TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE: ESTADO DA ARTE E APLICAÇÕES

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1 5º POMEC - mpóso do Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca Uversdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egehara Mecâca TÉCNICA DE ANÁLIE DE CONFIABILIDADE: ETADO DA ARTE E APLICAÇÕE Jhoja Erque Rojas Flores Domgos Alves Rade Faculdade de Egehara Mecâca, Uversdade Federal de Uberlâda, Av. João Naves de Ávla 22 Campus ata Môca CP 593 CEP Uberlâda/MG - Brasl. jerojas@mecaca.ufu.br domgos@ufu.br Resumo: A aálse de cofabldade vsa ecotrar a melhor relação etre custo e seguraça e forecer dretrzes para a elaboração de projetos ótmos, levado-se em cota a aleatoredade dos parâmetros físcos e/ou geométrcos do sstema e das solctações exteras. Este trabalho apreseta uma revsão bblográfca dos fudametos de aálse de cofabldade e sua aplcação a sstemas estruturas. ão descrtos resumdamete os prcpas métodos de estmatva do ídce de cofabldade, detre os quas se destacam os métodos de aproxmação de prmera e seguda ordem. Dferetes graus de complexdade e abragêca o tratameto das varáves aleatóras são lustrados as smulações umércas. Através da mplemetação destes algortmos são reproduzdos os resultados de problemas estudados a lteratura. Palavras-chave: Aálse de cofabldade, FORM, ORM, ídce de cofabldade.. INTRODUÇÃO Uma das prcpas atrbuções da Egehara é estabelecer dretrzes de projeto para que um determado sstema ateda a crtéros de desempeho, seguraça, fucoaldade, durabldade e outros prevamete estabelecdos. É cohecdo o fato de que o projeto e realzação de sstemas estruturas complexos evolvem dferetes tpos de certezas, tas como as aquelas presetes: os valores dos parâmetros físcos e/ou geométrcos do sstema; as codções de cotoro; as codções de carregameto. Exste uma clara tedêca atual de se cotemplar, os procedmetos de aálse estrutural, as certezas presetes, substtudo-se aálses determístcas por aálses probablístcas ou de cofabldade (chueller, 2000). Neste setdo, a aálse de cofabldade tem como prcpal objetvo defr a margem de seguraça a ser utlzada a defção dos parâmetros de projeto e forecer formações sufcetes para a elaboração de projetos ótmos através da detfcação e quatfcação das certezas paramétrcas empregado dferetes aproxmações. Este trabalho apreseta os fudametos de aálse de cofabldade através da descrção dos métodos de prmera e seguda ordem de determação do ídce de cofabldade e de resultados de smulações umércas. 2. FUNDAMENTO DE ANÁLIE DE CONFIABILIDADE O atedmeto dos requermetos báscos dos projetos de egehara a preseça de certezas ão é uma tarefa smples. Esta ecessdade levou a Freudethal (956) a crar o coceto de projeto baseado em rsco, o qual será resumdamete apresetado esta seção.

2 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, Uma vez que os parâmetros de teresse da egehara possuem certo grau de certeza é coveete cosderá-los como varáves aleatóras. Coseqüetemete, o desempeho satsfatóro do sstema ão poderá ser absolutamete assegurado, mas poderá ser expresso em termos da probabldade de que algum crtéro de desempeho seja ateddo. Na termologa da egehara, esta probabldade é deomada de cofabldade. O verso de cofabldade é a probabldade de falha (rsco). Cofabldade é defda, portato, como a probabldade relacoada à perfeta operação (detro dos lmtes especfcados de projeto) de um determado sstema durate um período de tempo defdo (cohecdo como tempo de vda útl) as suas codções ormas de utlzação. Esta defção requer a cosderação dos segutes fatores: defção das codções de operação em que o sstema deve fucoar; quatfcação de cofabldade em termos de probabldades; defção do desempeho exgdo ao sstema em fução das codções de operação; especfcação do tempo de operação exgdo etre as falhas; A aálse de cofabldade utlza a formação das certezas do sstema, as quas podem ser classfcadas em: cogtvas (qualtatvas) e ão-cogtvas (quattatvas). As cogtvas são produto de abstrações telectuas da realdade como: defção de parâmetros, fatores humaos e defção de ter-relações etre os parâmetros dos problemas em sstemas complexos. As ãocogtvas são decorretes da aleatoredade erete a toda observação físca, certezas estatístcas, falta de precsão da formação e modelagem de certezas. De acordo com Haldar e Mahadeva (2000a e 2000b), o prmero procedmeto da aálse de cofabldade de uma estrutura é defr o(s) crtéro(s) de desempeho, as varáves de projeto X e as relações (explíctas e/ou mplíctas) das varáves com a fução de desempeho. Matematcamete, a fução de desempeho pode ser expressa como: Z = g( X, X2,..., X ). A superfíce de falha ou estado lmte é defda pela codção Z=0. Esta superfíce defe o lmte etre as regões de seguraça e de falha o espaço de projeto dos parâmetros, coforme lustrado a Fgura para o caso de duas varáves de projeto (resstêca R e carregameto ). g(r,)<0 regão de rsco g(r,)>0 regão de seguraça g(r,)=0 equação de estado lmte R Fgura : uperfíce de falha de duas varáves aleatóras. A falha ocorre quado Z<0, e a probabldade de falha é calculada segudo: ( ) p... f x, x,..., x dx dx... dx =, () f X 2 2 g ( ) < 0 ode f X( x, x2,..., x) é a fução desdade de probabldade (FDP) cojuta das varáves aleatóras X, X2,..., X. e estas varáves são estatstcamete depedetes, etão a FDP cojuta poderá ser substtuída a tegral pelo produto das FDP dvduas. A equação ateror costtu-se a equação fudametal da aálse de cofabldade. Em geral, o úmero de varáves aleatóras é elevado e ão aparecem explctamete a fução de desempeho, de modo que a FDP cojuta é quase mpossível de ser obtda. Além dsso, a avalação da tegral múltpla resulta extremamete complcada em fução da correlação das varáves e da complexdade do tegrado. Para a aproxmação desta tegral, são utlzadas aproxmações aalítcas como os métodos de cofabldade de prmera ordem (MCPO), métodos de cofabldade de seguda ordem (MCO), método do valor médo (MVM) e método do poto mas provável (MPMP). 2

3 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, A título de exemplo, cosdere-se a probabldade de falha P(R<) como sedo a probabldade de que a resstêca R de um sstema seja meor que o carregameto, ou seja: s p f = P ( falha) = P ( R < ) = fr( r) dr f ( s) ds = FR( s) f ( s) ds 0 0 0, (2) ode F R (s) é a fução desdade acumulada (FDA) de R e f (s) é a FDP de. 3. MÉTODO DE ANÁLIE DE CONFIABILIDADE Os métodos de aálse de cofabldade podem ser classfcados em métodos de prmera e seguda ordem. Detre os de prmera ordem tem-se o método do segudo mometo (MMPO) e o método do segudo mometo avaçado (MMPOA). Estes métodos são descrtos a segur. 3.. Método do egudo Mometo de Prmera Ordem - MMPO Este método descosdera o tpo de dstrbução das varáves aleatóras. A probabldade de falha dada em fução do ídce de cofabldade pode ser defda como sedo: p f ( β ) = Φ (3) A probabldade de falha depede da relação etre o valor médo de Z e seu desvo padrão. Esta relação é comumete cohecda como ídce de cofabldade (β). Para o caso em que Z=R- e R e possuem dstrbução ormal e logormal, respectvamete, β é dado por: β β = µ µ µ Z R = = σ 2 2 Z σ R + σ ( µ µ ) l R δ + δ 2 2 R (4) (5) Empregado uma expasão em séres de Taylor em toro da méda, tem-se: 2 g g ( µ X ) ( µ X ) ( )( ) µ X j X j Z = g + X + X X µ +..., (6) X 2 X X = = j= j ode as dervadas são avaladas os valores das médas das varáves X. Trucado a sére, obtêmse a méda e a varâca de prmera ordem de Z como sedo, respectvamete: Z g ( X X2 X ) µ µ, µ,..., µ, (7) σ g g Cov ( X X ) (8) 2 Z, j = j= X X j e as varáves ão são correlacoadas, etão: σ 2 Z g = X 2 Var ( X ) (9) 3

4 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, Da mesma forma, o ídce de cofabldade pode ser calculado pela relação etre a méda e o desvo padrão. Neste método a fução g( ), a equação Z = g( X, X2,..., X ) é learzada os valores das médas das varáves. Quado g( ) ão é lear, um erro sgfcatvo é troduzdo devdo ao fato que os termos de ordem superor são eglgecados Método do egudo Mometo de Prmera Ordem Avaçado - MMPOA Este método, também cohecdo como o método de Hasofer-Ld (Haldar e Mahadeva, 2000a), cosdera o tpo de dstrbução das varáves aleatóras. Defem-se calmete as varáves reduzdas, como: X X µ X = =, 2,..., (0) σ X ode X é a varável aleatóra com méda zero e desvo padrão utáro. A equação ateror trasforma a equação de estado lmte orgal g(x)=0 para o sstema coordeado reduzdo g(x )=0. O método defe o ídce de cofabldade como a dstâca míma etre a orgem do sstema coordeado reduzdo e a superfíce de falha, ou seja: * t * ( x ) ( x ) β = () O poto a curva da superfíce de falha que se ecotra mas próxmo do sstema coordeado reduzdo é chamado de poto de projeto, sedo detfcado como o poto mas provável de falha (vetor x * o sstema orgal e x * o sstema reduzdo). Cosderado a equação de estado lmte como sedo: Z = R = 0, a Fgura 2 lustra a trasformação dos sstemas coordeados. s * regão de rsco regão de rsco Poto de projeto Z<0 α * * ( r, s ) Poto de projeto ( µ R, µ ) β regão de seguraça µ R µ,0 σ R R r * R-=0 r * θ µ µ σ R 0, R s * regão de seguraça Z>0 θ R α R α R a) coordeadas orgas α b) coordeadas reduzdas Fgura 2: Ídce de cofabldade de Hasofer-Ld: fução de desempeho lear. Para estados lmtes ão-leares, o cálculo da dstâca míma tora-se um problema de otmzação da forma: m D g X = g X = 0. t = x x, sujeto às segutes restrções: ( ) ( ) Aplcado o método dos Multplcadores de Lagrage, o ídce de cofabldade resulta: 4

5 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, β = = x = * * g X g X 2*, (2) ode g X é a -ésma dervada parcal avalada o poto de projeto de coordeadas * * * ( x, x2,..., x ). O poto de projeto o sstema coordeado reduzdo é defdo como: x * = α β =,2,..., com os cosseos dretores ao logo dos exos coordeados X, dados por: * 2* α g g = X = X (3) No espaço de projeto orgal e empregado a equação (0), determa-se o poto de projeto: = µ ασ β (4) * x X x A Fgura 3 lustra o algortmo do MMPOA para a determação do ídce de cofabldade. Fgura 3: Algortmo do MMPOA para determação de β MMPOA para Varáves de Dstrbução Não Normal Na atualdade, um MMPOA é mas cohecdo como MCPO. Neste método, o ídce de cofabldade de Hasofer-Ld pode ser estmado utlzado a equação (4) se todas as varáves são estatstcamete depedetes, de dstrbução ormal e a fução de estado lmte é lear. Rackwtz e Fessler (978), Che e Ld (983) e outros propuseram elmar esta lmtação do algortmo cludo a formação das dstrbuções das varáves aleatóras para fuções de estado lmte leares e ão-leares. 5

6 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, No cotexto do MMPOA, a probabldade de falha vem sedo estmada empregado dos tpos de aproxmações do estado lmte o poto de projeto: aproxmação de prmera ordem (MCPO) e aproxmação de seguda ordem (MCO). Estes métodos são cohecdos a lteratura teracoal pelas sglas FORM (frst order relablty method) e ORM (secod order relablty method) Método de Cofabldade de Prmera Ordem A superfíce de falha pode ser represetada por fuções leares ou ão-leares. O MCPO pode ser empregado quado a fução de estado lmte for lear de varáves ormas ão-correlacoadas ou quado a fução de estado lmte ão-lear for represetada por uma aproxmação lear (prmera ordem) com varáves ormas equvaletes. Na Fgura 4 são lustrados os algortmos de determação do ídce de cofabldade pelo MCPO. Algumas melhoras do algortmo proposto por Ayyub e Haldar (984) são cluídas o algortmo (a). (a) (b) Fgura 4: Algortmos do MCPO para determação de β. Observa-se que o peúltmo procedmeto do algortmo, a equação de estado lmte deve ser resolvda para determar o ovo poto de projeto. No caso de fuções ão-leares mas complexas, este procedmeto tora-se dfícl. Etretato, um segudo algortmo (b) sere um procedmeto recursvo do tpo Newto-Raphso (N-R) utlzado dervadas para ecotrar o próxmo poto de projeto. Este algortmo fo proposto por Rackwtz (978). Partcularmete, este método é útl quado a fução de desempeho é mplícta, ou seja, quado ão pode ser expressa como uma forma fucoal explícta das varáves aleatóras Método de Cofabldade de eguda Ordem O MCO estma a probabldade de falha através de uma aproxmação ão-lear da fução de estado lmte, cludo varáves ormas correlacoadas quado a aproxmação da fução de estado lmte for lear. O método cosdera a curvatura da fução de desempeho através de um parâmetro caracterzado pela seguda dervada desta fução em relação às varáves. Portato, o método melhora o resultado do MCPO ao cosderar a ão leardade da fução de desempeho. 6

7 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, Empregado uma aproxmação de seguda ordem por séres de Taylor os valores x, x2,..., x ), uma fução de desempeho ão-lear qualquer pode ser expressa por: ( * * * g g X X X g x x x x x X ( ) ( * * * ) ( * * *, 2,..., =, 2,..., + ) + ( x x )( xj xj) = 2 g... 2 X X + (5) = j= j ode as dervadas são avaladas o potos de projeto X. Para a aálse de cofabldade, esta aproxmação é adotada o espaço ormal equvalete das varáves o poto de dstâca míma. e as varáves ão são correlacoadas, efetua-se a segute trasformação: Y N ( X µ X ) =, (6) N σ X ode N µ e X Y e X são varáves aleatóras do sstema ormal equvalete e orgal, respectvamete; N σ são a méda e o desvo padrão ormal equvalete de X, o poto de projeto x *, X respectvamete. Fessler et al. (979) exploraram pela prmera vez uma aproxmação de seguda ordem empregado dferetes fuções quadrátcas. Utlzado o mesmo tpo de aproxmação, Bretug (984) propôs a segute solução smplfcada para a determação da probabldade de falha: f2 ( ) ( ) = 2 p Φ β βk, (7) sedo a curvatura predomate da fução de estado lmte o poto de dstâca míma represetada por k. Para determar k, o exo coordeado das varáves Y é grado obtedo outro cojuto de varáves (Y ), de forma que estas varáves cocdam com o vetor α (vetor gradete utáro do estado lmte) o poto de dstâca míma. Este procedmeto é lustrado a Fgura 5 para o caso de duas varáves aleatóras. Fgura 5: Rotação de coordeadas. A trasformação ortogoal do espaço Y para o espaço Y é dada por: Y duas varáves aleatóras, a matrz de rotação R resulta: = RY. Para o caso de cosθ seθ R = -seθ cosθ, (8) ode θ é o âgulo de rotação, meddo o setdo at-horáro (como mostrado a Fgura 5). 7

8 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, Quado o úmero de varáves é maor que dos, a matrz de rotação é calculada em duas etapas. Icalmete defe-se a matrz R 0 da segute forma: R =......, (9) α α2... α ode α, α2,..., α são os cosseos dretores ou compoetes do vetor α mostrado a Fgura 5. A seguda etapa cosste em um procedmeto de ortogoalzação de Gram-chmdt (para mas detalhes, ver Apêdce 3 de Haldar e Mahadeva (2000b) da matrz R 0, obtedo assm R. Uma vez obtda a matrz de rotação R, os elemetos da matrz são calculados da segute forma: a j t ( RDR ) j * G( y ) =, j =,2,..., (20) ode D é a matrz das dervadas segudas da fução de estado lmte o espaço ormal * equvalete avaladas o poto de projeto e Gy ( ) é o módulo do vetor gradete o espaço ormal equvalete. No passo segute, as coluas de A e a últma lha do vetor Y são descosderados. Obtedo os autovalores de A, as curvaturas predomates k são calculadas. Com estes parâmetros, a fórmula de Bretug (Equação 7) pode ser empregada para estmar a probabldade de falha. 4. IMULAÇÕE NUMÉRICA Nesta seção são descrtos exemplos de aplcação dos métodos de estmatva do ídce de cofabldade (β) descrtos aterormete. Cosderado a seção de uma vga de aço A36 submetda à ação de um mometo fletor de M=40 kp- e admtdo que a tesão omal do aço seja F y =36 ks e o módulo plástco omal seja Z= 54 3, propõe-se determar β admtdo que as varáves aleatóras possuam dstrbuções 3 3 cohecdas. ão dados: µ = 38 ks, σ = 3,8 ks, δ = 0, e µ = 54, σ = 2,7, δ = 0,05. Fy Fy Fy Na Tabela são mostrados os resultados da estmatva de β para dferetes métodos e varáves aleatóras ormas e logormas. a j Z Z Z Tabela : Valores de β para dferetes métodos e varáves aleatóras. Método g( ) F y Z β g( ) = Fy Z M Normal Normal 3,975 MMPO g( ) = F M / Z Normal Logormal 4,282 y MCPO g( ) = Fy Z M Logormal Normal 5,5 MCPO 2 g( ) = Fy Z M Logormal Normal 5,5 MCO g( ) = Fy Z M Logormal Normal 5,39 8

9 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, Observa-se que os algortmos do MCPO detfcam um mesmo valor de β e maor que o algortmo do MMPO. Pelo fato de adotar uma aproxmação de seguda ordem, o MCO ecotra um β mas precso pouco meor que o MCPO. Para demostrar a aplcação do MCPO em problemas mas complexos evolvedo váras varáves aleatóras, cosdera-se a resstêca ao mometo (M R ) de uma vga de cocreto reforçada de seção retagular. A resstêca ao mometo da vga pode ser calculada utlzado a segute expressão: M = A f d[ η( A f / bdf )], ode A é a área da seção trasversal, f é a tesão de escoameto, R y y c d é a dstâca da fbra mas comprmda ao cetróde da seção, η é o parâmetro de tesão do cocreto, f c é a resstêca à compressão do cocreto e b é a largura da face comprmda. Assume-se ada que a vga esteja submetda à ação de um mometo fletor M. Na últma equação todas as varáves são cosderadas aleatóras sedo seus parâmetros estatístcos mostrados a Tabela 2. A fução de estado lmte para este problema é defda como: g( ) = MR M. Para dferetes combações do tpo de dstrbução das varáves aleatóras da equação ateror, o ídce de cofabldade fo calculado empregado MCPO 2. Os resultados são mostrados a Tabela 2, evdecado a fluêca do tpo de dstrbução das varáves aleatóras. Tabela 2: Valores de β para dferetes dstrbuções das varáves da vga de cocreto. Coef. de Tpo de dstrbução de probabldade Varáves Méda varação Caso A Caso B Caso C Caso D A ( 2 ),56 0,036 Normal Normal Logormal Logormal f (ks) 47,7 0,5 Normal Normal Logormal Logormal y f c (ks) 3,50 0,2 Normal Normal Logormal Logormal b () 8,00 0,045 Normal Normal Logormal Logormal d () 3,20 0,086 Normal Normal Logormal Logormal η 0,59 0,05 Normal Normal Logormal Logormal M (kp-) 326,25 0,7 Normal Logormal Normal Logormal β 3,8330 3,763 4,3877 4,0906 g( ) x x x x CONCLUÕE Foram apresetados os fudametos de aálse de cofabldade de sstemas estruturas e os prcpas métodos de estmatva de cofabldade com dferetes graus de complexdade e abragêca o tratameto das varáves aleatóras lustradas em exemplos de aplcação. Os resultados obtdos permtem coclur que os algortmos mplemetados podem ser utlzados em aplcações mas complexas. Evdetemete estes algortmos devem ser melhorados e adaptados para aplcações a sstemas estruturas cujas fuções de desempeho são mplíctas, devedo ser costruídas a partr de modelos umércos. Pretede-se dar cotudade a este trabalho, mplemetado um cojuto de procedmetos computacoas tegrados, permtdo a realzação de aálses probablístcas aplcadas à elastodâmca lear em modelos de elemetos ftos 6. AGRADECIMENTO Os autores agradecem à CAPE e ao CNPq pela cocessão de bolsas de doutorado e produtvdade em pesqusa. y 9

10 5 POMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, REFERÊNCIA Ayyub, B. M., Haldar, A., 984, A Practcal tructural Relablty Techques, Joural of tructural Egeerg, ACE, No 0, Vol. 8, pp Bretug, K., 984, Asymptotc Approxmatos for Multormal Itegrals, Joural of Egeerg Mechacs, ACE, No 0, Vol. 3, pp Che, X., Ld, N. C., 983, Fast Probablty Itegrato by Three-parameter Normal tal Approxmato, tructural afety, No, pp Fessler, B. Neuma, H. J., Rackwtz, R., 979, Quadratc Lmt tates tructural Relablty, Joural of Egeerg Mechacs, ACE, No 05, Vol. 4, pp Freudethal, A. M., 956, afety ad the Probablty of tructural Falure, ACE Trasactos, Vol. 2, pp Haldar A., Mahadeva., 2000 a, Probablty, Relablty ad tatstcal Methods Egeerg Desg, Joh Wley & os, pp Haldar A., Mahadeva., 2000 b, Relablty Assessmet Usg tochastc Fte Elemet Aalyss, Joh Wley & os, New York, pp Rackwtz, R., Fessler, B., 978, tructural Relablty uder Combed Radom Load equeces, Computers ad tructures, No 9, Vol. 5, pp chueller, G. I., 2000, O the Ratoale for Treatg Ucertates tructural Aalyss, Computatoal Methods for hell ad patal tructures, IA-IACM, IAR-NTUA, Athes, Greece. 8. DIREITO AUTORAI Os autores retêm os dretos autoras deste trabalho e são resposáves pelo seu coteúdo. RELIABILITY ANALIY METHOD: TATE OF THE ART AND APLICATION Jhoja Erque Rojas Flores Domgos Alves Rade Federal Uversty of Uberlâda chool of Mechacal Egeerg, 22 João Naves de Ávla Av. Campus ata Môca P.O. Box 593 CEP Uberlâda/MG - Brazl. jerojas@mecaca.ufu.br domgos@ufu.br Abstract: The relablty aalyss teds to fd the best relato betwee cost ad safety ad to supply gudeles for carryg out relable ad cost-effectve projects. Ths work presets a bblographcal revew of the foudatos of relablty aalyss ad ts applcato to structural systems. The ma methods for estmatg the relablty dex are llustrated through algorthms are summarzed. Dfferet degrees of complexty ad broadess the treatmet of the varables are llustrated through umercal smulatos. Through the mplemetato of these algorthms some results reported the lterature are reproduced. Keywords: Relablty aalyss, FORM, ORM, relablty dex. 0