Consideremos a fórmula que nos dá a área de um triângulo: = 2
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- Vera Arruda Mendes
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1 6. Cálculo Derecal e IR 6.. Fução Real de Varáves Reas Cosdereos a órula que os dá a área de u trâulo: b h A( b h) Coo podeos vercar a área de u trâulo depede de duas varáves: base (b) e altura (h) Podeos caracterzar esta ução coo sedo A: IR que é ua ução real de duas varáves reas. () bh a IR b h Deção : Sea D IR correspodêca tal que : D R R. Ua ução real de varáves reas é ua (... ) z (... ) ode: doío da ução: D cotradoío da ução: { } D' (... ) : (... ) D varáves depedetes:... varável depedete: z.
2 Eeplo : Dado que a ução ( y ) 6 ( y) é ua ução que depede de duas varáves ( e y) D IR e por deção ve: {( ) :6 ( ) } {( ) : 6 } {( y ) IR : y } D y IR y y IR y 6.. Dervada de Fuções Reas de Varáves Reas Ua vez que estaos a estudar uções de váras varáves e atededo à deção de dervada az setdo alar para estas uções e dervada parcal. Deção : Sea : D IR IR. A dervada parcal de e orde a é a ução: (... h... ) ( ). h l h Eeplo. Sedo a ução ( y) y ua ução de duas varáves o poto de coordeadas ( y ) podeos deterar duas dervadas parcas. Usado as reras de dervação ve: ( y ) e ( y ) y y y
3 Eercíco. Calcule as dervadas parcas da ução ( y z) y z y z yz. Notação: Dada a ução z (... ) a dervada de z e orde a te as seutes otações: z z Quado calculaos restates varáves são cosderadas costates. sca que cosderaos varável e as Sedo z (... ) ua ução que depede de varáves z... tabé (... ) são uções que depede das varáves.... Ass az setdo alar e dervadas de orde superor. Vaos cosderar o caso de ua ução que depede de duas varáves ( ) e calculeos todas as dervadas parcas desta ução até à orde. Ve:
4 Dervadas de ª orde: Dervadas de ª orde: ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () desa-se por dervadas stas. De odo aáloo se dera as dervadas de orde superor à ª. Notação: Dada a ução z (... ) as dervadas de z de orde superor tê as seutes otações:
5 Os dos tpos de otação tê coveções deretes para dcar a orde de dervação ass: : Orde da dreta para a esquerda ( ) : Orde da esquerda para a dreta Eeplo. Para a ução ( y) l( y) teos: Dervadas de ª orde: Dervadas de ª orde: ( y ) l( y) ; ( y ). y y ( y ) ; ( y ) y y ( y ) ; ( y ) y y y y 6.. Acréscos e Derecas Sea z (... ). Cosdereos (... ) o acrésco as varáves depedetes.... Ao acrésco correspode o acrésco z a varável depedete z sedo z. 5
6 Deção : Sea z (... ) ua ução real de varáves reas. O vector de derecas d ( d d... d ) as varáves depedetes... é dedo por d. é d d... d co o vector dos acréscos as varáves depedetes. O derecal dz a varável depedete z é dedo por dz d d... d. Atededo à deção ateror e sabedo que dz z quado cocluíos que dz dz. Eeplo : O derecal total para w ( y z u) atededo a que é: d dy y dz z du u w w w w dw ( yzud ) ( yzudy ) ( yzud ) ( yzudu ) y z u 6
7 Eeplo 5: U valor aproado para o acrésco de ( ) - quado ( y ) vara de ( ) para (..) y y y pode ser calculado usado derecas. Atededo a que: d. ( ).; dy y.. ( y ) y ( ) 6 ( y ) ( ) 7 y y Ve d ( ) d ( ) dy y (.) Teorea da Dervada da Fução Coposta Teorea : z (... ) ução derecável as varáves... ( t t... t) ução derecável as varáves t t... t... uções co dervadas parcas cotíuas Etão z z z z t t t t 7
8 Eeplo 6: Sedo usr () s r co s( y ) l( y) e ry ( ) e y ve u u s u r y ( y ) ( s). ye s r y l( y) l( y) ye ye y. Coroláro : z (... ) ução derecável as varáves... () t ução de ua varável co dervada cotíua. Etão z z z z... t t t t Eeplo 7: Sedo uy ( ) l( y) co t () t e yt () t ve u u u y t t y t t 6t t 6t y t t t t t t t t t t t( t ) t t 8
9 Noção de Gradete e de Hessaa Deção : Sea IR IR D : e... t D. O vector Gradete e a atrz Hessaa H são dedos respectvaete por e K. Teorea : Teorea de Schwarz: Sea IR IR D : tal que... e este ua bola aberta cetrada e D t e são cotíuas e etão e.
10 Nota: O Teorea de Schwarz arate a ualdade das dervadas stas sob deteradas codções. Eercíco : Calcule o radete e a hessaa das uções.: yz y z z y ) (.: ) ( ) ( ) ( y l y l y.: ) ( t y z t z y 6.7. Etreos de Fuções ão Codcoadas Deção 5: Chaaos eor prcpal de orde k k de ua atrz quadrada A de orde k ao eor cua daoal é costtuída pelos preros k eleetos da daoal prcpal de A. Eeplo 8: Sedo A os seus eores prcpas são ; ; A Eercíco : Idetque os eores prcpas das seutes atrzes.:.:
11 Deção 6: Sea A ua atrz sétrca. Cosderado a cadea dos eores prcpas da atrz A dzeos que A atrz A é deda postva se k > ; k.... é > >... > A atrz A é deda eatva se k k > ; K.... é < >... > Se pelo eos este u eor ulo etão ada se coclu. A atrz A é deda e todos os restates casos. Eercíco : Averúe a atureza das seutes atrzes:.:.: 5 6 Teorea. Codções de Optaldade de ª Orde Sea : D IR IR ua ução co dervadas parcas de ª orde. Se etão possu u etreo local e t( D) ( ). Teorea. Codções sucetes de optaldade de ª orde:
12 Sea : D IR IR ua ução co dervadas parcas de ª orde cotíuas e t( D) o Se ( ) e ( ) Etão é deda postva possu u ío local e o Se ( ) e ( ) Etão. é deda eatva possu u áo local e o Se ( ) e ( ) Etão é deda possu u poto sela e.. Eeplo 9: Detere caso esta os etreos relatvos da seute ução ( ) 5 Codções de ª orde: oo ( ) ( ) e Q( ) P Codções de ª orde: 6 são potos crítcos ±
13 6 6 P oo é deda postva é ío local. Q 6 6 oo é deda Q é poto sela. Eercíco 5: Calcule através da teora dos eores prcpas caso esta os etreos e/ou os potos sela da ução z yz z y Etreos de Fuções Codcoadas: ultplcadores de arae
14 O étodo dos ultplcadores de arae perte obter os potos os quas ua ução sueta a deteradas codções pode ter etreos. Teorea 5: Sea (... ) u etreo da ução (... ) sueta às restrções (... ) ; ( ) Se.... (... λ λ... λ ) (... ) λ (... )... λ (... ) Etão ( λ λ... λ ): ( λ ) λ. Aos úeros λ... chaaos ultplcadores de arae λ λ O teorea ateror ara que os etreos da ução sueta às restrções ( )... só pode ocorrer e potos de estacoardade da ova ução (... λ λ... λ ). Este u processo aalítco para decdr se u poto de estacoardade da ução ( λ) é áo ou ío da ução ( ) ;... : sueta às codções Cosdere-se a atrz
15 5 T J J λ λ λ λ λ O O K O O H ode J ; T J é a trasposta de J é a atrz ula e é a atrz hessaa de e λ k o eor prcpal de orde k da atrz λ H Etão > < > < > > > > é áo... é ío... par < > < > < < < < é áo... é ío... ípar
16 Eeplo. Calcule os etreos de ( yz) y z restrções y z 8 e y. Resolução: sueta às ( yz λ λ ) y z λ ( y z 8) ( y ) λ ( yz λ λ ) λ λ y yλ λ z λ y z 8 y Subtrado à equação ( ) a equação ( ) obteos: ( 5) ( y) ( y) λ ( y)( λ ) y λ Se y ve: λ λ z λ z 8 λ 6 λ 5 z 5 ( yz λ λ ) ( 5 56) Se λ ve: λ z y 6 y 8 ( yz λ λ ) ( ) ( yz λ λ ) ( ) 6
17 Teos ( restrções) ( varáves) dode Etão e H ( z ) y λ λ 5 ( yz λ ) ( 5 5 6) H ( 5 56) λ 5 6 < 5 ( ) é áo y λ 8 y λ 8 ( yz λ ) ( ) H ( ) λ 5 8 > ( ) 7 é ío 8 8 ( yz λ ) ( ) H ( ) λ > ( ) 7 é ío Eercíco 6: Calcule através dos ultplcadores de arae caso esta os etreos e/ou os potos sela da ução ( yz) y 5z restrção y 5z 8. sueta à 7
18 6.9. Eercícos. Calcule o radete das seutes uções: a) ( y z) y zy z b) (t v u) l(tv) u e t ( u v ) c) ( y z) y z. Calcule a atrz hessaa das seutes uções: a) ( y) l( y) e y b) ( y z) y zy. Detere os etreos e os potos sela para as seutes uções: a) ( y) y y b) ( y z) z y y z c) ( y z) z y yz. Use os ultplcadores de arae para deterar os etreos de suetos aos vículos dcados. a) ( y z) y z y z 6 b) ( y z) y z y y z c) ( y z) y z y z 7 5. Cosdere a ução real de duas varáves reas deda por ( y) y y sueta à codção y. ( a) Verque que o poto P ) é poto crítco de sueta à restrção dada quado o ultplcador de arae é λ 5. ( b) ostre que sueta à restrção dada te u ío local e P ). 6. Cosdere a ução real de duas varáves reas ( y) y y. a) ostre que adte u úco ío e detere-o. b) Detere o valor do real β para o qual o ío da ução z ( y) sueta à codção de lação y β é ual ao ío de ecotrado a alíea ateror.
19 7. Sobre ua ução ( y z) sabe-se que os úcos potos que satsaze a codção ( y z) são ( ) e ( ) e que ( y z) 6z Idque ustcado devdaete o valor lóco das seutes arações: a) Os potos crítcos de são apeas ( ) e ( ). b) A represetação aalítca de pode ser ( y z) y z y z c) te u áo local e ( ) d) O poto ( ) é poto sela de. e) ( ) é deda eatva. [ 8. Sabe-se que o radete de ua ução é ( y z) α y z ] T α IR [ a) ostre ( y z). ( y z) ( y z) ( y z) ( y z) ( y z) z b) Detere se possível os valores de α para os quas adte potos crítcos. No caso de estr α quatos potos crítcos este? ] T 9. U epresáro esta que as vedas auas e lhares de udades são e ução dos valores vestdos e publcdade a televsão e rádo. A ução que especca esta relação é V ( y) 5 5y 5y y ode é o valor e lhões de euros astos a publcdade a rádo e N V V ( y) é o úero de udades e lhares veddas aualete. a) Detere quato deve o epresáro astar o total e publcdade a televsão e a rádo de ora a azar as vedas auas. Neste caso quatas udades espera o epresáro veder? b) Sabedo que para 7 o vesteto prevsto e publcdade é de.5 lhões de euros detere a quata que deve astar e publcdade a televsão e a quata que deve astar e publcdade a rádo de ora a azar o úero de udades veddas.
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