Capítulo 1 Matemática Financeira

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1 apítulo Matemátca Facera. Apresetação do capítulo A matemátca facera trata da comparação de valores moetáros ao logo do tempo. Através de seu estudo, podemos aalsar e comparar alteratvas de vestmeto e facameto, como: qual o valor de R$., daqu a um ao? como comparar valores o tempo (R$5., hoje cotra R$5.4, daqu a um mês ou com R$597.6, daqu a um ao)? quas as alteratvas para tomar dhero emprestado, cosderado os custos embutdos que você deverá arcar para saldar as suas dívdas futuras? O objetvo deste capítulo é apresetar os cocetos báscos ecessáros para o bom etedmeto das prcpas fórmulas da matemátca facera, seus elemetos e seus respectvos cálculos. Ao fal, você terá vsto: a defção de juro e de taxas de juro; os regmes de captalzação; a dfereça das taxas de juro omas, efetvas e reas; uma vsão geral da aálse dos dferetes fluxos de caxa, do valor presete líqudo (VPL) e da taxa tera de retoro (TIR). Na pága segute, você ecotrará o quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA deste capítulo. Idetfque a prova que rá fazer e estude os tópcos sugerdos. Bos estudos!!!

2 Quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA Tpos de provas Item. Pág. Item. Pág. 4 Item.4 Pág. 6 Item.5 Pág. 8 Item.6 Pág. 7 Item.7 Pág. 9 Operações BM&FBOVESPA Operações segmeto Bovespa Operações segmeto BM&F omercal omplace Rsco Back Offce BM&FBOVESPA Back Offce segmeto Bovespa Back Offce segmeto BM&F

3 MATEMÁTIA FINANEIRA. Juro e taxas de juro O juro represeta o custo do dhero tomado emprestado ou, aalogamete, a remueração pelo sacrfíco de adar uma decsão de gasto/cosumo e aplcar o captal ( ) por certo úmero de períodos (). Defções aptal: valor aplcado por meo de alguma operação facera. Também cohecdo como prcpal, valor atual, valor presete ou valor aplcado. Em geral, o captal costuma ser deotado por. Número de períodos: tempo, prazo ou período em determada udade de tempo (das, meses, aos etc.) em que o captal é aplcado. Em geral, o úmero de períodos costuma ser smbolzado por. Supoha que você resolva veder o seu apartameto pelo valor de R$., e receba uma proposta de compra por R$98., a vsta quado da emssão do boleto de compraveda ou R$8., esse ato e mas R$., a escrturação, que será realzada das depos. Qual será o melhor egóco para você: receber R$98., hoje ou as duas parcelas sugerdas pelo comprador? Para resolver a questão precsamos eteder o que são juros. Qual a dfereça etre juro e taxa de juro? Juro (J): valor expresso em dhero (em reas, por exemplo) referete a determado captal e para determado período. Pode também ser defdo como a remueração do captal, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dhero. Ao fazer uma aplcação facera, o motate fal () resgatado após períodos deve ser gual ao captal cal ( ) aplcado mas os juros (J) gahos a operação. Logo, podemos escrever: Motate fal = aptal cal + J ou: = + J Portato: J = - Taxa de juro (): é a porcetagem aplcada ao captal cal que resulta o motate de juros (J). ocetualmete, a taxa de juro é o custo de oportudade do captal, sto é, a taxa paga/recebda para que um captal seja aplcado e resgatado o futuro e ão gasto o presete. A taxa de juro pode ser calculada da segute forma: A taxa de juro é sempre expressa em porcetagem; para tal, basta multplcar o resultado por %. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

4 MATEMÁTIA FINANEIRA A partr do cálculo da taxa de juro, é possível calcular dretamete o motate de juros. Observe: sedo a fórmula da taxa de juro dada por: esta fórmula pode ser escrta como: sedo o motate de juro calculado como: J J substtudo J a fórmula da taxa de juros: J Portato, pode-se obter o motate de juros por: Assmlado este coceto, você optara por receber R$98., a vsta ou R$8., hoje e mas R$., em um mês? Logcamete, a resposta depederá da taxa de juro pratcada o mercado. oforme a taxa vgete, poderá ser mas vatajoso receber R$98., a vsta e aplcá-los em uma sttução facera durate um mês ou receber R$8., hoje, aplcá-los por um mês e, o fal desse período, receber mas R$., do comprador. Observe que, para tomar essa decsão, é precso comparar um valor atual com um valor em uma data futura. Exemplos de cálculos de juros, taxas de juro e do captal a) ompre um título por R$98.9, que va pagar R$., em um mês. Qual a taxa mesal da aplcação e o motate de juros recebdo? Solução: pelos dados do problema: = R$98.9, = R$., = mês =? J =? opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

5 MATEMÁTIA FINANEIRA., 98.9,,99 ao mês Para obter a taxa em porcetagem, basta multplcá-la por :,99 x % =,99% ao mês. J =., 98.9, =.96,78 Ou, pela fórmula dreta: J, ,.96,78 Repare que, ao calcular a taxa de juro, o resultado está especfcada a perodcdade da taxa, o que é muto mportate. No caso, como a aplcação fo de um mês, a taxa calculada é a taxa mesal, ou ao mês. b) A taxa de juro é gual a % ao ao. Qual o valor, hoje ( ), de um título cujo valor de resgate é R$5., e que vece daqu a um ao? Solução O eucado do problema os dz que: =? = R$5., = ao = % ao ao 5.,, 4.666,67 Ou seja, se uma aplcação for feta hoje o valor de R$4.666,67 à taxa de % ao, após um ao será resgatado R$5.,. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

6 MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Utlzado a fórmula para calcular a taxa de juro,, o valor futuro pode ser faclmete ecotrado: Pelos dados do exemplo ateror, tem-se: 4.666,67 x, 5., O motate fal ( ) obtdo a aplcação facera também é cohecdo como VALOR FUTURO (VF). Exemplo: se eu aplcar R$5., por um ao à taxa de juro de % ao ao, qual o valor futuro do resgate? 5.,, 56.5, Neste caso, o motate de juros é J, 5., 6.5,, que é a dfereça etre o captal aplcado e o valor futuro esperado.. Regmes de captalzação As taxas de juro foram calculadas apeas para um úco período, etretato, para resolver problemas de cálculo de taxas de juro em dos ou mas períodos é ecessáro trabalhar com a oção de regme de captalzação. Defções Regme de captalzação: é a forma como a taxa de juro cde sobre o captal cal em város períodos de tempo. É possível destacar os segutes regmes de captalzação: Regme de aptalzação Smples: os juros de cada período são sempre calculados em relação ao captal cal ( ); Regme de aptalzação omposta: os juros de cada período são calculados com base o captal cal ( ), acrescdo dos juros relatvos aos períodos aterores. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

7 MATEMÁTIA FINANEIRA 5 A taxa de juro do Regme de aptalzação Smples é cohecda como taxa de juro smples. Já o Regme de aptalzação omposta, é defda como taxa de juros compostos. Algumas característcas são guas os dos regmes de captalzação: os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período de captalzação; o captal, aplcado ou emprestado, é captalzado a cada período de tempo; os períodos de tempo são dscretos, sto é, são potuas; por exemplo: das, meses e aos. A segur, serão detalhados os regmes de captalzação. REGIME DE APITALIZAÇÃO SIMPLES OU JUROS SIMPLES No regme de captalzação smples, como dto aterormete, as taxas de juro () deomadas de juro smples recaem sempre sobre o captal cal ( ). Dessa forma, ao resgatar a aplcação corrgda por juros smples, o motate fal ( ) ou valor futuro (VF) será o captal cal depostado acrescdo do motate de juros gahos os períodos em que o captal fcou aplcado. Para eteder o fucoameto do regme de captalzação smples, supoha que você aplcou R$.,, à taxa de juro smples de % ao mês (a.m.), por quatro meses, corrgdo o captal sempre o fm de cada mês. Qual o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

8 MATEMÁTIA FINANEIRA 6.,...,,. Mês Mês Mês 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,.,..,,.,.,4.,4. 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,..,,.,.,6., = valor futuro (VF) ao fal do mês ,,. 4.,, 4. 4, 4 4.,8.,8. 8 Note que, a cada mês, as taxas de juro recaem sempre sobre o captal cal ( x ) em parcelas que são somadas ao valor futuro do mês ateror, até chegar ao valor fal de resgate ( 4 ). Assm, a cada mês, o valor do motate de juros ovos é sempre o mesmo (este exemplo, gual a R$,). opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

9 MATEMÁTIA FINANEIRA 7 Assm podemos defr a expressão matemátca de aptalzação Smples para um úmero de períodos como: ode: = valor presete (captal cal) = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro Importate O prazo da operação (úmero de períodos ) e a taxa de juro () devem ser expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ao, o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. Exemplo de regme de captalzação smples Ao aplcar um motate de R$.,, à taxa de juro de % a.m., por sete meses, qual é o valor de resgate desta operação? Solução: substtudo os valores dados o problema, a fórmula de captalzação smples, temos: ,7,,. Dessa forma, após sete meses, à taxa de juro smples de % ao mês, o valor de resgate será de R$.,. O motate de juros somado a cada mês ao captal cal é de: J = x =, x. = por mês No total dos sete meses: J = x x = 7 x, x. = que é justamete o motate adcoado ao captal cal para chegar ao valor de resgate. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

10 MATEMÁTIA FINANEIRA 8 VARIÁVEIS DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES A partr da fórmula de captalzação smples, é possível extrar outras três fórmulas muto útes para os cálculos faceros. Observe a segur: ) Valor presete Para ecotrar a fórmula do valor presete (ou captal cal) a partr da fórmula do valor futuro a captalzação smples, basta solar o termo a equação: ) Taxa de juro ohecedo o valor cal, o valor fal e o prazo da aplcação, é possível ecotrar a taxa de juro pela segute fórmula: ) Prazo da operação Dada uma determada taxa de juro, o valor cal do vestmeto e o valor fal que se deseja alcaçar, qual o prazo que o captal deve permaecer a aplcação? Esta perguta pode ser dretamete respodda pela fórmula a segur: Exemplos ) Você fez um empréstmo de R$., à taxa de juro smples de,5% ao mês a ser pago em meses. Qual o motate fal do empréstmo?...,5,8,8.8 Logo, ao fal do empréstmo você rá pagar ao credor R$.8,. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

11 MATEMÁTIA FINANEIRA 9 ) Qual é o valor presete de um empréstmo que deve ser pago em ses meses, cujo valor futuro é de R$.4,, admtdo uma taxa de juro smples de % ao mês?.4,6.4,.4.964,8, Assm, para resgatar R$.4, em ses meses à taxa de % ao mês, deve-se aplcar, hoje, R$.964,8. ) Se você aplcar R$5., à taxa de juro smples de % ao ao, quatos aos va esperar para trplcar este valor, atgdo, portato, R$5.,? 5. 5., 6,67aos, Isto é, para atgr R$5.,, aplcado R$5., à taxa de juros smples de % ao ao, o captal deve permaecer aplcado 6,67 aos. 4) Uma aplcação de R$., fo resgatada meses depos, resultado em um valor fal de R$.,. Qual a taxa de juro da operação, cosderado que fo feta captalzação smples?..,,77 ao mês,77% ao mês Assm, o captal cal de R$., deve ser corrgdo à taxa de juro smples de,77% ao mês para que se resgate R$., após meses. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

12 MATEMÁTIA FINANEIRA Importate Note que a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estverem em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo estver expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. Taxa proporcoal No regme de captalzação smples, duas taxas são dtas proporcoas quado aplcadas a um mesmo captal, e por um mesmo prazo, geram o mesmo motate. Pelo método de cálculo de juros smples, duas taxas de juro, e, serão cosderadas proporcoas se, ao aplcar dos motates cas guas ( ), por dos períodos dsttos de captalzação, e, os motates fas resgatados forem guas após determado período de tempo, ou seja: e em que: = valor presete = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro omo os motates fas ( ) são guas, é possível escrever: Logo, as taxas e são dtas proporcoas quado: O que pode ser reescrto da segute forma: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

13 MATEMÁTIA FINANEIRA Esta últma fórmula mostra que é possível calcular a taxa de juro proporcoal à taxa de juro cohecedo-se apeas o prazo de captalzação e os dados da outra aplcação ( e ). Exemplo ) Qual é a taxa aual proporcoal à taxa de juro de,5% ao mês? = taxa proporcoal aual a ser ecotrada = ao =,5% ao mês = meses Logo: ) Qual é a taxa ao da proporcoal à taxa de juro de % ao ao, cosderado-se 6 das corrdos? = taxa proporcoal ao da a ser ecotrada = 6 das corrdos = % ao ao = ao logo: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

14 MATEMÁTIA FINANEIRA Regme de aptalzação omposta ou Juros ompostos No regme de aptalzação omposta, os juros de cada período cdem sobre o captal cal ( ) acrescdo do motate de juros dos períodos aterores, e ão somete sobre o em cada período, como a captalzação smples. Dessa forma, o crescmeto do valor futuro passa a ser expoecal e ão mas lear, como o regme de captalzação smples. Vamos aalsar uma aplcação feta sob a captalzação composta para compreeder a formação do valor futuro (VF) este tpo de operação. Supoha que você aplcou R$.,, à taxa de juro composta de % ao mês, por quatro meses. Qual será o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. = valor futuro (VF) ao fal do mês Mês.,...,,. Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,.,.,.,44.44 Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

15 MATEMÁTIA FINANEIRA.,,.,.,.,68.6,8 Mês 4 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês ,, 4 4., 4 4., 4 4.,84.84, Veja, a tabela acma, que a taxa de juro () é captalzada sempre sobre o valor cal, somado aos juros do período ateror. Isso caracterza o regme de captalzação composta. Assm, podemos defr a expressão matemátca da captalzação composta para um úmero de períodos como: ode: = valor presete (captal cal) = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro em porcetagem Esta expressão mostra como um captal cal ( ), aplcado por períodos, à de juro () composta, trasforma-se o valor futuro ( ). Importate Assm como o regme de captalzação smples, o prazo da operação (úmero de períodos) e a taxa de juro devem ser expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro seja expressa ao ao (% ao ao, por exemplo), o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

16 Últma atualzação: // opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. 4 MATEMÁTIA FINANEIRA Varáves da fórmula de juros compostos São quatro (4) as varáves a composção da fórmula de juros compostos. Observe: ohecedo três elemetos da expressão, é possível calcular o restate, bastado, para sso, realzar algumas trasformações a fórmula básca. ) Valor presete Para calcular o valor do captal cal (valor presete) que deve ser aplcado, a uma dada taxa de juro, para resgatar um determado motate, basta solar em um dos lados da equação do valor futuro da captalzação composta, resultado em: Podemos ada obter o valor presete a partr dos juros do período. Observe abaxo: ) Motate de juros osderado que o motate de juros (J) é defdo pela expressão: J = -, o valor de J é ecotrado dretamete quado substtuímos o valor futuro ( ) pela sua fórmula de cálculo. Assm: J ou: J J J J J J

17 MATEMÁTIA FINANEIRA 5 ) Taxa de juro O motate de juros também pode ser ecotrado dretamete pela taxa de juro. A fórmula dreta da taxa de juro dervada a partr do valor futuro é: 4) Prazo da operação Por fm, o prazo da operação pode ser dretamete calculado por : l l Exemplos ) Você aplcou R$., à taxa composta de,% ao mês por sete meses. Qual é o motate,, acumulado ao fal desse período? alcule o motate de juros acumulado o período. Solução Valor futuro (motate acumulado):.,.,., ,9 7 7 Motate de juros: J. J. J. 7,,569, , 9 ) alcule o captal cal de uma aplcação que, vestda por dos meses à taxa de juro de 4% ao mês, acumulou o motate fal de R$6.,. No Aexo você ecotra os procedmetos para cálculo do logartmo. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

18 MATEMÁTIA FINANEIRA 6 Solução 6.,4 6., ,89,86 ) Determe o captal que, aplcado durate ses meses à taxa de juro composta de % ao mês, obteve redmeto de R$., de juro. Solução. 6,., 6.,66., ,85 Logo, ao aplcar R$58.58,85 durate ses meses, à taxa de juro de % ao mês, o retoro obtdo total será de R$.,. 4) Você aplcou R$5., à taxa de juro composto de % ao ao. Quatos aos serão ecessáros para trplcar o valor? Solução Ao trplcar o valor aplcado de R$5., o valor de resgate será de x R$5. = R$5.. om este dado, é possível chegar à solução usado a fórmula dreta do prazo da operação: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

19 MATEMÁTIA FINANEIRA 7 5. l 5. l, l l,,986, 9,69 aos Este resultado mostra que são ecessáros 9,69 aos para trplcar o captal cal de R$5. aplcados à taxa de juro de % ao. 5) Se forem aplcados R$., pelo regme de captalzação composta, obtedo um resgate de R$., após meses, qual a taxa de juro da aplcação? Solução..,,769,65,65 ao mês Em porcetagem:,65 x % =,65% ao mês Portato, a taxa de juro da aplcação é de,65 % ao mês. Importate Assm como a captalzação smples, a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estão em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo está expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. No etato, pode haver a ecessdade de alterar a perodcdade da taxa de juro e/ou do prazo. Para que sso seja possível, será precso aalsar o coceto de taxas equvaletes o regme de captalzação composta. Taxas equvaletes Duas taxas de juro são equvaletes se, ao aplcar um motate cal, por prazos dêtcos, mas com perodcdades dferetes, o motate fal, captalzado por cada uma das taxas, for o mesmo. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

20 MATEMÁTIA FINANEIRA 8 No regme de juros compostos, duas taxas de juro e são cosderadas equvaletes se, ao captalzar um motate cal pelo mesmo prazo, mas com perodcdades dsttas e, resultar em um mesmo motate fal. Dessa forma, é possível escrever que: e em que: = valor presete = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro em porcetagem omo os motates fas são guas, etão: Elevado os dos lados da gualdade por chega-se a: e fazedo algumas mapulações algébrcas Assm, é possível ecotrar a taxa, equvalete à taxa de juro, cohecedo os períodos de captalzação para cada uma das taxas, e. Exemplos de taxa equvalete ) Qual a taxa dára equvalete a 6% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete dára a ser ecotrada opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

21 MATEMÁTIA FINANEIRA 9 = das = 6% ao mês = mês Logo:,6,94 ao da Em porcetagem:,94 x % =,94% ao da ) Qual a taxa aual equvalete a,5% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete aual a ser ecotrada = ao =,5% ao mês = meses Logo:,5,956 ao ao Em porcetagem:,956 x % = 9,56% ao ao. Taxas acumuladas A taxa acumulada de juros em um período é obtda medate a aplcação da Fórmula de Fsher. Esta taxa é amplamete utlzada o mercado facero para cálculo do redmeto de vestmetos que mudam sua remueração a cada período (exemplo: fudos de vestmeto atrelados aos Depóstos Iterfaceros de da). Fórmula de Fsher:... acumulada acumulada... opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

22 MATEMÁTIA FINANEIRA = taxa de juro referete ao período = taxa de juro referete ao período = taxa de juro referete ao período... = taxa de juro referete ao período Lembrete A fórmula da taxa de juro real advém da Fórmula de Fsher com a qual se obtém uma taxa acumulada em um período de tempo a partr das taxas que ocorreram em seus subperíodos. Assm: acumulada... ( ) pode-se defr: ( ) efetva ( efetva ) de ode: real ( ) f lação real f lação Exemplos aso Um vestdor aplcou dhero em um fudo que apresetou as retabldades ctadas abaxo. ohecedo os dados, calcule a retabldade acumulada o trmestre. Outubro:,65% Novembro:,% Dezembro:,86%, 65, 86 ( acumulada ),,65,,86, e acumulada 56aotrmestr Em porcetagem: acumulada =,56 x % = 5,6% ao trmestre Este coceto será melhor dscutdo o tem.4 Taxas omal, efetva e real opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

23 MATEMÁTIA FINANEIRA aso Um agete de mercado aplcou certa quata em títulos prefxados durate 96 das, cuja retabldade era de 8% a.a. Após o resgate, aplcou ovamete em títulos por das, que garatram retabldade de 8,5%a.a. alcule a retabldade acumulada o período. Note que, este caso, é precso calcular a taxa equvalete para as duas aplcações. acumulada,8,85 acumulada,454,58,596 acumulada acumulada 96 6,58,596 Em porcetagem: acumulada =,596 x % =,596% ao período 6 aso Em certo ao, um dexador regstrou as taxas de flação dcadas abaxo. alcule a flação acumulada o período. Jaero:,% Feverero:,% Março:,4% Abrl:,5% Mao:,% Juho:,% acumulada,,,4,5,, acumulada,,,4,5,,,656 acumulada acumulada,656,656 Em porcetagem:,656 x = 6,56% ao período opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

24 MATEMÁTIA FINANEIRA Taxas cotíuas Nos regmes de captalzação smples e composta, os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período. O valor, aplcado ou emprestado, é captalzado e tem aumeto a cada tervalo de tempo cosderado, sedo este dscreto. À dfereça dos regmes de captalzação ctados, o regme de captalzação cotíua, exste pagameto de juros a cada período ftesmal de tempo. om sso, o captal cresce cotuamete o tempo à taxa de juro statâea. Veja, a segur, os cocetos relatvos a este tpo de captalzação, etededo os procedmetos de cálculos. No regme de captalzação composta, ao vestr um determado captal ( ), à taxa de juro (), pelo período de aos, obteremos um valor gual a: Se a captalzação ocorrer k vezes ao ao, o valor de resgate será dado por: k k aso o úmero de captalzações teda ao fto (k ), temos o regme de captalzação cotíua. Neste caso, o valor de resgate é dado por: e r ode: r = taxa de juro statâea Para calcular a taxa de juro statâea (r) equvalete a uma dada taxa de juro composta (), tem-se: e l e r ( ) r l( ) r l e l( ) r l e l( ) r l( ) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

25 MATEMÁTIA FINANEIRA Exemplos de taxas cotíuas ) osderado uma taxa de juro de 6% ao ao, o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. Solução A taxa de juro statâea ao ao é gual a: r = l ( +,6) =,484 ao ao Em porcetagem: r =,484 x = 4,84% ao ao. Para um período de das, a taxa é de: r,484 6,4 ao mês Em porcetagem: r =,4 x =,4% ao mês ) A partr de uma taxa de juro composta de % ao mês, qual é a taxa statâea de juro ao semestre? Solução osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: r = l ( +,) =,98 ao mês Em porcetagem: r =,98 x =,98% ao mês A taxa ao semestre é: r =,98 6 =,88 ao semestre Em porcetagem: r =,88 x =,88% ao semestre ) Quas são as taxas de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

26 MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Solução r = l ( +,5) =,4879 ao semestre Em porcetagem: r =,4879 x = 4,879% ao semestre A taxa mesal é de: r,4879,8 ao mês 6 Em porcetagem: r =,8 x % =,8% ao mês alculado a taxa aual, tem-se: r aual =,4879 =,9758 ao ao Em porcetagem:,9758 x = 9,758% ao ao TAXAS EQUIVALENTES NA APITALIZAÇÃO ONTÍNUA A razão etre o valor de resgate () e valor cal () os regmes de captalzação cotíua e de captalzação composta é dada pelas respectvas fórmulas: / = e I = Regme de captalzação cotíua / = ( + r) = Regme de captalzação composta Sedo r a taxa de juro a captalzação composta. É possível, etão, coclur que: e I = ( + r) e I = ( + r) e, portato: = l( + r) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

27 MATEMÁTIA FINANEIRA 5 Exemplos de taxas equvaletes a captalzação cotíua a) Dadas as taxas de juro compostas, calcule a taxa de juro cotíua equvalete. r % a.m. = l ( +,) = 9,5% a.m. % a.a. = l ( +,) = 9,6% a.a.,5% a.t. = l ( +,5) =,44% a.t. b) Dadas as taxas de juro statâeas, calcule a taxa de juro composta equvalete. r 5% a.m. r = e,5 = 5,% a.m. 7% a.a. r = e,7 = 8,5% a.a. % a.t. r = e, =,% a.t. Note que os exemplos apresetados cosderaram os mesmos períodos de tempo as duas taxas de juro. Podem exstr casos, o etato, em que uma taxa de juro (r) o regme de captalzação composta é forecda para um período e solcta-se a taxa statâea de juro () equvalete para um período dferete do ateror. O prmero passo para este tpo de questão cosste em achar a taxa statâea de juro, cosderado o mesmo prazo da taxa de juro composta. Feto sso, obtém-se a taxa de juro equvalete àquela obtda. Para tato, é fudametal saber que, o regme de captalzação cotíua, as taxas de juro equvaletes são learmete proporcoas. Ou seja, uma taxa de juro statâea de 6% ao semestre equvale a uma taxa aual de %. Veja os exemplos a segur. Exemplos de taxas cotíuas a) osderado uma taxa de juro de 6% a.a. o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

28 MATEMÁTIA FINANEIRA 6 A taxa de juro statâea para um ao é gual a: = l ( +,6) = 4,84 % a.a. Para um período de trta das, a taxa é de: =,484 / 6 =,4% a.m. b) A partr de uma taxa de juro composta de % a.m., qual é a taxa statâea de juro ao semestre? osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: = l ( +,) =,98% a.m. A taxa ao semestre é de: =,98 6 =,88% a.s. c) Quas são as taxas de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. mesal =,5 /6 =,8% a.m. aual =,5 = % a.a..4 Taxas omal, efetva e real Uma taxa de juro é defda como omal quado é calculada em relação ao valor omal da aplcação ou empréstmo, coforme o valor acordado o cotrato ou título. Dessa forma, é possível otar que se trata de um valor aparete. Em stuações em que a taxa de juro é calculada sobre o valor efetvamete emprestado ou aplcado, defe-se a taxa como efetva. Adcoalmete, quado este valor é corrgdo pela flação do período da operação, a taxa de juro calculada é defda como real. Esta últma é obtda pela segute fórmula: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

29 MATEMÁTIA FINANEIRA 7 ( Taxa Efetva) Taxa real ( Taxa de Iflação) Exemplos de taxas omal, efetva e real osdere que a empresa TNK obteha um empréstmo do baco com a qual trabalha o valor de R$7., sedo que terá que pagar R$85., após quatro meses da cotratação. O baco solcta que o clete mateha % do valor do empréstmo como saldo médo durate o período da operação. Além dsso, fo cobrada uma taxa de abertura de crédto de R$8,; a qual fo paga o ato da cotratação. Nesses quatro meses, a taxa de flação acumulada fo gual a 7%. alcule as taxas de juro omal, efetva e real da operação. a) Taxa omal o m al Juros pagos (85. 7.) aptal cal 7.,4%a.p ou 4,97%a.m. b) Taxa efetva efetva Juros pagos aptal calefetvo 85., , , 7. efetva,97%a.p ou 5,5%a.m. omo o baco cobrou uma taxa para o empréstmo e estpulou que a empresa dexasse % do valor do empréstmo como saldo médo em cota correte, observe que o valor efetvo do empréstmo é de R$6.9, (= R$7.,, R$7., R$8,) e que o valor de resgate é gual a R$ 78. (o pagameto do empréstmo é completado pelos R$7., matdos como saldo médo). opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //

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