Ensaios Econômicos. Amortização de Dívidas e Prestações Constantes: Uma Análise Crítica. Outubro de Escola de. Pós-Graduação.

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1 Esaos Ecoômcos Escola de ós-graduação em Ecooma da Fudação Getulo Vargas N 746 ISSN Amortzação de Dívdas e restações Costates: Uma Aálse Crítca Clovs de Faro Outubro de 203 URL:

2 Os artgos publcados são de tera resposabldade de seus autores. As opões eles emtdas ão exprmem, ecessaramete, o poto de vsta da Fudação Getulo Vargas. ESCOLA DE ÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Dretor Geral: Rubes eha Cyse Vce-Dretor: Aloso Araujo Dretor de Eso: Carlos Eugêo da Costa Dretor de esqusa: Humberto Morera Vce-Dretores de Graduação: Adré Arruda Vllela & Lus Herque Bertolo Brado de Faro, Clovs Amortzação de Dívdas e restações Costates: Uma Aálse Crítca/ Clovs de Faro Ro de Jaero : FGV,EGE, p. - (Esaos Ecoômcos; 746) Iclu bblografa. CDD-330

3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E RESTAÇÕES CONSTANTES : UMA ANÁLISE CRÍTICA Clovs de Faro # (Revsado, 23 de outubro de 203) # rofessor da Escola Braslera de Ecooma e Faças EGE/FGV

4 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E RESTAÇÕES CONSTANTES : Uma Aálse Crítca Clovs de Faro - Itrodução Idubtavelmete, clusve em escala plaetára, o sstema de amortzação de dívdas mas frequetemete utlzado é o que se basea o pagameto de prestações costates. Em especal, aqu o Brasl, mormete o caso de facametos habtacoas, que costumam ser de logo prazo, e mesmo para aqusção de bes duráves, geralmete operações de curto a médo prazo, o esquema de prestações costates é o mas popular. Sedo que, o âmbto do sstema Facero de Habtação, é dto ser segudo a Tabela rce. Etretato, por ser fudametada o regme de juros compostos, a adoção de Tabela rce tem sdo fulcro de repetdos questoametos em osso judcáro (veja-se, por exemplo, de Faro e Guerra, 2009). Isso porque, a meu ver equvocadamete, assoca-se ao regme de juros compostos o que, o jargão jurídco, se deoma de aatocsmo (que, segudo Houass, 200, sgfca cobraça de juros sobre juros). Todava, como formalmete dscutdo em de Faro (203), muto embora aatocsmo só ocorra o regme de juros compostos, a adoção deste regme de juros ão mplca, ecessaramete, a preseça de aatocsmo. Tal é, exatamete, cotraramete ao etedmeto de algus autores, como Noguera (2002), o caso da Tabela rce; coquato esteja mplícto o regme de juros compostos, se ão houver prestação em atraso, ão há a ocorrêca de aatocsmo. Tal deomação, que ão costuma ser empregada em outros países, afgura-se como tedo orgem o trabalho Observatos o Reversoary aymets, de autora de Rchard rce, orgalmete publcado em 77, a Iglaterra. Veja-se Wpéda, agosto de

5 Como o assuto é objeto de polêmcas, ão raras vezes têm sdo promulgadas seteças judcas determado que a amortzação de facametos seja efetuada segudo os precetos do regme de juros smples. Sedo que, em partcular, usado uma deomação adequada, tem ocorrdo seteças estpulado a adoção do que veo a ser chamado de método de Gauss (cf. aulo Durga Advocaca, 203). Nosso objetvo o presete artgo é o de, com fudameto em um arcabouço teórco que suporta o que remos deomar de codções de cosstêca (facera), aalsar crtcamete tato as característcas da Tabela rce, como também as assocadas a algus sstemas de amortzação, com prestações costates, que fazem uso do regme de juros smples. 2 Estrutura Aalítca ara ossas faldades, remos cosderar a stuação ode um facameto de valor F, deve ser amortzado medate o pagameto de prestações peródcas e postecpadas (sto é, com a prmera vecedo-se um período após a data de cocessão do empréstmo), todas elas guas ao valor costate. Ou seja, remos cosderar o fluxo de caxa cuja represetação gráfca é: períodos F Ada mas, cosderada a taxa peródca de juros, seja ela de juros smples ou de juros compostos, suposta postva, admtremos, como adate formalzado, haver equvalêca facera etre o valor facado F, e a sequêca formada pelas prestações peródcas e guas a. É aí mecoada seteça dos autos , às fls 227/262, da Vara Federal Especalzada do Sstema Facero da Habtação de Curtba, codeado sttuções faceras a substtur a Tabela rce pelo método lear poderado ou de Gauss. A propósto, o Isttuto dos Mutuáros e Defesa dos Cosumdores de rodutos Faceros, mecoa, em sua pága a Iteret, despacho, de feverero de 200, do Desembargador aulo Hataaa, do Trbual de Justça do estado de São aulo, que... Aplca-se, em substtução à Tabela rce, o método de cálculos smples, ou seja, o Método de Gauss ; fcado... 3

6 2.- Defções Defe-se o total cotábl de juros, que está embutdo o facameto e que será deotado por Ĵ, como: () com, posto que supomos Jˆ. F ˆ 0 J 0 or outro lado, podemos sempre admtr que cada prestação seja composta de duas parcelas. Uma, dta de amortzação (ou de redução do valor do prcpal F que fo facado), e a outra, de juros (ou de remueração pelo facameto). Deotado por A a parcela de amortzação que está cotda a -ésma prestação, e por J a correspodete parcela de juros, temos que com e A J,,2,... A F J ˆ J. F (4) 2.2 Coceto de Cosstêca (Facera) Dremos que um sstema de amortzação de dívdas é (faceramete) cosstete, se, deotado por S o saldo devedor (estado da dívda ou débto remaescete), logo após o pagameto da -ésma prestação, para =,2,...,, o seu valor puder ser dsttamete determado segudo qualquer um dos três segutes procedmetos: a) método retrospectvo O que se deve é gual ao valor F do facameto, subtraído da soma das parcelas de amortzação já efetuadas. Ou seja, formalmete, se: S F A b) método prospectvo O saldo devedor a época, é gual ao valor atual (como adate defdo) e à taxa do facameto, das - prestações remaescetes. c) método de recorrêca (2) (3) (5) 4

7 O que se deve a época, é gual ao que se devera se ada houvesse sdo pago (o que correspode ao valor F facado, acrescdo de juros à taxa, por períodos), deduzdo do motate (como adate explctado), a época e à taxa, das prestações já pagas. Adcoalmete, o coceto de cosstêca (facera), aqu eucado, completa-se com a terpretação de que a -ésma parcela de juros,, deva ser gual aos juros, por um período e à taxa, seja ela de duros smples ou de juros compostos, relatvos ao saldo devedor a época -. Ou seja, formalmete, se: J. S,,2,...,, com S F (6) 0 J Observe-se também que, partdo da relação (5), como S S A decorre da relação (4) que S S J ou, face à relação (6) S S,,2,..., (5 ) (5 ) (7) Em palavras, a relação (7), que ão depede de que a taxa seja de juros smples ou de juros compostos, pos que dz respeto a um úco período, expressa o fato, como devera ser de etedmeto comum, de que o que se deve um período após a época -, é gual ao que se deva aquela época, acrescdo de juros à taxa, subtraído do pagameto da prestação que se veceu a época. Tedo presete o arcabouço teórco aqu apresetado, vejamos agora o que acotece quado se cosdera a taxa como de juros compostos ou como de juros smples. 3 - O Caso do Regme de Juros Compostos (Tabela rce) Na evetualdade em que seja especfcado que a taxa cosderada é de juros compostos, o resultate sstema de prestações costates reduz-se ao chamado método fracês ou da Tabela rce. Sedo que, formalmete, a hpótese de equvalêca facera etre o valor F do facameto e a sequêca de prestações guas a, quado se cosdera a data de cocessão do facameto, época zero, como data focal, se expressa como: j (8) F j do que decorre que Na realdade, como aaltcamete mostrado em de Faro (2006, pp ), a propredade de cdbldade do prazo que se verfca o regme de juros compostos, mplca que a relação (9) vale qualquer que seja a data focal. 5

8 . F Como J F. segue-se que e A J. F or outro lado, cosderado-se épocas e +, podemos escrever: A J A. S A F A (9) (0) () A J A. S A F A Logo, subtrado-se membro a membro, vem: A A (2) Ou seja, o sstema de prestações costates o regme de juros compostos à taxa, as parcelas de amortzação evoluem segudo uma programação geométrca de razão +, e termo cal dado pela relação (). ou, ada or cosegute, de acordo com o método retrospectvo, ter-se-á: S F A A A S F (3) (3 ) or outro lado, cosderado-se a determação do saldo devedor pelos métodos prospectvo e de recorrêca, tem-se, respectvamete, que: ou e ou j j S S F j (4) (4 ) j S F F ( ( 5) S F Observado que a relação (4 ), multplcado-se o umerador e o deomador por, reduz-se à relação (3 ), coclu-se, de medato, que há cosstêca (facera) etre os métodos retrospectvo e prospectvo. 6 (5 )

9 Cosequetemete, para costatar a total cosstêca (facera) do sstema fracês (Tabela rce), basta verfcar se, por exemplo, os métodos de recorrêca e prospectvo coduzem ao mesmo resultado para o saldo devedor. Isto é, se as relações (4 ) e (5 ) coduzem ao mesmo resultado. Isso é formalmete cosegudo observado-se que a relação de equvalêca facera dada por (8), pode ser coveetemete reescrta como: S j F j j j (8 ) ortato, multplcado-se ambos os membros de (8 ) por, costata-se, trvalmete, a cosstêca (facera) etre os métodos prospectvo e de recorrêca. 4- O Caso do Regme de Juros Smples Supoha-se agora que, como parece ser frequete em decsões judcas, a taxa cosderada deva ser de juros smples. Como, o regme de juros smples, o prazo de aplcação é ão cdível, a determação do valor da sequêca das prestações costates, fca depededo da escolha da chamada data focal. No que se segue, remos cosderar duas dsttas possbldades para a data focal. Respectvamete a época zero, que é a de cocessão do empréstmo, e a época, que é a de pagameto da últma prestação Época Zero como Data Focal Em prcípo, em sedo especfcada a época zero como data focal, a relação de equvalêca facera etre o valor F do facameto e a sequêca formada pelas prestações peródcas e costates, depederá, ada, de que seja adotado o que se deoma de descoto racoal, ou que seja estpulado o chamado descoto comercal (ou bacáro) Adotado-se o Descoto Racoal o resultate valor da prestação Nesta evetualdade, deotado-se por costate, a equação de equvalêca facera etre o prcpal F e a sequêca das prestações peródcas e guas a, é escrta como: F j j. (6) Em lígua portuguesa, tal dosscrasa já hava sdo observada em de Faro (969, pg. 33). 2 Essas duas datas focas ão estão sedo arbtraramete estpuladas, pos que são as que aparecem em seteças judcas. 7

10 Muto embora, computacoalmete, possa ser feto uso de recursão. com B B, 2,3,... (7). B (8) a relação (6) é, à exceção do caso trval ode =, de crescetemete trabalhosa solução aalítca, em fução de. A título meramete lustratvo, a Tabela I apreseta, em fução de F e de até 6 prestações, as correspodetes expressões para. e para Tabela I Expressão Aalítca de em Fução de F, de e de F F F F F F Como lustrado a Tabela I, o tratameto aalítco, especalmete para valores elevados do úmero de prestações, é probtvo. or sso mesmo, para evdecar que a sstemátca em questão ão satsfaz ossa codção de cosstêca (facera), laçaremos mão do expedete de um exemplo umérco. Seja o caso ode F = udades de captal, a taxa, de juros smples, é 2% por período, e o empréstmo deva ser lqudado medate o pagameto de = 5 prestações peródcas e costates. Quer laçado mão da recursão dada pelas relações (7) e (8), quer fazedo uso da expressão aalítca apresetada a Tabela I, tem-se que o valor da prestação costate é 2.84,90 udades de captal. A Tabela II, em termos de udades de captal, mostra a evolução do estado da dívda ao logo do prazo de 5 períodos que fo cosderado. Sedo que, o que 8

11 cosderamos como fudametal, fzemos, a cada período, uso das relações báscas (6) e (7), quado se substtu. por Tabela II Evolução do Estado da Dívda o Caso do Descoto Racoal S , ,0 2.84, , , , ,90.66, , , ,90.224, , , ,90 825, ,7 5 6,0 2.84,90 48, ,35 Totas , , ,99 J Os resultados umércos apresetados a Tabela II evdecam que o crtéro de cosstêca (facera) que adotamos como arcabouço teórco, ão é satsfeto. Especfcamete, à taxa de juros smples de 2% por período, o débto ão é lqudado com o pagameto da quta e últma prestação. Ou seja, temos o colapso do método retrospectvo. Muto embora se acredte, como veremos adate, que a valdade do método retrospectvo pudesse ser remedada, arbtrado-se as parcelas de amortzação de tal modo que sua soma guale o valor F do facameto, restara ada a cosstêca, em termos de dscrepâca, com os métodos prospectvo e de recorrêca. or exemplo, o caso da lustração umérca, cosderado-se o estado da dívda logo após o pagameto da tercera prestação, tem-se: a) segudo o método prospectvo S , ,6 u.c ,02 2 0,02 b) segudo o método de recorrêca 3 3 j S F 0,02 3 0,02 3 j ,90,04, ,2 u.c. Como cosequêca, as parcelas de amortzação são obtdas, como resíduos, a partr da relação (2), substtudo por. 9

12 odemos, pos, coclur que a adoção do regme de juros smples, cosderado a data zero como data focal, e o prcípo do descoto racoal, é (faceramete) cosstete Adotado-se o Descoto Comercal Matda a especfcação da data zero como data focal para a equação que exprme a equvalêca facera etre o valor F do facameto, e a sequêca de prestações costates, que agora deotaremos por, uma outra possbldade, ada o regme de juros smples à taxa, é a adoção do que se deoma de descoto comercal (ou bacáro). ˆ Nesta evetualdade, que costuma ser empregada pelos bacos comercas, especalmete em empréstmos de curto prazo, tem-se a segute equação de equvalêca facera: j F ˆ. j (9) Observado que devemos ter satsfeta a codção de que se teha, que pode ser etedda como a razão de que o descoto comercal só seja empregado em empréstmos de curto prazo, temos a segute solução aalítca para a equação dada pela relação (9); solução esta que faz uso da soma dos prmeros úmeros aturas, que é 2 gual a ˆ 2F 2 (20) Com o tuto de evdecar que também ão temos um sstema (faceramete) cosstete, e para efeto de comparação com o exemplo vsto o caso de adoção do descoto racoal, a Tabela III apreseta a correspodete Evolução do Estado da Dívda; como também expresso em udades de captal. Tabela III Evolução do Estado da Dívda o Caso de Descoto Comercal ˆ J , , , , , , ,60.64, , , ,60.22, , ,60 820, , , ,60 40, ,6 Totas , , ,9 S 0

13 Novamete, fo feto uso do etedmeto básco que estabelece que o que se deve o fm do -ésmo período, medatamete após o pagameto da prestação que aí se vece, é gual ao saldo devedor o íco deste -ésmo período, época -, acrescdo de juros à taxa pactuada, subtraído do pagameto efetuado. Ou seja, a ova otação para a prestação costate, fo feto uso da relação: S S ˆ (7 ) Agora, dferetemete do caso ateror, quado fo cosderado o descoto racoal, temos, como mostrado a Tabela III, que tera sdo amortzado mas do que o valor facado. os que o resultate saldo devedor fal, logo após o pagameto da quta e últma prestação, é egatvo. De qualquer modo, fca também evdecado o colapso do método retrospectvo; o setdo de que a dívda ão seja exatamete lqudada com o pagameto da últma prestação. Quato ao cálculo do saldo devedor, por exemplo, a época 3, de acordo com o método prospectvo, teríamos: 3 5 j4 S ˆ j ,60 0,02 0, ,60 u.c. Sedo que, segudo o método de recorrêca, o saldo devedor essa mesma época 3, sera: ˆ 3 S F j j = , ,60 0,02 2 0, ,60 u.c. or cosegute, fca costatado que também o caso de adoção de descoto comercal, ão é satsfeto o crtéro de cosstêca (facera). Isso, mesmo o caso, como o do exemplo, de um empréstmo de curto prazo. Sedo que, como = 2% por período, os prazos devem ser (sgfcatvamete) ferores a 50 períodos. Note-se que, cogruetemete, equato valores atuas estão sedo calculados segudo os dtames do descoto comercal, valores futuros estão sedo determados com base a relação clássca do regme de juros smples, C 0. C. Etretato, mesmo que valores futuros fossem calculados com base o etedmeto de que se tratara de uma operação versa à de descoto comercal, ou seja N V., também sera costatada a cosstêca apotada. osto que, com tal etedmeto, o método de recorrêca coduzra a S , ,60 2 0,02 0, ,44 u.c.

14 4.3 - Época do Últmo agameto como Data Focal Corretemete, vsto que ossos trbuas repudam o que se deoma de aatocsmo, que, equvocadamete, como já aterormete mecoado, costuma ser eteddo como estado ecessaramete presete o emprego da Tabela rce, tem sdo proposto (cf. Ato e Assução, 2006 e Noguera, 203), que amortzações de dívdas por meo de prestações costates, sejam efetuadas com base o regme de juros smples e adotado-se o fal do prazo do facameto como data focal; época. Tal mplca em que a equação de equvalêca facera etre o valor F do facameto, e a sequêca de prestações costates, cujo valor agora deotaremos por, cosderada a taxa peródca de juros smples, seja escrta como: j F. j (2) relmarmete, otemos que o valor de costuma, aqu em terras brasílcas, ser dto estar sedo determado de acordo com o método de Gauss. Isso, aparetemete, por que, como a relação (2) evolve a soma dos prmeros úmeros aturas, o que também acotece a relação (9), faz-se uma homeagem ao grade matemátco alemão Carl Fredrch Gauss ( ). Que, craça prodígo, costa que (cf. Wpeda, 203), ada como aluo a escola elemetar em sua cdade atal, Brauschweg, Alemaha, fo capaz de apresetar, quase de medato, a solução umérca para a soma dos 00 prmeros úmeros aturas. Frzado que ão é cohecda ehuma referêca de que Gauss teha tdo qualquer teresse pelo problema em questão, faz-se mster chama ateção de que a cosderação da época como data focal, coduz ao que, a lígua glesa (cf. Butcher e Nesbtt, 977, pg. 95 e Kellso, 99, pg. 252), se deoma de Merchat s Rule. Resolvedo-se para solução aalítca: 2 a equação data pela relação (2), obtém-se a segute 2F. 2 (22) Adcoalmete, os propoetes deste método de Gauss, como as referêcas mecoadas, especfcam que o total cotábl de juros, agora dado por Sedo que, em lígua portuguesa e aqu o Brasl, com base em Ayres Jr. (963), o assuto, com essa mesma termologa, já era tratado em de Faro (969, pg. 93). Com o objetvo sedo o de prover uma aproxmação para a taxa de juros compostos que estara mplícta. or outro lado, como apotado e reproduzdo por Noguera (203, pgs ), essa abordagem já hava sdo apresetada em Wles (794, pgs ). 2 Segudo Vera Sobrho (202, pg. 6), o prmero autor braslero a apresetar a dedução dessa fórmula fo S. Thago (937, pg. 439). 2

15 ou J. F J. F 2 (23) dvddo pela soma dos prmeros aturas, defa o que deomam de ídce de poderação, cuja expressão é: I 2. F 2 (24) A partr desse ídce de poderação, estpula-se que a -ésma parcela de juros, que deotaremos por, seja dada por J J I,,2,..., (25) Do que decorre que as parcelas de juros cotábes, segudo esse método de Gauss, decresçam segudo uma progressão artmétca de razão gual ao smétrco do ídce de poderação. Ada, mas estpula-se que a -ésma parcela de amortzação seja dada, resdualmete, como A J (26) com o saldo devedor logo após o pagameto da -ésma prestação, sedo S F para,2,..., j j (27) Com tas especfcações, segue-se que, para o caso do exemplo cosderado, ode F= u.c., = 5 períodos e = 2% por período, a Evolução do Estado da Dívda sera como apresetado a Tabela IV. Tabela IV Evolução do Estado da Dívda Segudo o Método de Gauss S , , ,85.923, , , ,85.538, , , ,85.53, , , ,85 769, ,62 5 0, ,85 384, ,23 Totas , , ,00 J 3

16 Um prmero aspecto a destacar é que, aparetemete, a dívda fo efetvamete lqudada com o pagameto da últma prestação. Tal, porém, é egaoso; pos que fo cosegudo com o artfcalsmo embutdo o coceto de ídce poderado. Efetvamete, se forem devdamete levadas em cota as relações báscas, tas como dadas pela relação (6) e pela relação (7), com a substtução de, comprova-se, como mostrado a Tabela V, a efetva ão coformdade com o método retrospectvo. por De qualquer maera, cofgura-se a ão cogruêca com os métodos prospectvo e de recorrêca. Vsto que, cosderado-se o saldo devedor logo após o pagameto da tercera prestação, se tem: a) segudo o método prospectvo S , ,30 u.c. j4 j 3 0,02 2 0,02 b) segudo o método de recorrêca 3 3 j S F 3 3 j , ,85,04,02 = , ,23 u.c. Tabela V Evolução do Estado da Dívda Levado em Cota as Relações Báscas S * , ,5 2.53, , , , ,85.66, , , ,85.226, , , ,85 827, , , ,85 42, ,74 Totas , , ,38 J Destaque-se ada que, como evdecado a Tabela V, o débto ão sera lqudado mesmo após o pagameto da quta e últma prestação. 4

17 5 - Comparação etre os Valores das restações Ates de passarmos às coclusões, é coveete que se proceda a uma comparação etre os respectvos valores das prestações costates. Em termos aalítcos, como justfcado o Apêdce, temos que, dados F, e, teremos: a) para o caso de um úco período ˆ b) para o caso de mas de um período ˆ Ou seja, cotraramete ao apregoado pelos detratores da Tabela rce, que advogam seja esta substtuída por sstemas com base o regme de juros smples, pos que este coduzra a meores valores para as prestações, sto em sempre é verdade. Temos exatamete o cotráro, se for adotado o prcípo de descoto comercal (ou bacáro). Resta ada, etretato, prover uma dea quato aos tamahos, em termos umércos, das dfereças etre os valores das prestações costates, assocados a cada um dos quatro dsttos sstemas de amortzação, aqu cosderados. Embora lmtados a taxa de juros ão superores a 3% ao mês (o que correspode a uma taxa efetva, de juros compostos, de 42,58% ao ao), os resultados umércos apresetados o Apêdce, dão margem a que se façam as segutes ferêcas. Na Tabela A., que se refere à meor das taxas de juros que foram cosderadas, 0,5% por período, vemos que, para prazos que podem ser admtdos como curtos, ão mas do que 24 períodos, as dfereças umércas ão são de maores motas. Em partcular, a prestação costate assocada ao chamado método de Gauss, é somete 0,43% feror à relatva à Tabela rce; sto para o caso lmte superor, de 24 períodos. No etato, as dfereças crescem rapdamete, à medda que se aumeta a taxa de juros. Assm, se = 3% por período e = 24 períodos, vemos, da Tabela A.6, que a dfereça acma mecoada passa a ser o ada desprezível valor de 9,76%. Ada mas, mesmo para taxas pequeas, as dfereças aumetam sgfcatvamete à medda que se dlata o prazo (como meddo em úmero de períodos). or exemplo, se = 0,5% por período e = 240 períodos, a dfereça etre e é da ordem de 25%. 5

18 Deve-se ada observar que, como apotado dretamete as Tabelas em questão, exstem stuações ode tato como, sequer cobrem os juros, por um período, devdos ao captal emprestado (que é dado pelo produto ). O que tem como mplcação o fato de que, matdo o valor da prestação, a dívda ão seja amortzada por mas que se prorrogue o prazo. 6- Coclusão Nossos trbuas têm sdo pródgos em promulgar seteças codeado o emprego do regme de juros compostos a amortzação de dívdas. Isso por que, equvocadamete, ossos juízes acredtam que qualquer sstema de amortzação que se fudamete o regme de juros compostos, mplca a ocorrêca do que se deoma de aatocsmo. Em partcular, aboma-se a chamada Tabela rce; determado-se que o cálculo das prestações seja efetuado com base o regme de juros smples, medate o emprego de uma varate omada como método de Gauss. Fxado ateção o caso de prestações costates, mostrou-se que qualquer das três varates, fudametadas o regme de juros smples, que foram aqu aalsadas, ão satsfazem codções báscas de cosstêca (facera). Codções essas que são pleamete ateddas o caso da Tabela rce. Ademas, com a exceção do caso do descoto comercal, as duas outras sstemátcas que se fudametam o regme de juros smples, mplcam em prestações costates ferores àquelas que, para os mesmos valores de taxa de juro e de prazo, se assocam à Tabela rce. Como cosequêca, além de serem trscamete cosstetes, acarretado cálculos equvocados as apurações de juros cotábes e de saldos devedores, mplcam em que devedores se locupletem em detrmeto de credores, quado seteças judcas determam que a Tabela rce seja substtuída por um deles, sem que se alterem prazos e taxas de juros. or outro lado, tas tpos de seteças judcas tedem a provocar um efeto perverso. Buscado precaverem-se das perdas que estaram sedo mpostas, as sttuções faceras laçaram mão do expedete de, prevetvamete, aumetar as taxas de juros especfcadas os cotratos de facameto. Referêcas: - Ato, L.R. e Assução, M.S., Tabela rce e Aatocsmo, Revsta de Admstração da UNIME, Vol. 4, º,( ja/abr. de 2006), pp Ayres Jr., F., Mathematcs of Face, Schaum, Butcher, M.V. e Nesbtt, C. J., Mathematcs of Compoud Iterest, Ulrch, de Faro, C., Matemátca Facera, AEC, de Faro, C., Fudametos da Matemátca Facera, Sarava, de Faro, C., Uma Nota Sobre Amortzação de Dívdas: Juros Compostos e Aatocsmo, Revsta Braslera de Ecooma, Vol. 67, º 3 (jul/set. de 203), pp F. 6

19 - de Faro, C. e Guerra, S., Aatocsmo: o Dreto (a Justça) e a Matemátca Facera, Revsta de Dreto do Trbual de Justça do Estado do Ro de Jaero, º 80 (jul/ago/set. de 2009), pp Durga,.-Advocaca, SFH, Sstema rce, Aatocsmo e Método de Gauss, pága a Iteret, Houass, A., Dcoáro Houass da Lígua ortuguesa, Objetva, Isttuto dos Mutuáros e Defesa dos Cosumdores de rodutos Faceros, Método de Gauss, pága a Iteret, Kellso, S.G., The Theory of Iterest, Irw, 2 d Ed., Noguera, J.J.M., Tabela rce: da prova documetal e precsa do seu aatocsmo, Servada, Noguera, J. J.M., Tabela rce: Mtos e aradgmas, 3ª Ed., Mlleum, rce, R., Observatos o Reversoary aymets, 2 d Ed., Cadell, S. Thago, R. B. de, Mathematca Commercal e Facera, Esc. rof. Salesaas, Wpeda, pága a Iteret, Wle, D., Theory of Iterest: Smple ad Compoud,. Hll, 794. AÊNDICE Comparação etre as restações. Uma questão que se apreseta é saber como, dados F, e, se comparam as prestações costates respectvamete assocadas à cada uma das quatro sstemátcas que foram cosderadas. ara respoder a dagação, remos cosderar dos efoques. O prmero, de cuho aalítco, tem como cosequêca podermos ordear, de uma maera geral, os correspodetes valores das prestações costates. O segudo, de caráter umérco, tem o objetvo de buscar evdecar, para algumas taxas de juros e um cojuto relevate de prazos, se são muto sgfcatvas, em termos prátcos, as dfereças etre os respectvos valores das prestações costates. A.- Resultados Aalítcos Dado que, o caso de um úco período, ão há dstção etre os regmes de juros smples e de juros compostos, remos cosderar, separadamete, os casos ode = e > ; com o prazo meddo em úmero de períodos da taxa cosderada. a) Caso de um úco período Como, o caso de um úco período, além de ão haver dstção etre adotar-se o regme de juros smples ou o regme de juros compostos, ão se fazedo presete, portato, a questão da cdbldade do prazo, tem-se que: * F (A.) 7

20 e or outro lado, como ˆ F, para (A.2) (A.3) segue-se que a prestação obtda com base o descoto comercal será sempre domate (o setdo de ser a maor). b) Caso de mas de um período ara o caso de maor teresse prátco, ode > pode vr a ser um úmero bastate grade, como só acotecer em facametos mobláros, podemos estabelecer os segutes resultados, de caráter geral. roposção I ˆ *, para =, 2, 3, Demostração Lembrado que, para a determação de, deve ser obedecda a restrção, partdo-se das relações (20) e (2), tem-se: ˆ ˆ * 2F 2F. 2 2 ~2 2F 2 2 = 0 (A.4) roposção II, para Demostração Tedo em vsta as relações (8) e (6), tem-se que j. F j j j ou 8

21 j j j. j or cosegute, ter-se-á se (A.5) j j. (A.6) j j ara comprovar a valdade da desgualdade dada por (A.6), basta verfcar que, cosderado-se as respectvas j-ésmas parcelas e fazedo uso do bômo de Newto, se tem: pos que j. j j j j j j. j j 2... j. 0 2 (A.7) (A.8) roposção III *, se Demostração artdo-se das relações (6) e (20), tem-se que * F. j j j j. (A.9) ou * j j j. j. (A.0) or cosegute, teremos se for verfcada a desgualdade j j. (A.). j j 9

22 Ora, comparado-se as respectvas j-ésmas parcelas da desgualdade expressa por (A.), tem-se: 2 j j j 0, j.. j. j. (A.2) o que comprova a proposção. roposção IV Decorre dretamete das roposções II e III que, se. roposção V ˆ, para,2,3,... Demostração ara mostrar que as prestações costates, obtdas com base o regme de juros smples à taxa peródca, quado se faz uso de coceto do descoto comercal, superam as respectvamete obtdas com base o regme de juros compostos, à mesma taxa, qualquer que seja o úmero de prestações, observe-se que, a partr das relações (8) e (9), se tem: j F ˆ. j, com. 0 j j (A.3) ou ˆ j j j j. (A.4) Logo, ˆ se j. j (A.5) j j Comparado-se as correspodetes j-ésmas parcelas da desgualdade expressa por (A.5), tem-se: 20

23 j j j. j 0. j j j j j. = j Com o umerador N da relação dada por (A.6) sedo: j j N j. j.. j j j j. j (A.6) (A.7) Ora: j j j j j j j. j j. j j (A.8) Como j j j. j! j! j! j 0! j!! j!! j! (A.9) decorre que N > 0. costates or cosegute, (A.5) é verfcada; o que assegura a valdade da roposção V. Sumarado, temos a segute ordeação para os valores das prestações ˆ,, e ˆ, se ˆ, se A.2 - Resultados Numércos ara que se teha uma dea das dfereças em termos dos respectvos valores umércos, foram orgazadas as Tabelas A., A.2, A.3, A.4 e A.5, que se referem, respectvamete, às taxas de juros de 05,%, %,,5%, 2%, 2,5% e 3% por período, para Agradecmetos são devdos a Rcardo Spell. 2

24 um cojuto represetatvo de dsttos prazos (como expressos em úmero de períodos), com F = udades de captal. Tabela A. ( = 0,5%) 0.050, , , , , , , , , , , , , ,7 2.53, , , , , , ,95.695,7.696,35.695, ,29.457,00.457,73.456, ,29.277,96.278,77.277, ,07.38,7.39,60.38, ,7.027,30.028,28.026,89 936,59 936,4 937,2 935, ,66 860,8 86,33 859, ,2 442,24 444,24 44, ,22 302,79 306,09 30, ,85 232,96 237,42 23, ,33 90,99 96,66 88,82 20,02 06,59 9,47 02, ,39 78,04 0,47 75, ,64 63,52.a 57, ,43 54,66.a 47, ,96 48,64 2.a 40,99 2 < /0,005 = 200 períodos ˆ 2 F. = x 0,005 = 50 u.c Deve ser levado em cota que, para a determação de ˆ, é ecessáro que seja satsfeta a codção /. 22

25 Tabela A.2 ( = %) 0.00, ,00 0.0,0 0.00, , , , , , , , , , , ,0 2.56, , ,6 2.06, , ,48.724,53.727,2.723, ,28.485,6.488,0.484, ,90.305,62.308,90.304, ,40.65,96.69,59.64, ,82.054,22.058,20.052,63 964,54 962,78 967,2 96, ,49 886,57 89,27 884, ,73 466,97 476,9 463, ,4 326,62 340,83 32, ,34 256,3 275,94 249, ,44 23,6 239,8 205, ,47 27,27.a 4, ,02 97,43 2.a 82, , 8,95 2.a 64, ,32 72,33 2.a 53, ,86 65,70 2.a 45,72 2 < /0,0 = 00 períodos ˆ 2 F. = x 0,0 = 00 u.c 23

26 Tabela A.3 ( =,5 %) 0.50, , , , ,78 5.2,22 5.5,09 5., , , , , , , , , , , , , ,25.753,3.759,0.75, ,56.53,07.59,76.50, ,84.332,99.340,48.330,7 9.96,0.92,89.20,20.89, ,34.080,78.089,92.077,28 992,94 989,03 999,00 985, ,80 92,54 923,36 908, ,24 490,99 52,82 483, ,52 349,52 384,47 338, ,75 278,9 329,38 264, ,93 234,99 307,22 29, ,9 46,37 2.a 23, ,04 5,3 2.a 87, ,33 98,67 2.a 68, ,74 88,3 2.a 56, ,7 8,08 2.a 48,5 2 < /0,05 = 66,67 períodos ˆ 2 F. = x 0,05 = 50 u.c 24

27 Tabela A.4 ( = 2 %) 0.200, , , , , ,5 5.54, , , , , , , ,8 2.63, , ,58 2.8, ,66 2.5, ,26.78,5.792,.777, ,2.540,74.552,80.536, ,0.360,09.373,63.355, ,5.29,52.234,57.23,99 0.3,27.07,02.23,60.00,92.02,78.04,93.033,06.008, ,60 938,4 957,85 930, ,7 54,38 555,56 50, ,33 37,64 440,92 353, ,02 299,37 408,50 277, ,68 255,42.a 230, ,48 64,37.a 29, ,83 3,73 2.a 9, ,74 4,3 2.a 7, ,53 03,23 2.a 58, ,6 95,45 2.a 49,62 2 < /0,002 = 50 períodos ˆ 2 F. = x 0,02 = 200 u.c 25

28 Tabela A.5 ( = 2,5 %) 0.250, , , , , , ,8 5.85, , , , , , , , , , , ,6 2.42, ,50.809,70.826,48.803, ,95.568,8.587,30.56, ,67.386,93.408,45.379, ,57.245,87.269,84.237, ,59.32,95.59,42.23,60.05,06.040,50.069,52.030, ,87 963,39 995,02 952, ,3 537,23 606,06 57, ,52 393,0 56,80 367, ,06 39,82.a 288, ,53 275,08.a 39, ,62 8,56 2.a 34, ,97 47,53 2.a 94, ,67 29,8 2.a 73, ,03 7,42 2.a 59, ,6 09,0 2.a 50,62 2 < /0,025 = 40 períodos ˆ 2 F. = x 0,025 = 250 u.c 26

29 Tabela A.6 ( = 3 %) 0.300, , , , , 5.223, , , , , , , , , , , , , , , ,98.837,70.862,20.829, ,06.595,40.623,38.585, ,56.43,53.445,09.402, ,34.27,96.307,9.259, ,3.58,60.97,60.45,37.080,77.065,76.08,65.05, ,62 988,3.035,20 972, ,47 559,60 666,67 532, ,04 44,00.a 378, ,78 339,67.a 298, ,33 294, 2.a 247, ,90 98,0 2.a 37, ,47 62,7 2.a 96, ,25 43,47 2.a 74, ,04 3,05 2.a 60, ,0 22,23 2.a 5,34 2 < /0,03 = 33,33 períodos ˆ 2 F. = x 0,03 = 300 u.c Como lustrado os resultados umércos, em qualquer um dos quatro sstemas de amortzação aqu cosderados, observada a restrção de que se teha para o cálculo de, as prestações decrescem à medda que se dlata o prazo do facameto. ˆ Deve-se, o etato, observar que F. lm lm. F / O que sgfca, faceramete, que, para qualquer prazo fto, as prestações costates determadas segudo a Tabela rce, sempre cotêm uma parcela de 27

30 amortzação. os que superam os juros, por um período, dados por valor facado F. F., devdos ao or outro lado, tato o caso da determação de como o de, o crescmeto do prazo de facameto, pode acarretar, como também lustrado em algus dos resultados umércos apresetados, que seus respectvos valores sejam ferores ao produto. O que faz com que, ão sedo sufcetes para sequer cobrrem os juros relatvos ao prmero período, acarretem amortzações sempre egatvas. Como cosequêca, o estado da dívda tora-se crescete. Com sso, a dívda uca será resgatada por mas que se prorrogue, matdos os respectvos valores das prestações, o prazo do facameto. F. ˆ 28