4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

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1 MÉTODOS NM ÉRICOS PARA E QAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS 4- Método de Dfereças Ftas Aplcado às Eqações Dferecas Parcas. 4.- Apromação de Fções Apromação por Polômos Aste de Dados: M ímos Qadrados. 4.- Dervadas e Itegras Nmércas Apromação de Dervadas por Df ereças Ftas Apromação de Itegras por Regras de Itegração Nmérca Solção de Eqações Dferecas Ordáras Problema de Val or Ical Problema de Val or de Cotoro Solção de Eqações Dferecas Parcas.

2 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Mtos problemas a cêca e a tecologa podem ser modelados por eqações qe estabelecem ma relação etre fções descoecdas o e as dervadas destas f ções o. Eqações deste tpo são camadas Eqações Dferecas. o Qado a fção depede apeas de ma varável eqação dferecal é camada de Eqação Dferecal Ordára á qe apeas podem aparecer as dervadas ordáras da fção d. d a Qado a fção depede de mas de e ma var ável L a eqação dferecal é camada de Eqação Dferecal Parcal á qe podem aparecer as d feretes dervadas parcas desta fção. L L e L

3 No tópco 4.3 estdamos Eqações Dferecas Ord áras. No tópco 4.4 estdaremos Eqações Dferecas Parcas. Algmas Eqações Dferecas Parcas podem ser classfcadas como: Elíptcas Parabólcas e Hperbólcas. Faremos sto para ma Eqação Dferecal Parcal Lear de Segda Ordem com das var áves depedetes: A classfcação depede do Sal do Dscrmate e os omes são por aaloga com as se ções côcas: 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Ω f p g d c b a > < a EDPHperbólc EDPParabólca EDPElíptca 4 ac b

4 Os três eemplos caôcos mas t ípcos são: Estas EDP descrevem dferetes tpos de feômeos qe reqerem de dferetes téccas para sa sol ção tato aalítca qato m érca. Nas três telas a segr formalzamos EDP El íptca e Parabólca de a Ordem e Hperb ólca de a Ordem Solção de Eqações Dferecas Parcas Laplacao EDP Elíptca Eqação de Posso f EDP Parabólca Eqação do Calor t EDP Hperbólca Oda Eqação da c t t

5 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. EDP Elíptca Lear de Segda Ordem : L A B C ode é a L f em Ω dmesão do espaço. Os coefcetes costates A B C são reas. A matrz A é smétrca. O operador L é dto ser elíptco se a matrz [ A ] é defda postva o def da egatva. O se a se v T Av coserva o sal v R [ ] Nm Problema de Val or de Cotoro El íptco a solção deve ser determada mpodo restr ções para a sol ção em todo o cotoro do dom ío Codções de Cotoro. L Γ f em Ω Drclet Para este problema o M étodo de Dfereças Ftas trasforma o PVC m s stema lear esparço de eqações algébrcas.

6 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. EDP Parabólca Lear de Segda Ordem : Se L é m operador elíptco lear de segda ordem com matrz defda postva etão a EDP a segr é parabólca L f em Ω e t > EDP t Γ t Codção de Cotoro de Drclet Ω t Codção Ical [ ] A Nm Problema de Val or de Cotoro Parab ólco a solção deve ser determada mpodo restr ções para a sol ção em todo o cotoro do dom ío para cada state de tempo Codções de Cotoro e a Codção Ical para todos os potos do teror do dom ío.

7 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. EDP Hperbólca Lear de Prmera Ordem : A EDP a segr é perbólca se a matrz A tem atovalores reas e pode ser dagoalzada. O sea se A tem m coto completo de atovetores learmete depedetes. A t Γ t Ω t em Ω e t > Codção de Cotoro de Drclet Codção Ical EDP Descreve o movmeto de odas e/o trasporte advectvo. Nm Problema de Val or de Cotoro Hperb ólco a solção deve ser determada mpodo restr ções para a sol ção em parte do cotoro do dom ío para cada state de tempo Codções de Cotoro e a Codção Ical para todos os potos do teror do dom ío.

8 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. No qe resta desta ala estdaremos apeas ma EDP Elíptca Lear de Segda Ordem. Para smplfcar a eposção estdaremos o caso qado temos das varáves depedetes e coef cetes costates. Logo osso problema ser á descrto pela EDP: a b c d g Ω ode os coef cetes da EDP verf cam. Se os coefcetes ão são costates a Cod ção de ELIPTICIDADE deve ser verf cada para todos os potos do dom ío. p f b 4ac < Ω Para qe o problema estea bem posto devemos mpor restrções em todos os potos do cotoro do dom ío.

9 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. A EDP Elíptca Lear de Segda Ordem com das varáves depedetes e coef cetes costates b 4ac < é: a b c d g Ω Destacamos dos casos de restr ções mpostas em todos os potos do cotoro do dom ío Codções de Cotoro - PVC. p f Caso { Γ Γ CC de Drclet Caso Γ Γ Γ Γ Γ CC de Drclet r qγ CC de Nema Γ r ode é o vetor ormal ao cotoro

10 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Problema Eqação do Calor: Cosdere ma capa f eta de m materal codtor de calor seta a algma f ote etera de calor e codções de cotoro o cotoro da capa. O feômeo de cod ção do calor estaco áro esta capa pode ser modelado pela segte eqa ção: g Ω EDP 443 Dfsão Se o materal é omogêeo etão e a EDP se trasforma em: Eemplo : { Fote Etera 443 { g Ω ] [ ] [ EDP o 3 { g Dfsão { Fote Etera Caso Γ CC de Drclet Γ ão depede da pos ção Dfsão Fote Etera Vamos apromar o Laplacao por f ormlas de Dfereças Ftas Cetradas :

11 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Note qe o dom ío agora é m qadrado táro e podemos dscretzar o problema costrdo ma mala forme da segte f orma: b a a L d c c L m m Abao mostramos ma por ção ESTENCIL-STENCIL desta mala:

12 Deotemos por a sol ção eata o ó com coordeadas e sea a sol ção apromada. Se apromamos as der vadas segda pela formla de Dfereça Fta Cetrada de segda ordem: Etão a aproma ção pelo MDF para a EDP ateror cosste em ecotrar qe satsfaz Por smplcdade cos deramos e logo D EDP < < < < m g Solção de Eqações Dferecas Parcas. D m

13 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. < < [ ] g EDP 4 Este esqema de d fereças ftas pode ser represetado geometrcamete pelo ESTENCIL de 5 potos. Note qe para cada ó da mala temos ma c ógta e ma eqa ção em dfereças acma. Nas eqações para os ós perto do cotoro devem ser sbstt ídas as codções de cotoro semelate ao caso dmesoal. Como a mala tem partção por e partção por o úmero total de cógtas gras de lberdade do sstema lear eqações será de -. A F Matrz Esparsa < < O Sstema para o Problema dmesoal é de ordem - e para o Problema Bdmesoal é de ordem -. Logo para o Problema Trdmesoal a ordem do sstema ser á - 3.

14 Note qe a matrz é esparsa o sea para cada la apeas Solção de Eqações Dferecas Parcas. EDP g < < < < 4 [ ] { [ ] { [ ] { [ ] { [ ] { 4 para eqações 3 para eqações g g g g g L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

15 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. coefcetes são dferetes de zero. Note também qe temos dos sb-ídces para determar a localza ção de m ó a mala. O sea temos c ógtas: { L } { L } L { L } sb-ídces L e L { L } { L } L { L } sb- ídce m L Isto qer dzer qe apeas precsamos de sb-ídce para determar a localza ção do ó a mala. O sea qe devemos costrr ma fção qe faça ma lgação etre os dos sb - ídces e a mera ção global sb-ídce. Destacamos qe esta fção va determar a estrtra da matr z do sstema lear de eqa ções algébrcas. Estem dferetes maeras de costrr a fção de lgação. ma forma mto smples é reordear a mera ção por las.

16 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Neste caso a fção de lgação com varredra tera em e etera em é: m com L para cada L A matrz A sera f ormada por matr zes blocos d e ordem - a forma: T I I T I I T I A O O O I T I I T T O O O 4 4 A matrz I é a matrz detdade. Se reordeamos a mera ção por cola a fção de lgação sera: m com L para cada L

17 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas. Precsão e Establdade : Semelate ao caso D Erro da Sol ção Apromada? - Erro em cada poto : - Erro Global: com E G e 3- Note qe em geral ão satsf az e sto def e o camado Erro Local E L A F A F E L 3 A compoete do erro local la é g Ω Aplcado o MDF A F Γ Γ [ 4 ] g < < EDP EL T T [ L ] e [ L ]

18 Se a solção eata do problema é save epaddo ela em sere de Talor etoro do poto. Sbsttdo a eqa ção ateror esta epasão e a EDP obtemos: E 4.4- Solção de Eqações Dferecas Parcas L O < < EDP 4 4 O sea o erro local é de ordem E Podemos estabelecer ma rela ção etre o Erro Local Erro Global E G. Para sto faça a dfereça etre -3 e obtemos: A E L o A E G E 3 L E G Note qe este é o mesmo sstema de eqa ções em dfereças obtdo para eceto qe em lgar de Ftemos EL. Para algma orma o Erro Global é da mesma ordem qe o Local dcado qe esta orma o sstema pode ser est ável L C A < C para sfcetemete peqeo EG C EL C O E L e o

19 Frase do Da Altog to peetrate to te tmate msteres of atre ad tece to l ear te tre cases of peomea s ot allowed to s everteless t ca appe tat a certa fctve potess ma sffce for eplag ma peomea. Leoard Eler A mesma das Ala te std of Elers wors wll rema te best for dfferet felds of matematcs ad otg else ca replace t. Fredrc Gass