Capítulo 5 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DA MASSA

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1 Capítulo 5 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DA MASSA O objetvo deste capítulo é apresetar formas da equação da coservação da massa em fução de propredades tesvas faclmete mesuráves, como a temperatura, a pressão, a cocetração e a velocdade. Relações costtutvas para os fluxos dfusvos são formuladas em fução destas varáves, de modo que a tegração das equações resultates jutamete com as codções de cotoro permtrá o cálculo dos perfs de cocetração e, a partr deles os fluxos e as taxas de trasferêca de massa através de superfíces. 5.. Equações de Coservação em Termos da e de Fc 5... Dervação Com o tuto de separar os efetos de trasporte da mstura e de dfusão de um composto com relação à mstura, expadmos os termos do lado esquerdo do sal da equação (4.3.): X X v X X v X v v t t (5..) ode o segudo termo do lado dreto é balaço local de massa do compoete trasportada com a mstura (advecção de massa) e o tercero termo represeta o trasporte por dfusão do compoete com relação à mstura, que se desloca com a velocdade méda mássca. O fluxo de massa: J X v v (5..2) é o fluxo de massa de dfusão, o qual pode ser expresso pela e de Fc por meo da equação (3.3.8). Expaddo os operadores dferecas o lado dreto da equação (5..), temos: X X X v J X t t t v X X v J (5..3) Pela equação de coservação da massa global, equação (4.3.2), é possível verfcar que: X Xv X v t t (5..4) Desta forma, a equação de coservação da massa do compoete pode ser escrta como: DX Dt J R (5..5) Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

2 ode DX Dt X t v X (5..6) é a dervada substatva ou materal (ou dervada segudo o movmeto do fludo) da fração mássca do compoete, cujo sgfcado físco também pode ser elucdado a partr da aaloga dos pexes (Brd et al., 22 Seção 3.5). Na dervada materal, o observador acompaha o movmeto do meo (como um pescador sem remar uma caoa levada pela correteza) ao mesmo tempo em que observa a varação da cocetração das espéces de pexe o ro. Com a dervada materal, a equação de coservação da massa total (4.3.2) pode ser escrta também a forma: D v Dt (5..7) O desevolvmeto da equação de coservação da massa do compoete efetuado acma pode ser realzado cosderado, alteratvamete, o úmero de moles do compoete. Segudo o procedmeto adotado o Capítulo 4, a equação para a cocetração molar do compoete a forma dferecal é dada por: cx t cx v r (5..8) ode r é a taxa com que moléculas do compoete são produzdas ou cosumdas por udade de volume. Retomado a defção do fluxo molar de dfusão como: j cx v v * (5..9) o qual também pode ser escrto a partr da e de Fc pela equação (3.3.2), temos que a equação (5..8) pode ser escrta a forma: cx t cx v * j r (5..) Ao cotráro da equação (5..5), a equação acma ão pode ser escrta em fução da dervada materal, uma vez que o termo advectvo cotém a velocdade méda molar e ão a méda mássca. De qualquer forma, ambas as equações podem servr como poto de partda para a dervação de relações mas smplfcadas e específcas para a solução de uma determada classe de problemas. Como será detalhado à frete, em algus casos, é mas coveete trabalhar com a equação de trasporte a base molar do que a base mássca e vce-versa. Para escrever as equações (5..5) e (5..) em uma forma em que possam ser resolvdas, é precso dspor de relações costtutvas para os fluxos dfusvos em fução da cocetração. Substtudo a e de Fc, a equação (5..5) pode ser escrta a forma: X t v X D,eff X R (5..) 2 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

3 ou, a forma coservatva, sto é, corporado a coservação da massa global: X t X v D,eff X R (5..2) Alteratvamete, a base molar, a equação (5..) se tora: cx t cx v * cd,eff x r (5..3) As expressões equvaletes às equações (5..) a (5..3) para uma mstura bára são dadas por: X t X t cx t D2X v X R X v D 2X R cxv * cd2x r (5..4) (5..5) (5..6) As equações (5..4) a (5..6) servem de poto de partda para a dedução de formas mas compactas e smplfcadas das equações de coservação da massa do compoete a base mássca e a base molar. As equações escrtas em otação aberta os sstemas de coordeadas cartesaas, clídrcas e esfércas são apresetadas o Apêdce A. Em quasquer das formas apresetadas acma, as equações de coservação depedem de codções cas e de cotoro para que sejam tegradas e foreçam os perfs de cocetração. No presete texto, as codções de cotoro para os problemas de dfusão de calor e massa serão estabelecdas em cojuto com equações de coservação de massa e eerga aplcadas a terface etre dos meos adjacetes. As cosderações acerca do equlíbro termodâmco em uma terface apresetadas o Capítulo 2 rão complemetar o desevolvmeto de relações para as codções de cotoro Codções de Cotoro para a Dfusão de Massa Equlíbro Termodâmco terfacal No cotato etre dos meos materas, assume-se que o equlíbro termodâmco se estabelece medatamete e permaece até que toda a extesão dos meos atja o estado de equlíbro. Além dsso, admte-se que o equlíbro termodâmco ão é perturbado pelo fluxo de massa através da terface. Quado o equlíbro termodâmco é descrto a partr de cocetrações (ou frações) molares, pode exstr uma descotudade etre as cocetrações de ambas as fases a terface. Matematcamete, a codção prevê um valor prescrto de cocetração em um dado poto do cotoro, o qual é aturalmete obtdo quado exste equlíbro termodâmco etre duas fases. Nesse caso, a relação etre as frações molares do compoete em ambos os lados da terface é dada por: 3 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

4 x K x (5.2.),A,B ode A e B represetam as duas fases em questão e K é o coefcete de partção que represeta termodamcamete a descotudade a terface. Claramete, a codção de equlíbro termodâmco pode ser expressa em fução de outras varáves, como a fração mássca ou a cocetração mássca ou molar. Outros tpos de codção de cotoro adcoas são possíves para a trasferêca de massa, depededo da atureza da teração etre o meo materal e a sua vzhaça. Tas codções são mas coveetemete exemplfcadas o cotexto da aplcação de um balaço de massa através de uma terface que separa dos meos ou duas fases Equações de Coservação Aplcadas a uma terface Cosdere o balaço de massa do soluto pelo elemeto de área da a terface etre os meos e, coforme mostra a Fgura 5.. Note que o uso dos ídces e é uma smples coveêca e ão deve ser eteddo que o balaço terfacal dervado abaxo é uma exclusvdade para terfaces líqudo-gás. Na realdade, ele pode ser esteddo para quasquer outros tpos de terfaces (líqudo-líqudo, líqudo-sóldo, gás-sóldo). Assumremos que a terface etre os dos meos ão possu espessura e que, por sso, ão acumula massa do soluto (Carey, 992). Dessa forma, o prcípo de coservação da massa do compoete é dado por:, v, dz ˆ da, v, dz ˆ da R da (5.2.2) ode ˆ é o vetor utáro ormal apotado para fora do volume de cotrole terfacal, a face do meo ( =,)., é a cocetração mássca do compoete o meo. R é a taxa de produção (ou de cosumo) de massa do compoete a terface, por udade de área (g () /s.m 2 ). z é o vetor posção do elemeto de área terfacal etre os meos com relação a um referecal ercal. Desta forma, sua dervada represeta a taxa com que a terface etre os meos se desloca com relação a este referecal e os termos etre parêteses são as velocdades relatvas do soluto os meos com relação à terface. Ao defr os vetores fluxo de massa total do compoete relatvos à terface em ambos os meos por: m,,, v, dz (5.2.3) 4 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

5 , v, dz z R VC, v, dz Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.. Balaço de massa terfacal de uma espéce químca. temos que a equação (5.2.2) pode ser escrta a forma (por udade de área da ): m,, ˆ m,, ˆ R (5.2.4) Tomado o setdo postvo como aquele que apota para fora do meo, tal que ˆ ˆ e ˆ ˆ, temos a equação de balaço em fução dos compoetes do vetor fluxo de massa relatvo à terface a dreção do vetor ormal: ou seja: ode m m R (5.2.5) v,, e,,,,,, v z v z R,, (5.2.6),,,,, z são os resultados dos produtos escalares dos vetores velocdade do compoete e taxa de deslocameto da terface com o vetor utáro ˆ. Da defção do fluxo mássco total (advecção mas dfusão) do compoete dado pelas equações (3.3.5) e (3.3.6), temos que (a terface): m,, v,,, v, D,eff, X, (5.2.7) Por coveêca, o gradete a dreção do vetor ormal será sempre deotado este texto por, ode ˆ pode ser decomposto as dreções do sstema de coordeadas adotado. O letor deve estar ateto ao fato de que, os sstemas 5 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

6 Substtudo a equação acma a equação (5.2.5) ou a (5.2.6), para =,, temos:, X X,,eff,,,,,eff, (5.2.8),, v z D v z D R, ode os termos etre parêteses represetam os compoetes, a dreção ormal à terface, da velocdade da mstura relatva à terface os meos e. Cosderado o balaço de massa global da mstura o volume de cotrole terfacal, coforme mostra a Fgura 5.2, observamos que é possível escrever que: v dz ˆ da v dz ˆ da VC (5.2.9) v dz z v dz Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.2. Balaço de massa terfacal da mstura. Aalogamete, defdo os vetores fluxo de massa total da mstura com relação à terface em ambos os meos por: temos que: m, v dz (5.2.) de coordeadas clídrcas e esfércas, os compoetes do vetor gradete de uma fução escalar as dreções e são dados por e. r rs 6 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

7 m, ˆ m, ˆ (5.2.) e efetuado os produtos escalares com a mesma coveção para o setdo postvo da coordeada ormal à terface, temos que o fluxo de massa da mstura é tal que: v z v z, (5.2.2),,, ou seja:,, m m m (5.2.3) A relação acma apota que a massa total da mstura se coserva ao atravessar uma terface etre fases, vsto que a terface é suposta sem espessura. Na equação (5.2.2), é o resultado do produto escalar do vetor velocdade méda mássca da mstura com o vetor ˆ. Em fução das equações (5.2.2) e (5.2.3), podemos reescrever a equação (5.2.8) como: v, ode: X, X, X, m D,eff, X,m D,eff, R (5.2.4), X, (5.2.5) é a fração mássca do compoete a fase avalada a terface (fração mássca terfacal). Na ausêca de geração de massa do compoete a terface, temos que: X, m X X,, D,eff, X,m D (5.2.6),eff, ode os prmeros termos em ambos os lados são termos de trasporte de massa terfacas por advecção (com relação à terface) e os demas são devdos ao trasporte de massa por dfusão. A combação de ambos são os fluxos de massa terfacas totas do compoete em cada fase. Equações aálogas às obtdas acma podem ser escrtas também a base molar. Partdo do prcípo de coservação da massa a base molar para o compoete aplcado a terface: c, v, dz ˆ da c, v, dz ˆ da r da é possível deduzr uma expressão aáloga à equação (5.2.4) a forma: x, (5.2.7) x, x,, cd,eff, x,, cd,eff, r (5.2.8) ode: ˆ c v* z (5.2.9),,,, 7 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

8 , c v * dz (5.2.2) c, x, (5.2.2) c Note que, a rgor, o balaço de massa terfacal da mstura, equação (5.2.3), ão pode ser esteddo para a base molar. sto é devdo ao fato de que o úmero de moles pode ão se coservar, por exemplo, quado exstr uma reação químca a terface (a chamada reação químca heterogêea). Assm, o balaço molar da mstura a terface é escrto a forma:, ˆ, ˆ N r (5.2.22) ode o tercero termo do lado esquerdo da equação acma só será ulo quado ão exstr uma reação químca a terface ou quado, a preseça de uma reação, esta for tal que o úmero de moles dos reagetes seja gual ao úmero de moles dos produtos. As equações (5.2.4) e (5.2.8) são as formas geras (as bases mássca e molar) da codção de cotoro para a trasferêca de massa de uma determada espéce o acoplameto etre dos meos. Formas smplfcadas destas codções podem ser obtdas para casos especas que ocorrem com freqüêca a prátca. Tas stuações são exemplfcadas as seções a segur para duas classes de problemas em trasferêca de massa: as codções de baxas e altas taxas de trasferêca, respectvamete. As codções de baxas taxas de trasferêca são aquelas em que a parcela advectva do fluxo de massa a dreção ormal à terface é desprezível. Obvamete, em cotrapartda, as codções de altas taxas de trasferêca, os fluxos a dreção ormal ão são desprezíves. Como deverá fclar claro mas adate, tas fluxos podem ser forçados exteramete (como a sucção ou a jeção de um gás por meo de uma parede porosa o escoameto de uma mstura paralelamete a ela), ou duzdos pelo própro processo de dfusão. Nesse últmo caso, a magtude dos fluxos terfacas depede de uma sére de fatores, como a volatldade dos compostos, a dfusvdade mássca e o própro estado físco do meo em questão,ou seja, se o meo é um sóldo, um líqudo ou um gás Codções mte de Baxas Taxas de Trasferêca Evaporação ou sublmação com baxos fluxos. Seja um corpo líqudo ou sóldo que coteha apeas a espéce e que trasfere massa pela terface para um meo gasoso. As codções de equlíbro termodâmco a terface são tas que a fração molar terfacal é pequea, ou seja, x,. oge da terface, a fração molar do compoete o gás é ada meor, estado esta espéce ftamete dluída. A Fgura 5.3 lustra os perfs de frações molares do compoete juto à terface. Por smplcdade, assume-se que a fase é uma mstura bára de dos compoetes (gases) e 2. Não há reação químca e, portato, o termo de geração é ulo. Ao supor que a fase é uma substâca pura, temos que o compoete 2 é solúvel a fase e a trasferêca de massa etre as fases se dá somete pelo trasporte terfacal do soluto. A 8 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

9 represetação esquemátca em termos das frações másscas sera dêtca, bastado substtur os símbolos x por X o dagrama. x x, x, x, x, Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.3. Perfs de fração molar para o composto ftamete dluído o meo. Como ão exstem gradetes de cocetrações a fase, as formas do balaço terfacal as bases molar e mássca são dadas por: x X,, x, x, cd (5.2.23) 2, m X, X,m D (5.2.24) 2, ode, por ão exstr reação químca: (5.2.25),, Com a hpótese de que a fase é uma substâca pura, temos que X, e x,, e pela codção mposta o equlíbro termodâmco a terface, temos que X, e x,. Desse modo, as equações (5.2.23) e (5.2.24) se reduzem a: x,, cd (5.2.26) 2, m X, m, D (5.2.27) 2, 9 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

10 ou seja, o fluxo terfacal da mstura é o própro fluxo dvdual do compoete, vsto que o compoete 2 ão é trasportado através da terface. Evdecado as equações (5.2.26) e (5.2.27) a taxa de deslocameto da terface, temos as segutes relações: c x, z, cv *, cd (5.2.28) 2, X, z, v, D (5.2.29) 2, as quas podem ser utlzadas para se determar a taxa de deslocameto da terface com relação a um referecal fxo, desde que se coheça a taxa com que o soluto avaça em dreção à terface pelo lado da fase (a qual é represetada pelo prmero termo do lado dreto do sal). Por outro lado, o caso em que há evaporação e a terface se matém fxa em relação ao referecal ercal,, o fluxo do soluto em dreção à terface pela fase é gual ao fluxo dfusvo de a fase. z, Trasporte de massa para uma correte em movmeto paralelo à terface. Cosderemos outra codção amplamete ecotrada a prátca. No problema lustrado a Fgura 5.4 há gradetes de cocetração em ambos os lados da terface, e o trasporte de massa é da fase para a fase. Etretato, pelo fato de o soluto se ecotrar ftamete dluído em ambos os lados da terface, admtmos que o problema obedece a uma codção lmte de baxos fluxos, ode as parcelas advectvas dos fluxos do soluto a dreção ormal com relação à terface em ambas as fases são desprezíves. Além dsso, observamos que a fase exste movmeto macroscópco do meo a dreção paralela à terface, o que caracterza um modo de trasferêca de massa por covecção a fase. A represetação esquemátca em termos das frações molares sera aáloga. X v, X, X, X, X, X, Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.4. Perfs de fração mássca para o composto a codção de baxos fluxos. Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

11 Para um sstema de referêca que se desloca com a terface, ou para uma terface parada com relação ao referecal ercal, o balaço de massa terfacal do soluto escrto as bases mássca e molar é dado pelas formas smplfcadas das equações (5.2.4) e (5.2.8), sto é, desprezado a reação heterogêea e os termos advectvos: X X,, D,eff, D,eff, (5.2.3) c D,eff, x, c D,eff, x, (5.2.3) Para resolver o campo de cocetrações a fase tedo como codção de acoplameto as equações (5.2.3) e (5.2.3), é coveete expressar o fluxo dfusvo a fase em termos de uma relação costtutva evolvedo de forma dreta a dfereça etre as frações molares frações másscas X, X, x, x, ou as. Neste caso, tal abordagem se mostra partcularmete teressate já que o meo é um fludo em movmeto para o qual o cálculo do gradete de frações molares ou másscas é fução do campo de velocdades que, por sua vez, é obtdo por meo da solução da equação de coservação da quatdade de movmeto. A relação costtutva da trasferêca de massa cosste em se defr um coefcete de trasferêca de massa assocado ao fluxo terfacal (por dfusão) do compoete a fase, a forma: X, X, X, D,eff, (5.2.32) x, x, x, cd,eff, (5.2.33) para as bases mássca e molar, respectvamete. Nas equações acma, é drecoado para o teror do meo. No sstema S, as udades dos coefcetes de trasferêca de massa e são [g/m 2.s] e [mol/m 2.s]. Note que a preseça do ídce superor servrá para dferecar o coefcete de trasferêca de massa a codção de baxos fluxos (também chamados de coefcetes de fluxo zero) das demas codções a serem detalhadas ao fal do capítulo. Substtudo as defções acma as equações (5.2.3) e (5.2.3) para o lado do gás, temos: X, D,eff, m, X, X, (5.2.34) Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

12 x, cd,eff, m,x, x, (5.2.35) Matematcamete, as equações (5.2.34) e (5.2.35) defem a codção de cotoro de tercero tpo (ou de Rob), a qual é de atureza msta, pos evolve a dfusão de massa ocorredo smultaeamete em ambos os lados da terface e atrela o fluxo da varável trasportada (este caso, a fração mássca ou molar a fase ) ao seu valor o cotoro por meo da le costtutva da covecção. Note que o valor da varável o cotoro, esse caso, é represetado pela fração mássca ou molar terfacal relatva à fase, a qual pode ser escrta em fução da fração mássca ou molar terfacal relatva à fase por meo de uma relação de equlíbro termodâmco. As codções de cotoro de prmero tpo (de Drchlet) e de segudo tpo (de Neuma) são, respectvamete, as de potecal e de fluxo prescrtos o cotoro. Obvamete, para se aprovetar a coveêca da relação costtutva proposta pelas equações (5.2.34) e (5.2.35), é ecessáro cohecer o comportameto de ou em fução de parâmetros do problema físco a fase adjacete àquela em que se deseja calcular o campo de cocetrações. Este comportameto é, por sua vez, fução da própra dfusão ou da covecção (dfusão mas advecção) de massa a regão do meo adjacete à terface (a camada-lmte). Em problemas evolvedo a covecção de massa em codções de baxas taxas de trasferêca, o coefcete de trasferêca de massa de fluxo zero pode ser determado a partr de relações da teora de covecção, como por exemplo (ehard e ehard, 25): Sh D,eff, c D,eff, f Re, Sc (5.2.36) Sh D,eff, c D,eff, f Ra, Sc (5.2.37) para os casos de covecção forçada e atural, respectvamete. Nas equações acma, é um comprmeto característco do meo. Sh é o úmero de Sherwood (uma represetação admesoal do coefcete de trasferêca de massa de fluxo zero), Re é o úmero de Reyolds, Ra é o úmero de Raylegh e Sc é o úmero de Schm, todos referetes ao meo. A apresetação destas relações, etretato, foge do escopo do presete texto Codções mte de Altas Taxas de Trasferêca Cosderemos agora a stuação exemplfcada a Fgura 5.5. Trata-se de um problema cujas codções são semelhates àquele da Fgura 5.3, só que o compoete ão pode mas ser cosderado ftamete dluído a fase. 2 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

13 x x, x, x, x, Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.5. Perfs de fração molar para o composto com altas e moderadas frações molares o meo. Como a fração molar do compoete a terface ão possu um valor desprezível frete à udade, a equação de acoplameto se reduz a: ou: x, x, cd (5.2.38) 2, x,, c D (5.2.39) 2, x, cujo equvalete a base mássca é: m X, m, D (5.2.4) 2, X, Neste caso, as dfereças de potecal da dfusão de massa, x, x, e X, X,, ão são desprezíves e os fluxos dfusvos por elas gerados podem ser sgfcatvos a poto de desecadear um fluxo advectvo a dreção ormal à terface. Tal fluxo, deomado de efeto de sopro e matematcamete represetado pelo prmero termo do lado dreto da equação (5.2.38), é o prcpal mecasmo de dferecação etre as classes de problemas de altas taxas de trasferêca e de baxas taxas de trasferêca. Etretato, altas dfereças de potecal ão são codções exclusvas para a exstêca de um fluxo advectvo a dreção ormal. É ecessáro que o meo possua, por exemplo, uma alta dfusvdade mássca (tal como uma mstura de gases) de modo a facltar o trasporte a dreção ormal à terface. Em um sóldo, ode a dfusvdade é baxa, o efeto de sopro é exstete já que o meo é estacoáro. 3 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

14 Note que as expressões equvaletes às equações (5.2.28) e (5.2.29) são dadas por: c c D x 2,, z, cv *, (5.2.4) x, D X 2,, z, v, (5.2.42) X, A Fgura 5.6 lustra o problema de altas taxas de trasferêca equvalete àquele descrto a Fgura 5.4, ou seja, há perfs de cocetração em ambas as fases e os fluxos advectvos da mstura (a dreção ˆ ) com relação ao referecal fxo ão são desprezíves. A represetação esquemátca em termos das frações másscas sera dêtca, bastado substtur os símbolos x por X o dagrama. X v, X, X, X, X, X, Meo ˆ ˆ Meo da Fgura 5.6. Perfs de fração mássca para o composto os meos e. Os balaços terfacas com relação à terface para ambas as bases são dados por: x X,, x x,, cd,eff, x, cd (5.2.43),eff, m X X,, D,eff, X,m D,eff, (5.2.44) Note que a ausêca de reação heterogêea o fluxo molar total é coservado através da terface. Assm, este caso,. Ates de substtur a relação costtutva da covecção o, lado da fase as equações (5.2.43) e (5.2.44), é mportate avalar a dfereça etre os 4 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

15 coefcetes de trasferêca de massa de fluxo zero e de fluxo fto. De uma forma geral, é possível expressar a parcela dfusva do fluxo terfacal total em uma fase em termos da relação costtutva da covecção. Assm, para as bases molar e mássca, temos que:,, ˆ,, x,, c D,eff, x, x,, x, x, (5.2.45) m,, ˆ m,, X, m D,eff, X, X, m X, X, (5.2.46) ode e m, são os coefcetes de trasferêca de massa de fluxo fto, ou seja, defdos m, levado em cota a preseça de um fluxo de massa advectvo a dreção ormal à terface ãoulo. rafcamete, as varáves evolvdas a defção dos coefcetes de trasferêca de massa de fluxo fto podem ser represetadas pela Fgura 5.7. Cosdere calmete que ão exsta fluxo de massa a dreção ormal à terface (codção de fluxo zero). X X, X,, X Fgura 5.7. Perfl de fração mássca juto à terface. Na fgura, que por smplcdade represeta apeas a base mássca, o gradete da fração mássca a terface é dado por: X, ta (5.2.47) que, por sua vez, pode ser aproxmado por: 5 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

16 X,, X ta (5.2.48) ode X, X é a dstâca da terface a qual a tagete do perfl de frações másscas corta a lha, e, fscamete, represeta uma prmera aproxmação da ordem de gradeza da espessura da camada lmte de cocetrações o meo para a codção de fluxo zero. Caso a cocetração vare learmete com relação à dstâca à terface, o que caracterza um trasporte de massa desprezível ou exstete a dreção paralela à terface, é gual a (a real espessura da camada-lmte). Combado a equação (5.2.48) com a defção do coefcete de trasferêca de massa, equação (5.2.46), temos que: D,eff, (5.2.49) Da relação acma, é possível assocar valores altos do coefcete de trasferêca de massa a pequeos valores de e (e, coseqüetemete, a gradetes de cocetração mas acetuados juto à terface). Aalogamete, valores baxos do coefcete de trasferêca de massa estão assocados a altos valores de e e, com sso, a gradetes de cocetração a terface mas suaves. Note que resultados aálogos podem ser obtdos para a base molar, de modo que é possível escrever que: c D,eff, (5.2.5) A exstêca de um fluxo de massa (ou molar) ormal à terface, tal como uma stuação de altos fluxos, exerce alguma fluêca sobre o coefcete de trasferêca de massa, uma vez que este fluxo tederá a dstorcer o gradete de cocetrações juto à superfíce. Na codção de baxas taxas de trasferêca, ode o fluxo de massa advectvo a dreção ormal é desprezível e o fluxo de massa do compoete é pratcamete defdo pela parcela dfusva, essa fluêca é ula. Desse modo, temos que os coefcetes de trasferêca de massa de altos e baxos fluxos se relacoam a partr da segute defção: lm (5.2.5) m lm (5.2.52), A fluêca do fluxo de massa sobre o perfl de cocetrações é lustrada a Fgura 5.8. Quado o fluxo de massa total é da terface para o meo, o perfl de cocetrações é suavzado (dmução do âgulo θ) e, coseqüetemete, o coefcete de trasferêca de massa é 6 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr. m,

17 reduzdo (já que E ). Quado o fluxo de massa total é o setdo oposto, ou seja, do meo para a terface, o perfl de cocetrações é acetuado (aumeto de θ), o que aumeta C ). O comportameto é obvamete aálogo para a base molar m,. m, (já que X X, m X, m m C E Fgura 5.8. Perfs de fração mássca juto à terface as codções de altos fluxos. A Fgura 5.9 lustra o comportameto do coefcete de trasferêca de massa em fução do fluxo de massa terfacal. Coforme será demostrado o Capítulo 7, pode ser calculado a partr de, para qualquer valor de m, por meo da segute relação: m, m exp m (5.2.53) Fgura 5.9. fluêca do fluxo de massa sobre o coefcete de trasferêca de massa. m 7 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

18 ou seja, quado o fluxo de massa é postvo (da terface para o meo, por exemplo, uma terface líqudo-vapor, caracterzado um fluxo de evaporação), temos que m,. Aalogamete, quado o fluxo de massa é egatvo (do meo para a terface, caracterzado um fluxo de codesação) temos que m,. Da mesma forma, a base molar: exp,, (5.2.54) Codções de Cotoro a Forma Admesoal: Número de Bot da Trasferêca de Massa A fm de examar por meo de parâmetros admesoas os tpos de codções de cotoro ecotrados em um problema de dfusão de massa a codção de baxas taxas de trasferêca, avalemos a terface etre os meos S e mostrada a Fgura 5.. Supomos que este problema, o objetvo prcpal é resolver a dstrbução de frações másscas o meo S. Admtdo que o compoete esteja ftamete dluído em ambos os lados da terface, e para um sstema de referêca que se desloca com a terface (ou para uma terface parada com relação ao referecal ercal), temos que: X X,S, SD,eff,S D (5.2.55),eff, ou, a base molar: x x,s, csd,eff,s cd (5.2.56),eff, Caso o meo seja um fludo em movmeto, é coveete escrever: X,S SD,eff,S mx, X, (5.2.57) ou: x,s csd,eff,s mx, x, (5.2.58) 8 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

19 X v, X, X,S X, S X, X, Meo S ˆ S ˆ Meo da Fgura 5.. Perfs de fração mássca para o composto ftamete dluído os meos S e (o meo ocorre covecção). Por coveêca, a aálse que segue abaxo, tomemos a equação a base molar. Com o tuto de quatfcar os efetos domates sobre o balaço terfacal, tomemos a equação (5.2.58) a forma admesoal. Sedo a dstâca da terface admesoal dada por: (5.2.59) S ode S é um comprmeto característco do meo S. A cocetração admesoal o meo S é defda por: x, x,s K,S (5.2.6) x, x,s K ode K é o coefcete de partção. Note que o valor de, S é ormalzado etre e. O segudo termo o umerador e o deomador da equação (5.2.6) represeta a fração molar que tera o meo S se em equlíbro termodâmco estvesse com o meo a x,. x,s é o valor mas extremo (máxmo ou mímo) assumdo pela fração molar do meo S o problema em questão. Por exemplo, em um problema trasete, x,s correspodera à fração molar o state de tempo cal, ou seja, ates que se casse o processo de trasferêca de massa. A Fgura 5. lustra o comportameto 9 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

20 ao logo do tempo dos perfs de cocetração em ambos os lados da terface, para uma stuação em que x x.,s, S tempo x, Meo S x, St x, t Meo x, S t tempo x x,s,s t Fgura 5.. Comportameto dos perfs de fração molar em fução do tempo (o meo ocorre covecção). Substtudo as equações (5.2.59) e (5.2.6) a equação (5.2.58), temos:,s Bm,S (5.2.6) ode x, x,s K,S (5.2.62) x, x,s K e B m é o úmero de Bot da trasferêca de massa, dado por: B m m SK c D S,eff,S (5.2.63) O úmero de Bot represeta uma razão etre as resstêcas à trasferêca de massa a dreção do gradete de cocetração (em m 2.s/mol) os meos S e. A resstêca à trasferêca de massa o meo S (dfusão) é dada por: c D S S,eff,S (5.2.64) 2 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

21 equato a resstêca o meo (covecção) é defda por: K m (5.2.65) Desta forma, quado B m, pode-se dzer que o processo de trasferêca de massa etre os meos é cotrolado pela dfusão de massa o meo S. Tal stuação é típca de sstemas ode o coefcete de trasferêca de massa é elevado e a dfusvdade do meo é pequea. Assm, o gradete de cocetrações o meo S juto à terface é acetuado. Note que um valor de K (como, por exemplo, para gases pouco solúves em H 2 O, como O 2 e N 2, ode K He ) também cotrbu para que a razão etre as resstêcas se amplfque. Alteratvamete, para B m, o processo de trasferêca de massa é cotrolado pela covecção o meo. Neste caso, a dfusvdade o meo S é alta o bastate para que ão exsta resstêca ao fluxo do soluto até a terface, uformzado o gradete de cocetrações o meo S. Um coefcete de trasferêca de calor baxo faz dfculta o trasporte de soluto para loge da terface, aumetado a espessura da camada-lmte de cocetrações o meo. A Fgura 5.2 lustra os perfs de cocetração o cotoro para os casos de úmero de Bot de trasferêca de massa altos e baxos, respectvamete. terface terface Meo S Meo v Meo S Meo x,s x,s v x,s x, x,s x, x, x, (a) c D,eff, m, (b) c D,eff, m, Fgura 5.2. Perfs de cocetração o cotoro para baxas taxas de trasferêca. (a) Baxo B m, (b) Alto B m. Numa stuação extrema de B m (Fgura 5.2.b), o trasporte de massa o meo é tesfcado a poto de ser válda a segute aproxmação: 2 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

22 x x (5.2.66),, Matematcamete, tedo em vsta que o objetvo é calcular o campo de cocetrações devdo à dfusão de massa o meo S, a codção de cotoro para a codção Bm pode ser escrta a forma: x,s x, (5.2.67) K o que caracterza uma codção de fração molar prescrta o cotoro, ou seja, uma codção de prmero tpo ou de Drchlet. No caso extremo de B m, a equação (5.2.6) se trasforma em:,s (5.2.68) o que matematcamete sgfca uma stuação de mpermeabldade da terface com relação ao compoete. A equação acma é um caso especal da codção de fluxo prescrto o cotoro (de segudo tpo ou de Neuma) que, em termos das varáves admesoas, é dada por:,s (5.2.69) ode pode ser uma costate ou, em um caso geral, depeder do espaço e do tempo. Por meo da equação (5.2.6), que represeta uma codção de 3º tpo ou de Rob, é possível observar e compreeder que a magtude das resstêcas à trasferêca de massa em ambos os lados da terface é o fator decsvo para a decsão quato ao tpo de codção de cotoro a ser aplcada a formulação de um problema de trasferêca de massa por dfusão. Por outro lado, a magtude da dfusvdade é mportate para a redução do úmero de dmesões relevates em um problema de dfusão Reações Químcas: eração e Cosumo de Massa Reações químcas são comus em sstemas evolvedo trasferêca de calor e massa. Por exemplo, em aplcações de combustão, o cohecmeto das taxas com que os reagetes são trasformados em produtos é fudametal para o dmesoameto de dspostvos de egehara, tas como quemadores, câmaras de combustão, reatores etc. Do poto de vsta dos processos de trasporte, as reações químcas são dvddas em reações homogêeas e heterogêeas. As reações homogêeas ocorrem em toda a extesão da mstura, podedo ser formulada a partr de uma taxa por udade de volume. Matematcamete, elas aparecem como termos fote ou sumdouro a equação de coservação das espéces (ou da mstura). As reações heterogêeas ocorrem as froteras das regões ode se dá o trasporte do 22 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.

23 soluto. Dessa forma, elas aparecem como termos das codções de acoplameto terfacal, coforme vsto a seção 5.2. Um exemplo de reação heterogêea é a oxdação de CO e de hdrocarboetos ão quemados em gases de exaustão com excesso de O 2 ao atravessar um reator catalítco cuja teror cotém um metal como íquel ou plata. Tato as reações homogêeas quato as heterogêeas podem ser classfcadas de acordo com a sua depedêca com relação a alguma cocetração. Por exemplo, uma reação homogêea de ordem zero é tal que: R (5.3.) o ode o é a costate da reação de ordem zero (em g/m 3.s), uforme em todo o volume. Uma reação homogêea de prmera ordem pode ser dada por: r c (5.3.2) ode é a costate da reação de prmera ordem (em s - ). Note que quado os valores das costates de reação forem postvos, há geração do soluto, e quado forem egatvos, há cosumo de. Uma reação heterogêea de -ésma ordem pode ser escrta a forma:, r c (5.3.3) ode é a costate da reação de -ésma ordem para a reação heterogêea. No presete texto, sempre assumremos que as costates de reação são cohecdas. A determação de costates de reação a partr de uma aálse físco-químca foge do escopo deste materal. Referêcas Brd, R.B., Stewart, W.E., ghtfoot, E.N., 22, Trasport Pheomea, 2 d Ed., Wley, NY. Carey, V.P., 992, qud-vapor Phase-Chage Pheomea, Hemsphere Publshg Corporato, New Yor, NY. ehard V, J.H., ehard V, J.H., 25, A Heat Trasfer Textboo, 3 rd Ed. Phlogsto Press, Cambrdge, MA. 23 Copyrght 2. Jader R. Barbosa Jr.