Métodos Quantitativos Aplicados a Contabilidade

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1 Isttuto de Pesqusas e Estudos Cotábes MBA GESTÃO CONTÁBIL DE EMPRESAS INTEGRADA À CONTABILIDADE INTERNACIONAL Métodos Quattatvos Aplcados a Cotabldade Professor Reato Ragel Felpe Noroha

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3 Sumáro. Itrodução Elemetos e Termologa Captal Juros Motate Valor Presete Valor Futuro Taxa de Juros Valor Nomal Fluxo de Caxa Regme de Captalzação Smples Juros Smples Taxa Proporcoal Juro Comercal Taxa de juros dára comercal Juro comercal Descotos descoto racoal e descoto comercal Descoto Racoal ou Descoto por Detro Descoto Comercal ou Descoto Bacáro ou Descoto por Fora Regme de Captalzação Composta Taxa de Juros Equvalete Taxa de juros efetva Taxa de juros omal Descoto em Juros Compostos Descoto racoal ou Descoto real Descoto Comercal Comparação etre os Regmes de Captalzação Smples e Composto Séres Peródcas Uformes Prestações Iguas Reda Postecpada Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Atecpada Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Dferda Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Perpétua Sstemas de Amortzação Sstema de Amortzação Fracês ou Tabela prce Sstema de Amortzação Costate SAC Sstema Amercao Iflação Ídce de Preços Ídce e taxa de flação (ou de correção moetára) Taxas de juros aparete (ou omal) e real Ídce de correção moetára como flator e como deflator Itrodução aos Métodos e Crtéros de Avalação de Ivestmetos Método do Valor Presete Líqudo VPL Método do pay-back descotado Método da Taxa Itera de Retoro TIR Problemas da TIR: problema do revestmeto

4 7.3. Problemas da TIR: múltplas taxas de retoro Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes e com escalas dferetes Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes com escala semelhate mas com dfereça da dstrbução (tmg) dos fluxos de caxa Rsco x Retoro Defções Tradeoff etre Rsco e Retoro Efeto da Dversfcação Tpos de Rsco Rsco de Mercado Rsco de Lqudez Rsco de Crédto Rsco Operacoal Estatístca População e Amostra Varável Aleatóra e Probabldade Esperaça e Méda Amostral Varâca e Desvo Padrão Covarâca e Correlação A Dstrbução Normal Quats Varâca e Desvo Padrão de uma Cartera Aplcação Coceto de Value at Rsk (VaR) Bblografa

5 . Itrodução Matemátca Facera é o ramo da matemátca que estuda a evolução do dhero o tempo. Itutvamete, sabemos que R$.000,00 hoje ão são guas a R$.000,00 daqu a um ao, por exemplo. O valor do dhero cresce o tempo devdo à taxa de juros. Para car o estudo da Matemátca Facera, é ecessáro que se estabeleça uma lguagem comum para desgar os dversos elemetos que serão abordados.. Elemetos e Termologa.. Captal Captal, do poto de vsta facero, é o valor moetáro cal de uma operação facera. O Captal também é cohecdo como Prcpal ou Valor Dspoível. Geralmete é represetado pela letra C... Juros É defdo como a remueração pelo uso do captal ou o custo do dhero tomado emprestado. Geralmete é represetado pela letra J e seu valor, em um tervalo de tempo, pode ser obtdo pela dfereça etre o captal o fal do tervalo (M) e o captal o íco do tervalo...3 Motate J = M C Deoma-se Motate (M) a soma do captal (C) e do juro (J) que fo acordado a operação facera e que é devdo ao fal da mesma...4 Valor Presete M = C + J Valor Presete () é o valor de uma operação facera a data presete. É um valor termedáro etre o captal (C) e o motate (M), coforme pode ser observado a fgura... J C FV M (VN) 0 data atual - Tempo (períodos) Fgura..: Ilustração de cocetos báscos da Matemátca Facera: C,, FV, J e M. 5

6 Essa omeclatura se justfca para operações cadas o passado e que se prologam até uma data futura. Observe que, para uma operação facera cada hoje, o captal e o valor presete cocdem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utlzada como sôma de captal, apesar da dfereça cocetual exstete...5 Valor Futuro Valor futuro (FV) é o valor de uma operação facera em qualquer data compreedda etre a data presete e o vecmeto da operação, como pode ser vsto a fgura... De modo aálogo ao valor presete e ao captal, o valor futuro é, freqüetemete, tomado como sômo de motate...6 Taxa de Juros Taxa de juros () é a razão etre os juros recebdos (ou pagos) o fm de um período de tempo e o captal calmete empregado. Os Juros são fxados por meo de uma taxa percetual que sempre se refere a uma udade de tempo. As prcpas perodcdades das taxas de juros são: % a.d. Taxa de juros dára % a.m. Taxa de juros mesal % a.t. Taxa de juros trmestral % a.s. Taxa de juros semestral % a.a. Taxa de juros aual A taxa de juros de um determado período podem ser obtdos pela fórmula:..7 Valor Nomal J C Valor omal (VN) é o valor que está expresso o própro título ou operação facera. Pode ser tato o valor cal (captal), como o valor fal da operação (motate). Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao vés de valor omal. Um exemplo prátco da aplcação do termo Valor Nomal é a dfereça etre o valor omal de uma LTN (título prefxado) e de uma LFT (título pós-fxado). O Valor Nomal da LTN, também cohecdo como Valor Nomal o Vecmeto, é gual a R$.000,00. Já o valor omal da LFT é R$.000,00 a data base (que é uma data de refereca para o co da cotablzação do valor do título), e é atualzado daramete pela taxa SELIC. O valor da LFT atualzada até a data atual é chamado de Valor Nomal Atualzado (VNA). No caso do valor omal ser superor ao valor de emssão, dz-se que a colocação fo efetuada com descoto de emssão ou abaxo do par. Na stuação versa, dz-se que a colocação fo efetuada com prêmo de emssão ou acma do par. 6

7 ..8 Fluxo de Caxa Fluxo de Caxa de um projeto, vestmeto, ou operação facera é o cojuto de etradas e saídas de valores faceros ao logo do tempo. Covecoaremos que as etradas de caxa são valores postvos e as saídas de caxa são valores egatvos. Assm, o fluxo de caxa, pode ser represetado através do segute dagrama da fgura... + $ + $ + $ Tempo $ - Fgura..: Exemplo de dagrama de Fluxo de Caxa. As operações faceras são mas faclmete aalsadas quado são represetadas grafcamete por seus fluxos de caxa. Algus detalhes mportates sobre o dagrama de fluxo de caxa: valores faceros postvos (etradas de caxa) são represetados por setas vertcas para cma, equato os egatvos (saídas de caxa) são represetados por setas para baxo; valores em uma mesma data podem ser somados algebrcamete; valores em datas dferetes são gradezas que podem ser comparadas e somadas algebrcamete após serem movmetadas para uma mesma data, com a correta aplcação da taxa de juros; a escala horzotal represeta o tempo dvddo em períodos dscretos (pode estar expresso em das, semaas, meses aos, etc). O poto zero represeta a data cal e o o fal do prmero período; os tervalos de tempo são guas; A segur serão apresetados algus exemplos para cosoldação dos cocetos apresetados esse capítulo. Exemplo..: Um captal de $.000,00 rede juros de $ 50,00 em um ao. Qual a taxa de juros? Qual o Motate da operação? Desehe o dagrama de fluxo de caxa da operação. Solução: De acordo com o eucado da do exemplo, sabemos que o Capal (C) vale R$.000 e os juros (J) foram de R$ 50 o período () de aos. A taxa de juros pode ser obtda pela equação ,05 5% a. a. J C. Portato: 7

8 O motate (M) pode ser obtdo pela fórmula M = C + J. Portato: M = = R$.050,00 O dagrama de fluxo de caxa dessa operação facera pode ser represetado pela fgura..3: R$ Tempo em aos R$ 000 Fgura..3: Dagrama de Fluxo de Caxa da operação facera do exemplo... Exemplo..: Uma empresa precsa captar recursos para vestr o seu egóco. Ela obteve duas propostas: uma delas para receber R$ ,00 hoje e pagar R$40.000,00 após quatro meses; outra para receber hoje R$ ,00 e pagar R$ 3.000,00 daqu a quatro meses. Image que as duas propostas atedam as ecessdades da empresa. Qual a melhor proposta? Solução: O juro da prmera proposta é de R$ ,00 equato que o juro da seguda proposta é R$ 4.000,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são dretamete comparáves, porque suas bases cas são dferetes (R$ e R$ ); assm, tora-se dfícl verfcar qual a melhor proposta. Uma comparação mas efcaz pode ser feta se obtvermos a taxa de juros cobrada em cada uma das propostas. Proposta C = M = J = M C = = J C ,0 0% a. q. Proposta C = M = J = M C = = J C ,,% a. q. Comparado as duas propostas, a proposta possu a meor taxa de juros. Portato é a melhor proposta. Repare que a udade de tempo utlzada fo o quadrmestre. 8

9 . Regme de Captalzação Smples.. Juros Smples No regme de captalzação smples, os juros são gerados exclusvamete pelo captal (C) vestdo calmete. Como coseqüêca, o juro devdo em cada período de cdêca é costate. Os juros de uma operação facera com captalzação lear podem ser calculados pela fórmula: J =. C. Ode é o úmero de períodos da aplcação. O motate da aplcação pode ser calculado pela equação: M = C + J = C +. C. M = C ( +. ) Pela fórmula descrta aterormete, percebe-se que, o regme de juros smples, a remueração do captal (juro) é dretamete proporcoal ao valor do captal e ao tempo, e é devda somete ao fal da operação facera cosderada. Exemplo..: Para dar cotudade ao egóco, uma empresa solcta um empréstmo a um baco o valor de R$0.000,00 para pagar em uma úca parcela ao fal de cco (5) aos. O baco lhe forma que a lha de facameto opera com uma taxa de juros de 5% a.a. e em regme de juros smples. Qual o valor que deverá ser pago ao baco ao fal da operação? Solução: O dagrama de fluxo de caxa desta operação será: M 0 Tempo em aos R$ Fgura..: Dagrama de Fluxo de Caxa da operação facera do exemplo... O motate da operação pode ser obtdo pela fórmula: M = C ( +. ) Ode C = R$0.000,00; = 5% a.a. e = 5 aos. Repare que tato a taxa de juros, quato a perodcdade devem estar a mesma udade de tempo, esse caso aos. Substtudo os valores a fórmula: M = ( + 5 x 5%) = R$ 7.500,00 Apeas para lustrar, se o cálculo de juros fosse feto ao a ao, teríamos: 9

10 Ao Período Base de Cálculo SD k Juros J k = C. SDf k = SD k + J k J = C. = x 5% = J = C. = x 5% = J 3 = C. = x 5% = J 4 = C. = x 5% = J 5 = C. = x 5% = Total de Juros J = J + J + J 3 + J 4 + J 5 = (acumulado ao fal do período) Tabela..: Evolução dos juros da operação facera do exemplo... Note que o termo SD k represeta o saldo da operação o íco do período, equato SDf k represeta o saldo da operação ao fal do período. Aprovetado os resultados do exemplo.., A fgura.. lustra a evolução do captal do prmero ao quto período da operação facera. A partr da fgura, podemos trar algumas coclusões: M = C = J = Tempo (períodos) Fgura..: Evolução do captal da operação facera do exemplo... o captal cresce learmete com o tempo; o captal cresce em progressão artmétca de razão J = C. ; os juros só estarão dspoíves para o credor o fal da operação facera; a taxa de juros e o tempo deverão estar expressos a mesma udade de tempo. Assm, se a taxa de juros for expressa em aos (a.a.), o tempo deverá estar expresso em aos, se a taxa de juros for expressa em meses (a.m.) o tempo deverá estar expresso em meses e assm por date... Taxa Proporcoal Em juros smples, duas taxas e são proporcoas quado, ao serem aplcadas ao mesmo captal, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo motate: M = C ( +. ) e M = C ( +. ) Como, pela defção, M = M e C = C, teremos: C ( +. ) = C ( +. ) ( +. ) = ( +. ). =. devedo os tempos e estarem expressos a mesma gradeza. 0

11 Exemplo..: Coverta a taxa de juros de % a.a. em taxa de juros mesal, por proporcoaldade. Solução: Sabemos que: = % a.a; = ao; Portato: = ao = meses..3. Juro Comercal..% % a. m. É coveete, em algumas stuações, fazer uma dstção etre o ao cvl (365 das) e o ao comercal (360 das). Essas stuações ocorrem quado exste a ecessdade de se trabalhar com taxas de juros expressas em das. Algumas aplcações executam seus cálculos com base em taxas de juros dáras, mas expressam essas taxas de juros em termos mesas ou auas; portato, tora-se ecessára a utlzação de taxas proporcoas dáras e para o seu cálculo é obrgatóra a defção de uma base de cálculo: a) ao cvl de 365 das ou b) ao comercal de 360 das. A base de cálculo escolhda (360 ou 365 das) leva às defções de juros exatos (base 365 das) e juros comercas (base 360 das)..3.. Taxa de juros dára comercal A taxa de juros dára comercal dc é calculada dvddo-se uma taxa de juros expressa em ao a por 360 das (a base de cálculo é o ao comercal de 360 das):.3.. Juro comercal a dc 360 É o juro obtdo quado o período está expresso em das e se utlza para os cálculos a taxa de juros dára comercal e o prazo em das, de acordo com a expressão: J c = C* dc * expresso em das dc taxa de juros dára comercal Uma outra forma de expressar o juro comercal pode ser obtda assm: J c = C* dc * Combado as duas fórmulas: J c e C.. a 360 a dc 360 Exemplo.3.: Cosdere um vestmeto que promete remuerar o captal a 0% a.a., em regme de juros smples. Se o vestdor pretede mater o seu captal de R$.000,00 vestdo por 30 das, que motate receberá ao fal? Repare que a taxa de juros do exemplo acma é uma valor aual, equato o prazo aplcado está determado em das. As formações passadas o texto são: = % a.a.; = 30 das; C=.000,00 e M =?

12 Solução: Prmeramete, deve-se calcular a taxa de juros dára equvalete: d a a %. d. 0,033333% a. d. 360 Com base a taxa dára, podemos calcular o motate da operação: M = C*( + d *) =.000* ( + 0,033333%*30) = R$.00,00.4. Descotos descoto racoal e descoto comercal O problema do descoto surge quado o detetor de um título de crédto ecessta trasformá-lo em dhero ates da data do vecmeto; esse caso, ele poderá egocar com um agete facero que lhe atecpará um valor feror ao valor omal o vecmeto. A dfereça etre o valor omal do título e o valor pago por ele, uma certa data (ateror a data do vecmeto), é o que se chama descoto. Assm, ode: D = FV - D FV ou (VN) descoto valor omal do título (o vecmeto); valor atual do título (pago pelo Agete Facero). Esse coceto pode ser mas bem vsualzado a fgura.4.. A segur serão abordados dos tpos de descotos em regme de captalzação smples: o prmero é o descoto racoal ou por detro; o segudo é o descoto comercal ou por fora que também é deomado descoto bacáro. D D = FV - FV 0 Tempo (períodos) Fgura.4.: Dagrama represetado o coceto de Descoto..4. Descoto Racoal ou Descoto por Detro Defe-se o descoto racoal como o valor do juro gerado o tempo e à taxa de juros r, calculado sobre o valor omal. A segute omeclatura será adotada:

13 FV valor omal ou valor futuro; valor presete, valor atual ou valor descotado; r taxa de juros de descoto por período; tempo ou tempo de atecpação, em períodos (tempo que decorre etre a data do descoto e a data de vecmeto do título); D r descoto racoal ou por detro. Da defção de descoto racoal tem-se: D r = * r * Usado a equação acma e a própra defção de descoto (D r = FV - ), tem-se: D r = * r * = FV FV = + * r * FV = ( + r * ) ou = FV/ ( + r * ) Combado as expressões D r = * r * e = FV/ ( + r * ): D r = FV* r * / ( + r * ) Se você observar cudadosamete as fórmulas acma verá que o descoto racoal correspode ao juro smples (J) da operação proposta; em outras palavras, o descoto racoal se vale de todas as fórmulas vstas para juros smples, por operar exatamete esse regme. Exemplo.4.: Um título de valor omal de R$ 0.000,00 que vece daqu a 0 das é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto racoal smples e cobra juros de 5% a.m. (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebdo pelo detetor do título? Solução: O exercíco os forecesse as segutes formações: FV = 0.000; = 4 meses; = 5% a.m.. A Perguta é sobre o valor do descoto (D r ) e o valor recebdo pelo título (). Sabemos que D r = FV. Como o valor de FV é dado, se obtvermos o valor de, coseqüetemete chegaremos ao valor de D r. = FV/ ( + r * ) = / (+5% * 4) = 8.333,33 D r = FV = ,33 D r =.666,67.4. Descoto Comercal ou Descoto Bacáro ou Descoto por Fora O segudo modo de se operacoalzar o descoto de títulos é deomado de descoto bacáro, comercal ou por fora. Para se defr o descoto comercal será adotada a segute omeclatura: FV valor omal o vecmeto; valor atual ou valor descotado; c taxa de descoto por período; tempo ou tempo de atecpação, em períodos; D c descoto comercal ou por fora. 3

14 Defe-se o descoto comercal como o valor dos juros gerados o tempo, à taxa de descoto c, calculado sobre o valor omal FV do título. Da defção de descoto comercal tem-se: D c = FV * c * Usado a equação acma e a própra defção de descoto (D c = FV - ), tem-se: D c = FV * c * = FV = FV - FV * c * = FV * ( - c * ) ou FV = / ( - c * ) Combado as expressões D c = FV * c * e FV = / ( - c * ): D c = * c * / ( - c * ) Em descoto comercal a base de cálculo é o valor omal ou motate. Defdo desta maera, o descoto comercal ão segue o modelo puro do regme de captalzação smples. A taxa de descoto aplcada à FV descaracterza o regme de juros smples. Exemplo.4.: Um título de valor omal de $ 0.000,00, com vecmeto para 0 das é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto comercal smples e cobra juros de 5% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebdo pelo detetor do título? Solução: O exercíco os forecesse as segutes formações: FV = 0.000; = 4 meses; = 5% a.m.. A Perguta é sobre o valor do descoto (D c ) e o valor recebdo pelo título (). Sabemos que D c = FV. Como o valor de FV é dado, se obtvermos o valor de, coseqüetemete chegaremos ao valor de D r. = FV * ( - c * ) = * ( - 5% * 4) = 8.000,00 D r = FV = ,00 =.000,00 Aalsado os exemplos 3.4. e 3.4., é possível verfcar que, para mesmos valores de taxa, prazo e valor omal, o descoto comercal gera um valor de descoto maor que o descoto racoal (R$.000,00 > R$.666,67). Esse resultado será demostrado a segur. Cosdere o descoto de um título de valor omal (FV) pelos crtéros racoal e comercal. Pelo crtéro de descoto racoal, teremos: D r = FV* r * / ( + r * ), ou seja: FV = D r ( + r * ) /( r * ) Pelo crtéro de descoto comercal, teremos D c = FV * c *, ou seja: FV = D c / ( c * ) Cosderado que o valor omal é o mesmo (mesmo título descotado de dos modos dferetes): 4

15 Como por hpótese r = c = : D r ( + r * ) /( r * ) = D c / ( c * ) D c = D r ( + * ) Portato, o valor do descoto comercal (D c ) é maor que o valor do descoto racoal (D r ). Quado ldamos com o descoto comercal, aparece o coceto de taxa de juros efetva. A taxa efetva correspode à taxa de juros que, aplcada sobre o valor descotado (descoto comercal), gera o período cosderado um motate gual ao valor omal. No fal das cotas, a taxa efetva correspode a taxa de juros do descoto racoal que produz o mesmo valor presete () do descoto comercal. O valor dessa taxa de juros racoal (custo efetvo - f ) é dretamete depedete do prazo do descoto comercal, embora seja sempre superor à taxa de descoto comercal. FV c = c ( + f * ) Ode FV c e c são, respectvamete, o captal e o motate da operação de descoto comercal. 5

16 3. Regme de Captalzação Composta Como já fo aalsado aterormete, o regme de captalzação smples caracterza-se pelo fato de apeas o captal (C) reder juros, e esse ser proporcoal ao tempo e à taxa. No regme de juros compostos, o juro remuerado pela aplcação é corporado à mesma, passado a partcpar da geração de juros o período segute. Dzemos etão que os juros são captalzados. Como ão só o captal rede juros (os juros são devdos em cma de um valor que egloba captal e juros acumulados aterormete), temos o ome de juros compostos. O regme de captalzação composta é a forma de captalzação mas utlzada as prátcas faceras o Brasl. A tabela 3., costruída a partr do coceto básco de juros compostos, permte deduzr, por recorrêca, a fórmula geral deste regme de juros. Nessa tabela, os períodos de tempo estão apresetados a prmera colua (data), os saldos exstetes o íco de cada período (SD k ) estão apresetados a seguda colua, a tercera colua mostra a fórmula de cálculo dos juros e o resultado desse cálculo e a quarta colua mostra o saldo o fal de cada período (SD fk ). A costrução da quarta colua (SD fk ) obedece à fórmula básca da matemátca facera M = C + J, sedo o resultado da soma ordeada dos valores da seguda com a tercera coluas. As expressões fas que aparecem a colua 4 dcam a soma SD k + J k e o resultado de operações de fatoração algébrca. Data SD k Juros J k = C. p = SD k. p SDf k = SD k + J k C C. p C + C. p = C. (+ p ) C. (+ p ) C. (+ p ). p C. (+ p ) + C. (+ p ). p = C. (+ p ) 3 C. (+ p ) C. (+ p ). p C. (+ p ) + C. (+ p ). p = C. (+ p ) C. (+ p ) - C. (+ p ) -. p C. (+ p ) - + C. (+ p ) -. p = C. (+ p ) Tabela 3.: Exemplo de captalzação de juros em operação facera de juros compostos. Note que o termo SD k represeta o saldo da operação o íco do período, equato SDf k represeta o saldo da operação ao fal do período. Por recorrêca, o captal cal (C = ), ao fal de períodos de aplcação, a uma taxa de juros p ao período, gerará um motate (M) ou valor futuro (FV) de: M = C. (+ p ) O problema verso ao da captalzação é o descoto, ou seja, dado um determado motate (M) cohecdo, determar qual o valor do captal (C) a ele equvalete, para uma taxa de juros p e para o tempo a decorrer, expresso em períodos; a resposta é medata e decorre de: C = M / (+ p ) = M. (+ p ) - Deve-se observar que a taxa de juros utára p se refere ao período de captalzação e é, como se verá a segur, uma taxa efetva de juros. A fgura 3. lustra a evolução dos juros compostos o tempo. A omeclatura adotada em juros compostos será: : valor presete (ao vés de C) FV: valor futuro (ao vés de M) 6

17 M C M = C. ( + p ) C = M / ( + p ) Tempo (períodos) Fgura 3.: Evolução dos juros compostos o tempo. Exempo 3.: Calcular o motate de um captal de R$ 5.000,00 aplcado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% a.m., sabedo-se que a captalzação é mesal. Solução: O exemplo os forma os segutes parâmetros: = 5.000,00; = 6 meses e = 3% a.m.. Perguta-se qual o valor de. Sabemos que: FV =. (+ p ) = (+3%) 6 3. Taxa de Juros Equvalete FV = ,9405 = 5.970,5 Em juros compostos, duas taxas de juros são equvaletes quado ao serem aplcadas ao mesmo captal e pelo mesmo prazo, gerarem motates guas. Usado a defção de juros compostos: FV =. (+ ) e FV =. (+ ) Como FV = FV :. (+ ) =. (+ ) Como = : (+ ) = (+ ) O detalhe é que e devem estar a mesma gradeza. Assm, por exemplo, se tvermos uma taxa aual a e desejarmos achar sua taxa equvalete em das d (cosderado que um ao possu 360 das ao comercal), teremos: (+ d ) 360 = (+ a ) (+ d ) = (+ a ) /360 d = (+ a ) /360 - Calculado a taxa equvalete para dversas perodcdades (aual, semestral, mesal, etc): (+ a ) = (+ s ) = (+ t ) 4 = (+ m ) = (+ d ) 360 Utlzado o mesmo coceto apresetado o regme de captalzação smples, percebe-se que o regme de juros compostos, taxas de juros proporcoas ão 7

18 são equvaletes. Em coseqüêca, o prmero passo para se trabalhar este regme de juros é compatblzar taxas de juros e períodos de captalzação. 3. Taxa de juros efetva Uma taxa de juros é dta efetva, quado está expressa em udade de tempo gual à udade de tempo do período de captalzação. Assm, são taxas efetvas de juros:,5% a.m. com captalzação mesal; 4% a.t. com captalzação trmestral; 6% a.s. com captalzação semestral; e % a.a. com captalzação aual. Exemplo 3.. O govero braslero emte dívda através de títulos de dívda (títulos públcos) em dversos dexadores: SELIC (taxa de juros), IPCA (flação), prefxado, etc. Um dos títulos prefxados emtdos pelo govero são as NTN-Fs. Tratam-se de títulos que pagam juros semestras a taxa de 0% a.a. Calcule a taxa efetva deste título. Solução: O exemplo apreseta um título que provê remueração semestral a taxa de 0% a.a.. Para calcula a taxa efetva deste título, devemos aplcar a fórmula de taxa de juros equvalete: ( + s ) = ( + a ) ( + s ) = ( + 0%) + s = ( + 0%) / =,0488 s = 0,0488 = 4,88% Portato, em regme de juros compostos é ecessáro que se coheça a taxa de juros efetva, que é a taxa utlzada os cálculos. Isso exge a explctação do período de captalzação. 3.3 Taxa de juros omal Em juros compostos, uma taxa de juros é dta omal quado está expressa em udade de tempo dferete da udade de tempo do período de captalzação. Assm, são taxas omas de juros: 36% a.a. com captalzação trmestral; 0% a.t. com captalzação mesal e 0% a.s. com captalzação aual. A taxa omal, apesar de ser bastate utlzada o mercado, ão represeta uma taxa efetva. Portato estas ão devem ser utlzadas dretamete os cálculos. A taxa que deve ser utlzada é a taxa efetva mplícta a taxa omal utlzada. Essa taxa efetva é calculada de forma proporcoal, com a utlzada em juros smples. Por exemplo, a taxa efetva mesal oruda de uma taxa omal de % a.a. é:. =.. =. % = % a.m. 3.4 Descoto em Juros Compostos Em juros compostos utlza-se mas freqüetemete o modelo de descoto racoal, sto é, aquele em que a base de cálculo dos juros é o valor presete (). 8

19 3.4. Descoto racoal ou Descoto real A omeclatura utlzada o estudo do descoto racoal em juros compostos será: captal ou valor presete; FV motate ou valor futuro; taxa de juros efetva por período; D r descoto racoal; e, úmero de períodos. A fgura 3.4. descreve com é realzado o descoto racoal. r D r = FV - D r FV Tempo (períodos) Fgura 3.4.: Dagrama lustrado o Descoto Racoal para captalzação composta. Combado a defção de descoto com a fórmula de juros compostos, teremos: Se usarmos a fórmula = FV / (+) D r = FV e FV =. (+) D r =. (+) D r =. [(+) ] D r = [FV / (+) ]. [(+) ] D r = FV. [ (+) ] / (+) Exercíco 3.4.: Um título de valor omal R$ 0.000,00 fo descotado ses meses ates do seu vecmeto. Sabedo que a taxa de juros é % a.m., qual o valor presete recebdo em modelo racoal? Qual o valor do descoto? Solução: As formações forecdas o exemplo são: FV = 0.000,00; = 6 meses; = % a.m. As pergutas são: quas os valores de e D r? Sabemos que: FV=.(+) e, coseqüetemete, = FV /(+). Portato: 3.4. Descoto Comercal = FV / (+) = / ( + %) 6 = 7.759,43 D r = FV = ,43 =.40,57 O descoto comercal em juros compostos é pouco utlzado a prátca. O descoto por fora cosste a aplcação sucessva da taxa de descoto ( d ) sobre o valor omal do título (FV), o qual é deduzdo, em cada período, dos descotos obtdos os períodos aterores. 9

20 Valor Aplcado essa defção em forma versa, sto é, voltado da data de vecmeto do título para a data do descoto, obtém-se as segutes expressões: para o prmero período: FV FV * ( - ) para o segudo período: para o -ésmo período: FV d FV * ( - d ) [ FV* (-d )]* (-d ) FV* (-d ) FV ) - FV- * ( - d ) [ FV* (-d ) ]* (-d ) FV* (-d Em resumo, o valor presete é expresso pela segute equação: FV* (- d ) Cohecdo o valor presete () pode-se determar o valor do descoto comercal que é dado pela segute fórmula: Dc FV FV FV* ( -d ) D FV[ ( c d ) ] 3.5 Comparação etre os Regmes de Captalzação Smples e Composto Em geral as pessoas acham que, adotado as mesmas premssas de captal, taxa de juros e prazo, os juros compostos, por ser acumulatvo, sempre superam os valores dos juros smples. Mas sso ão é de todo certo. Se aalsamos com ateção o gráfco da fgura 3.5., podemos otar que, para prazos ferores a período, o regme de captalzação smples supera o composto. Juros Smples Juros Composto , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Fgura 3.5.: Gráfco com um exemplo comparado a evolução do valor futuro em captalzação smples e em captalzação composta. Prazo Esta mesma coclusão pode ser obtda aaltcamete: Por juros smples, temos que: FV s = ( + ) Por juros compostos, temos que FV c = ( + ) Para 0, temos que ( + ) > ( + ), e portato FV s > FV c Para =, temos que ( + ) = ( + ), e portato FV s = FV c Para, temos que ( + ) > ( + ), e portato FV c > FV s 0

21 4. Séres Peródcas Uformes Prestações Iguas Séres Peródcas Uformes, também chamadas de Redas Certas, são a base para os prcpas modelos de facametos de dívdas exstetes o mercado e as relações exstetes etre o valor presete, os pagametos e o valor futuro de uma reda. Cosste em uma sucessão de pagametos (ou recebmetos) guas. Bascamete, essa estrutura de pagametos substtu o valor de um úco pagameto o vecmeto. A fgura 4. lustra esse coceto Fgura 4.: Exemplo de sére uforme ou audade. As Redas Certas podem ser dvddas em séres postecpadas, séres atecpadas e séres dferdas. Nas séres postecpadas, os pagametos (ou recebmetos) ocorrem o fm de cada período, e ão a orgem. Nas séres atecpadas, os pagametos são fetos o íco de cada período. Nas séres dferdas, o período de carêca costtu-se em um prazo que separa o íco da operação do período de pagameto da prmera parcela. Em todos os casos apresetados, o cojuto dos pagametos costates () é equvalete ao captal o íco ou ao motate o fal da operação. A relação básca de juros compostos (FV = ( + ) ) cotua válda. As fguras 4., 4.3 e 4.4 lustram os três tpos de redas certas. FV Tempo (períodos) Fgura 4.: Exemplo de sére postecpada. FV Fgura 4.3: Exemplo de sére atecpada. Tempo (períodos)

22 FV Carêca m 0... m m+ m+... m+(-) m+ Fgura 4.4: Exemplo de sére dferda. Tempo (períodos) Para facltar osso estudo, a segute omeclatura será utlzada esse capítulo: valor dos termos da reda devdo em cada período; úmero de pagametos da reda; m período de dfermeto da reda (carêca); taxa de juros efetva de cada período; valor da reda a data focal 0; e FV valor da reda a data focal (m + ). 4. Reda Postecpada O úmero de termos da reda é fto, seus termos tem valor gual, são peródcos e devdos ao fal de cada período. A segur lhe são mostradas as relações etre e e etre FV e para este tpo de reda. 4.. Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Será apresetado o modelo básco de reda represetado a fgura 4.., evdecado a relação exstete etre o seu valor presete () e o valor dos seus termos da reda (), de e de. Descotado para a orgem (t = 0) Tempo (períodos) Fgura 4..: Exemplo de sére postecpada e sua relação com o valor presete da operação. O valor presete equvalete dessa reda ada mas é do que a soma dos valores de todos os termos descotados para a orgema (data 0) por uma dada taxa de juros, coforme mostra a equação a segur:

23 3 O termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é e últmo termo. Sabemos que a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca fta é dada por: q q a a S Ode a é o prmero termo da soma a é o últmo termo da soma q é o fator de progressão geométrca Portato, o valor de fca: Chamado de a %;, teremos: a %; Observe a expressão acma: ela mostra a relação etre o valor atual da reda () e o valor de cada termo da reda () em fução de e de.

24 Exemplo 4.. Uma mercadora cujo valor à vsta é R$.350,00 fo facada em quatro prestações, mesas, guas e sucessvas com o prmero pagameto se dado trta das depos da compra. Qual o valor das prestações mesas devdas se a loja operar com taxa de juros de 5% a.m.. Solução Este exemplo descreve uma reda postecpada. Pelo exercíco, sabemos que: = 500; = 4 e = 5%. O prmero pagameto se dá um mês após a data 0, ou seja, a data , , % 4 5% 5% 4, Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) De maera aáloga ao tem ateror, você poderá cohecer, para este modelo básco de reda, a relação que exste etre o valor dos termos da reda () e o respectvo motate (FV) para um dado par de valores [;]. O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caxa ada mas é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da audade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos captalzados para a data focal para uma dada taxa de juros. Uma forma mas smples de se obter esse valor é aprovetar a equação do valor presete () e captalzá-lo até a data. Portato: e FV Substtudo: FV FV Chamado de S %;, teremos: FV S%; 4

25 5 4. Reda Atecpada A determação da relação etre valor dos pagametos e valor atual pode ser feta de modo aálogo ao vsto em redas postecpadas, sto é, com o racocío de que o valor presete da reda é a soma dos valores de todos os pagametos devdamete descotados para a data focal Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Tempo (períodos) Descotado para a orgem (t = 0) Fgura 4..: Exemplo de Reda Atecpada. Fazedo os descotos dos pagametos () e somado-se os valores tem-se: 0 0 Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é ( 0 = ) e últmo termo. Aplcado a fórmula da soma fta de termos de uma progressão geométrca:

26 a %; Se você comparar esta fórmula com aquela deduzda para o modelo postecpado, va perceber que elas são muto semelhates e dferem apeas pelo fator ( + ). Itutvamete, aalsado-se os gráfcos das redas atecpada e postecpada, otamos que a reda postecpada é gual a reda atecpada deslocada um período para dreta. Como dhero tem valor o tempo, para deslocarmos todos os fluxos (s) para a dreta, devemos multplcá-los por ( + ). Esse é o motvo do surgmeto do termo ( + ). Usaremos essa tução apresetada aqu para deduzr as fórmulas do modelo dferdo (com carêca). 4.. Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caxa ada mas é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da audade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos captalzados para a data focal para uma dada taxa de juros. Uma forma mas smples de se obter esse valor é aprovetar a equação do valor presete () e captalzá-lo até a data. Portato: e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV S%; Se o desejo for obter o valor futuro a data -, teremos: e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV S%; Exemplo 4.. Cosdere uma reda atecpada costtuída por uma sére de 4 pagametos mesas, guas e sucessvos, o valor de R$ 5.000,00. Determe o captal e o valor futuro o mês 3 dessa reda para uma taxa de juros de 3% a.m.. 6

27 Solução: Sabemos que: = 5.000; = 4 meses; = 3% a.m.; =?; FV =? 3% 3% % = R$ 8.585,49 4 3% 3% ,77098 FV ,49 3% R$ 0.308, Reda Dferda Aalsado-se a fgura 4.3., percebe-se que, com algus ajustes, podemos tratar a reda dferda como se fosse uma reda postecpada. Descotado para 0 m Captalzado para (+m) FV 0... m- m m+ m+... m+j... m+- m+ Dfermeto - m Fgura 4.3.: Exemplo de reda dferda. Tempo (períodos) 4.3. Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Segudo a lha tutva, percebe-se que, para torar uma reda dferda em reda postecpada, deveríamos deslocar os s m vezes para a esquerda a lha do tempo. Como já abemos, toda vez que adamos a lha do tempo para a para cada período adado. A ova reda esquerda, devemos usar o fator dfererda fcara: d Ode d são os pagametos deslocados o tempo para torar a reda dferda em reda postecpada. Para que os s de uma reda dferda ocorram os prazos de uma reda postecpada, deveremos deslocar m períodos para a esquerda: Substtudo: d m m 7

28 Após algum algebrsmo: a %; m a%; m 4.3. Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Obtdo o valor de podemos captalzá-lo até chegar-se ao valor de FV: m m e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV m m FV S%; Exemplo 4.3.: Cosdere uma compra facada em quatro pagametos mesas, guas, sucessvos, postecpados e costates o valor de $ 5.000,00. Cosderado-se uma carêca de meses e uma taxa de juros de 4% a.m., determe qual o valor a vsta da compra efetuada e qual o valor futuro desta operação ao fal dos 6 meses. Solução: = 5.000; = 4 meses; m = meses; = 4% am; =? FV =? FV m 4% 4% % 4 4% 4% , , m , 4%.3, Carêca m = Tempo (meses) 4.4 Reda Perpétua São as redas cujo úmero de pagametos é fto (ou, em casos prátcos, é muto grade). Nesse caso, só há teresse em determar a relação etre o valor presete da reda e a reda peródca assocada. A fgura 4.4. mostra um exemplo de uma reda perpétua

29 9 Fgura 4.4.: Exemplo de reda perpétua. O valor presete de uma reda perpétua postecpada pode ser defdo por: Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é. Sabemos que a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca fta é dada por: q a S Ode a é o prmero termo da soma; q é o fator de progressão geométrca. Esta relação pode ser estedda para séres que, ao vés de pagametos costates o tempo, apresetam pagametos crescetes a uma taxa costate (em geral esta taxa é deomada com g), porém este crescmeto deve ser meor que a taxa de descoto aplcada. Estededo este ovo coceto: 3 3 g g g g Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator g, cujo prmero termo da soma é. Aplcado a fórmula da soma das parcelas de uma P.G fta: g g g g g

30 As duas relações apresetadas este tem são muto útes em algumas aplcações prátcas mportates, como em cálculos atuaras e avalação de empresas (valuato). Exemplo 4.4.: Uma ação promete pagar dvdedos de R$ 6,50 ao ao. Estmado-se que os dvdedos cresçam a uma taxa costate de 4% a.a.. calcular o valor da ação se o custo de oportudade do captal for de 5% a.a.. Cosdere os dvdedos como uma perpetudade. Solução: Iformações proveetes do exemplo: = 6,50; g = 4%; = 5%. Apeas como formação extra, uma das maeras de se calcular o preço de uma ação é descotado-se o valor esperado dos dvdedos pagos durate a exstêca da empresa. Portato, o exemplo quer saber o valor de. g 6,50 5% 4% 6,50 % R$59,09 5. Sstemas de Amortzação Um sstema de amortzação ada mas é do que um plao de pagameto de uma dívda. Em geral, esses plaos de pagameto são baseados os modelos de redas estudados o capítulo ateror. Detre os dversos plaos de pagameto, cada pagameto () costuma clur: juro do período (J k ), que é calculado sobre o saldo da dívda o íco do período(sd k ); amortzação do prcpal (A k ), que correspodete ao pagameto parcal ou tegral do prcpal da dívda. Com essas cosderações, os pagametos () esses sstemas de amortzação obedecem, de modo geral, à segute relação: = J k + A k (k é o período a que se refere o pagameto). 5. Sstema de Amortzação Fracês ou Tabela prce Também cohecdo como sstema de prestações costates, caracterza-se por pagametos de prestações guas, peródcas e sucessvas. É o sstema mas utlzado pelas sttuções faceras e comérco em geral. Como os juros cdem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decrescem a medda que as prestações são pagas, eles são decrescetes, e, coseqüetemete, as amortzações são crescetes. Você pode ver a fgura 5.. o modelo geral desse tpo de sstema de amortzação. 30

31 = SD = A+J = A+J = A+J 0... Tempo (períodos) Fgura 5..: Exemplo de sstema de amortzação do tpo Tabela Prce. O captal ou prcpal será deomado ou SD e o valor dos pagametos será deomado, sempre que os pagametos forem costates. É possível determar o saldo devedor (SD k ), a parcela de juros e a amortzação em cada período de tempo. Utlzado a fórmula de redas certas postecpadas, a parcela de pagameto de dívda () pode ser obtda por: O prmero valor de juros da operação pode ser obtdo por: J J SD J A prmera amortzação será: A O prmero Saldo devedor, como já hava sdo mecoado, era gual a. O saldo devedor cal do segudo período (que é gual ao saldo devedor fal do prmero período) é gual ao saldo devedor do prmero período meos o valor amortzado: SD SD f SD A O saldo devedor cal o período ( SD ) fo o que restou da dívda o período. O cálculo do juros o segudo período ( J ) deve ser baseado o ovo saldo devedor ( SD ). Esse tpo de cálculo deve ser executado até o pagameto da últma parcela da dívda, obtedo-se todos os valores de juros e amortzação em cada período. As fórmulas para cálculo de saldo devedor, juros e amortzação em cada um dos períodos são dadas a segur: A J k k k k 3

32 SD fk k Observações: A k e J k são os valores da amortzação e dos juros cotdos a k-ésma parcela, SD fk é o saldo devedor exstete medatamete após o pagameto da k- ésma prestação; em outras palavras, é o saldo devedor fal do período k e saldo devedor cal do período k+. A segur será dado um exemplo para cosoldar o etedmeto do fucoameto do sstema fracês de pagametos. Exemplo 5..: Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago em quatro prestações auas sucessvas postecpadas, para o qual se covecoou uma taxa de juros efetva de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. Solução: Pelo eucado: = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? % 0% 3.54,70 4 0% Para motar o quadro geral, teremos que calcular o valor do saldo, juros e amortzação para os quatro períodos em questão: SD = = 0.000,00 SD % J.000 A J 3.54, ,70 SD SD A , ,30 SD f SD f 7.845,30 J SD 7.845,300% 784,53 A J 3.54,70 784,53.370,7 SD SD A 7.845,30.370, ,3 SD f 3 SD f 5.475,3 J 3 SD ,30% 547,5 A J 3.54,70 547,5.607,9 3 3 SD f 3 SD 3 A ,3.607,9 SD 4 SD f 3.867,94 J 4 SD 4.867,940% 86,79 A 4 J ,70 86,79.867,9 SD f 4 SD 4 A4.867,94.867,9 0,03.867,94 0 3

33 O quadro demostratvo fca: A k = - J k SDf k = SD k - A k , ,00.000,00.54, , , ,30 784,53.370, , , ,3 547,5.607,9.867, ,70.867,94 86,79.867,9 0,03 0 Período SD k J k = SD k. 5. Sstema de Amortzação Costate SAC Nos modelos aterores, os pagametos (prestações) eram costates. Neste sstema de amortzação os pagametos são decrescetes o tempo e são compostos, de modo aálogo aos casos aterores, por dos elemetos: amortzação (A) costate ao logo de todo o plao de pagametos; juro (J), calculados sobre os saldos devedores dos períodos medatamete aterores. O pagameto ou reda devdo em cada período é: = J k + A k = = J k + A O valor das amortzações costates A pode ser obtdo dvddo-se o saldo cal SD (ou ) pelo úmero de parcelas : A k A SD Observe que este sstema o que permaece costate é a parcela de amortzação, equato que o Sstema Fracês o que permaece costate é o valor da prestação. Mas uma vez, vamos descrever o modelo postecpado de pagametos. Segudo a lógca que fo abordada o Tabela Prce, os juros, os saldos cas e fas e as parcelas podem ser obtdos por: J k SD SD k k SD k A SD fk k k J k A Geeralzado as fórmulas: SD k SD fk k J k k A k J k k k k 33

34 Observação: J k é uformemete decrescete em k; k é uformemete decrescete em k; No sstema do tpo dferdo, a dfereça resde o fato do saldo devedor ser captalzado durate o período de carêca. A segur será dado um exemplo para cosoldar o etedmeto do fucoameto do sstema de amortzação costate. Exemplo 5..: Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago pelo SAC em quatro prestações auas sucessvas postecpadas, para o qual se covecoou uma taxa de juros de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. Solução: Pelo eucado: = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? A ,00 Para motar o quadro geral, teremos que calcular o valor do saldo, juros e parcelas para os quatro períodos em questão: SD 0.000,00 SD % J.000 A A.500,00 A j 3.500,00 SD SD A ,00 SD f SD f 7.500,00 J SD 7.500,000% 750,00 A A.500,00 A j 3.50,00 SD SD A 7.500,00.500,00 SD f 3 SD f 5.000,00 J 3 SD ,000% 500,00 A 3 A.500,00 A j 3.000, , ,00 SD f 3 SD 3 A ,00.500,00.500,00 SD 4 SD f 3.500,00 J 4 SD 4.500,000% 50,00 A 4 A.500,00 34

35 SD SD 4 A4 j4.750,00 f 4 4 A4.500,00.500,00 O quadro demostratvo fca: Período A k = J k = SD k. / SD k SDf k = SD k - A k 0.500,00.000, , , ,00.500,00 750, , , , ,00 500, , ,00.500, ,00 50,00.750,00.500, Sstema Amercao 0 No sstema amercao, o prcpal é pago de uma só vez ao fal do prazo do empréstmo, e o juro devdo é pago perodcamete. A fgura 5.3. lustra o modelo. = SD = +J = J = J - = J Tempo (períodos) Fgura 5.3.: Exemplo de sstema amercao. O juro devdo em cada período é costate; o vecmeto da operação são pagos o prcpal e a últma parcela do juro. Os juros, a amortzação e as parcelas podem ser obtdos por: J k A A A 0 A J Exemplo 5.3. Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago pelo sstema amercao em quatro prestações auas, para o qual se covecoou uma taxa de juros efetva de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. 35

36 Solução = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? J k A A A % A A4 J O quadro demostratvo fca: Período A k J k = SD k. SDf SD k = SD k - k A k ,00.000, , , ,00.000, , , ,00.000, , , ,00.000,00.000, , Iflação A flação é um desajuste de ordem ecoômca que se reflete em um processo de aumeto geeralzado de preços de produtos e servços. A flação cra uma sére de problemas de ordem prátca (a par dos problemas de ordem socal), algus dos quas estão lstados abaxo: dfculta o plaejameto facero em todos os íves; tora lusóros os regstros cotábes e as projeções ecoômco-faceras deles decorretes; cra um mposto flacoáro a medda em que trbuta lucros fctícos; dfculta as operações do mercado facero ao troduzr uma compoete de prevsão certa, além de outros. Para corrgr essas dfculdades e mmzar os problemas de ordem socal, craramse mecasmos de dexação ecoômca que serão, em parte, estudados este capítulo. 6. Ídce de Preços Um ídce de preços é um úmero ídce estruturado e costruído para medr a mudaça que ocorre os preços de bes e servços em um dado período de tempo e que toma como base o úmero 00. Esses ídces são compostos sob crtéros metodológcos específcos e tomam como referêca uma cesta básca de cosumo de bes e/ou servços que satsfaçam a uma determada ecessdade. É possível costrur ídces a partr de cesta básca de costrução cvl, de almetos, de cosumo de famílas que pertecem à determada faxa de reda e outras. 36

37 Para o etedmeto do fucoameto do processo vamos utlzar a tabela 6.. de ídces de preços. Mês \ Ao Ja - 08,0 44,3 Fev - 0,0 46,8 Mar -,49 48,54 Abr - 3,0 5, Ma 00,00 4,45 54,45 Ju 0,33 6,34 - Jul 0,45 0,40 - Ago 03,60 4,53 - Set 04, 3,63 - Out 05,08 35,6 - Nov 05,99 39,38 - Dez 06,79 4, - Tabela 6..: Exemplo de sére de ídce de preços. Se você observar a lha do mês de mao para os três aos, ecotrará os valores 00; 4,45 e 54,45. Isto sgfca que, para comprar a mesma cesta básca de bes, você precsou de 00 udades moetáras em mao de 009, de 4,45 em mao de 00 e de 54,45 em mao de 0. O dhero perdeu valor porque você precsa de maor quatdade dele para comprar a mesma cesta. 6. Ídce e taxa de flação (ou de correção moetára) O ídce de flação etre os períodos j e m (tomado como base) é dado por: I j / m IP IP j m IP j ídce de preço do mês j, e IP m ídce de preço do mês m. Se você quser saber o ídce de flação etre outubro de 00 e mao de 0, basta fazer a relação etre os úmeros ídces correspodetes, da segute maera: I IP 54,45 35,6 ma0 ma0/ out00 IPout 00,389 O que Sgfca dsto? Os preços de mao de 0 são,389 vezes mas elevados que os preços de outubro de 00; em outras palavras: Preços de ma0 =,35*Preços de out00. A taxa de flação () pode ser calculada a partr do ídce de flação (I), do segute modo: I = ( + ) Observe que os valores da tabela são fctícos, ão refletdo a evolução de qualquer ídce de flação exste. 37

38 Para o período cosderado (out 0 a ma ) a taxa de flação fo:,35 = + = 0,35 ou,35% a.p. Exemplo 6.. Supoha um empréstmo tomado em mao de 009 o valor de R$ 0.000,00 a serem pagos 90 das depos (agosto). Qual o valor corrgdo da dívda? Solução o ídce de correção para o período é dado pela relação etre: IP ma = 00 e IP ago = 03,60 I ago/ma = 03,60/00 =,0360 Valor da dívda em agosto de 009 = 0.000*,0360 = 0.360,00 Os dcadores moetáros utlzados pelos goveros são atualzados permaetemete por algum dos ídces de flação calculados por sttuções específcas, a exemplo do IBGE, da FIPE, da FGV e outras. Em geral, o Govero Federal arbtra um ídce que é utlzado para a correção moetára de balaços e obrgações prevdecáras e fscas. Nos das de hoje, a correção moetára ofcal é feta pela taxa referecal de juros (TR). Em operações partculares há lberdade para se fxar ídces de correção dferecados. 6.3 Taxas de juros aparete (ou omal) e real Ao se cosderar a flação, tem-se um complcador os cálculos faceros, porque há duas taxas a serem cosderadas: a taxa de flação ou correção moetára e a taxa real de juros. Chamado C = captal cm = taxa de correção moetára ap = taxa de juros aparete (egloba a flação e a taxa de juros real) r = taxa de juros real (cosderado a moeda costate) O motate aparete (juros mas correção moetára) desse captal em um período será; M = C * ( + ap ) Outra forma de se calcular esse motate é separar a correção moetára da captalzação de juros; assm: a) corrgr o captal pela taxa de flação, C # = C * ( + cm ) b) proceder a captalzação do captal corrgdo pela taxa de juros real, M = C # * ( + r ) = C* ( + cm ) * ( + r ) 38

39 Comparado-se as expressões, tem-se: ( + ap ) = ( + cm ) * ( + r ) Esta fórmula permte a você relacoar as três taxas cosderadas: a aparete, a real e a de correção moetára. Exemplo 6.3.: Em um ao o qual a flação fo 0%, uma aplcação de R$ 0.000,00 lhe redeu R$ 3.000,00. Qual fo o seu gaho real descotada a flação? Solução: A taxa de juros omal pode ser calculada aplcado-se a fórmula: ap C J % ap 30% r,0833 r 0% cm 8,33% Gaho Re al % , Ídce de correção moetára como flator e como deflator Sempre que você se deparar com uma sére temporal de valores faceros, em regme flacoáro, terá a ecessdade de reduz-la a valores faceros equvaletes para aalsar a sua evolução real. Cosdere a sére temporal abaxo, correspodete ao faturameto de uma empresa fctíca: Data Receta (R$) Ja ,00 Fev ,00 Mar ,00 Abr0.8.00,00 Ma ,00 Para se cohecer a evolução real do faturameto da empresa, os úmeros devem ser ajustados para refletr o mesmo poder de compra, levado em cota a flação verfcada o período. Os dversos valores umércos são trasformados para uma úca data de referêca, utlzado-se os ídces de flação ou de correção moetára. Os procedmetos padrozados para realzar esse ajuste são: a) coverter os valores das recetas da empresa para valores de jaero de 0 deflacoado os valores mas recetes. Isto correspode a utlzar o ídce de correção moetára como deflator. b) coverter os valores das recetas da empresa para valores de mao de 0 flacoado os valores mas atgos para a data mas recete. Isto sgfca utlzar o ídce de correção moetára como flator. 39