma prescrta o espectro de resposta (de projeto) para o osclador smples com a freqüêca e o amortecmeto correspodetes ao modo em cosderação: FAI max ν = cφ (3.6)

4 Capítulo 3 Fudametação Teórca 8, ode: ν - cotrbução máxma do modo o deslocameto total, v max ; c - fator de partcpação do modo ; φ - modo atural de vbração com freqüêca ω ; max FAI - fator de amplfcação statâeo, máxmo; ordeada do espectro de resposta (de projeto) para o osclador smples, com freqüêca ω e fator de amortecmeto, ξ. Em resumo, trata-se de uma aálse modal a qual empregam-se dos fatores de amplfcação statâeos. FAI ao vés Por sso, tal procedmeto é desgado por Aálse Modal Espectral ou smplesmete Aálse Espectral. Os fatores de amplfcação máxmos cocetram modo a modo, todo o efeto dâmco do ssmo sobre a estrutura e podem ser obtdos o domío do tempo. Naturalmete, ao fazer-se a sobreposção das compoetes modas, v, é perddo o faseameto real etre elas, podedo surgr efetos de majoração ou redução da resposta máxma, em íves desejáves. O úmero destas compoetes modas a serem cluídas e a maera de combá-las, cludo as chamadas compoetes de modos rígdos, têm sdo objeto de dversos estudos. max 3.3. Desdade de Espectro de Potêca De acordo com Clough e Peze [5], qualquer fução amostra x r (t) tomada de um processo radômco estacoáro tedo méda zero, pode ser separada as suas compoetes de freqüêca usado a aálse de Fourer. Se esta fução é represetada apeas sobre um tervalo fto de tempo, s < t < s, a represetação em séres de Fourer pode ser usada, assm: r ( t) = Cr exp( = x ϖ t) (3.7)

5 Capítulo 3 Fudametação Teórca 9 ode s C = ( )exp( ) r x t ϖ t dt (3.7a) s r s sedo ϖ π s. Se x (t) r é peródca, as Equações (3.7) e (3.7a) são a exata represetação da fução total desde que o tervalo de tegração s seja tomado como um período completo. Esta fução peródca cosste de harmôcos dscretos tedo freqüêca crculares ϖ, ϖ, 3ϖ,..., e correspodetes ampltudes ftas A r Cr A r Cr =, =, A3r = C3r,..., desde que, é claro, as compoetes de freqüêca postva e egatva sejam combadas. Usualmete, a quatdade de maor teresse, quado um processo radômco estacoáro é aalsado, é o valor da méda dos quadrados de x r (t) sobre o tervalo s < t < s, que pode ser obtdo substtudo-se a Equação (3.7) a relação:, para obter: s [ r ( t) ] = xr s x ( t) dt (3.8) s [ xr t) ] = Cr = Ar ( (3.9) = = etão, Se ϖ é chamado a represetar o espaçameto da freqüêca do harmôco dscreto, π ϖ = ϖ = s (3.) e a Eq. (3.7a) é utlzada, a Eq. (3.9) tora-se:

6 Capítulo 3 Fudametação Teórca 3 xr ( t)exp( ϖ t) dt s Sx r ( ϖ ) πs = s ϖ (3.) Se agora (3.) é covertda a forma s, ϖ dϖ, ϖ ϖ, o somatóro se tora uma tegral, e a Eq. [ x t) ] = S ( ϖ ) dω = r ( S ( ϖ ) dω (3.) x r xr, ode a fução: S x r s x ( t)exp( ϖt) dt r s ( ϖ ) lm (3.3) s πs é defda como Fução Desdade de Espectro de Potêca para a fução x r (t) desde que o lmte realmete exsta. De acordo com esta defção, a fução desdade de espectro de potêca é uma fução par quado, x r (t) é uma fução real, e é postva e fta para todos os valores de ϖ, e resulta a méda dos quadrados de x r (t) quado tegrada sobre o tervalo < ϖ <. A desdade espectral do processo aleatóro estacoáro é obtda pela méda smples da fução desdade espectral das fuções amostras pertecetes ao processo, como segue: S x ( ϖ ) lm S x ( ϖ ) (3.4) s r r=

7 Capítulo 3 Fudametação Teórca Ssmos Artfcas A exctação sísmca ada é um feômeo cujos mecasmos de formação ão são totalmete cohecdos. Algus dos prcpas parâmetros evolvdos este problema são os segutes: tpo de solo, dstâca ao epcetro, profuddade do foco do ssmo, característcas geológcas ao logo do percurso de propagação do ssmo, etc. Uma das maeras ecotradas para caracterzar um ssmo, desde que este seja um processo aleatóro fracamete estacoáro, cosste a determação do seu coteúdo de freqüêca e da cotrbução dada ao ssmo por cada uma das freqüêcas, utlzado uma FDEP (sabedo que esta fução caracterza o espaço amostral dos terremotos de uma determada regão) através de uma aálse de Fourer adequada. Por exemplo: a partr de dados meddos por um ssmógrafo, em uma determada localdade, pode-se fazer, com um cojuto adequado de ssmos, uma aálse de Fourer e obter a FDEP que caracterza os ssmos ocorrdos esta localdade. Tato a desdade espectral quato o espectro de resposta de projeto são recursos que podem represetar a ssmcdade de uma regão em termos de sua potecaldade de produzr efetos mecâcos sesíves os sstemas estruturas, ou seja, represetam um comportameto possível para um cojuto de ssmos. Em vsta dsto, a geração de ssmos artfcas é codcoada ao atedmeto de um espectro de resposta de projeto e a um requsto mímo de desdade espectral de potêca, recomedada para assegurar à exctação sísmca uma represetatva dmesão da sua potêca e de uma adequada dstrbução ao logo da faxa de freqüêca de teresse do espectro de resposta de projeto (USNRC, 989). Esta desdade espectral é chamada de Fução Desdade Espectral de Potêca Objetvo, FDEPo. Todava, tedo em vsta a característca da desdade espectral de represetar um espaço amostral composto por um úmero fto de fuções temporas (ssmos), a ela pode ser atrbuída a resposabldade da represetação da própra ssmcdade da regão à qual ela é vculada. Sampao [3] Geração de ssmos artfcas Um dos métodos mas dfuddos para gerar ssmos artfcas, a partr de uma FDEP, é cohecdo como o Método da Superposção de Osclações que é utlzado este trabalho e apresetado o tem a segur.

8 Capítulo 3 Fudametação Teórca Método da Superposção de Osclações Seja a fução: x t) = A se( ω t + α ) =,,..., (3.5) (, ode: x (t) = -ésma fução seodal para superposção. A = ampltude do -ésmo harmôco. ω = freqüêca crcular, correspodete ao -ésmo harmôco. α = -ésmo âgulo de fase. Essas fuções seodas são superpostas (3.6) para obteção do processo aleatóro que serve de base para caracterzação do acelerograma de um ssmo. X ( t) = x ( t) (3.6) = Os harmôcos com freqüêca crcular ω, ω, ω 3,..., têm as correspodetes ampltudes A = C, A = C, A 3 = C 3,..., sedo que os valores C, correspodem às ampltudes de Fourer. Estes valores são obtdos a partr da méda dos quadrados da fução x (t), o tervalo s/ < t < s/, ode s é a duração da fase tesa do ssmo, em segudos. Da correspodêca etre a méda dos quadrados da fução x (t) e a fução desdade de espectro de potêca do processo, chega-se à segute relação: ( A ) S ( ω ) = (3.7) ω Esta relação atede à fução desdade ulateral, ou seja, a FDEP que tem toda a sua potêca cocetrada somete o sem-exo postvo de ω.

9 Capítulo 3 Fudametação Teórca 33 A dfereça etre as freqüêcas cosecutvas ω e ω, é um valor fxo, correspodete a: ω = π (3.8) s Já o âgulo de fase, α, é radômco, com fução desdade de probabldade uforme etre e π. Este âgulo é que garate o caráter aleatóro ao processo. Um exemplo de acelerograma gerado utlzado o exposto acma é mostrado a Fgura a (m/s ) t (s) Fgura 6 - Acelerograma, com duração de 5s, gerado a partr da FDEPo Fução tesdade O acelerograma que represeta um ssmo deve começar com a aceleração gual a zero e gradatvamete aumetar seus valores até que atja a fase mas tesa do ssmo e, depos, ter esses valores da fase tesa reduzdos até alcaçar o valor de aceleração que se deseja. Assm sedo, é precso que seja aplcada uma correção os valores obtdos com base o procedmeto descrto o tem Para sto, é utlzada uma fução, chamada

10 Capítulo 3 Fudametação Teórca 34 Fução Itesdade, I(t), Fgura 7, que vsa forecer ao acelerograma gerado o caráter ão estacoáro para smular um ssmo mas próxmo de um real [5]. Exstem váras formas de ser defda uma fução tesdade. A fução I(t), utlzada o presete trabalho, tem a segute defção: a) Fase Ical ( < t < Tcasl ): ode T = %. T ; cal total ( t ) I t = (3.9a.) T cal b) Fase Itesa ( T < t < T T ) ): cal ( total fal I ( t) = (3.9b.) c) Fase fal ( ( T total T fal ) < t < Ttotal ): a.[ t ( T total T fal )] I ( t) = exp (3.9c.) ode T = 3,33%. T fal total O fator a é determado de modo a garatr uma redução de 95% do valor da aceleração máxma. forma: A fução tesdade, I (t), é aplcada o processo aleatóro x( t), da segute X ( t) = I ( t) A se( ω t + α ) (3.) = =

11 Capítulo 3 Fudametação Teórca 35,,8 I (t),6,4, t (s) Fgura 7 Fução tesdade, para um ssmo com duração total de 5s. Na Fgura 8 é apresetado um exemplo de acelerograma gerado com base em e com a fução tesdade aplcada de acordo com (3.). 6 4 a (m/s ) t (s) Fgura 8 - Acelerograma após a aplcação da fução tesdade Correção da Lha Base. Uma codção mportate, a ser cosderada, é que a aceleração, a velocdade e o deslocameto cas, bem como a aceleração e a velocdade fas, aturalmete devem ter valores ulos, de forma que o acelerograma gerado smule adequadamete as característcas de um ssmo real [6] e [7]. Estas codções, em parte, são ateddas quado

12 Capítulo 3 Fudametação Teórca 36 aplcada a fução tesdade I (t). Para que as codções de cotoro sejam satsfetas, utlza-se uma correção dos valores do acelerograma de modo que ele passe a ateder tas crtéros. A correção utlzada é feta poto a poto da sére dscreta de valores do acelerograma, já com a fução tesdade aplcada. Esta correção tem a segute forma: & y c ( t) = & y ( t) + a + bt + 3ct (3.) Os subscrtos c e, dcam o acelerograma corrgdo e ão corrgdo, respectvamete, o tempo t. O problema, etão, cosste a obteção dos valores adequados das costates a, b e c. A formulação utlzada para obteção de tas costates está apresetada o Apêdce I Embasameto Estatístco A obteção dos ERUP é feta de acordo com cocetos fudametas de estatístca [] e []. A segur são apresetados os prcpas cocetos utlzados Varáves aleatóras dscretas As varáves aleatóras evolvdas o cotexto da aálse efetuada o presete trabalho são todas dscretas Méda amostral por: Dado um cojuto de varáves aleatóras dscretas, x,..., x, o valor médo é obtdo = µ = E( X ) = x P( X = x ) = x p (3.) =

13 Capítulo 3 Fudametação Teórca 37 O valor E(X) também é cohecdo como esperaça matemátca de X. E p correspode à probabldade de ocorrêca do valor x Varâca A varâca cosste em uma medda de posção da varável aleatóra e é defda pela segute expressão: = [ x E( X )] p Var( X ) = (3.3) Desvo Padrão O desvo padrão é a raz quadrada da varâca: = [ x E( X )] p σ = Devp( X ) = ( Var( X ) = (3.4) Fução de Dstrbução de Probabldade Acumulada A fução de Dstrbução de Probabldade Acumulada, P (x), relacoa os tervalos de valores ( α = xa e α + = xb ) do espaço amostral das varáves aleatóras dscretas, α, e sua probabldade de ocorrêca p e se defe como: P x) x = b p = xa ( (3.5) ode as varáves x a e x, b determam o íco e o fm do tervalo cosderado.

14 Capítulo 3 Fudametação Teórca Espectro de Resposta Uformemete Provável (ERUP) O Espectro de Resposta Uformemete Provável (ERUP) é um espectro orgado com base em uma aálse estatístca de uma amostra represetatva de dados orgados a partr de um cojuto de Espectros de Resposta (ER). Tal aálse estatístca cosste a determação da fução de dstrbução de probabldades acumuladas de ocorrêca dos valores amostras dos ER. Tas ER são gerados a partr de um acelerograma que caracterza um movmeto do terreo gerado por um ssmo. Com base as fuções de dstrbução de probabldade acumulada recém descrtas, os valores de pseudovelocdade (PSV)- correspodetes a uma determada freqüêca do SGL- que estão abaxo de um certo ível de probabldade -, podem ser obtdos. Repetdo o processo descrto acma, para cada uma das freqüêcas de teresse, obtém-se o ERUP. P (x) x ω ω ω 3 x 3 x x x x x 3 Fgura 9 Esquema de obteção de um ERUP. α ω ω ω 3 ω No esquema apresetado a Fgura 7, pode-se observar um ERUP obtdo para um ível de probabldade, de acordo com as P (x) das freqüêcas ω, ω e ω 3, respectvamete. Exemplo: Para cada valor de freqüêca de teresse, é obtda uma dstrbução de probabldades acumuladas. Etão, com base estes valores, são levatados os valores das PSV com probabldades meores ou guas a 5 e 84% respectvamete. Com tas valores

15 Capítulo 3 Fudametação Teórca 39 podem ser gerados os ERUP para 5 e 84% de probabldade de ser meor ou gual ao valor apresetado o espectro.