Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Somas de elementos em Linhas, Colunas e Diagonais do Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M.

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1 Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas do Tâgulo de Pascal ao do EM

2 Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas do Tâgulo de Pascal Execícos Itodutóos Execíco a d 5 8 Deteme os valoes das somas: b 5 c Execíco Calcule a mao potêca de que dvde S, em cada um dos casos abaxo: a S b S c S d S 9 9 Execíco Ecote o valo das somas abaxo: a S b S c S 5 5 5! Execíco O símbolo C,p é defdo po p! p! paa p, com! Estes úmeos C,p são teos e apaecem como coefcetes o desevolvmeto de a b a Moste que C,p C,p C,p b Seja S C, C, C, C, Calcule log S Execíco 5 abaxo Se é pa, dete os úmeos bomas,, qual deles possu mao valo?,,, Execícos de Fxação Execíco Ecote o valo da soma Execíco 7 Se A possu subcojutos, qual o úmeo de elemetos de A? Execíco 8 Calcule Dca: Use que Execíco 9 Execíco a b 5 Execíco a 5 5 b Calcule o valo das somas: Calcule o valo das somas: Execíco : Execícos de Apofudameto e de Exames Execíco p Vefque a detdade de Eule: m p m Execíco Moste, usado um agumeto combatóo, que: Execíco 5 Paa os teos postvos e, com, sabe-se que Etão, o valo de é gual a: a b c d e p Veja que tal detdade segue medatamete do execíco

3 Execíco Cosdee o cojuto S {a, b N N a b 8} A soma de todos os úmeos da foma 8!, a, b S, é: a!b! a 8 b 9! c 9 d e! Execíco 7 soma Execíco 8 Execíco 9 que: Execíco Pelo execíco, Ecote uma fómula fechada paa a Moste que: Seja um teo ão egatvo Moste S Potato [ ] Obsevação: Podemos epet a estatéga ateo paa calcula S Note que! é um polômo môco de gau a vaável Cosequetemete, podemos aplca o Teoema das Coluas a soma! e esceve S em fução das somas S, com <, e do bomal Execíco : Execíco O úmeo de Fboacc F é defdo como a soma dos elemetos da -ésma dagoal vesa do Tâgulo de Pascal, como lustado o dagama abaxo: F F F F F F Pove que F F F Execíco 5 Seja um teo ímpa mao que Pove que a sequêca,, cotém um úmeo ímpa de úmeos ímpaes Execíco S Execíco 7 Extaído da Putam 9 Moste que: Execíco 8 S 7 S 5 8 Execíco S Execíco S

4 Respostas e Soluções Pelo Teoema das Dagoas, temos: a b 8 c d 5 a b c d a b c Pelo Teoema das Lhas, o valo da soma é dado po Potato o expoete da mao potêca de que dvde S é Pelo Teoema das Lhas, o valo da soma é dado po 9 Potato o expoete da mao potêca de que dvde S é 9 Pelo Teoema das Lhas, o valo da soma é dado po Potato o expoete da mao potêca de que dvde S é Pelo Teoema das Lhas, o valo da soma é dado po Potato o expoete da mao potêca de que dvde S é Pelo Teoema das Coluas, o valo da soma é dado po 5 Pelo Teoema das Coluas, o valo da soma é dado po 5 5 Pelo Teoema das Coluas, o valo da soma é dado po 5 79 Extaído do Vestbula da UNICAMP a C,p C,p! p! p!! p! p!! p p! p! p! p! p! C,p b Pelo teoema das lhas, S Potato, log S 5 Como, segue que { } max,,,, { } max,,,, / Basta mostamos agoa que essa últma lsta os úmeos estão dspostos em odem cescete Compaemos o quocete de dos temos cosecutvos: q!!!!!! Como /, segue que > e assm q > Isso mosta que a lsta de bomas é cescete e o seu valo máxmo é / Note que e assm, pelo Teoema das Coluas, 7 Se um cojuto possu elemetos, paa detema a sua quatdade de subcojutos, podemos cota paa cada, quatos subcojutos possuem elemetos e posteomete soma todos os valoes ecotados Como exstem subcojutos de elemetos, pelo Teoema das Lhas, o úmeo de subcojutos é Como, segue que A possu elemetos

5 8 Usado a dca dada e o Teoema das Lhas, temos 9 Usaemos ovamete a dca do poblema ateo: a b Pelo execíco ateo, temos 5 5 j j j j j j j j j Do mesmo modo, temos j j j j j j j j j a b Note que Potato j j Pelo Teoema das Lhas, a soma dos temos de ídce pa e de ídce ímpa da -ésma lha do Tâgulo de Pascal é Pelo tem ateo, a soma dos temos de odem pa é / Potato, a soma dos temos de odem ímpa é também j j j j j j j j j j j j Pelo execíco ateo, a dfeeça ete os dos últmos somatóos é zeo Iesmo mosta a detdade atavés de uma cotagem dupla Cosdee um gupo composto po m pessoas, m das quas são mulhees e são homes O úmeo de maeas de escolhemos um gupo de p pessoas dete as m é claamete Outa maea de m p cotamos sso, sea começa escolhedo mulhees, de m maeas, e em seguda complemetamos o gupo

6 com p homes, que pode se feto de maeas Assm, pelo Pcípo Multplcatvo, p o total de escolhas com exatamete mulhees é Como m p pode vaa o cojuto {,,, p}, o total de escolhas p m é Sabedo que as duas cotages que p fzemos poduzem esultados guas, segue a detdade Queemos escolhe algum subcojuto ão vazo de um cojuto cotedo caças paa um passeo e, além dsso, uma das escolhdas deveá ecebe um chocolate Exstem subcojutos com elemetos e paa cada uma dessas escolhas, temos possbldades paa da o chocolate Pelo Pcípo Multplcatvo, exstem tas cojutos Como pode vaa o cojuto {,,, }, temos ao todo possíves escolhas Outa cotagem possível sea pmeo escolhemos a caça que gahaá o chocolate e que cetamete faá o passeo Isso pode se feto de maeas Das caças que sobaam, podemos escolhe um subcojuto qualque delas, vazo ou ão, paa acompaha a caça escolhda o passeo Exstem tas que subcojutos Potato exstem escolhas possíves Compaado os dos valoes ecotados, obtemos a detdade do poblema 5 Extaído do ITA Pelo Teoema das Lhas, temos Resposta leta D ITA Como 8! 8 a!b! se a b 8, segue a que a soma pocuada cocde com a soma dos elemetos da décma-oa lha do Tâgulo de Pascal, que vale 8 8 Resposta leta A 7 Pela detdade de Eule, com m p, segue que: 8 Potato, dvddo a equação cal po, 9 Usaemos ovamete a elação de Eule cotda o veja o execíco 5

7 execíco : Pelo Teoema das Coluas, Pelo Teoema das Coluas, temos Pelo execíco ateo, temos S [ ] S 5 5 Pelo execíco, temos S Temos F e F / Potato, pela Fómula de Bet, / F F / / / / / / / / F

8 5 Como, temos Como a soma ateo é um úmeo ímpa, ela cotém um úmeo ímpa de temos ímpaes Pela detdade do execíco, com m e p, temos S 7 Pmea Solução S, veja que exstem gupos de caças e uma vez escolhdo esse gupo, exstem maeas de dstbumos o caamelo e o chocolate Basta agoa somamos sobe todos os valoes possíves de caças obtedo Outa cotagem que poduz o mesmo úmeo é calmete escolhe as caças que ecebeão os doces e posteomete suas compaheas Pecsamos cosdea dos casos Se a caça que ecebe o caamelo é a mesma que ecebe o chocolate, exstem tas escolhas Em seguda, podemos escolhe um subcojuto qualque das caças que sobaam paa fomaem um subcojuto com ela de maeas Quado as caças são dsttas, temos maeas de dstbumos o caamelo e o chocolate Em seguda, os estam possíves subcojutos das caças estates Assm, S 8 S Seguda Solução Seja S o úmeo de maeas de escolhemos um subcojuto ão vazo de um gupo cotedo caças e, sem seguda, damos um caamelo paa uma delas e, falmete, damos um chocolate também paa uma das escolhdas As caças que ão ecebe o caamelo e o chocolate ão pecsam se dsttas Paa detema Poduzdo po Aqumedes Cuso de Eso 7

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