Material Teórico - Módulo de MATEMÁTICA FINANCEIRA. Financiamentos. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Materal Teórco - Módulo de MATEMÁTICA FINANCEIRA Facametos Prmero Ao do Eso Médo Autor: Prof Fracsco Bruo Holada Autor: Prof Atoo Camha Muz Neto 20 de agosto de 2018

2 1 Itrodução Neste materal, remos aplcar os tópcos que apredemos os materas ateror em um tema de extrema mportâca, ão só para aqueles que desejam apreder matemátca facera, mas também para todas as pessoas que cotraem dívdas ou realzam facametos para a compra de bes de alto custo, como automóves e móves Quado compramos uma casa, por exemplo, assamos um cotrato de hpoteca com uma sttução facera (um baco, por exemplo) Nesse cotrato, fca acordado que a sttução os emprestará o dhero ecessáro para efetvar a compra do móvel, em troca de pagametos peródcos futuros Esses pagametos possuem duas fuções: parte deve pagar os juros correspodetes à atualzação moetára da dívda e o restate serve para amortzar, ou seja, dmur o saldo devedor orgal A estrutura de pagametos ao logo do tempo recebe o ome de sstema de amortzação Ao logo deste materal, abordaremos os dos tpos de sstema de amortzação adotados o sstema facero braslero: o sstema Prce e o sstema de amortzação costate (SAC) Porém, exstem ada o sstema amercao, o sstema alemão e o sstema msto Na próxma seção, troduzremos o coceto de tabela de amortzação que é a mesma para todos sstemas de amortzação, depedetemete de suas característcas própras qualquer sstema de amortzação J k = S k 1 ; P k = J k + A k S = 0 (1) Delas, decorre também a composção do saldo devedor S k+1, descrta a segur: S k+1 = S k + J k+1 P k+1 = S k + J k+1 A k+1 J k+1 = S k A k+1 A segur, apresetamos a chamada tabela de amortzação (1), que pode ser costruída faclmete em Excel de forma recursva, utlzado as detdades acma Tabela 1: tabela de amortzação Período Juros Amortz Pagam Saldo Devedor 0 S 0 1 J 1 A 1 P 1 S 1 2 J 2 A 2 P 2 S 2 3 J 3 A 3 P 3 S 2 1 J 1 A 1 P 1 S 1 J A P S 2 Tabela de amortzação Cosdere a stuação a qual um dvíduo toma emprestado uma quata S 0 a uma taxa de juros, que deve ser paga os próxmos períodos O processo de amortzação se dará ao fal dos períodos de 1 a, e pode ser descrto os segutes tes: O pagameto a ser realzado o período k será deotado por P k ; o saldo devedor medatamete após o pagameto do período k será deotado por S k Para k 1, etre os períodos k 1 e k há cdêca de J k juros sobre o saldo devedor S k 1 Dessa forma, o pagameto P k deve sufcete para cobrr os juros J k = S k 1 da dívda, bem como amortzar parte da dívda orgal Essa amortzação será deotada por A k v Além dsso, os pagametos devem ser tas que o saldo devedor após o últmo período seja gual a zero As formações acma podem ser protamete resumdas o cojuto de equações (1), as quas são váldas para 3 Sstema de amortzação costate (SAC) No sstema de amortzação costate, todas as amortzações são guas, ou seja: A 1 = A 2 = = A = A Iterado a recorrêca S k = S k 1 A k, obtemos S k = S 0 A 1 A 2 A k (2) Fazedo k = e utlzado o fato de que S = 0 e a amortzação é costate, temos: 0 = S = S 0 (A + A + A + + A) = S }{{} 0 A, vezes de modo que Além dsso, A = S 0 S k = S 0 ka = S 0 ks 0 = S 0( k) 1 matematca@obmeporgbr

3 Cosequetemete, e J k = S k 1 = S 0( (k 1)) P k = J k + A k = S 0( k + 1) = S 0( + 1) = S 0( k + 1) + S 0 (k 1) S 0 Em partcular, veja que os valores dos pagametos são decrescetes ao logo do tempo e que são termos de uma progressão artmétca Vejamos o sstema SAC em ação os dos exemplos a segur Exemplo 1 Geovaa cotratou um empréstmo de 1000 reas pelo SAC a uma taxa de juros de 3% ao mês Ela rá realzar o pagameto em quatro parcelas mesas Faça a tabela de amortzação e dga qual é o valor da últma prestação Solução No prmero período o empréstmo é feto, gerado um saldo devedor de S 0 = 1000, porém ão há pagameto esse mês Sabemos que o SAC as amortzações são costates Sedo assm, cada amortzação é gual a A = = 250 Veja que a taxa de juros é de 3% ao mês, gerado um total de J 1 = = 30 reas em juros o prmero período Assm, se o saldo devedor ao fal do período 1 é S 1 = = 750, o valor do pagameto será P 1 = = 280 Cotuado para o segudo período, os juros serão de J 2 = 3% 750 = 22, 50 e o pagameto será de P 2 = , 50 = 272, 50 Temos, etão, a tabela a segur: 2 22, , Por fm, para os últmos dos períodos, temos sucessvamete J 3 = 3% 500 = 15 e P 3 = = 265; J 4 = 3% 250 = 7, 50 e o pagameto será de P 4 = , 50 = 257, 50 A tabela de amortzação completa é como a segur: Exemplo 2 Na Fgura 1, apresetamos gráfcos que mostram como os valores de juros, amortzações, pagametos e saldos devedores se comportam ao logo do tempo o 2 22, , , , 50 0 sstema SAC Tas gráfcos são relatvos a um empréstmo o valor de S 0 = , facado em = 360 meses a uma taxa de = 1% ao mês Como exercíco, sugermos ao letor escrever as prmeras lhas da tabela de amortzação correspodete a essa stuação, a fm de covecer-se de que os formatos dos gráfcos são os apresetados Fgura 1: gráfco da tabela SAC 4 Sstema Prce Legeda Juros Amortzação Pagameto O sstema Prce, também é chamado de sstema fracês de amortzação, recebe este ome em homeagem a Rchard Prce, que o apresetou pela prmera vez em 1771 o seu lvro Observações sobre Pagametos Remssvos No sstema Prce de amortzação, o valor da parcela é costate Além dsso, sedo a taxa mesal de juros, o úmero de períodos e S 0 o saldo devedor cal, o valor P dos pagametos é dado pela relação P = S 0 (3) 1 (1 + ) O úmero 1 (1+) é chamado de fator de recuperação de captal Ates de os debruçarmos sobre o problema geral do cálculo de juros, amortzações e saldos devedores o sstema Prce, examemos o segute Exemplo 3 Marcos deseja comprar um carro o valor de reas e achou um baco que acetou facar este 2 matematca@obmeporgbr

4 valor pelo sstema Prce, cobrado uma taxa de 2, 5% ao mês Calcule o valor da prestação os segutes casos: a) = 24 meses b) = 48 meses Solução Para ecotrarmos o valor do pagameto mesal, basta aplcarmos os valores S 0 = e = 2, 5%, jutamete com o respectvo valor de, a relação (3) Com o auxílo de uma calculadora ou computador, obtemos , 025 a) P = 1 (1 + 0, 025) 24 = 1118, 25 b) P = , 025 = 720, 11 1 (1 + 0, 025) 48 Ada em relação ao exemplo ateror, veja que, ao dobrarmos o tempo do facameto (de 24 para 48 meses), o valor do pagameto mesal ão dmu pela metade, mesmo que matehamos a taxa de juros (2, 5%) Isto se deve ao fato de um facameto mas logo estar relacoado a um pagameto total de juros maor Itutvamete, sso ocorre porque passa-se mas tempo pagado juros ao baco Para calcular os valores dos juros, amortzações e saldos devedores o sstema Prce, partmos da últma detdade das amortzações: S k+1 = S k +J k+1 P k+1 Como J k+1 = S k e P k+1 = P, temos S k+1 = S k (1+) P Reescrevedo essa últma relação com k 1 o lugar de k, obtemos o par de equações: S k+1 = S k (1 + ) P S k = S k 1 (1 + ) P Subtrado uma da outra membro a membro, ecotramos S k+1 S k = (S k S k 1 )(1 + ), ou seja (ovamete da últma detdade das amortzações) A k+1 = A k (1 + ) Etão, percebemos que a sequêca (A k ) k 1 é uma progressão geométrca (PG) de razão 1 + Como A 1 = P S 0, temos que A k = A 1 (1 + ) k 1 = (P S 0 )(1 + ) k 1 Utlzado ovamete (2) (que, coforme vmos, é válda para qualquer sstema de amortzação), jutamete com a fórmula para a soma dos termos de uma PG, obtemos S k = S 0 (A 1 + A A k ) = S 0 A k(1 + ) A 1 (1 + ) 1 = S 0 A 1(1 + ) k A 1 = S 0 (P S 0)((1 + ) k 1) Por fm, uma vez que J k = S k 1, segue do que fzemos acma que J k = S 0 (P S 0 )((1 + ) k 1 1) Exemplo 4 Geovaa cotratou um empréstmo de 1000 reas pelo sstema Prce a uma taxa de juros de 3% ao mês Ela rá realzar o pagameto em quatro parcelas mesas Faça a tabela de amortzação e dga qual é o valor da últma prestação Solução No prmero período o empréstmo é feto, gerado um saldo devedor de S 0 = 1000, porém ão há pagameto este mês Sabemos que o sstema Prce os pagametos são costates Neste caso, segue de (3) que cada pagameto é gual a P = , 03 1 (1 + 0, 03) 4 = 269, 03 Veja que a taxa de juros é de 3% ao mês, gerado um total de J 1 = = 30 reas em juros o prmero período Assm, a amortzação do prmero período será A 1 = 269, = 239, 02 e o saldo devedor será S 1 = , 02 = 760, 98 Obtemos, portato, as duas prmeras lhas da tabela de amortzação: Cotuado para o segudo período, os juros serão de J 2 = 3% 760, 98 = 22, 83, equato a amortzação será de A 2 = P 2 J 2 = 269, 03 22, 83 = 246, 20 e o saldo devedor de S 2 = S 1 A 2 = 760, , 20 A tabela de amortzação gaha sua tercera lha: 2 22, , , , 78 Por fm, para o tercero período, temos J 3 = 3% 514, 78 = 15, 44, com amortzação A 3 = 269, 03 15, 44 = 253, 59 e saldo devedor será S 3 = S 2 A 3 = 524, , 59 = 261, 19; para o quarto e últmo período, temos J 4 = 3% 261, 19 = 7, 83, A 4 = 269, 03 7, 83 = 261, 20 e S 4 = S 3 A 4 = 261, , 20 = 0, 01 Observação: o valor resdual S 4 = 0, 01 ocorre apeas devdo às aproxmações que fzemos ao logo da costrução da tabela Na prátca, esses erros resduas são corporados à últma parcela 3 matematca@obmeporgbr

5 2 22, , , , , , , , , , , 03 0, 01 Exemplo 5 Na Fgura 2, apresetamos os gráfcos que mostram como os valores de juros, amortzações, pagametos e saldos devedores se comportam ao logo do tempo o sstema Prce Tas gráfcos são relatvos a um empréstmo o valor de S 0 = , facado em = 360 meses a uma taxa de = 1% ao mês Como exercíco, sugermos ao letor escrever as prmeras lhas da tabela de amortzação correspodete a essa stuação, a fm de covecer-se de que os formatos dos gráfcos são os mostrados Compare essa fgura com a Fgura 1 Veja que o valor do pagameto é calmete maor a tabela SAC em detrmeto da tabela Prce, mas que este valor va dmudo ao logo do tempo e que evetualmete tora-se meor do que o pagameto fxo da tabela Prce até mesmo os softwares de plalhas É possível ecotrar mas exercícos sobre amortzações os lvros recomedados a bblografa Referêcas [1] A ASSAF NETO Matemátca Facera e suas Aplcações Atlas, 2008 [2] A BRUNI ad R FAMA Matemátca Facera com HP 12C e Excel Atlas, 2008 [3] J M GOMES ad W F MATHIAS Matemátca Facera Atlas, 2009 [4] Augusto C Morgado, Eduardo Wager, ad Shela C Za Progressões e Matemátca Facera SBM, Legeda Amortzação Juros Pagameto Fgura 2: gráfco da tabela Prce Sugestões ao Professor Recomeda-se que o professor utlze pelo meos dos ecotros de 100 mutos cada para apresetar o coteúdo presete este materal No prmero ecotro, ese os prcípos báscos do sstema SAC e resolva os exercícos Se possível, preecha as tabelas de amortzação utlzado algum software para cração de plalhas; faça sso passo a passo, sem pressa No segudo ecotro, repta a mesma metodologa para o sstema Prce Um dca teressate é recrar os gráfcos presetes este materal (e outros semelhates) utlzado o Geogebra ou 4 matematca@obmeporgbr