Relações e Funções Aproximadas: Uma Abordagem Baseada na Teoria de Conjuntos Aproximados

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1 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Joaqum Qutero Uchôa & Mara do Carmo Ncolett Uversdade Federal de ão Carlos (UFCar) Departameto de Computação (DC) C. P ão Carlos (P) - Brasl e-mal: {joaqum,carmo}@dc.ufscar.br Resumo: Esse trabalho apreseta e dscute a etesão dos cocetos báscos da Teora de Cojutos promados (TC) a relações e fuções etre cojutos, evdecado algus problemas quado da prova de certas propredades que a lteratura são assumdas como váldas. É também apresetado um formalsmo, baseado em cojutos apromados, para a obteção da reta real apromada. Palavras-chaves: Teora de Cojutos promados (TC), espaços e cojutos apromados, relações e fuções apromadas, reta real apromada.

2 Ídce Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Itrodução Espaços e Cojutos promados Fução de Pertêca promada Iclusão promada e Igualdade promada de Cojutos 6 5 Relações promadas 5. Cocetos Báscos 5. promações de Relações promadas 5. Propredades de Relações promadas 5 6 Cojutos promados a Reta Real 6. Cosderações Icas 6. Espaço Real promado 6. eqüêcas promadas de Reas 9 6. Fuções promadas Reas 0 7 Fuções promadas 8 Coclusões 6 pêdce Pré-requstos Matemátcos 8. Cojutos 8. Relações, Relações de Ordem, Relações de Equvalêca e Partção de um Cojuto 9. Fuções, eqüêcas, Lmtes e Cotudade 5.. Fuções e Fuções Reas 5.. Lmte e Cotudade de uma Fução 5.. eqüêcas e Lmtes de eqüêcas 5 Referêcas Bblográfcas 5

3 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Itrodução O objetvo prcpal deste relatóro técco é o de vestgar a etesão dos cocetos báscos da Teora de Cojutos promados (TC) a relações e fuções etre cojutos. TC fo calmete proposta por Pawlak em [Pawlak (98)] como um formalsmo matemátco para tratameto de certeza e posterormete fo utlzada para subsdar téccas de apredzado dutvo de máqua em stemas Baseados em Cohecmeto (BCs). Este relatóro técco dá cotudade a um cojuto de relatóros téccos do Departameto de Computação da Uversdade Federal de ão Carlos (DC/UFCar), dedcados ao estudo e aálse da TC. O trabalho está orgazado da segute forma: a eção, são revstos os cocetos báscos da TC, bem como algus eemplos de aplcação desta teora; a eção, é apresetada a fução de pertêca apromada, usada para o estabelecmeto de algumas equvalêcas da eção, ode são defdos os cocetos de clusão apromada e gualdade apromada de cojutos. eção 5 apreseta o coceto de relações apromadas e dscute algumas propredades tdas como váldas pela comudade da TC. Nessa seção é ada demostrado que váras dessas propredades ão se verfcam, sedo apotadas dversas cosstêcas. lém dsso, são forecdas provas formas da valdade de propredades que se verfcam, permtdo uma reescrta do teto das propredades aalsadas. eção 6, por sua vez, apreseta um formalsmo para obteção de cojutos apromados a reta real, apresetado também o coceto de fução real apromada. Coceto esse que é esteddo por ós a eção 7, para fuções apromadas, permtdo ovas possbldades de se abordar fuções em espaços apromados. Por últmo, a eção 8 apreseta as prcpas coclusões e apota trabalhos futuros. o fm do teto, um apêdce forece ao letor subsídos matemátcos sobre cojutos, relações e fuções. Espaços e Cojutos promados Essa seção apeas troduz as oções essecas de espaço e cojuto apromados; para uma abordagem mas detalhada desses cocetos ver [Pawlak (99)] ou [Uchôa & Ncolett (997)]. Um espaço apromado é um par ordeado =( U, R), ode U é um cojuto fto e ão-vazo de objetos, deomado uverso, er é uma relação de equvalêca em U, deomada de relação de dscerbldade. Objetos pertecetes a uma classe de

4 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados equvalêca de R são dtos serem dsceríves. Com efeto, se Ry, etão e y são dsceríves. Obvamete, R duz uma partção (e coseqüetemete, classfcação) dos objetos de U; as classes de equvalêca de R são chamadas cojutos elemetares de (assume-se que o cojuto vazo também é um cojuto elemetar). Dessa forma, a partção de U por R, otada por U R, pode ser vsta como o cojuto R = U R= { E,..., E }, ode cada E,,éum cojuto elemetar de. Note que objetos de U pertecetes a um mesmo cojuto elemetar são dsceríves. Uma outra otação possível para cojutos elemetares é aquela que usa a otação covecoal de classes de equvalêca: dado um cojuto elemetar E que possu o elemeto, etão E pode ser otado como [] = { y R U Ry}. Dado X U, é mportate verfcar quão bem os elemetos de X podem ser defdos pelos cojutos elemetares de. Com esse objetvo, são defdas:. promação eror de X em, formada pela uão dos cojutos elemetares de que estão totalmete cotdos em X, U { } ( X) = E = [ ] R X E X E U R,. promação eror de X em, formada pela uão dos cojutos elemetares de que possuem elemetos pertetes a X, U { } ( X) = E = [ ] R X E X E U R, Quado o espaço apromado é cohecdo e ão há rsco de cofusão, escreve-se ( X ) e ( X ), em substtução a e, respectvamete, por razões de smplcdade. Dadas as apromações eror e eror de um cojuto X U, é possível evdecar três regões assocadas a X, emu:. Regão postva de X em, pos ( X ), formada pelos cojutos elemetares de que estão totalmete cotdos em X. Pode-se afrmar com certeza que elemetos desta regão pertecem a X. Essa regão é gual à apromação eror de X em : pos ( X ) = ( X ). Regão egatva de X em, eg ( X ), formada pelos cojutos elemetares de que ão possuem ehuma tersecção com X. Observe que essa regão é formada pelos elemetos de U que ão pertecem à apromação eror de X em,ou seja,

5 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados eg ( X ) = U ( X ). Regão duvdosa de X em, duv ( X ), também chamada de frotera de X, formada pelos cojutos elemetares de que ão pertecem à regão postva ou à regão egatva de X em. Dado um elemeto desta regão, ão é possível afrmar com certeza se pertece ou ão a X. Observe que essa regão é formada pelos elemetos da apromação eror de X em que ão pertecem à apromação eror dex em, ou seja, duv ( X ) = ( X ) ( X ) Quado é cohecdo e ão há rsco de cofusão, escreve-se pos( X ),eg( X )eduv( X ),em substtução a pos ( X ), eg ( X )e duv X ), respectvamete. ( Dado um espaço apromado =( U, R), o cojuto X U pode ou ão ter suas froteras claramete defdas em fução dos cojutos elemetares de. Isso leva ao coceto de cojutos apromados.o cojuto apromado X de X é uma apromação de X, através de ( X ) e ( X ). ssm, o cojuto apromado X de X, pode ser defdo pelo par X = ( X), ( X), coforme proposto em [Klr & Yua (995), p.8-8] ou etão como sedo a famíla de todos os subcojutos de U que possuem a mesma apromação eror e a mesma apromação eror com relação a X em, como proposto em [Pawlak(98)]. Coforme cometado em [Ncolett & Uchôa (997a)], essas duas defções são equvaletes e epressam o mesmo coceto. Cocetos da TC são utlzados prcpalmete o coteto de stemas de Represetação de Cohecmeto (RCs). Um stema de Represetação de Cohecmeto é uma -upla =( U, QV,, ρ, ) ode U é o uverso fto de. Os elemetos de U são chamados objetos, que são caracterzados por um cojuto de atrbutos e seus respectvos valores. O cojuto de atrbutos resposáves pela caracterzação dos elemetos de U é dado por Q. V = UV q é o cojuto dos valores de atrbuto; V q é o domío do atrbuto q. Por sua vez, q Q ρ:u Q V é uma fução de descrção tal que ρ( q, ) V q para U eq Q. Esses cocetos serão epostos o Eemplo, a segur. Para um estudo mas aprofudado das relações estetes etre RCs e a TC ver [Pawlak (99)] e [Ncolett & Uchôa (998)]. Eemplo : eja =( U, QV,, ρ) o RC forecdo pela Tabela. Nesse caso, U ={,,,,,,,, },Q={, abcd,, },V V V V a = b = c = d ={,} 0 e, como eemplos da fução de descrção, temos: ρ(, a) = ρ(, b) = ρ(, c) = 0 ρ(, d) = ρ(, b) = ρ(, d) = 9 0

6 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Observe que os valores dos atrbutos de Q produzem uma relação de dscerbldade etre os objetos. ssm, por eemplo, e são dsceríves com relação ao cojuto de atrbutos Q. ssm, Q duz um espaço apromado =( U, Q), ode a partção de U por Q é dada por { } U Q= {, },{, },{, },{, },{ }, sedo que os cojutos elemetares de (eceto o cojuto vazo) ecotram-se represetados a Tabela. U a b c d Tabela Eemplo de sstema de represetação de cohecmeto, odeu ={,..., } 9 eq={, abcd,, } E UQ a b c d ={, } 0 E ={, } E ={, } 8 E ={, } E ={ } Tabela Cojutos elemetares gerados pelo RC forecdo pela Tabela Dessa forma, dado um cojuto de objetos de U, é possível sua aálse pela ótca da TC. eja, por eemplo, X por: U tal que X ={,,, }. s apromações e regões de X em são dadas 5 7 X E = { 7 ( X ) = E E E = {,,,,, } pos( X ) ( X ) {, } = = 7 eg( X) U ( X) {,, } = = 6 8 duv( X ) ( X ) ( X ) {,,, } = = 5 9 Fução de Pertêca promada eja =( U, R) um espaço apromado e X U. fução de pertêca apromada de X o espaço, proposta em [Pawlak (99)], tem por objetvo prcpal epressar a quatdade de

7 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados certeza quato à pertêca de um elemeto qualquer U, ao cojuto X. Ela é defda como: [] R µ X ( ) = [] X R otação µ X ( )pode ser substtuída por µ X ( ), quado é cohecdo e ão há rsco de cofusão. Coforme apotado em [Pawlak & kowro (99)], a fução de pertêca apromada possu as segutes propredades: µ X ( ) = 0 eg( ) µ X ( ) = pos( ) 0< µ X ( ) < duv( ) 0 µ X ( ), U, X U µ ( ) = µ ( ) X se Ry, etão µ ( ) = µ ( y) µ ( ) ma[ µ ( ), µ ( )] X Y X Y µ ( ) m[ µ ( ), µ ( )] X Y X Y Observe que a fução de pertêca pode ser utlzada para redefr os cocetos de apromações e regões de um cojuto. Com efeto, dado um espaço apromado =( U, R)e um cojuto X U, etão: ( X ) = { U µ ( ) = } ( X ) = { U µ ( ) > 0} pos( X ) = { U µ ( ) = } eg( X ) = { U µ ( ) = 0} duv( X ) = { U 0< µ ( ) < } X X X X X X X X Eemplo : ejam =( U, ) o espaço apromado do Eemplo e X U X ={,,, }. Nesse caso, tem-se: 5 7 tal que 5

8 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados R µ X ( ) = [ ] {,,, } {, } {,,, = [ ] {, } R 7 } { } = = 05. {, } µ X ( ) = 05. µ ( ) = µ ( ) = X X 7 µ ( ) = µ ( ) = µ ( ) = X X X µ ( ) = µ ( ) = X X Iclusão promada e Igualdade promada de Cojutos seção ateror estedeu o coceto de pertêca de elemetos a cojuto, da teora clássca de cojutos, permtdo assm a proposta de uma relação de pertêca apromada de elemetos a cojuto. De maera aáloga, o coceto de apromado pode ser esteddo à clusão e gualdade etre cojutos. Dessa forma, dado um espaço apromado =( U, R) e XY, U, dz se que:. X é apromadamete -cluído em Y, otado por X Y, se e somete se ( X) ( Y). X é apromadamete -cluído em Y, otado por X Y, se e somete se ( X) ( Y). X é apromadamete cluído em Y se e somete se ( X) ( Y) ( X) ( Y), sto é, X Y e X Y, sedo otado por X Y. e e X Y (ou X Y,ouX Y ), etão dz-se que X éum-subcojuto apromado (-subcojuto eror apromado, -subcojuto eror apromado) de Y. Quado é cohecdo e ão este rsco de cofusão, escreve-se X Y, X Ye X Y, ao vés de X Y, X Y e X Y, respectvamete. e estem k classes de equvalêca em R, sto é, se U R = k, etão há k possíves apromações erores e k possíves apromações erores. Dode sera de se or que estssem k k = k -subcojutos apromados de U. No etato, como observado em [Pawlak (99a)], estem ao todo k é o úmero de possíves subcojutos de um cojuto com k elemetos. 6

9 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados k = k k = -subcojutos apromados de U. afrmação de Pawlak, costate dessa últma referêca, de que estem k -subcojutos erores apromados e k -subcojutos erores apromados de U ão procede, haja vsta ser faclmete verfcável que estem k -subcojutos erores apromados e k -subcojutos erores apromados de U e, coseqüetemete, k -subcojutos apromados de U. Para sso, basta observar que, em se tratado do cojuto uverso U, qualquer um de seus -subcojutos erores apromados é um -subcojuto eror apromado e vce-versa. Isso pode ser verfcado o Eemplo (mas especfcadamete a Tabela 5) a segur. Eemplo : eja k =( U, QV,, ρ) o RC forecdo pela Tabela, a segur. Nesse caso tem-se { } U Q= {,, },{, },{,,, }, sedo que os cojutos elemetares de (eceto o cojuto vazo) ecotram-se represetados a Tabela. Os subcojutos apromados de U, utlzado a otação proposta em [Klr & Yua (995)] para represetação de cojutos apromados, ecotram-se lstados a Tabela 5. U a b c UQ a b c E={,, } 6 0 E ={, } E ={,, 5, } 9 8 Tabela Cojutos elemetares gerados pelo RC forecdo pela Tabela Tabela stema de represetação de cohecmeto odeu ={,..., } 9 eq={, abc,} O coceto de clusão apromada pode ser defdo também utlzado a fução de pertêca apromada, como proposto em [Pawlak (99a)] : X Y µ X( ) µ Y( ), U () 7

10 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Lembramos, etretato, que a defção acma e a epressa o tem (p. 6) ão são equvaletes. O Eemplo mostra uma stuação ode ambas as defções cocdem; etretato, o Eemplo 5 mostra que elas podem produzr resultados dferetes.,, E E, E E E, E, E E, E, E E, E E, E E, E E, E E, E E E, E E E, E E E, E E E, E E E, E E E, E E E E, E E E E, E E E E E, E E E E, E E E E, E E E E, E E E E E, E E E E E, E E E E E E, E E E Tabela 5 possíves subcojutos apromados de U, ode UQ= Y e Z Eemplo : ejam =( U, ) o espaço apromado do Eemplo e XYZ,, Utal que X ={,,, } 5 7 ={,,,,, } ={,,, }. s apromações erores e apromações erores de X, Y e Z em são dadas por: ( X ) = {, } e ( X ) {,,,,, } 7 = ( Y ) = {,,,,, } e ( Y ) {,,,,, } = ( Z ) = {, } e ( Z ) {,,,,, } 7 = Com sso, através da defção de clusão apromada de cojutos epressa o tem., p. 6, utlzado-se de apromações erores e apromações erores, tem-se os segutes resultados: X Y, pos X Y e X Y Z Y, pos Z Y e Z Y X Z, pos X Z e X Z Z X, pos Z X e Z X Y X e Y Z 8

11 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Para utlzação da defção de clusão apromada de cojutos epressa em (), a pága ateror, é ecessáro ates o cálculo da fução de pertêca de um elemeto a cada um dos cojutos X, Y e Z. Isso é forecdo pela Tabela 6, a segur. Com os dados da fução de pertêca, pode-se faclmete costatar que: X Y, pos µ X( ) µ Y( ), U Z Y, pos µ Z( ) µ Y( ), U X Z, pos µ X( ) µ Z( ), U Z X, pos µ Z( ) µ X( ), U U µ X µ Y µ Z Tabela 6 eaz em Grau de pertêca dos elemetos deu ={,..., } ={,, } ay ={,,,,, } ={, 9,, } , e Y Eemplo 5: ejam =( U, ) o espaço apromado do Eemplo e XY, Utas que X ={,,,, } 5 7 ={,,,, }. s apromações erores e as apromações 7 8 erores de X e Y em, são portato: ( X ) = {, } e ( X )= U 7 ( Y ) = {, } e ( Y )= U 7 Ou seja, pela defção de clusão apromada epressa o tem., p.6, utlzado-se de apromações erores e erores, tem-se: X Y, pos X Y e X Y 9

12 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Y X, pos Y X e Y X No etato, pela defção de clusão apromada epressa em (), p. 7, utlzado-se da fução de pertêca, tato X Y como Y X ão são váldos. Isso pode ser costatado a Tabela 7, verfcado que µ ( ) µ ( ) eµ ( ) µ ( ) ão são váldos para todo U. X Y Y X U µ X µ Y a eay Tabela 7 Grau de pertêca dos elemetos deu ={,..., } 9 X ={,,,, } 5 7 ={,,,, } 7 8 Da teora clássca de cojutos, tem-se que dos cojutos X e Y são guas se X for subcojuto de Y e vce-versa, sto é, X = Y X Y ey X Da mesma forma, o coceto de gualdade apromada de cojutos é defdo tedo como base o coceto de clusão apromada de cojutos. Dado um espaço apromado =( U, R)e XY, U, e utlzado os cocetos de clusão apromada através de apromações erores e apromações erores (p. 6) tem-se que:. X é apromadamete -gual a Y, otado por X = Y, se e somete se X Y Y X, sto é, ( X) = ( Y). X é apromadamete -gual a Y, otado por X = Y, se e somete se X Y Y X, sto é, ( X) = ( Y). X é apromadamete gual ay, otado por X Y, se e somete se X YeY X, sto é, ( X) = ( Y) e ( X) = ( Y), ou ada, X = Y e X = Y e e 0

13 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Quado é cohecdo e ão há rsco de cofusão, escreve-se X vés de X = Y, X = Y e X Y, respectvamete. = Y, X Y = e X Y,ao Eemplo 6: ejam =( U, )o espaço apromado do Eemplo e XYZ,, Utas como foram defdos o Eemplo. Tem-se, etão: X / Y, pos X = Y ( X Y ey X) mas X /= Y (X / Y Z / Y, pos Z = Y (Z Y ey Z) mas Z /= Y (Z / Y X Z, pos X Z e Z X e Y / X ) e Y / Z ) gualdade apromada também pode ser defda utlzado-se a fução de pertêca apromada: X µ Y X Y ey X µ X( ) = µ Y( ), U (B) Quado é cohecdo e ão há rsco de cofusão, escreve-se X µ Y, ao vés de X µ Y. Coforme apotado por [Pawlak (99a)], as duas defções de gualdade apromada ão são equvaletes, como lustra o Eemplo 7 a segur. Eemplo 7: ejam =( U, ) o espaço apromado do Eemplo e XY, Utas como foram defdos o Eemplo 5. Pelo coceto de gualdade apromada, eposto o tem., a pága ateror, utlzado-se apromações erores e erores, tem-se que X Y. Pelo coceto de gualdade apromada defdo em (B), utlzado-se a fução de pertêca, pode ser faclmete verfcado, o etato, que o mesmo ão ocorre (bastado para sso eamar a Tabela 7, a pága ateror; como já observado o Eemplo 5, em mesmo X Y ou Y X são váldos, se utlzado o coceto de clusão apromada usado fução de pertêca). Dessa cotradção, faclmete se coclu que as duas defções de gualdade apromada ão são equvaletes. 5 Relações promadas 5. Cocetos Báscos (, ) ejam =( U, R ) e =( U, R ) dos espaços apromados. O produto de por éo espaço apromado deotado por =( U, R), odeu = U U e a relação de dscerbldade R ( U U ) y y R R e ( y, y ) R, ode é defda por ((, ),(, )), U e y, y U.

14 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados e(, ) são dsceríves em R se e somete se os elemetos e Os elemetos(, y ) y forem dsceríves em R e y e y forem dsceríves em R. Isso mplca que [(, y)] R,a classe de equvalêca de R cotedo (, y ), deve ser gual ao produto cartesao de [] R por [ y] R, como pode ser observado o Eemplo 8. Tem-se que R, da maera como fo defda, é uma relação de equvalêca (dscerbldade), pos: e(, ) R é refleva. a) é refleva: Como R e R são relações de equvalêca emu e U, respectvamete, etão ( u, u ) R, u U u u R, u U. Pela defção de R, etretato, tem-se que se ( u, u ) R e( u, u ) R (( u, u ),( u u )) R, b) é smétrca: Dado que R e R são relações de equvalêca em U e U, respectvamete, R e R são smétrcas,.e., ( u, u ) R ( u, u ) R ( v, v ) R ( v, v ) R Etão: (( u, v ),( u, v )) R u, u R e ( v, v ) R ( u, u ) R e ( v, v ) R (( u, v ),( u, v )) R c) é trastva Dado que R e R são relações de equvalêca em U e U, respectvamete, R e R são trastvas,.e., ( u, u ) R e ( u, u ) R ( u, u ) R ( v, v ) R e ( v, v ) R ( v, v ) R Etão: (( u, v ),( u, v )) R u v u v R u, u R e ( u, u ) R, ( v, v ) R e ( v, v ) R ( u, u ) R e ( v, v ) R (( u, v ),( u, v )) R Eemplo 8: ejam =( U, R ) e =( U, R ) dos espaços apromados, ode ={( ),( ),( ),( ),( )}. Nesse caso, os espaços apromados e U ={,,, }, R ={(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} U ={, abc,}er a a b b c c a b b a (e seus respectvos cojutos elemetares), ecotram-se represetados a Fgura. eja, o produto de por, ode R U = ( U, R) = ( U U, R) ( U ) U = U U. Nesse caso, o cojuto de objetos U é dado por: U ={(, a),(, b),(, c),(, a),(, b),(, c),(, a b c a b c

15 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados e como R é defda por ( ) { (, y ),(, y ) R (, ) R e( y, y ) R, tem se que: ( ) ( ) ( ) (,(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b), (, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),(, a) ) ((, a),(, a) ),((, b),(, b) ),((, c),(, c) ),((, a),(, b) ),((, b),( ) } R= (, a),(, a), (, b),(, b), (, c),(, c), (, a) Nesse caso, o espaço apromado (e seus cojutos elemetares) é tal como represetado a Fgura : =(U,R ) =(U,R ) a b c Fgura Espaços apromados =( U, R ) e ( U, R ), odeu ={,,, } e U ={, abc,} (,a ) (,b ) (,a ) (,b) =( U,R) (,c ) (,c ) (,a ) (,b ) (,a ) (,b) (,c ) (,c ). Fgura O espaço apromado =( U, R) é o produto de =( U, R ) e =( U, R ), ode U ={,,, }eu ={, abc,}

16 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados 5. promações de Relações promadas o produto de por. Dada uma relação (ou um Os cocetos da TC podem ser faclmete esteddos a uma relação, prcpalmete pelo fato que uma relação é também um cojuto. ssm, sejam =( U, R )e =( U, R )dos espaços apromados e = ( U, R) = ( U U, R) cojuto) X U U, podem ser defdas a apromação eror e a apromação eror de X o espaço apromado : ( X) = {(, y) U U [(, y)] X} ( X) = {(, y) U U [(, y)] X } o espaço apromado produto coforme defdo o Neste caso, tem-se: Eemplo 9: eja = ( U, R) = ( U U, R) Eemplo 8. ejam também as relações XYZ,, U U, tal que X ={( a),(, b)},, Y ={(, c),(, c),(, c),(, c)} ez ={(, a),(, c),(, a),(, c),(, c)}. ( X )=, )} X = [( a = [( b = {( a b a ( b R R, ),(, )} = ( Y) = ( Y) = [(, c)] [(, c)] = {(, c),(, c),( c c Y R ( Z) = [(, c)] = {(, c),(, c)} R R ( Z) = [(, a)] [(, c)] [(, a)] [(, c)] = U R R R R R R Eemplo 0: ejam =( U, )o espaço apromado do Eemplo, =( U, )o espaço apromado do Eemplo e =( U, ) o produto de por. eja também uma relação X U, dada por X ={(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} apromação eror e a apromação eror de X em são, portato: ( X) {(, ),(, ),(, ),(, )} = ( X ) {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, 6 7 ),(, ),... (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} Os cocetos de regões, bem como o de pertêca apromada, também podem ser faclmete esteddos a relações: pos ( X ) = ( X ) = {(, y) U U [(, y)] X } eg ( X) = U U ( X) = {(, y) U U [(, y)] X = } R R

17 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados [( )] } duv ( X ) = ( X ) ( X ) = {(, y) U U [(, y)] X, y X R R [(, y)] R µ X (, y) = [(, y)] X R Observe que as defções e cocetos relatvos a um espaço apromado produto báro podem ser faclmete esteddos a um espaço produto -áro, da segute forma: seja,..., uma famíla de espaços apromados ode cada = ( U, R),. Etão = ( U... U, R) é um espaço apromado, ode R é uma relação de dscerbldade defda da segute forma: Ry, = (,..., ) U... U e y= ( y..., y) U... U, Ry todo,,e, y U. 5. Propredades de Relações promadas Em [Pawlak (98), p. 9-0], são lstadas doze propredades de apromações de relações báras em um espaço produto apromado; o autor assume todas como váldas e ão prova ehuma. Etretato, quado da aálse dessas propredades, evdecamos que algumas ão se verfcam, como será vsto a segur. Cosdere um espaço apromado =( U, R)e o espaço apromado obtdo pelo produto, otado por B= =( U, ) ode ( U U). lém dsso, cosdere a relação Q U. Etão: Propredade : e Q é uma relação de detdade, etão: a) ( Q)ão é relação de detdade b) ( Q)ão é relação de detdade c) ( Q)é uma relação smétrca d) ( Q )= Cometáros: s propredades.a) e.b) ão se verfcam. É possível, por eemplo, ecotrar uma relação de detdade Q, tal que ( Q) = ( Q) = Q. Nesse caso, Q, ( Q )e ( Q)são relações de detdade. Com sso, a propredade estabelecda por.d), a de que se Q é uma relação de detdade, Q)=, também ão se verfca. ( É mportate aqu ressaltar que esse ão é o úco poto problemátco ecotrado quado do estudo e aálse da TC. Esse fato só vem a corroborar ossa tese de que o formalsmo da TC ão é tratado com a devda seredade por váras publcações da área. 5

18 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados O Eemplo a segur mostra uma stuação ode.a),.b) e.c) são verfcadas e.d) ão é verfcada. Já o Eemplo mostra uma stuação ode.a),.b) e.d) ão são verfcadas e.c) é verfcada. Eemplo : eja =( U, R) um espaço apromado ode U={, abc,} e R={( a, a),( b, b),( c, c),( a, b),( b, a)}, ou seja, U R= {{, a b},{}, c} como lustrado a Fgura. eja também B=( U, ), o espaço apromado produto de por. Tem-se, portato, pela defção de espaço apromado produto, queu ={( a, a ),( a, b ),( a, c ),( b, a ),( b, b ),( b, c ),( ca, ),( cb, ),(, cc)} eé dada por = { (( a, a),( a, a) ),(( a, a),( a, b) ),(( a, a),( b, a) ),(( a, a),( b, b) ), ( ab aa) ( ab ab) ( ab ba) ( ab bb) (( b, a),( a, a) ), (( b, a),( a, b) ), (( b, a),( b, a) ),(( b, a),( b, b) ), (( bb, aa) ( bb ab) ( bb ba) ( bb bb) (( ac, ),( ac, )),(( ac, ),( bc, )),(( bc, ),( ac, )),(( bc, ),( bc, )), ((, ca),( c, a) ), (( c, a),( c, b) ), (( c, b),( c, b) ), (( c, b),( c, b) ), ((, cc),(, cc) ) } (, ),(, ), (, ),(, ), (, ),(, ), (, ),(, ), ),(, ), (, ),(, ), (, ),(, ), (, ),(, ), { } Nesse caso, U = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, )},{( ac, ),( bc, )},{( ca, ),( cb, )},{( cc, )}, sedo que o espaço apromado B ecotra-se represetado a Fgura. =(U,R) a b c Fgura Espaço apromado =( U, R), odeu ={, abc,} eja Q uma relação de detdade sobre U, sto é, Q={( a, a),( b, b),( c, c)}. Neste caso, ( Q) = {( c, c)} e ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( cc, )}. Dessa forma, em ( Q), em Q)são relações de detdade. Observe ada que: ( Q, ( Q )e ( Q )são relações smétrcas Q e ( Q)são relações reflevas sobre U, mas Q)ão é refleva ( 6

19 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados ( Q)é uma relação de detdade em{ c, } subcojuto de U B=( U,) ( a,a) ( a,b ) ( b,a) ( b,b) ( c,a ) ( c,b) ( a,c) ( b,c) ( c,c) Fgura O espaço apromado B=( U, ) éo produto de por Eemplo : eja =( U, R) um espaço apromado ode U ={,, } R={(, ),(, ),(, )}, ou seja, U R= { },{ },{ } e. eja também B=( U, ),o espaço apromado produto de por. Tem-se portato U ={(, ),(, ), (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),( {, )}, e tal que U é dado por: U = {(, )},{(, )},{(, )},{(, )}, {(, )},{(, )},{(, )},{(, )},{(, )}} uma relação de detdade sobre U. Nesse caso tem-se e eja Q={(, ),(, ),(, )} ( Q) = Q= ( Q). Dode Q ( Q ) são também relações de detdade sobre U. Observe também que Q, ( Q) ( Q )são relações smétrcas e reflevas sobre U. Dado que Q é uma relação de detdade, o que se pode garatr é que: se ( Q), etão ( Q)é uma relação smétrca em U, uma vez que ( Q) Q,e Q é relação de detdade (qualquer subcojuto ão-vazo de uma relação de detdade é uma relação smétrca). Na verdade, ( Q)é uma relação de detdade em um subcojuto de U a propredade.c) é válda uma vez que: ) se Q é uma relação de detdade, Q é smétrca ) se Q é smétrca Q)é smétrca ( 7

20 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados se ( Q) Q, etão Q) ão é relação de detdade pos relacoa elemetos deu ( que ão são dêtcos. O Eemplo lustra esse fato Prova de ): Hpótese: Q é smétrca Tese: ( Q)é smétrca,.e., (, y) ( Q) ( y, ) ( Q) eja (, y) ( Q). Etão duas stuações devem ser cosderadas: a) (, y) Q e(, y) Q, etão( y, ) Q(pos Q é smétrca por hpótese). ComoQ ( Q), coclu-se que ( y, ) ( Q) b) (, y) Q Como (, y) ( Q),(, y) [( a, b)], tal que [( ab, )] Q. Escolhemos para otar a classe justamete um seu elemeto ( ab,, ) que também pertece a Q,.e., ( ab, ) Q. Note que ão é obrgatóro que se teha a b.tem-se que: (, y) [( a, b)] (, y) ( a, b) Ra e yrb yrb e Ra (a ordem ão é mportate esse caso, pos o espaço apromado produto é costruído sobre um úco espaço apromado - B é da forma ). Mas yrb e Ra ( yba, ) (, ) ( y, ) [( ba, )] Como Q é smétrca e como ( ab, ) Q, ( ba, ) Q. Por outro lado, ( ba, ) [( ba, )], dode[( ba, )] Q. Como ( Q) = {( c, d) U [( c, d)] Q }, tem-se que [( ba, )] ( Q). Dado que ( y, ) [( ba, )] e [( ba, )] ( Q), é possível coclur que: ( y, ) ( Q) Dadas todas essas cosderações, sugermos que a Propredade seja reescrta como: e Q é uma relação de detdade, etão: se ( Q)= Q, ( Q)é uma relação de detdade em U se () Q Q, ()ão Q é uma relação de detdade em U se () Q e Q Q (), etão ()é Q uma relação de detdade em um subcojuto de U sedo, portato, smétrca em U e ()= Q Q, Q ()é uma relação de detdade em U e () Q Q, ()ão Q é uma relação de detdade em U ()é Q uma relação smétrca em U 8

21 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Propredade : e Q é uma relação refleva, etão: a) ( Q)é refleva b) ( Q)ão é refleva Cometáros: propredade.b) ão é válda para qualquer Q U ; como cometado e vsto aterormete, estem stuações ode ( Q)= Qe essas stuações, seq é refleva, ( Q )é também refleva (ver Eemplo ). Já quado ( Q ) Q, ( Q ) Q e coseqüetemete estrão elemetos em Q que ão estarão em ( Q). Nessa stuação, ada pode ser garatdo, como mostrado: o Eemplo, ode Q é refleva, ( Q ) Q e ( Q )ão é refleva o Eemplo, ode Q é refleva, ( Q ) Q e ( Q )é refleva Por outro lado.a) é válda uma vez que, seq for uma relação refleva, comoq ( Q), ( Q) é também refleva (qualquer relação que coteha uma relação refleva é também refleva). Observe que, se ( Q ) Q, ( Q )é uma relação refleva em um subcojuto de U. ugermos que essa propredade seja reescrta como: e Q é uma relação refleva em U, etão: ()é Q refleva em U se ()= Q Q, Q ()é refleva em U ()é Q refleva em um subcojuto de U Eemplo : eja B=( U, ) o espaço apromado produto defdo o Eemplo e seja uma relação ão-smétrca e refleva Q={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( c, a),( c, c)}. apromação eror e a apromação eror de Q são respectvamete, ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( cc, )} ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ca, ),( cb, ),( cc, ) } Dode ( Q)é smétrca e refleva e ( Q)é ão-smétrca e refleva. Observe que, esse caso, ( Q) Q ( Q). 9

22 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Propredade : e Q é uma relação smétrca, etão: a) ( Q)é smétrca b) ( Q)(dado que Q) ) é smétrca. ( Cometáros: propredade.a) fo já provada a prova da propredade.c). Já a verfcação de.b) é provada a segur: Hpótese: Q é smétrca Tese: ( Q)é smétrca,.e., (, y) ( Q) ( y, ) ( Q) abe-se que ( Q) = {( c, d) U [( c, d) ] Q}. Etão: a) se (, y) ( Q),(, y) Q e, pelo fato de Q ser smétrca, tem-se que ( y, ) Q. Pode-se, pos, dzer que [( y, )] Q b) se (, y) ( Q), tem-se, por defção, que [(, y)] Q Queremos mostrar que[( y, )] Q. upoha que esta( ab, ) U tal que( ab, ) [( y, )] e ( ab, ) Q. Mas ( ab, ) [( y, )] ( ab, ) ( y, ) ary e br br e ary ( ba, ) ( y, ) ( ba, ) [( y, )]. Mas( ba, ) [( y, )] e[(, y)] Q ( ba, ) Q. Como Q é smétrca, tem-se ecessaramete que ( ab, ) Q, o que cotradz a osção cal que ( ab, ) Q. Portato, ão este ( ab, ) U tal que ( ab, ) [( y, )] e( ab, ) Q. Como [( y, )] Q, coclu-se que[( y, )] Q,.e.,( y, ) ( Q ), o que prova que ( Q )é smétrca. Essa propredade ecotra-se eemplfcada os Eemplo e Eemplo. Propredade : e Q é uma relação at-smétrca, etão: a) ( Q ) é at-smétrca b) ( Q)é at-smétrca Cometáros: Como o subcojuto de uma relação at-smétrca é também at-smétrco, etão, se Q é at-smétrca, ( Q)também o será, caso ão seja vaza. Dode.b) é váldo. propredade.a) ão se verfca. O Eemplo mostra uma stuação ode.a) é válda e o Eemplo 5, uma stuação ode ão é válda. ugermos que essa propredade seja reescrta como: 0

23 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados e Q é uma relação at-smétrca sobre U, etão: ()é Q at-smétrca em U se ()= Q Q, Q ()é at-smétrca em U Eemplo : eja B=( U, ) o espaço apromado produto defdo o Eemplo e seja a relação at-smétrca Q={( a, a),( a, b),( a, c),( c, c)}. Como ( Q) = {( c, c)} e ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ac, ),( bc, ),( cc, )}, tem-se que ( Q) é at-smétrca mas Q)ão é at-smétrca. ( Eemplo 5: eja B=( U, ) o espaço apromado produto defdo o Eemplo e seja a relação at-smétrcaq={( a, c),( c, c)}. Como ( Q) = {( c, c)} e ( Q) = {( ac, ),( bc, ),( cc, )}, tem-se que ( Q ) e ( Q )são at-smétrcas. Propredade 5: e Q é uma relação ão-smétrca, etão: a) ( Q)é ão-smétrca b) ( Q)é ão-smétrca Cometáros: s propredades 5.a) e 5.b) ão são váldas, haja vsto que tato ( Q ) quato ( Q)podem ou ão ser ão-smétrcas, dado que Q é ão-smétrca. Veja, a esse respeto, o Eemplo e o Eemplo 6. Eemplo 6: eja B=( U, ) o espaço apromado produto defdo o Eemplo e seja a relação ão-smétrca Q={( b, c),( c, a),( c, c)}. Como ( Q) {( c, c)} e ( Q) = {( ac, ),( bc, ),( ca, ),( cb, ),( cc, )}, tem-se que Q é ão-smétrca e ( Q ) é smétrca. Propredade 6: e Q é uma relação trastva, etão: a) ( Q)ão é trastva b) ( Q)ão é trastva Cometáros: propredade 6.a) está totalmete correta, haja vsto que se Q é uma relação trastva e Q), etão, coforme mostrado os Eemplo 7 e Eemplo 8, e provado (

24 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados logo após esses eemplos, ( Q) é trastva. Quato à propredade 6.b), é possível evdecar stuações as quas Q é trastva e ( Q)é trastva (como mostra o Eemplo 7) ou ão (como mostra o Eemplo 8). Eemplo 7: eja B=( U, ) o espaço apromado produto defdo o Eemplo e seja uma relação trastvaq={( a, b),( b, c),( a, c)}. apromação eror e a apromação eror de Q são respectvamete, ( Q) = {( ac, ),( bc, )} ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ac, ),( bc, )} Dode ( Q )e Q ( ) são trastvas. Observe que tem-se ada ( Q) Q ( Q). Eemplo 8: eja um espaço apromado =( U, R), ode U={ abcd,,,,, yz, } e U R { a y b c z d} = {, },{,,},{, }, como lustrado a Fgura 5. eja também B=( U, ), o espaço apromado produto de por, como mostrado a Fgura 6. =(U,R) a y b c z d Fgura 5 Espaço apromado =( U, R), odeu ={ abcd,,,,, yz, } eja Q={( a, a),( a, ),(, ),(, a),( a, b),(, b),( c, d)} uma relação trastva em U. apromação eror e a apromação eror de Q são dadas por: ( Q) = {( aa, ),( a, ),(, ),( a, )} ( Q) ={ ( aa, ),( a, ),( a, ),(, ),( ab, ),( ac, ),( ay, ),( b, ), ( c, ),(, y),( bd, ),( bz, ),( cd, ),( cz, ),( yd, ),( y, z) } Neste caso, ( Q) é uma relação trastva. Como (, y) ( Q) e ( yz, ) ( Q), mas ( z, ) ( Q), tem-se que Q)ão é uma relação trastva. Observe ada que, esse caso, tem-se ( Q) Q ( Q).

25 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados (,y) ( d,y) ( a,a) (,) ( a,y ) ( a,b) (,b) ( z,y ) ( z,b) ( d,b) ( a,) (,a) ( a,c) (,c) ( z,c) ( d,c) ( z,z) ( d,z) ( y,a) ( b,) ( y,z) ( b,d) ( z,d) ( d,d) ( y,) ( c,a) ( y,d) ( c,z) ( a,z) ( a,d) ( z,a) ( z,) (,z) (,d) ( d,a) ( d,) ( y,y) ( y,b ) ( y,c) ( b,y) ( b,b) ( b,c) ( c,y) ( c,b) ( c,c) B =( U,) ( b,a) ( c,) ( b,z) ( c,d) Fgura 6 O espaço apromado B=( U, ) éo produto de por segur, a prova de que, se Q é trastva, etão ( Q)é trastva. Hpótese: Q é trastva Tese: ( Q)é trastva,.e., (, y) ( Q) e ( y, z) ( Q) (, z) ( Q) eja (, y) ( Q) e( y, z) ( Q). Etão: a) como (, y) ( Q), etão [(, y)] Q b) como ( y, z) ( Q), etão [( y, z)] Q c) como (, y) Q e( y, z) Q, tem-se, por hpótese, que (, z) Q, ou seja, [(, z)] Q Precsamos provar que [(, z)] Q, o que será feto por absurdo. Para tato, cosderemos ( ab, ) [( z, )], tal que( ab, ) Q. Como( ab, ) ( z,, ) tem-se que ar e brz. Como R é relação de equvalêca, tem-se que R, yry e zrz. DeaR e yry, coclu-se que ( ayy,, ) (, ).e., ( ay, ) [( y, )]. Como[(, y)] Q, tem-se que( ay, ) Q. De maera smlar, de yry e brz, coclu-se que ( yb, ) [( yz, )]. Como [( y, z)] Q, tem-se que ( yb, ) Q. Dado que ( ay, ) Qe( yb, ) Q, como Q é trastva por hpótese, tem-se, obrgatoramete( ab, ) Q,o que cotradz a osção cal. Logo [(, z)] Q,.e., (, z ) ( Q ). Dode ( Q ) é trastva. Dados tas resultados, sugermos que essa propredade seja reescrta como:

26 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados e Q é uma relação trastva em U, etão: se () Q, Q ()é trastva em U Propredade 7: e Q é uma relação de equvalêca sobre U, etão: a) ( Q)é uma relação de tolerâca (refleva e smétrca),, ode, b) Q = U U... U U = Z é uma classe de equvalêca de Q,.e., U = Z Z... Z Z Z (sc!), para cada j, j, =,,..., j Cometáros: propredade 7.a) decorre dos resultados obtdos as propredades e.como Q é uma relação de equvalêca, etãoq é refleva, smétrca e trastva. Dessa forma, ( Q )é refleva e smétrca, ada podedo ser garatdo a respeto de sua trastvdade. Portato, ( Q)é uma relação de tolerâca em U. Quato à propredade 7.b), é de se or que houve um erro tpográfco, pos como ( Q ) pode ser vaza, ão há como garatr que a mesma defa uma cobertura em U, por qualquer método que se costrua essa cobertura. Por outro lado, ão é também possível afrmar que ( Q)defe uma cobertura de U, pos ( Q)é subcojuto deu eãodeu. O que pode ser provado é que: () as apromações erores das classes de equvalêca duzdas por Q defem uma cobertura de U () se Z, gualdade:, é uma classe de equvalêca duzda por Q, etão vale a segute odeu ( Z ),. = U ( Q)= U U Prova de (): Hpótese: Q é relação de equvalêca Tese:U = U U... U, odeu = ( Z ),,e Z é uma classe de equvalêca duzda - por Q. Ora, Q efetua uma partção em U da segute forma: U = Z Z... Z, ode cada Z é uma classe de equvalêca duzda por Q (ou seja, para cada j, tem-se Z Z = ). abe-se que j ( Z ) U,, o que mplca ( Z )... ( Z ) U. lém dsso, uma propredade básca da TC garate que X ( X), para qualquer X U (ver [Uchôa e Ncolett(997)]), dode:

27 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Z ( Z ) MM M Z ( Z ) Ou seja: U = Z... Z ( Z )... ( Z ) Como ( Z )... ( Z ) U e U ( Z )... ( Z ), segue-se que U = U U... U, odeu = ( Z ),,e Z é uma classe de equvalêca duzda por Q. - Ou seja,{ U,..., U } é uma cobertura de U. Prova de (): Hpótese: Q é relação de equvalêca Tese:seZ,, são as classes de equvalêca duzdas por Q e U = ( Z ),, etão - vale a segute gualdade: Para a prova da gualdade remos provar que valem. Para a prova que U U ( Q )= U U U U ( Q ) e ( Q ) U U U U U ( Q ) vale, é sufcete mostrar que dado (, y) U U, etão (, y) ( Q). No etato, se (, y) U U, etão, y U, ou seja, estem ab, Z tal que [ a] R e y [ b] R, com aqb,.e., ( ab, ) Q. Como ( ab, ) Q, etão [( ab, )] ( Q). Mas, como Ra e yrb, (, y ) [( a, b )],.e., (, y) ( Q). Resta agora provar que U ( Q ) U U vale. Para tato, é sufcete provar que dado (, y) ( Q), etão (, y) U U, para algum. eja (, y) ( Q), etão (, y) [( a, b)], tal que ( ab, ) Q. Ou seja, este uma classe de equvalêca Z, duzda por Q, tal que ab, Z. Como(, y) ( a, b ), tem-se Ra e yrb. Dode [ a] R e y [ b] R. Etretato, [ a] ({ a}) R - e [ b] ({ b}) R -. Por sua vez, uma propredade básca da TC dz que ( X Y) = ( X) ( Y) (ver [Uchôa & Ncolett (997)]). Etão [ a] [ b] ({ a}) ({ b}) = ({ a, b}) ( Z ), pos { ab, } Z R R Como {, y} [ a] [ b], tem-se que, y ( Z ) = U. Dode (, y) U U para algum. R R - U 5

28 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Esses resultados ecotram-se lustrados o Eemplo 9, a segur. Eemplo 9: eja um espaço apromado =( U, R), ode U={ abcde,,,,, f, g} e U R { a b c d e f g} = {, },{, },{, },{ }, como lustrado a Fgura 7. eja também B=( U, ), o espaço apromado produto de por, como mostrado a Fgura 8. a c e b d f =(U,R) g Fgura 7 Espaço apromado =( U, R), odeu ={ abcde,,,,, f, g} ( f,f) ( a,f) ( a,a) ( b,a) ( e,e ) ( e,f) ( a,e ) ( b,e) ( b,f) ( f,e) ( e,c) ( e,d) ( f,c) ( f,d) ( g,c) ( g,d) ( a,b) ( b,b) ( a,c) ( b,d) ( c,c) ( c,d) ( e,a) ( e,b) ( f,a) ( f,b) ( a,g) ( b,g) ( e,g) ( f,g) ( a,d) ( b,c) ( g,g) ( g,a) ( g,b) B ( d,d) ( d,c) ( d,a) ( c,a) ( c,e) ( c,f ) ( d,f) ( g,e) ( g,f) ( d,b) ( c,b) ( d,e) ( c,g) ( d,g) =( U,) Fgura 8 O espaço apromado B=( U, ) éo produto de por Cosdere a segute relação de equvalêca defda em U: 6

29 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Q={( a, a),( c, c),( a, c),( c, a),( d, d),( e, e),( f, f), ( de, ),( d, f),( e, d),( e, f),( f, e),( f, d),( b, b),( g, g)} Nesse caso as classes de equvalêcas duzdas por Q são: Z ={,},Z a c ={},Z b ={,, d e f }e Z ={}. g s apromações erores dessas classes são dadas por: U = ( Z = abcd U = ( Z ) = a b U = ( Z ) = c d e f U = ( Z ) = g Observe que esse caso, U = U U U U. Por sua vez, a apromação eror de Q é dada por: ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( cc, ),( cd, ),( dc, ),( dd, ),( ac, ),( ad, ),( bc, ),( bd, ), ( ca, ),( cb, ),( da, ),( db, ),( ee, ),( e, f),( f, e),( f, f),( ce, ),( c, f),( de, ),( d, f ), ( ec, ),( ed, ),( f, c),( f, d),( gg, )} Pode ser faclmete verfcado que ( Q ) = ( U U ) ( U U ) ( U U ) ( U U ). Date dos resultados obtdos, sugermos que a propredade seja reescrta como: e Q é uma relação de equvalêca em U, etão: ()é Q uma relação de tolerâca (refleva e smétrca) as apromações erores das classes de equvalêca duzdas por Q defem uma cobertura de U se Z,, é uma classe de equvalêca duzda por Q, etão ()= Q U U U, ode U = ( - Z ), Propredade 8: eqé uma relação de equvalêca, etão: a) ( Q)é também uma relação de equvalêca em algum cojuto X U b) as classes de equvalêca de ( Q)são da forma Z é uma classe de equvalêca de Q,.e., U = Z Z... Z, Z Z j (sc!), para j, j, =,,...,. 7

30 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados Cometáros: propredade 8.a) decorre dos resultados obtdos as propredades, e6.como Q é uma relação de equvalêca, etão ( Q) é smétrca e trastva, bem como é refleva em um subcojuto de U. Portato, ( Q)é uma relação de equvalêca em um subcojuto deu. Para a prova de 8.b) é sufcete mostrar que: () ( Q )= U U U, odeu = ( Z ),,e Z é uma classe de equvalêca duzda por Q. Com efeto, se uma relação de equvalêca W é a uão fta de produtos cartesaos da forma Y Y, odey Y j = para j, etão é faclmete dedutível que as classes de equvalêca de W serão cada um dos Y, pos os elemetos de Y estarão relacoados somete em Y Y. Prova de (): Hpótese: Q é relação de equvalêca Tese:seZ,, é uma classe de equvalêca duzda por Q eu = ( Z ), etão vale a segute - gualdade: Para a prova da gualdade remos provar que valem. Para a prova que U U ( Q )= U U U U ( Q ) e ( Q) U U U U U ( Q ) vale, é sufcete mostrar que dado (, y) U U, etão (, y) ( Q). No etato, se (, y) U U, etão, y U, ou seja, Qy,.e., (, y) Q, pos U é apromação eror de uma classe de equvalêca de Q. Como (, y) Q, etão [(, y)] I ( Q). Necesstamos provar que [(, y)] ( Q), o que será feto por absurdo. Com efeto, oha ( ab, ) [( y, )] tal que( ab, ) Q. Mas, como ( ab, ) ( y,, ) tem-se ar e bry, ou seja a [ ] R e b [ y] R. Por outro lado, como U = ( Z ), ode Z,, é uma classe de equvalêca duzda por Q, tem-se obrgatoramete - que [ ] U e[ y] U, o que mplca ab, U R R. dode ab, Z e, coseqüetemete, ( ab, ) Q,o que cotradz a hpótese cal de haver um ( ab, ) [( y, )] tal que ( ab, ) Q. Ou seja, [(, y)] ( Q). Portato, (, y ) ( Q ). Resta agora provar que U ( Q ) U U U 8

31 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados vale. Para tato, é sufcete provar que dado(, y) ( Q), etão(, y) U U, para algum. eja (, y) ( Q), etão (, y) Q. Ou seja, este uma classe de equvalêca Z, duzda por Q, tal que, y Z. É possível provar, por absurdo, que, y U, odeu = ( Z ).Com efeto, oha - que, y U. Isso mplca a estêca de elemetos a [ ] R e b [ y] R, tas que ab, Z. Como, y Z,se ab, Z, com a [ ] R e b [ y] R, etão ( ab, ) Q. Pos, se for váldo que ( ab, ) Q, (, y) Q, a [ ] R e b [ y] R, etão tem-se ( ab, ) [( y, )]. Mas, como ar e yry, tem-se que ( ay, ) [( y, )]. Como(, y) ( Q), tem-se que[(, y)] Q. Dode( ay, ) Q, ou seja a pertece à mesma classe de equvalêca que y,.e., a Z (racocío semelhate vale para b, já que a e b tem que estar, ecessaramete, a mesma classe de equvalêca). Em resumo, o fato de, y U, mplca a estêca de elemetos a [ ] R eb [ y] R, tas que( ab, ) Q. Como ar e bry, tem-se ecessaramete que ( ab, ) [( y, )]. Mas, já fo vsto que [(, y)] Q. Ou seja ( ab, ) Q, o que cotradz com a hpótese cal. Dode, y U, e portato, (, y) U U. Essa propredade ecotra-se eemplfcada a segur, o Eemplo 0. Eemplo 0: ejam os espaços apromados =( U, R)eB=( U, ), como foram defdos o Eemplo 9. eja também Q a relação de equvalêca al defda. Tem-se que ( Q) = {( e, e),( f, f),( e, f),( f, e),( g, g)} que é uma relação de equvalêca em{ e, f, g }, subcojuto de U. s apromações erores das classes de equvalêca Z,..., Z duzdas por Q são dadas por: U = ( Z ) = U = ( Z ) = U = ( Z ) = e f U = ( Z ) = g Observe queu eu são as classes de equvalêca de Q. úca ressalva a esta propredade é o erro em cosderar Z Z j (possvelmete, erro tpográfco), quado Z e Z j, com j, são classes de equvalêca duzdas por Q. De forma que sugermos uma reescrta dessa propredade, para que fque totalmete correta: e Q é uma relação de equvalêca em U, etão ()é Q também uma relação de equvalêca em algum cojuto Y U e as classes de equvalêca de ()são Q da forma ( Z ), ode Z é uma classe de equvalêca duzda por Q. Propredade 9: eqé uma relação de ordem, etão: 9

32 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados a) Q)ão é uma relação de ordem b) ( Q)ão é uma relação de ordem Cometáros: Estamos levado em cota, ao tratar dessa propredade, que o autor qus se referr a uma relação de ordem parcal, haja vsto que toda relação de ordem total é uma relação de ordem parcal (mas o verso em sempre é váldo). lém do que, a lteratura matemátca ão é comum referr-se a uma relação de ordem parcal apeas como relação de ordem. Uma relação Q é de ordem parcal se e somete se for refleva, at-smétrca e trastva. De acordo com os resultados obtdos as propredades,e6,seqé uma relação de ordem parcal em U, tem-se que ( Q)é uma relação de ordem parcal em um subcojutos de U (que pode, clusve, ser gual ao própro U), ou seja 9.a) ão se verfca. O mesmo podedo ser dto a respeto de 9.b). Pode-se dzer, etão, que, se Q é uma relação de ordem parcal em U, etão tato ( Q ) quato ( Q) podem ou ão serem relações de ordem parcal em U, coforme o estabelecdo as propredades, e6.deforma que sugermos que a propredade seja reescrta como: e Q é uma relação de ordem parcal em U, etão: se ()= Q Q, etão ()é Q uma relação de ordem parcal em U se ( Q)= Q, etão ( Q)é uma relação de ordem parcal em U ()é Q uma relação de ordem parcal em um subcojuto de U Propredade 0: eqé uma relação qualquer em U, etão: a) ( Q ) = ( ( Q)) b) ( Q ) = ( ( Q)) Cometáros: Essa propredade derva-se trvalmete de como fo formado o espaço apromado B=( U, ). propredade 0.a) justfca-se da segute forma:(, y) ( Q ) [(, y)] Q [( y, )] Q (, ) ( ) y Q (, y) ( ( Q)). equvalêca [(, y)] Q [( y, )] Q pode ser provada se observarmos que ( ab, ) [(, y)] ( ba, ) [( y, )], fato verfcado quado da prova de.c) (p. 8). propredade 0.b) é provada de forma semelhate. Note que Q ão precsa ser uma fução para que essas propredades valham. respeto de fuções e relações versas, ver pêdce. Propredade : eq= V o W (Q é uma composção de V e W), etão: a) ( Q) = ( V) o ( W) 0

33 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados b) ( Q) = ( V) o ( W) Cometáros: O autor ão eplcta, o eucado da propredade, se Q, V e W são fuções. Cosderado-se que Q, V e W possam ão ser fuções, a propredade.a) ão se verfca uma vez que ( V) o ( W) ( Q) é váldo, mas em sempre se tem ( Q) ( V) o ( W), como mostram os Eemplo e Eemplo. respeto de relações e fuções composta, ver o pêdce. Eemplo : ejam os espaços apromados =( U, R)eB=( U, ), como foram defdos o Eemplo 9. eja Q= V o W, ode V ={( a, a),( b, b),( e, d),( e, g),( f, g)} e W ={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( d, f),( g, g)}. Por defção de relação composta, tem-se Q={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( e, f),( e, g),( f, g)}. Nesse caso, tem-se que: ( V) = {( e, g),( f, g)} ( W) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( gg, )} ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( eg, ),( f, g)} Nesse caso, ( V) o ( W) = {( e, g),( f, g)}, dode ( V) o ( W) ( Q), mas ( Q) ( V) o ( W). Eemplo : eja os espaços apromados =( U, R)eB=( U, ), como foram defdos o Eemplo 9. eja Q= V o W, ode V ={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( e, d),( e, g),( f, g)} e W ={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( d, f),( g, g)}. Por defção de relação composta, tem-se Q={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( e, f),( e, g),( f, g)}. Nesse caso, tem-se que: ( V) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( eg, ),( f, g)} ( W) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( gg, )} ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( eg, ),( f, g)} Nesse caso, ( V) o ( W) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( eg, ),( f, g)} = ( Q). segur, a prova de que, se Q= V o W, etão ( V) o ( W) ( Q). Hpótese: Q = V ow Tese: ( V) o ( W) ( Q) Tem-se que (, y) ( V) o ( W) [(, y)] ( V) o ( W). Mas [(, y)] ( V) o ( W) se e somete se ( ( ab, ) [( y, )] ( a, b ) ( V ) o ( W )),.e.,

34 Relações e Fuções promadas: Uma bordagem Baseada a Teora de Cojutos promados ( ( ab, ) [( y, )] ( a, b) ( V) o ( W). Isso mplca o fato que este c U tal que ( ac, ) ( V) e( cb, ) ( W) ). Como ( X) X vale em qualquer espaço apromado (ver [Uchôa & Ncolett (997)]), etão ( ( ab, ) [( y, )] c Utal que ( ac, ) Ve( cb, ) W). Como Q é composta de V e W, ( ( ab, ) [( y, )] ( ab, ) Q. Ou seja, [(, y)] Q,.e., (, y ) ( Q ). Resumdo: (, y) ( V) o ( W) (, y) ( Q), dode, ( V) o ( W) ( Q). e ege-se que Q, V e W sejam fuções, etão ( Q) = ( V) o ( W) vale. Com efeto, ( V) o ( W) ( Q) já fo provado, restado demostrar que ( Q) ( V) o ( W), o que pode ser feto por absurdo. Para tato, cosdere (, y) ( Q) tal que (, y) ( V) o ( W). Como (, y) ( Q), tem-se (, y) Q. Dode c U tal que ( c, ) V e(, cy) W. Mas, (, y) ( V) o ( W) mplca que, para todo c U tal que ( c, ) V e(, cy) W, tem-se que [( c, )] V ou [(, )]. Nesse caso, (, ) e (, cy) Wmplcam que este ( ab, ) [( c, )] tal que ( ab, ) V, ou que este (, e f) [(, c y)] tal que (, e f) W. Como ar e yry, tem-se que ( ay, ) [( y, )], o que mplca que ( ay, ) Q, ou seja g U tal que( ag, ) Ve( g, y) W. Dode, para que( ab, ) Vseja váldo é ecessáro que b g, o que cotradz com o fato de V ser fução. De forma semelhate ão é possível (, e f) [(, c y)] tal que (, e f) W. Ou seja, ecessaramete tem-se que [( c, )] V e [( cy, )] W, para algum c Usempre que(, y) ( Q). Nessas codções, ( c, ) ( V) e (, cy) ( W) para algum c U. Dode (, y) ( V) o ( W), o que cotradz a hpótese cal. Dode (, y) ( Q) (, y) ( V) o ( W),.e. ( Q) ( V) o ( W). Como valem ( Q) = ( V) o ( W) e ( V) o ( W) ( Q), segue-se que ( Q) = ( V) o ( W) vale, sempre que Q, V e W são fuções. propredade.b), etretato, vale mesmo quado Q, V e W ão são fuções, podedo ser demostrada trvalmete. Com efeto, (, y) ( Q) [(, y)] Q ( ab, ) [(, y)] tal que ( ab, ) Q c U tal que ( ac, ) Ve(, cb) W ( ac, ) ( V) e (, cb) ( W) ( a, b) ( V) o ( W) [( a, b)] ( ( V) ( W)) (, y) ( V) o ( W). Essa propredade ecotra-se lustrada o Eemplo. Eemplo : ejam os espaços apromados =( U, R)eB=( U, ), como foram defdos o Eemplo 9 e eja Q= V o W, ode V e W foram defdos o Eemplo. Como já fo vsto, Q={( a, a),( a, b),( b, a),( b, b),( e, f),( e, g),( f, g)}. Nesse caso, tem-se que: ( V) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ec, ),( ed, ),( f, c),( f, d ),( e, g ),( f, g )} ( W) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ce, ),( c, f),( de, ),( d, f),( g, g)} ( Q) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ee, ),( e, f),( f, e),( f, f ),( e, g ),( f, g )} Tem-se que ( Q) = ( V) o ( W), pos, pela defção de relação composta, ( V) o ( W) = {( aa, ),( ab, ),( ba, ),( bb, ),( ee, ),( e, f),( f, e),( f, f),( e, g),( f, g)}.