3. Porcentagem; 4. Problemas sobre custo e venda; 5. Fator de capitalização e taxa unitária.

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1 1 UTOR: Emeta Luz Herque M da Slva 1 Defções de razão e proporção, propredades; Graduado em Matemátca e habltado em ísca pelo UNIEB 2 Gradezas dretamete proporcoas e versamete proporcoas, Regra de três; 3 Porcetagem; Especalsta em Educação Matemátca pela aculdade São 4 Problemas sobre custo e veda; 5 ator de captalzação e taxa utára Luís 6 créscmos e descotos Percetuas smples e Sucessvos; Mestre em Matemátca pela Uesp (SJRP) IBILCE PROMT (SBM) /CPES Programa de Matemátca em rede Nacoal - Área: Eso de 7 Juros smples e compostos; 8 Taxa omal e taxa efetva; 9 Sere uforme e perpetudade; 10 Descotos smples: racoal; descoto comercal, descoto bacáro; 11 Descotos compostos: racoal e Comercal; Matemátca 12 Sstemas de amortzação: SC e Tabela Prce; everero Bblografas (Sugestão de Estudo) - Báscas: ssaf Neto, lexadre Matemátca acera e suas aplcações 11a ed São Paulo, ed tlas, 2009 Crespo, tôo rot Matemátca acera ácl 14a ed São Paulo: Sarava, 2009 Complemetares: Samaez, Calos Patrco Matemátca acera (plcações à aálse de vestmetos), 4ª Edção, Ed Perso Educato, 2009 Lma, Elo Lajes, e outros matemátca do Eso médo, 6a ed Ro de jaero, SBM, volume 2, 2006 UNIEB Barretos/ SP

2 2 SUMÁRIO 1 RZÃO E PROPORÇÃO 5 11 Razão 5 12 Proporção 5 tvdade 1 Razão e Proporção 6 2 GRNDEZS DIRETMENTE E INERSMENTE PROPORCIONIS 7 21 Gradeza 7 22 Gradezas Dretamete Proporcoas 7 23 Gradezas Iversamete Proporcoas 8 tvdade 2 Regra de Três Smples e Composta, Dreta e Iversa 8 3 Porcetagem (ou percetagem) 9 31 Taxa utára 9 tvdade 3 - Porcetagem 9 4 umetos e descotos Percetuas smples ator de Captalzação ator de descaptalzação umetos (créscmos) percetuas smples 10 tvdade 4 umetos e Descotos Percetuas smples 11 5 umetos e descotos percetuas sucessvos umetos (créscmos) percetuas sucessvos Descotos (batmeto) percetuas sucessvos 12 tvdade 5 umetos e descotos Percetuas sucessvos 13 6 Operações sobre mercadoras Itrodução Cálculos de lucro ou prejuízo edas com lucro edas com lucro sobre o preço de custo edas com lucro sobre o preço de veda edas com prejuízo edas com prejuízo sobre o preço de custo edas com Prejuízo sobre o preço de veda 17 tvdade 6 Operações sobre mercadoras 17

3 3 7 Sstema de Captalzação Regme de Juros Itrodução Udade de medda Taxa de juros Dagrama de captal o tempo Coveções empregadas Tpos de sstemas de Captalzação ou Regme de Juros 19 8 Sstema de Captalzação Smples Regme de Juros smples 20 tvdade 7 Juros Smples 21 9 Sstema de Captalzação Composto Regme de Juros Compostos Cálculo do valor futuro ou motate Cálculo do valor atual Dagrama de juros smples x Juros compostos 23 tvdade 8 Juros Compostos Taxa de Juros Taxa de juros omal Taxa Efetva Taxa Over (Taxa por da útl) 27 tvdade 9 Taxa de Juros Letura Complemetar Taxa real, aparete e de flação Cálculo das taxas real, aparete e de flação Sére Uforme e Reda Perpétua Itrodução Sére de pagametos Tpos de sére de pagameto Séres peródcas uforme Reda Perpétua 32 tvdade 10 Séres Uforme e Reda Perpétua Letura complemetar - Redas certas ou audades Operações de curto prazo - Operações faceras com Descoto Smples 36

4 4 121 Itrodução Descoto Racoal Smples (Descoto por detro) Descoto Comercal Smples (Descoto por fora) Descoto Comercal bacáro Letura complemetar 38 tvdade 11 Descoto Smples Operações de logo prazo Operações faceras com Descoto Composto Itrodução Descoto racoal composto Descoto Comercal composto 42 tvdade 12 Descoto Composto Sstemas de mortzação de Empréstmos e acametos Itrodução Cocetos báscos Sstema de mortzações Costates SC 45 tvdade 13 Sstema SC Sstema de mortzações racês Tabela Prce 48 tvdade 14 Sstema de mortzação racês 50 Referêcas Bblográfcas 51

5 5 1 RZÃO E PROPORÇÃO 11 Razão Defção 1: Dados dos úmeros reas a e b, defe-se a razão de a para b por: a b ( b 0) Ode a é chamado atecedete e b cosequete Observação 1: razão é usada a comparação de gradezas Exemplo: razão etre a atura de Pedro e Paulo é 2/3 12 Proporção Defção 2: Dados os úmeros reas a,b,c e d ode a esta b assm como b esta pra c, defe-se a segute proporção: a b c d k sedo k a costate de proporcoaldade ( b, d 0), a1 a2 a3 a Geeralzado: k ( b 0; 1,2,3,) b b b b 1 2 Observação 2: Uma proporção pode ser etedda como sedo uma gualdade etre duas ou mas razões a c Proposção 1: Defda a proporção k ( b, d 0), ou b d a b c d k ( b, d 0), etão: b c a d 3 Ou seja, o produto dos meos da gualdade é gual ao produto dos extremos da mesma a c Prova: Defda a proporção k ( b, d 0),etão temos: b d a b c d Da, por I e II, temos: k b a k ( k 0) k c k d II a b c k d b c a d (cqp) k I

6 6 a c Proposção 2: Defda a proporção k ( b, d 0), etão: b d a c b d a b c d k ( b, d 0) Prova: Provaremos apeas a adção, pos a subtração é aáloga a c Defda a proporção k ( b, d 0),etão temos: b d a k a k b I b c d Da, por I e II, temos: k c k d II a c a c kb k d k( b d) k III b d Comparado I e III coclu-se que: a c b d a b k alogamete, para II e III, temos: a c b d c d k a c a c Portato, de I e coclu-se que: k ( b, d 0) b d b d a1 a2 a a1 a2 a Geeralzado: k ( b 0; 1,2,3,) b b b b b b I 3 1) razão etre dos úmeros é 5 tvdade 1 Razão e Proporção o meor deles é 6 Qual é o maor? 2) razão de um úmero x para um úmero y é 4 Qual a razão de y para x? 3) Determe o valor de x e y em cada tem: a ) x y x 4 b) 15 y 2 3 4) Dos úmeros somados totalzam 510 Sabe-se que um deles está para 8, assm como o outro está para 9 Quas são os dos úmeros? 5) Um úmero a subtraído de um outro úmero b resulta em 54 a está para 13, assm como b está para 7 Qual o valor de a e de b?

7 7 2 GRNDEZS DIRETMENTE E INERSMENTE PROPORCIONIS 21 Gradeza Defção 3: Cosdera-se como sedo uma gradeza, algo que possa ser meddo e comparado a algo de mesma atureza Exemplo: ltura, largura, espessura, área, volume, etc 22 Gradezas Dretamete Proporcoas Defção 4: Duas ou mas gradezas são dtas dretamete proporcoas, quado exste uma costate de proporcoaldade k, ode: a1 a2 a3 a k ( b 0; 1,2,3,) b b b b Exemplo: Um carro a velocdade costate, percorre dstacas cada vez maores relatva ao aumeto do tempo de percurso Grafcamete temos: Como Gráfco 1 Gradezas dretamete proporcoas a1 a2 a3 a tg b b b b k tg k

8 8 23 Gradezas Iversamete Proporcoas Defção 5: Duas ou mas gradezas são dtas versamete proporcoas, quado exste uma costate de proporcoaldade c, ode: a1 a2 1 1 b b 1 2 a3 1 b 3 a c 1 b ( b 0; 1,2,3,) Ou a b Grafcamete temos: a b a b a b c Gráfco 2 Gradezas versamete proporcoas tvdade 2 Regra de Três Smples e Composta, Dreta e Iversa 1) Com uma área de absorção de raos solares de 1,2m², uma lacha com motor movdo a eerga solar cosegue produzr 400 watts hora de eerga umetado-se essa área para 1,5m², qual será a eerga produzda? 2) Um trem, deslocado-se a uma velocdade méda de 400Km/h, faz um determado percurso em 3 horas Em quato tempo fara esse mesmo percurso, se a velocdade utlzada fosse de 480km/h? 3) Uma equpe de operáros, trabalhado 8 horas por da, realzou determada obra em 20 das Se o úmero de horas de servço for reduzdo para 5 horas, em que prazo essa equpe fará o mesmo trabalho? 4) Em 8 horas, 20 camhões descarregam 160m 3 de area Em 5 horas, quatos camhões serão ecessáros para descarregar 125m 3? 5) Em uma fábrca de brquedos, 8 homes motam 20 carrhos em 5 das Quatos carrhos serão motados por 4 homes em 16 das?

9 9 3 Porcetagem (ou percetagem) Defção 6: Defe-se o valor x % como sedo a razão x% x ,1 Exemplos: 1) 2% 0, 02 2) 30% 0, 3 3) 0,1% 0, Taxa utára Defção 7: Defe-se a taxa utára % como sedo a razão % 100 Quado se trabalha com operações sobre mercadoras, efetuado-se descotos, aumetos e juros, a taxa utára é de essecal mportâca Exemplo: Ecotre o valor em reas de 45% de R$300,00 45 Resolução: ( 45%) R$135, tvdade 3 - Porcetagem Completa a tabela de valores abaxo: Tabela 1 Porcetagem Porcetagem (fração) Porcetagem (decmal) 11% 63 % 72,4 % 8,2 % 0,04 % Cálculo Taxa utára alor fal 8% de R$ 60,00 0,5 % de R$200,00 11% de R$ 12, 00 25% de R$ 45,00 2% de 3 %

10 10 4 umetos e descotos Percetuas smples 41 ator de Captalzação Defção 8: Defe-se o fator de captalzação como um úmero, represetado por ( 100% x%) (1 ), ode é a taxa utára Podemos eteder o fator de captalzação como sedo um úmero o qual deve multplcar o valor de uma certa mercadora (produto) para obter o resultado fal, ou seja, o ovo preço desta mercadora acrescdo do percetual de aumeto que se deseja utlzar Por exemplo: O valor de R$ 30,00 acrescdo de 15% é dado por 30 (15%) 30 (1 0,15) 30 R$34,50 42 ator de descaptalzação Defção 9: Defe-se o fator de descaptalzação como um úmero, represetado por ( 100% x%) (1 ), ode é a taxa utára Podemos eteder o fator de descaptalzação como sedo um úmero o qual deve multplcar o valor de uma certa mercadora (produto) para obter o resultado fal, ou seja, o ovo preço desta mercadora abatdo do percetual de descoto que se deseja utlzar Por exemplo: O valor de R$ 40,00 abatdo de 20% é dado por 40 (20%) 40 (1 0,2) 40 R$32,00 43 umetos (créscmos) percetuas smples Proposção 3: Seja p o valor de uma determada mercadora (produto), defe-se um ametos smples sobre p como sedo o valor, dado por: p( 1 ) Prova: Seja P o preço de uma determada mercadora (produto) e o seu valor após sofre um aumeto de x% =, temos: p 100% ou seja, p 1 100% + x% (1 + ) Portato, p( 1 )

11 11 Exemplo: Um produto custa R% 1500,00 ao sofre um acréscmo de 20% passará a custar? Resolução: p( 1 ) 1500 (1 0,2) R$1800, Descotos (batmetos) percetuas smples Proposção 4: Seja p o valor de uma determada mercadora (produto), defe-se um descoto (abatmeto) smples sobre p como sedo o valor D, dado por: D p( 1 ) Prova: Seja P o preço de uma determada mercadora (produto) e D o seu valor após sofre um abatmeto de x% =, temos: p 100% ou seja, p 1 D 100% - x% D (1 ) Portato, D p( 1 ) Exemplo: Uma mercadora custa R% 1500,00 ao sofre um abatmeto de 20% passará a custar? Resolução: D p( 1 ) D 1500 (1 0,2) R$1200, 00 tvdade 4 umetos e Descotos Percetuas smples 1) Um equpameto eletrôco o valor de R$1200,00 sofre um descoto de 25% a) Qual o seu preço após o descoto? b) Qual o valor do descoto em reas? 2) No período de festa de uma cdade as mercadoras sofrem um aumeto de 15% Um produto que custa hoje R$ 180, 00 a) pós o aumeto rá custar? b) Qual o valor do descoto em reas deste produto? 3) Um gerete de uma loja decde dar um aumeto de 10% em suas mercadoras a fm de aumetar os lucros Mas o decorrer da semaa que fora repassado este aumeto, o fluxo de cletes dmuu Para suprr este aumeto ele decde realzar uma promoção e após este aumeto as mercadoras sofrem um descoto de 10% a) Um produto que custe R$ 250, 00 após o aumeto passara a custara? b) pós o aumeto dado ao referdo produto, com o descoto de 10% o produto passará a custar?

12 12 5 umetos e descotos percetuas sucessvos 51 umetos (créscmos) percetuas sucessvos Proposção 5: Seja p o valor de uma determada mercadora (produto) que sofre k aumetos as taxas utáras 1, 2, 3,, k, defe-se os aumetos sucessvos sobre p como sedo o valor k, dado por: Ou, k 1 (1 ) p( 1 )(1 2) 3 1 k k k p (1 ) 1 Prova: Seja P o preço de uma determada mercadora (produto) e 1 o seu valor após sofre um prmero aumeto de x% = 1, temos 1 p( 1 1 ) o sofre um segudo aumeto de x% = 2, temos 1 2( 1 2 ), após mas um ameto (tercero) de x% = 3, passamos a ter 3 2( 1 3), e assm sucessvamete, ou seja, para um aumeto de x% = k, teremos k (1 ) k 1 k Portato, temos p(1 ) k (1 1 2 k1 1 (1 2 3 (1 ) p(1 )(1 ) p(1 )(1 k 1 1 ) p(1 )( ) )(1 2 3 ) )(1 3 ) (1 k ) 52 Descotos (batmeto) percetuas sucessvos Proposção 6: Seja p o valor de uma determada mercadora (produto) que sofre k descotos as taxas utáras 1, 2, 3,, k, defe-se os abatmetos sucessvos sobre p como sedo o valor D k, dado por: D k 1 (1 ) p( 11)(1 2) 3 k Ou, D k k p (1 ) 1 Prova: prova é aáloga a prova de aumetos sucessvos!

13 13 tvdade 5 umetos e descotos Percetuas sucessvos 1) Calcule o líqudo de uma duplcata o valor de R$8600,00 que sofreu a redução de 15% sobre este valor e, em seguda, outro abatmeto de 8% sobre o lqudo da prmera redução 2) Sobre um artgo de R$2500,00 cde um mposto federal de 7% e um estadual de 3,5% Determe o preço fal desse artgo 3) Uma pessoa comprou um automóvel de R$15800,00 (preço de tabela) com descoto de 2,5% No da segute, vedeu o automóvel pelo valor de 2% acma do preço de tabela Qual fo a taxa percetual de lucro total dessa pessoa? 4) (UNESP) a e Luca são vededoras em uma grade loja Em mao elas tveram exatamete o mesmo volume de vedas Em juho, a coseguu aumetar em 20% suas vedas, em relação a mao, Luca, por sua vez, teve um ótmo resultado, cosegudo superar em 25% as vedas de a, em juho Portato, de mao para juho o volume de vedas de Luca teve um crescmeto de: a) 35% b) 45% c) 50% d) 60% e) 65% 5) Qual será o valor lqudo de uma fatura de R$36000,00 que recebe descoto sucessvos de 2%, 5% e 4%?

14 14 6 Operações sobre mercadoras 61 Itrodução Quado se trabalha com compra e veda de mercadoras, tem-se a possbldade de obteção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de veda Para sso é ecessáro saber prmero o que é preço de custo de uma mercadora O preço de custo de uma mercadora compreede o preço de aqusção, acrescdo das despesas dretas sobre a compra e a veda e, ada, das despesas de admstração, trbutáras (PIS, COINS, ICMS, IPI e outras) e de fucoameto da empresa Quado se fala em taxa de lucro ou de prejuízo, medatamete se pesa em taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de custo; pos é este que represeta o captal empregado pelo comercate a compra das mercadoras a serem veddas Na prátca, etretato, é mas cômodo ao comercate calcular a taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de veda; pos esse preço, presete as tabelas de uso comercal e também as etquetas das mercadoras, é de mas fácl acesso do que o preço de custo lém dsso, o cohecmeto da taxa de lucro sobre o preço de veda possblta a determação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que exste uma relação etre as duas taxas 62 Cálculos de lucro ou prejuízo Defção 10: Defe-se o lucro L de uma determada mercadora (produto) como sedo a fução que assoca o preço de custo C e o preço de veda, ou seja L f (, C) L C;( C) Exemplo: Um produto custa para um revededor R$ 120, 00 se o mesmo é veddo por R$ 185, 00, qual o lucro deste revededor? Resolução: Como L C L R$65, 00 Defção 11: Defe-se o Prejuízo P de uma determada mercadora (produto) como sedo a fução que assoca o preço de custo C e o preço de veda, ou seja P f (, C) P C C ;( C ) Exemplo: Um produto custa para um revededor R$ 120, 00 se o mesmo fo veddo por R$ 95, 00, qual o prejuízo obtdo por este revededor?

15 15 Resolução: Como P C P R$25, edas com lucro o se veder uma mercadora pode-se ocasoar um lucro, sobre o preço de custo ou sobre o preço de veda da mesma, lembrado-se que ao se comprar e ao se veder uma mercadora, vale a le da oferta e da demada 631 edas com lucro sobre o preço de custo Proposção 7: o se realzar uma veda com lucro sobre o preço de custo de uma determada mercadora (produto), temos a segute relação C C C(1 ) Prova: Da defção 10 sabemos que L C C L, desevolvedo a fórmula: C L = preço de veda C = preço de custo L = lucro = taxa utára de lucro C L, ode L C, Logo, C C Exemplo: Uma loja de departametos coloca à veda uma determada mercadora com um lucro de 13% sobre o preço de custo da mesma Determe o preço de veda sabedo-se que esta mercadora custou R$230,00 Resolução: = 13% = 0,13, C = 230, =? Como C C 230 0,13(230) 259, edas com lucro sobre o preço de veda Proposção 8: o se realzar uma veda com lucro sobre o preço de veda de uma determada mercadora (produto), temos a segute relação C C (1 ) Prova: prova é aáloga a proposção ateror!

16 16 Exemplo: O doo de uma loja de eletrodoméstcos comprou uma mercadora por R$689,00 e quer vedê-la com um lucro de 25% sobre o preço de veda Qual deve ser o valor de veda dessa mercadora? Resolução: = 25% = 0,25, C = 689, =? Como C 689 0,25 0, , ,75 Resposta O preço de veda é de R$ 918,67 918,67 64 edas com prejuízo alogamete ao que ocorre com o lucro, uma mercadora pode ser vedda com prejuízo sobre o preço de custo ou de veda 641 edas com prejuízo sobre o preço de custo Proposção 9: o se realzar uma veda com prejuízo sobre o preço de custo de uma determada mercadora (produto), temos a segute relação C C C(1 ) Prova: Da defção 11 sabemos que P C a fórmula: C P C P, desevolvedo = preço de veda C = preço de custo P = Prejuízo = taxa utára de Prejuízo C P, ode P C, Logo, C C Exemplo: Um aparelho de jatar fo veddo com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo Sabedo-se que esse aparelho custou R$300,00, qual fo o preço de veda? Resolução: = 40% = 0,4, C = 300, =? Como C C 300 0,4(300) Resposta O preço de veda é de R$ 180,00

17 edas com Prejuízo sobre o preço de veda Proposção 10: o se realzar uma veda com prejuízo sobre o preço de veda de uma determada mercadora (produto), temos a segute relação C C (1 ) Prova: prova é aáloga a proposção ateror! Exemplo: Uma mercadora cujo custo é de R$96000,00 fo vedda com um prejuízo de 20% sobre o preço de veda Calcule o preço de veda dessa mercadora Resolução: = 20% = 0,2, C = 96000, =? Como C ,2 0, , , Resposta O preço de veda é de R$ 80000,00 tvdade 6 Operações sobre mercadoras 1) Uma televsão fo revedda por R$1490,00, dado um lucro de 40% sobre o custo Quato hava custado? 2) Quato por ceto sobre o custo se perdeu, ao se veder por R$238,00 um objeto que custou R$280,00? 3) ededo um móvel por R$150000,00 tve um prejuízo de 17% sobre o preço de veda Por quato compre? 4) Calcule o preço de veda de um objeto que compre por R$540,00 tedo gaho 60% do preço de veda? 5) ed uma loja por R$32000,00 Se tvesse veddo por mas R$1999,00, meu lucro sera de 40% sobre o preço da ova veda Qual fo o meu lucro? 6) Certa mercadora fo vedda por R$3232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra Por quato devera ser vedda, para dar lucro de 12% sobre o preço de custo?

18 18 7 Sstema de Captalzação Regme de Juros 71 Itrodução Juros é a remueração dada a qualquer título de captalzação, ou seja, pelo uso do captal empregado, ou pela aplcação do captal em atvdades produtvas, durate um certo período e à uma determada taxa Esse tervalo de tempo usado a aplcação do captal à uma referda taxa, é deomado período facero ou período de captalzação Defção 12: Se aplcarmos um captal durate um certo período de tempo, ao fm do prazo obteremos um valor (motate) que será gual ao captal aplcado acrescdo da remueração obtda durate este período de aplcação (juros): M C J M motate gerado em um período de vestmeto C Captal vestdo J juros grado o período de vestmeto 72 Udade de medda Os juros são fxados através de uma taxa percetual, que sempre se refere à uma udade de tempo: ao, semestre, trmestre, mês, da, etc 73 Taxa de juros taxa de juros mede o custo da udade de captal, o período a que se refere Essa taxa é fxada o mercado de captas pela varação etre as forças que regem a oferta de fudos e a procura de crédtos Defção 13: É a razão etre os juros pagos ou recebdos e o captal aplcado, um determado período de tempo 74 Dagrama de captal o tempo Os problemas faceros depedem bascamete do fluxo (etradas e saídas) de dhero o tempo Esse fluxo é mas cohecdo a prátca como fluxo de caxa e é geralmete represetado por um dagrama covecoal de setor

19 19 gura 1 Dagrama de captal o tempo Essa represetação é muto útl para stuações em que é ecessáro vsualzar o que está ocorredo, quado temos etradas e saídas de captal o tempo 741Coveções empregadas Reta horzotal: escala de tempo com progressão da esquerda para a dreta; Períodos de tempo: represetados em tervalos cotíguos, de modo que cada úmero represeta períodos acumulados; lechas: a) Para baxo: saída ou aplcação de dhero (ou valor egatvo) b) Para cma: etrada ou recebmeto de dhero (ou valor postvo) 75 Tpos de sstemas de Captalzação ou Regme de Juros Os sstemas de captalzação ou Regme de juros são classfcados em smples e compostos, depededo do processo de cálculo utlzado

20 20 8 Sstema de Captalzação Smples Regme de Juros smples Defção 14: Juros smples são aqueles calculados somete sobre o captal cal, ou seja, quado o regme é de juros smples, a remueração pelo captal cal aplcado (também chamado de prcpal ou ada, valor presete) é dretamete proporcoal ao seu valor (captal) e ao tempo de aplcação J C t Ode: C Captal vestdo ou retrado taxa utára de juros smples t período de aplcação, vestmeto ou empréstmo Exemplo: Um captal de R$100,00 fo emprestado por 2 meses, à taxa de juros smples de 3% ao mês Qual o valor dos juros recebdos? 1º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de captal rederá R$3,00 de juros) 2º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de captal rederá R$3,00 de juros) Total de juros os dos meses = R$3,00 + R$3,00 = R$ 6,00 Observe que os juros são sempre guas; pos cdrá sempre sobre o captal cal Pela fórmula, teremos: J C t J 100 0,03 2 6

21 21 tvdade 7 Juros Smples 1) Cosdere um empréstmo, a juros smples, o valor de R$ 100 ml, o prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ao Qual o valor do juros este período? 2) Determe o juros smples de um captal de R$10000,00 que é aplcado por 40 das, à taxa de 36% ao ao 3) Cosdere um empréstmo, a juros smples, o valor de R$ 100 ml, sabedo que o valor do motate acumulado em após 1 semestre fo de R$118000,00 Qual a taxa de juros mesal cobrada pelo baco? 4) Qual é o juro smples e qual é o valor futuro (motate) de um captal de R$45000,00 aplcado à taxa de juro smples de 18% ao semestre, pelo prazo de 5 aos e 9 meses 5) Um empréstmo de R$13580,00 fo realzado em 20/08 e pago em 29/12 do mesmo ao Sabedo-se que a taxa fo de 37,8% ao ao, determe o juros smples total a ser pago 6) Um vestdor aplca 2/5 do seu captal a 4% ao mês e o restate a 45% ao ao Decorrdos 4 aos e 5 meses, recebe um total de R$ ,00 de juro Calcular o seu captal cal

22 22 9 Sstema de Captalzação Composto Regme de Juros Compostos Defção 15: Juros compostos são aqueles calculados sobre o motate ou valor futuro relatvo ao período ateror, a partr do segudo período facero Portato, podemos coclur que o motate o regme de juros compostos é gual ao de juros smples o 1º período e maor do que o regme de juros smples, a partr do segudo período a uma mesma taxa de juros Teorema 1: No Regme de juros compostos, aplcados a uma taxa utára, sobre um captal cal C, trasforma-se, depos de t períodos de tempo, em um motate M C( 1) Prova: Basta observar que os valores do captal aplcado crescem a uma taxa costate e, portato, formam uma Progressão Geométrca (PG) de razão (1+)Ou seja, calmete temos o prmero período de aplcação M C( 1 ) t M À partr do segudo período de aplcação passamos a ter C(1 )(1 ) C(1 ) 2 Já o tercero período teremos, M C(1 )(1 )(1 ) C(1 ) 3 ssm, para um período de t, M C(1 )(1 )(1 ) (1 ) M C(1 ) t dfereça etre os dos regmes pode ser faclmete verfcada através do exemplo segute, pos o juro smples é lear e o juro composto é expoecal Exemplo: Um captal de R$25800,00 aplcados a 11,8% ao ao os regmes de juros smples e compostos, por um período de 4 aos, que juros rederão? Resolução: I No regme de juros smples teremos: J C t , ,60 II No Regme de juros compostos teremos: M C(1 ) t 25800(1 0,118) ,60 Como M C J J , 60

23 23 91 Cálculo do valor futuro ou motate Como já provado o teorema 1, o valor futuro (motate) dos juros compostos é dado pela expressão M C( 1 ) t Ou seja, para se obter o valor futuro, o regme de juros compostos, basta multplcar o captal atual t por ( 1 ) 92 Cálculo do valor atual Do cálculo do valor futuro M C(1 ) t C M (1 1) t Ou seja, para se obter o valor atual (presete), basta dvdr o valor futuro por t ( 1 ) 93 Dagrama de juros smples x Juros compostos Gráfco 3 Juros smples e Juros compostos

24 24 Gráfco 4 Juros smples x juros compostos tvdade 8 Juros Compostos 1) Qual o motate obtdo de uma aplcação de R$ 2000,00 feta por 2 aos a uma taxa de juros compostos de 20% ao ao? 2) Determar o motate, o fal de 9 meses, resultate da aplcação de um captal de R$ 99580,00 à taxa de 4,875% ao mês 3) Uma aplcação de R$ 10000,00 em fudos de ações, fo resgatada após 2 meses em R$ 11025,00 (descosderado despesas com ecargos e trbutos), qual fo a taxa de juros mesal que este fudo remuerou o vestdor? 4) Em que prazo uma aplcação de R$ ,00 à taxa de 3,75% ao mês, gera um resgate de R$ ,60? 5) Um captal é aplcado em regme de juros compostos a uma taxa mesal de 2% am Depos de quato tempo este captal estará duplcado? 6) Pedro tomou um empréstmo de R$300,00, a juros de 1,5% ao mês Dos meses após, Pedro pagou R$150,00 e, um mês após esse pagameto, Pedro lqudou seu débto Qual o valor deste últmo pagameto?

25 25 7) Qual o valor de um produto à vsta, sabedo que uma pessoa adqure este produto em três prestações mesas e guas o valor de R$ 100,00 cada parcela a uma taxa mesal de 5% am a juros compostos? Mscelâea de Juros smples e compostos 8) Um captal de R$ aplcados a 11,8% ao ao os regmes de juros smples e compostos, por um período de 4 aos, que juros rederão? 9) No fal de quato tempo um captal, aplcado a taxa de 3,8% ao mês, trplca o seu valor: a) No regme de captalzação smples? b) No regme de captalzação composto? 10) Qual é mas vatajoso: aplcar R$13000,00 por 3 aos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplcar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo a juros smples de 5% ao mês?

26 26 10 Taxa de Juros 101 Taxa de juros omal Defção 16: taxa omal cosste em uma taxa referecal em que os juros são captalzados (corporados ao captal cal) mas de uma vez o período a que a taxa se refere; taxa omal é aquela calculada com base o valor omal Portato, taxas omas são aquelas cujo período de captalzação ão cocde com aquele a que se refere a taxa k pesar de vermos que o juro só é formado o fal de cada período, a prátca vemos com frequêca aúcos do tpo: juros de 64% ao ao, captalzados mesalmete; juros de 425% ao ao, captalzados bmestralmete Covecoou-se, etão, chamar de taxas omas essas taxas com captalzações dferetes dos períodos aucados os juros Também, por coveção, adotou-se que a taxa por período de captalzação seja proporcoal à taxa omal Exemplos: 1) 12% ao ao em 3 aos, captalzados bmestralmete Resolução: K = 6 (bmestres em um ao) k 0,12 6 Logo, k 0, 02 ao bmestre 6 Como = 3 aos = 18 bmestres Se precsássemos ecotrar o valor futuro sera: k M 18 C( 1 2) Um captal de R$ 25000,00 fo aplcado por 3 aos a 24% ao ao, captalzado trmestralmete Qual é o valor futuro? Resolução: = 3 aos = 12 trmestres k 0,24 4 Logo, k 0, 06 ao bmestre M C(1 4) M (1 0,06) 50304,91 Portato, o valor futuro será de R$ 50305,91 6)

27 Taxa Efetva Defção 17: taxa efetva é a taxa calculada com base o valor efetvamete aplcado ou tomado emprestado Se a taxa de juros compostos relatvamete a um determado período de tempo é gual a, a taxa de juros relatva a t períodos de tempo é I tal que, 1 I (1 ) Exemplo: Um captal de R$ 25000,00 fo aplcado por 3 aos à taxa de 24% ao ao, captalzado trmestralmete Qual é a taxa efetva? Resolução: = 3 aos = 12 trmestres k 0,24 4 Logo, k 0, 06 ao bmestre Portato, 1 I 4 (1 ) t 1 I (1 0,06) t 4 I 26,25% O esquema abaxo mostra a relação etre a taxa omal e a taxa efetva aa gura 2 Taxa omal x taxa efetva 103 Taxa Over (Taxa por da útl) palavra overght refere-se às operações realzadas o ope Market por prazo mímo de um da O termo ope Market, o setdo amplo, é qualquer mercado sem local físco determado e com lvre acesso à egocação No Brasl, etretato, tal deomação se aplca ao cojuto de trasações realzadas com títulos de reda fxa, de emssão públca ou prvada deomada taxa over é adotada geralmete as operações faceras desse mercado, etretato seu valor ão é usado os cálculos por ão represetar uma taxa efetva Defção 18: taxa over é uma taxa omal, pos costuma ser expressa ao mês, com captalzação dára porém, válda somete para das útes, ou seja, sua captalzação ocorre ucamete em da de fucoameto do mercado facero

28 28 Caso se quera realzar uma operação com mas de um da, utlza-se o coceto da taxa omal para coverter a taxa over por um da e, em seguda, utlza-se o coceto da taxa efetva para captalzar, ou seja, coverter a taxa over por um da para o prazo da operação ssm, o motate de um captal aplcado à taxa over mesal por um determado taxa over úmero de das é: M C 1,Ode du = das útes o prazo da 30 aplcação Exemplo: Uma operação com duração de 30 das corrdos fo fechada à uma taxa over de 2% ao mês, sedo computados 22 das útes esse mês Determar a taxa efetva para o prazo da operação Resolução: Dados: taxa over = 2%a m; dc = 30 das; du = 22 das; du = 30; I =? 1 I taxa over 1 30 du 1 I 0, I 1,477% tvdade 9 Taxa de Juros 1) erôca veste seu dhero a juros de 6% ao ao com captalzação mesal Qual a taxa aual de juros a qual está vestdo captal de erôca? 2) Qual a taxa efetva semestral correspodete a 24% ao semestre com captalzação mesal? 3) Uma empresa toma emprestado em um Baco R$ ,00 à taxa de 21% ao ao, com captalzações quadrmestras Quato deverá devolver ao fal de 2 aos? Qual a taxa efetvamete cobrada pelo Baco? 4) Quato uma pessoa deve depostar em um Baco que paga 24% ao ao, com captalzações bmestras, para que ao fm de 5 aos possua R$ ,00? Qual a taxa efetvamete paga pelo Baco? 5) Uma operação com duração de 35 das corrdos, fo cotratada à uma taxa over de 1,8% ao mês Se durate esse prazo houve 22 das útes, calcular a taxa efetva mesal e o motate ao térmo do prazo, cosderado-se que foram aplcados R$100000,00 6) Em uma aplcação de R$ ,00 pelo prazo de 38 das corrdos correspodetes a 32 das útes foram resgatados R$ ,00 Determar o valor da taxa over mesal

29 Letura Complemetar 1041 Taxa real, aparete e de flação Quado se realza uma operação facera, à uma determada taxa, espera-se uma remueração do captal utlzado a operação, à essa mesma taxa Etretato com a desvalorzação das udades moetáras, essa remueração fca dstorcda Um ídce de flação busca medr dretamete a desvalorzação da udade moetára, quado da aqusção de um determado grupo de bes e servços, em um dado período 1042 Cálculo das taxas real, aparete e de flação taxa aparete é aquela que vgora as operações corretes Quado ão há flação, a taxa real é gual a taxa aparete; mas, quado a flação exste, a taxa aparete é formada pelos compoetes da flação e da taxa real Notações: C = valor presete ou captal cal, = taxa aparete f = taxa de flação r = taxa real M = valor futuro ou motate a) Quado ão há flação: C 1 ) C(1 ) (1 ) (1 ) b) Quado há flação: ( r r C( 1 ) C(1 )(1 r f ) (1 ) (1 r ) 1 Observação 3: a poupaça é uma taxa de juros aparete, ode se reduz a flação para se ver o juro real Se a taxa de flação for meor do que a taxa de poupaça, tem-se um juro aparete; se for maor, tem-se uma perda real Exemplo: Qual deve ser a taxa aparete correspodete a uma taxa real de 9% ao mês e uma flação de 22% o período? Resolução: r = 9% = 0,09 f = 22% = 0,22 =? 1 1 0,09 1 0,22 1 0, ,98% 1 (1 ) f r Portato, 32,98% ao mês f

30 30 11 Sére Uforme e Reda Perpétua 11 1 Itrodução Sére de pagametos Este coteúdo pode ser vsto como uma extesão do regme de Juros compostos Equato o juros compostos, um empréstmo, ou compra, eram fetos para ser qutado em um úco pagameto, em sére de pagametos, como o própro ome já dz, esse pagameto será feto por mas de uma parcela 1111 Tpos de sére de pagameto s séres de pagametos se dvdem em dos tpos de séres: Sére tecpada e sére Póstecpada Defção 19: sére de pagametos Postecpada é aquela que ão exste um depósto cal, ão exste etrada, o caso de empréstmos e facametos, possu um comportameto descrto pelo fluxo abaxo gura 3 Sére de pagametos 1 Defção 20: sére de pagametos tecpada é aquela que exge um depósto cal, uma etrada, é mas utlzada em vestmetos Observação 4: Cudado, em todas as operações que possuem etrada são séres uformes atecpadas É ecessáro que a etrada seja o mesmo valor das demas parcelas ejamos o comportameto descrto pelo fluxo a segur gura 4 Sére de pagametos 2

31 Séres peródcas uforme Teorema 2: O valor de uma sére uforme de pagametos guas a P, um tempo ates do prmero pagameto, sedo a taxa de juros é dada por 1(1 ) P valor pago a vsta pela mercadora (produto); P alor das parcelas; taxa de juros; úmero de parcelas Prova: gura 5 Sére uforme O valor da sére a época zero é: P P 1 (1 ) P P , Que é a soma de termos de uma progressão geométrca Daí, 1 1 P p Observação 5: Caso haja uma etrada o ato da compra, referete ao mesmo valor das parcelas, etão 1(1 ) P 1 Prova: prova é aáloga ao teorema 2 Exemplo: Um bem, cujo preço à vsta é de 120,00 é veddo em 8 prestações mesas guas, a prmera sedo paga um mês após a compra Se os juros são de 8% ao mês, determe o valor das prestações Resolução: 1(1 ) P 1(1 0,08) 120 P 0,08 8 p 20,88

32 Reda Perpétua Defção 21: Deoma-se reda à sucessão de depóstos (captalzações) ou de prestações (amortzações), em épocas dferetes, destadas a formar um captal ou pagar uma dívda Defção 22: O termo perpetudade sugere fluxos de duração fta em lmte Defção 23 (Defção Educada de Perpetudade): É mas aproprado dzer que uma perpetudade se costtu de um cojuto de redas cujo úmero ão pode ser determado exatamete, pos é muto grade e tede ao fto Coroláro 1 (Reda Perpétua): O valor de uma perpetudade de termos guas a P, um tempo ates do prmero pagameto, é, sedo a taxa de juros, gual a P Prova: plcado lmte em ambos os termos do teorema 2 fazedo teder ao fto temos 1(1 ) 1(1 ) P P lm lm p lm1 1 P lm 1 P P lm1 1 Exemplo: Se o dhero vale 1% ao mês, por quato deve ser alugado um móvel que vale R$ ,00? Resolução: Quado se aluga um móvel, você cede s posse deste em troca de uma reda perpétua cujos termos são guas ao valor do aluguel Etão, o valor do móvel deve ser gual ao valor do cojuto de alugués Portato, de acordo com o coroláro 1 P P P P ,01 Logo, o valor do aluguem deve ser R$ 2000, 00

33 33 tvdade 10 Séres Uforme e Reda Perpétua 1) Um produto, cujo preço à vsta é R$ 1200,00 é veddo em 6 prestações mesas e guas, atecpadas (sto é, a prmera parcela é paga o ato da compra) Se os juros são de 10% ao mês, determe o valor das prestações 2) Elae tem duas alteratvas para obter uma copadora: a) lugá-la por R$ 3500,00 ao ao Nesse caso, o locador se resposablza pelas despesas de mauteção b) Comprá-la por R$ 15000,00 Nesse caso, já que a vda ecoômca da copadora é de 5 aos, Elae vederá a copadora após 5 aos O valor resdual da copadora após 5 aos é de R$ 2000,00 s despesas de mauteção são de resposabldade exclusva de Elae e são de R$ 500, 00 por ao os dos prmeros aos e de R$ 800,00 os aos segutes Se o dhero vale 7% ao ao, qual a melhor opção? 3) Uma geladera custa R$ 1000,00 à vsta e pode ser paga em três prestações mesas e guas Se são cobrados juros d 6% ao mês sobre o saldo devedor, determe o valor da prestação, supodo que a prmera prestação é paga: a) o ato da compra; b) um mês após a compra; c) dos meses após a compra 4) Um móvel é locado por R$ 1200, 00, se o dhero vale ao seu locatáro 1% ao mês, qual o valor deste móvel?

34 Letura complemetar - Redas certas ou audades Quado uma sére de pagametos tem valores varáves e perodcdade dferete é ecessáro que se resolva como se cada aplcação ou pagameto fosse depedete, o que acarreta, a maora das vezes, uma sobrecarga de cálculos À uma sére de pagametos ou recebmetos guas, com tervalo de tempo guas, chamamos de redas certas ou audades e, para elas temos mecasmos que facltam a resolução dos cálculos Nas aplcações faceras, quado o objetvo é costtur um captal em data futura, tem-se o processo de captalzação Caso cotráro, quado se quer pagar uma dívda, tem-se o processo de amortzação Pode ocorrer também o pagameto pelo uso sem que haja amortzação, que é o caso dos alugués s redas ou audades, quato à forma de pagameto ou de recebmeto, podem ser de dos tpos: Redas certas ou determístcas: aquelas cuja duração e pagametos são predetermados, ão depededo de codções exteras Os dversos parâmetros como o valor dos termos, o prazo de duração, a taxa de juros, etc, são fxos e mutáves (Matemátca acera) Podem ser costtuídas por aplcações guas e em sére, com a faldade de se formar um motate um futuro preestabelecdo; prestações assumdas hoje, como forma de empréstmo; prestações de bes adqurdos; etc Redas aleatóras ou probablístcas: ocorre quado, pelo meos um dos parâmetros é uma varável aleatóra, sto é, ão pode ser prevamete determada O úmero de termos é determado (Matemátca tuaral) Exemplo: Seguro de vda -- os valores de pagametos (mesaldades) são certos; sedo aleatóros o valor do seguro a receber (causa da morte) e a data do recebmeto (data da morte) Defções mportates udade ou reda certa: captas (pagametos ou recebmetos) referdos à uma dada taxa de juros Termos da audade: tervalo de tempo etre dos termos Duração da audade: soma dos períodos

35 35 alor atual ou presete de uma audade: soma dos valores atuas dos seus termos, para uma mesma data focal, à uma mesma taxa de juros Motate ou valor futuro da audade: soma dos motates dos seus termos, à uma mesma taxa de juros e uma mesma data focal Classfcação das audades Uma sére de pagametos ou recebmetos é represetada por um fluxo de caxa Os fluxos de caxa podem ser verfcados das mas varadas formas e tpos Quato à perodcdade: Peródcas: todos os períodos são guas Não peródcas: os períodos ão são guas etre s Quato ao prazo: Temporáras: a duração é lmtada ( 1 ao, 5 aos ) Perpétuas: a duração é lmtada (seguros de vda) Quato ao valor dos termos: Costates: todos os termos são guas aráves: os termos ão são guas etre s Quato à forma de pagameto ou de recebmeto: Imedatas: quado os termos são exgíves a partr do prmero período Dferdas: quado os termos são exgíves a partr de uma data que ão seja o prmero período Obs: as audades medatas e dferdas se subdvdem em: Postecpadas ou vecdas: os termos são exgíves o fm dos períodos tecpadas: os termos são exgíves o íco dos períodos s séres de pagametos que costtuem as redas certas ou audades são smultaeamete: Temporáras (duração lmtada - 1 ao, 5 meses, etc); Costates (valores ou termos guas etre s); Imedatas e Postecpadas; Peródcas (todos os períodos guas) taxa de juros é referda ao mesmo período dos termos

36 36 12 Operações de curto prazo - Operações faceras com Descoto Smples 121 Itrodução Defção 24: Descoto é a deomação dada a um abatmeto que se faz quado um título de crédto É uma operação tradcoal o mercado facero e o setor comercal Pela sstemátca da captalzação smples, os valores são obtdos por meo de cálculos leares Nessa sstemátca, o descoto é tradcoalmete classfcado em duas modaldades: Descoto Racoal Smples (ou descoto por detro) e o Descoto comercal smples (ou descoto por fora) 122 Descoto Racoal Smples (Descoto por detro) Defção 25: É o valor obtdo pela dfereça etre o valor omal e o valor atual de um compromsso, que seja saldado períodos ates do vecmeto r D D r descoto racoal smples; valor omal; alor atual Proposção 11: Pode-se obter o valor de um descoto racoal smples por D r 1 Prova: I Da defção de descoto racoal smples temos: r D II Do cálculo de juros smples temos: J 1 ) (1 ) ( Substtudo II a I, temos: D D r r Observação 6: O descoto racoal smples ão é utlzado o sstema de captalzação smples (juros smples)

37 37 Exemplo: Um título de R$8500,00 va ser descotado à taxa de 2,8% ao mês altado 67 das para o vecmeto do título, determe: a) O valor do descoto racoal b) O valor a ser pago Resolução: 1 0, , a) D D 500, 25 r r b) D 500, , 75 r 123 Descoto Comercal Smples (Descoto por fora) Defção 26: É o valor que se obtém pelo cálculo do juro smples sobre o valor omal ou valor futuro do compromsso que seja saldado períodos ates do vecmeto, à uma taxa, fxada D ou DC C Exemplo: Um título de R$8500,00 va ser descotado à taxa de 2,8% ao mês altado 67 das para o vecmeto do título, determe: a) O valor do descoto comercal b) O valor a ser pago Resolução: 0, a) D D , 53 C C b) D 531, , 47 C 124 Descoto Comercal bacáro Defção 27: O descoto bacáro pode ser eteddo como uma extesão do descoto comercal, acrescdo de um taxa admstratva pré fxada T, cobrada sobre o valor omal ou futuro, DB DC T além de, a maora das vezes, cobrar o ecargo proveete do IO (Imposto sobre Operações aceras), de resposabldade do facado

38 38 Sedo assm, a taxa bacára lear efetvamete cobrada é muto maor do que a cotratada Exemplo: Um título de R$ 8500,00 fo descotado o Baco X, que cobra 1,5% como despesa admstratva Sabedo-se que o título fo descotado 67 das ates do seu vecmeto e que a taxa correte em descoto comercal é de 2,8% ao mês, determe: a) Qual o descoto bacáro? b) Quato recebeu o propretáro do título? Resolução: 0,028 a ) DC DC ,53 30 D B D C T D 531,53 0, ,03 B b ) D 659, B 125 Letura complemetar Todo título de crédto tem uma data de vecmeto, porém o devedor pode resgatá-lo atecpadamete, obtedo com sso um abatmeto deomado descoto Portato, descoto é a deomação dada a um abatmeto que se faz quado um título de crédto é resgatado ates do seu vecmeto Os títulos de crédtos mas utlzados em stuações faceras são: ota promssóra duplcata letra de câmbo Com relação aos títulos de crédto, pode ocorrer: que o devedor efetue o pagameto ates da data predetermada; que o credor ecesste do dhero ates da data predetermada Em ambos os casos há um beefíco que, obtdo em comum acordo, recebe o ome de descoto Essas operações são chamadas operações de descoto e o ato de efetuá-las chama-se descotar um título Observa-se ada: data do vecmeto -- fxado o título, para o pagameto (ou recebmeto) da aplcação;

39 39 valor omal ou futuro valor dcado o título, a ser pago o da do vecmeto; valor atual ou presete líqudo pago (ou recebdo) ates do vecmeto; prazo úmero de períodos compreeddos etre aquele em que se egoca o título e o do seu vecmeto Relação etre os descotos: racoal e comercal Sabemos que o descoto racoal smples é obtdo por que o descoto comercal smples é dado por podemos obter a segute relação: D r Dc D 1 C D D r e 1, sedo assm, C D (1 ) Exemplo: O descoto comercal de um título descotado 67 das ates do seu vecmeto e à taxa de 2,8% ao mês é de R$ 531,53 Determar o descoto racoal Resolução: D C D r 0,028 DC ,53 30 Dc D 1 r r 531,53 500,25 0,

40 40 tvdade 11 Descoto Smples 1) Determe o descoto comercal de uma promssóra de R$ 9000,00 à taxa de 36% ao ao, resgatada 75 das ates do vecmeto 2) Uma dívda de R$ 28700,00 será saldada 7 meses ates do seu vecmeto Que descoto racoal será obtdo se a taxa for de 32% ao ao? 3) Um título de valor omal de R$ 10000,00 com vecmeto em 23/09/2014 será resgatado em 15/06/2014 Qual o descoto racoal se a taxa fo de 32% ao ao? 4) Uma empresa possu um título cujo valor omal é de R$ 13550,00 com vecmeto daqu a 350 das Quatos das ates do vecmeto deve descotá-lo, à taxa comercal de 60% ao ao, para que possa adqurr mercadora o valor de R$10840,00? 5) O valor atual de um título de R$ 9650,00 é R$ 8320,00 Sabedo-se que a taxa bacára de descoto é de 2,9% ao mês, qual o tempo de atecpação? 6) Uma empresa retra de um baco um empréstmo por cco meses, o valor de R$ 90000,00 Se a taxa de juros for de 26% ao ao e além dsso, o baco cobrar 1% a título de despesas admstratvas, qual será o descoto bacáro? 7) No descoto de um título é obtdo um descoto racoal de R$ 28000,00 Cosderado uma taxa de descoto de 30% ao ao e que o título fo resgatado 4 meses ates de seu vecmeto, calcular o descoto comercal obtdo 8) Calcular o valor de resgate (omal) e a taxa de descoto efetva de uma ota promssóra resgatada 5 meses ates do seu vecmeto, cosderadose que o baco descota a Promssóra por R$ 36500,00 aplcado a taxa de 7% ao mês

41 41 13 Operações de logo prazo Operações faceras com Descoto Composto 131 Itrodução Descoto, o regme de captalzação composta é como o smples, correspode à quata a ser abatda do valor omal ates do vecmeto O valor descotado é a dfereça etre o valor omal e o descoto Utlzamos o descoto composto as operações de logo prazo ode, o descoto smples pode ter resultados sem exo O descoto composto pode também ser comercal (pratcamete ão é usado o Brasl) e racoal (que é o descoto usado etre ós) 132 Descoto racoal composto Defção 28: É o descoto obtdo pela dfereça etre o valor futuro ou omal e o valor presete ou atual de um compromsso, que seja saldado períodos ates do vecmeto, à uma determada taxa de juros Dr C D rc descoto racoal composto; valor omal; alor atual Proposção 12: Pode-se obter o valor de um descoto racoal composto por 1 D r C 1 1 Prova: I Da defção de descoto racoal composto temos: Dr C II Do cálculo de juros compostos temos: (1 ) (1 ) D r C Substtudo II a I, temos: (1 ) D r C 1 1 1

42 42 Exemplo: Um título de valor omal de R$ 48860,00 fo resgatado 8 meses ates do seu vecmeto, tedo sdo cotratada a taxa de 2,45% ao mês Qual fo o descoto racoal coceddo? Resolução: D r C , D rc (1 0,0245) 133 Descoto Comercal composto Defção 29: É o descoto obtdo pela dfereça etre o valor futuro ou omal e o valor presete ou atual de um compromsso, que seja saldado períodos ates do vecmeto, à uma determada taxa de juros DC C Proposção 13: Pode-se obter o valor atual de um descoto comercal composto por 1 Prova: plcado um descoto sucessvo a uma mesma taxa utára : ( 1 ) (1 ) (1 ) (1 ) Exemplo: Cosdere um título cujo valor omal seja R$ 10000,00 Calcule o descoto comercal composto a ser coceddo e o valor atual deste título resgatado 2 meses ates da data de vecmeto, a uma taxa de descoto de 10% am Resolução: O valor atual será de R$ 8100,00 pos: (1 0,1) O descoto comercal composto será de R$1900,00, pos: D C C D C C

43 43 tvdade 12 Descoto Composto 1) Determe o valor atual de um título de R$ 12500,00, saldado 9 meses ates do vecmeto, à taxa de descoto racoal composto de 2,7% ao mês 2) Qual é o descoto racoal composto que um título de R$ 9850,00 sofre ao ser descotado, 8 meses ates do seu vecmeto, à taxa de 3,75% ao mês? 3) Um título o valor de R$ 29500,00 fo saldado 2 meses ates do seu vecmeto O possudor do título obteve uma taxa de descoto composto de 1,8% ao mês a) Qual fo o descoto racoal b) Qual a quata recebda? 4) o descotar uma Nota Promssóra o valor de R$ 15000,00 o vecmeto, a facera formou que sua taxa era de 45% ao ao Se o descoto fosse efetuado 5 meses ates do vecmeto, qual sera o valor líqudo (valor do resgate) recebdo pelo possudor do título? 5) Se o valor omal for gual a 52 vezes o seu descoto racoal resultate de um resgate, 3 meses ates do vecmeto, qual é a taxa de juro aual? 6) Pedro recebera R$ 60000,00 como parte de sua heraça Cotudo, ecesstado do dhero 5 meses ates da data do recebmeto, propõe a um amgo a veda dos seus dretos por R$ 56954,02 Que taxa de juros aual Pedro pagou? 7) Cosdere um título cujo valor omal seja R$ 10000,00 Calcule o descoto comercal composto a ser coceddo e o valor atual deste título resgatado 2 meses ates da data de vecmeto, a uma taxa de descoto de 10% am

44 44 14 Sstemas de mortzação de Empréstmos e acametos 141 Itrodução Segudo as prátcas habtuas, os empréstmos classfcam-se em: de curto, de médo e de logo prazo Os sstemas de amortzação são desevolvdos bascamete para operações de empréstmos e facametos de logo prazo, evolvedo desembolsos peródcos do prcpal e ecargos faceros Os problemas mas mportates um empréstmo de logo prazo dzem respeto à explctação do sstema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros efetvamete cobrada Exstem váras maeras de amortzar uma dívda, devedo as codções de cada operação estarem estabelecdas em cotrato frmado etre o credor (mutuate) e o devedor (mutuáro) Os sstemas de amortzação de empréstmos e facametos tratam, bascamete, da forma pela qual o prcpal e os ecargos faceros são resttuídos ao credor do captal 142 Cocetos báscos Ecargos faceros Represetam os juros da operação, caracterzado se como custo para o devedor e retoro para o credor mortzação Refere-se exclusvamete ao pagameto do prcpal (captal emprestado), o qual é efetuado, geralmete, através de parcelas peródcas (mesas, trmestras, etc) Saldo devedor Represeta o valor do prcpal da dívda, em determado mometo, após a dedução do valor já pago pelo credor a título de amortzação Prestação É composto do valor da amortzação mas os ecargos faceros devdos em determado período de tempo ssm: Prestação = mortzação + Ecargos Carêca Mutas operações de empréstmos e facametos preveem um dfermeto a data covecoal do íco dos pagametos

45 Sstema de mortzações Costates SC Defção 30: No Sstema de amortzação costate (SC), o captal cal (prcpal) é reembolsado em quotas de amortzação guas prestação s prestações ão são decrescetes, já que os juros dmuem a cada amortzação é calculada dvddo se o valor prcpal pelo úmero de pagametos (parcelas) k valor da amortzação (costate); D0 k D 0 valor prcpal (Captal cal facado); úmero de parcelas da amortzação Esse tpo de sstema de amortzação às vezes é usado pelos bacos comercas em seus facametos mobláros e também, em certos casos, em empréstmos a empresas prvadas, por meo de etdades goverametas Teorema 3: No Sstema de amortzação costate (SC), sedo o úmero de pagametos da dívda e a taxa utára de juros, temos K Período de tempo; k I Dk D II III P J K DK 1 K K J D k Estado da dívda o período de tempo k; J K Juros pago o período k; P k valor da parcela correspodete ao período k Prova: Se a dívda D o é amortzada em quotas guas, cada quota é dada por D k 0 I O Estado da Dívda, após K amortzações, é D k D 0 K D k D 0 0 k 0

46 46 II É ácl perceber que os juros gerado em cada período é o produto da taxa utára de juros pelo estado da dívda ateror, logo J K DK 1 III Também é smples observar que o valor da parcela da dívda referete a cada período k é o acúmulo da amortzação o período k juto ao juros gerado aquele período, ou seja III P K K J Exemplo: Uma dívda de R$ 1000,00 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses, pelo sstema SC aça uma plalha de amortzação Resolução: Como ad amortzações são guas, logo cada amortzação será de 1/5 da dívda cal, ou seja R$ 200, 00 k D K K plcado o Teorema 3, obtemos a tabela abaxo: Tabela 2 SC K K D K J K P K