CURSO DE NIVELAMENTO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc ÁLGEBRA MATRICIAL. Dra. Heloísa Lajas Sanches

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1 CURSO DE NIVELAMENO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc. 9 ÁLGEBRA MARICIAL Dra. Heloísa Laas Saches Arthr Cayley Nascmeto: 6 de Agosto de 8 em Rchmod, Srrey, Iglaterra Falecmeto: 6 de Jaero de 895 em Cambrdge, Cambrdgeshre, Iglaterra

2 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal MARIZES E VEORES -)CONCEIOS BÁSICOS Os cálclos/operações assm como cocetos eoledo matrzes e etores costtem a base dos métodos mércos qe tratam da solção de sstemas leares e ão leares de eqações algébrcas o dferecas. A represetação destes sstemas em termos matrcas/etoras é etremamete mas compacta e é correte a lteratra técca. Como sa-se este crso apresetar os cocetos báscos deste assto especalmete relacoados com aplcações em Egehara Qímca, os elemetos de matrzes e etores serão em prcípo úmeros o aráes reas a ão ser qado eplctamete especfcados como compleos. Uma matrz é m arrao retaglar de úmeros em m lhas e colas, m, sedo represetada como A (letras maísclas em egrto) pertecete a R m, sto é: m A R. O elemeto da lha e cola de A é represetado por a (correspodete letra múscla com o sb-ídce ) o (A). A matrz completa é geralmete escrta a a a a a forma: A a a o, a a a m m m em forma mas compacta por: A ( a ) com,..., m e,... Se das matrzes A e B apresetam o mesmo úmero de lhas e o mesmo úmero de colas são dtas do mesmo tpo. Se A ( a ) é tal qe a para todo e etão a matrz A é dta la e é represetada por. Se m a matrz A é dta qadrada. Se m e a a para,,... a matrz qadrada A é dta smétrca. Se tem-se m etor cola o smplesmete etor desgado por (letra múscla em egrto) e represetado por: m R m Se m tem-se m etor lha desgado por (letra múscla em egrto com o sobreídce de trasposto) e represetada por: ( ) R Se m tem-se m escalar (real) α (letra múscla grega), o sea: α R. m A matrz A R pode ser parcoada por: a-) Colas a forma:

3 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal a a A ( a a a) ode a R m para,..., são os etores a m colas da matrz A; b-) Lhas a forma: a A a a m lhas da matrz A. ode a ( a a a ) R ) OPERAÇÕES ENRE MARIZES para,..., m são os m etores As operações de adção o sbtração são defdas apeas para matrzes do mesmo tpo, assm se A e B são matrzes (m ) etão a matrz C, também (m ), soma o sbtração de A com B, represetada por C A ± B, tem como termo geral : c a ± b para,..., m e,...,. Se α é m escalar qalqer, a matrz αa é ma matrz co termo geral é αa. A operação de mltplcação de matrzes está tmamete relacoada a trasformações de coordeadas. Assm seam as segtes trasformações leares : z a y para,..., m e y p b k k k epressado z em temos de k, por sbsttção tem-se: p p z a bkk a bk k k k defdo: c a b k k tem-se: z c m k k k para,..., m.,, o qe dz à defção da matrz: C A B ode A é (m,), B é (,p) e C é (m,p) qe apreseta como termo geral: c a b k k para,..., m e k,..., p. Verfcado-se assm qe a operação A B só é defda se o úmero de colas de A (prmera parcela do prodto) for gal ao úmero de lhas de B (segda parcela do prodto). É mportate ressaltar qe a le de comtatdade ão é satsfeta pelo prodto etre matrzes, mesmo qe B A sea defda, sto é mp e mesmo qe B A sea do mesmo tpo qe A B, o qe só ocorrerá se mp (sto é ambas as matrzes são qadradas e de mesma dmesão), assm de ma forma geral tem-se: AB B A. Se a prmera parcela do prodto é m etor lha (,) e a segda parcela é m etor cola (,) etão o prodto é m escalar : qe é

4 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal comtáel, sto é. Este prodto é chamado de prodto escalar de dos etores. Se A é ma matrz (m,) e m etor (,) etão o prodto A é m etor (m,) co termo geral é: a para,..., m. Este prodto pode ser efetado de das formas dsttas: a (a) por lhas (método ) cosderado a partção por lhas da matrz A, sto é: A a, a m a a etão: A, e o elemeto de [ ] é dado por a para,..., m, a m qe é o prodto escalar do etor composto pelos elemetos da lha da matrz A com o etor. (b) por colas (método ): cosderado a partção por colas de A, sto é : A ( a a a), etão: A ( a a a) a + a+ + a a, sto é o etor é ma combação lear dos etores cola de A sedo os coefcetes desta combação os elemetos do etor. Eemplo Ilstrato A 7 4, (a)método : ( ) 7 8 ( 4) ; 8 + e 7 ( 5 6) , logo: 5 8 (b) método : A desgação dos métodos como e como dee-se à forma como os loops de programação são efetados, assm o prmero método tem-se o segte flograma:

5 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Especfcação de m e a e para,..., m e,..., + a loop tero + loop etero < _ : > + PARE > m : m < _ m Note qe este caso o loop etero é em (lha)e o loop tero é em (cola). O segdo método é descrto pelo flograma: 4

6 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Especfcação de m e a e para,..., m e,..., + a loop tero + loop etero < _ m : m > m + PARE > : < _ Note qe este caso o loop etero é em (cola)e o loop tero é em (lha) Estes métodos podem também ser lstrados acompahado passo a passo o 5

7 Eemplo Ilstrato ateror segdo cada m dos algortmos. Método PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Método A operação de trasposção de ma matrz A (m,) cosste em trocar as lhas pelas colas de A, esta oa matrz é chamada de matrz trasposta de A, represetada por A, e é ma matrz (,m) co termo da lha e cola é a a para,..., e,..., m. Se a matrz A é smétrca etão : A A. As propredades qe serão descrtas a segr aplcam-se eclsamete a matrz qadradas (,) e a etores cola (,) e a etores lha (,). Defe-se como matrz tára o matrz detdade a matrz I co elemeto geral apeas se é: () I δ sempre qe, ode δ é chamado de delta de Kröecker, deste modo a matrz detdade é ma matrz dagoal cos termos da dagoal são todos táros, assm: I, etededo-se como matrz dagoal ma matrz qadrada em qe apeas os elemetos da dagoal (também chamada de dagoal prcpal) são ão d los, geralmete ma matrz dagoal D d é represetada a forma mas compacta: D dag( d d d ). Note qe toda matrz dagoal é smétrca. Uma propredade mto mportate da matrz detdade é: I A A I A, sto é, a matrz detdade pré-mltplcada o pós-mltplcada por qalqer matrz qadrada de mesma dmesão ão altera o alor de elemeto algm desta matrz. Uma matrz dagoal é m caso partclar de matrzes dta esparsas, qe são matrzes qe apresetam m grade úmero de elemetos los, sedo os elemetos ão los mas a eceção do qe a regra. Algmas destas matrzes são apresetadas abao: -)matrzes tr-dagoas são matrzes qe apresetam apeas os elemetos da dagoal, os elemetos sobre a dagoal e o elemetos sob a dagoal ão los, sedo os demas los, assm se A é ma matrz trdagoal etão: d 6

8 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal se - dagoal se + (para,...,) - sob a dagoal a se - (para,..., -) - sobre a dagoal em qalqer otro caso -) matrzes b-dagoas são matrzes qe apresetam apeas os elemetos da dagoal e os elemetos sobre a dagoal o sob a dagoal ão los, o prmero caso dz-se qa a matrz é b- dagoal speror e o segdo caso b-dagoal feror. -) matrzes traglares são matrzes qe apresetam todos os elemeto sob (o sobre) a dagoal los, sedo este caso chamada de matrz traglar speror o matrz U(o traglar feror o matrz L), assm: ( U) se > e ( L) se >. Algmas ezes para etar ambgüdades represeta-se a matrz detdade de dmesão por I. O traço de ma matrz qadrada A é a soma dos elemetos de sa dagoal, sto é: ( ) tr A a. Uma matrz qadrada A é dta posta defda se A > para todo etor (sto é ão lo), caso A a matrz A é dta posta sem-defda e se A para algs etores e se A < para algm etor a matrz A é dta ãodefda. Além dsto, A é dta egata defda se A < para todo etor e é dta egata sem-defda caso A. O determate de ma matrz A é m escalar obtdo atraés da soma de todos os prodtos possíes eoledo m elemeto de cada lha e cada cola da matrz, com o sal posto o egato coforme o úmero de permtações dos ídces sea par o ímpar. Sa obteção e sa represetação, apesar de ser m dos cocetos mas prelmares eoledo matrzes, ão são tarefas tras e o coceto de determate será tlzado estas otas apeas como base de otras propredades de matrzes qadradas. Assm, o determate de A desgado por det(a) pode ser represetado por: det ( A ) ± a, a, a,, o etão atraés do coceto de cofator do elemeto da matrz A (represetado por A )qe é o determate da matrz obtda cacelado a lha e a cola da matrz A com o sal mas o meos coforme + sea par o ímpar, assm: + A ( ) det( Λ ) ode Λ é matrz qadrada (-,-) obtda pela elmação da lha e a cola de A.. em-se etão: det( A ) a A (epasão do determate pela lha ), det( A ) a A (epasão do determate pela cola ). 7

9 Além dsto : a A k PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal se k (pos eqüale a dzer qe a matrz A apreseta das lhas gas, o caso as lhas e k ); e a A se k (pos eqüale a dzer qe a matrz A apreseta das colas gas, o caso as colas e k. Na prátca etretato é pratcamete mpossíel calclar o determate de matrzes atraés destas regras geras por eoler m úmero mto grade de termos [ a realdade!, assm mesmo com matrzes relatamete peqeas como com tem-se mlhões de termos]. Felzmete, para os ossos propóstos, apeas as regras a segr serão sfcetes: O determate de ma matrz A matém-se alterado se somar-se a todos os elemetos de qalqer lha ( o cola) os correspodetes elemetos de ma otra lha (o cola) mltplcados pela mesma costate α; se a é o úco elemeto ão lo da lha o da cola etão: det( A ) a A ; k se A a b c d etão : det( A ) a b a d c d b c. Da regra erfca-se qe se det(a) etão A apreseta das lhas (o colas) proporcoas etre s, o ada, de ma forma mas geral, pode-se afrmar qe ma lha (o cola) de A pode ser escrta como combação lear de algma o algmas lhas (o colas) da mesma matrz. Da regra demostra-se qe se A for ma matrz traglar etão det(a) é smplesmete o prodto dos elemetos de sa dagoal (ote qe o mesmo ale para matrzes b-dagoas qe são também matrzes traglares). Se det(a) dz-se qe a matrz A é sglar, e caso det(a) etão A é dta reglar. Se C A B etão det(c) det(a). det (B). Se BA etão det(b) det(a), sto é det (A ) det (A) A matrz adta de ma matrz A é a matrz trasposta da matrz obtda sbsttdo cada elemeto da matrz A pelo se correspodete cofator, sto é se à é a matrz adta de A etão o elemeto da lha e cola de à é A. A propredade mas mportate da matrz adta dz respeto aos prodtos: PA à e Qà A o prmero prodto tem com termo geral: p a ~ a a A det( Α) δ k k k k k k k k k k ~ det( ) e o segdo prodto: q a a A a k k Α δ, assm: ~ ~ A A A A det( A) I. Deste modo se det (A) (A é reglar) defe-se: A det( A) A ~ a chamada ersa de A qe tem como propredade:

10 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal A A A A I qe este apeas se det (A). Note qe det( A ) det( A) Eemplo Ilstrato: Cosdere a segte matrz (): A a b c d, assm, ses cofatores são: A d ; A c A A b ; a determar a matrz adta: A ~ d b, ote qe: c a ~ ~ d A A A A ( ad bc) det( A) I A ( ad bc) c, permtdo b a, sto é, para determar a ersa de ma matrz () basta trocar os elemetos da dagoal prcpal, trocar o sal dos elemetos da dagoal secdára e ddr a matrz resltate pelo determate da matrz orgal. Se A A, sto é a ersa da matrz é gal a sa trasposta, etão a matrz A é chamada de matrz ortogoal., e este caso o det(a) + o -. Eemplo Ilstrato - Cosdere a mdaça de coordeadas em R resltate da smples rotação dos eos, coforme mostrado abao: y y θ r P θ α O ê-se da fgra acma qe o sstema orgal (, ) : r cos(α) e : r se(α), o etor OP faz m âglo gal a θ - α com o eo y e proetase a porção egata do eo y, assm: rcos( θ α) rcosθ cosα + rseθseα o sea: rse( θ α) rseθ cosα + r cosθseα cosθ + seθ seθ + cosθ cosθ seθ se θ cosθ cosθ seθ cosθ seθ, tem-se: seθ cosθ seθ cosθ cos θ+ se θ cosθseθ+ seθcosθ + + seθcosθ cosθseθ se θ cos θ cos θ+ se θ cosθseθseθcosθ se se se +. θcosθ cosθ θ θ cos θ o, em termos matrcas :, detfcado a matrz da trasformação : Verfcado-se assm qe a matrz é ma matrz ortogoal. e

11 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal É teressate erfcar qe os etores cola da matrz são eatamete os compoetes dos etores e e e o oo sstema de coordeadas, em acordo com a fgra abao: y y y y O cos( θ ) θ e r cos( θ ) e θ se( θ ) O -se( θ) ) ALGUMAS PROPRIEDADES FUNDAMENAIS DE OPERAÇÕES ENRE MARIZES As les de assocação e de comtação são áldas para as operações de adção/sbtração, assm: (A+B)+C A+(B+C) e A+B B+A. São áldas também as les de assocação e de dstrbção para a mltplcação, assm: (AB)C A(BC) ; A(B+C) AB + AC e (A+B)C AC + BC Para a matrz trasposta tem-se as segtes propredades:(a+b) A + B e (AB) B A e para a matrz ersa: (AB) - B - A - e (A - ) (A ) - Um meor de ordem p de ma matrz A (,) é o alor do determate da matrz obtda elmado-se -p lhas e -p colas da matrz A. Se ma matrz A apreseta a propredade de todos os meores de ordem (r + ) serem los e de pelo meos m meor de ordem r ser ão lo etão dz-se qe a matrz A é de posto (rak) r. Note qe todo matrz qadrada (,) reglar ( o ão sglar) apreseta o posto gal a. Um coto de etores,,..., com elemetos é dto learmete depedete se os úcos alores de c, c,...c tas qe: c +c +...+c são:c c...c. Neste caso os etores,,..., formam ma base de R e todo etor deste espaço de dmesão (qe é o mero mámo de etores learmete depedetes qe pode estr este espaço, qe também é gal ao úmero de elemetos destes etores) pode ser epresso como ma combação lear dos etores da base, os coefcetes desta combação lear são os compoetes do etor esta base. Os compoetes de m etor qalqer do R apeas cofdem-se com ses elemetos qado adota-se a base caôca do R, qe é a base composta pelos etores táros e co úco elemeto ão lo é o ésmo, sto é : e δ, desta forma os etores cola o os etores lha da matrz detdade I são os etores da base caôca do R. 4

12 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Em ma matrz de posto r todos ses etores lha (o cola) podem ser escrtos como ma combação lear de r etores lha (o cola), desta forma o posto de ma matrz é também o úmero mámo de etores lha (o cola) learmete depedetes. Uma forma de determar o posto de ma matrz é atraés do processo de ortogoalzação de Gram-Schmdt aplcado aos etores lha o aos etores cola da matrz, este processo pode ser resmdo a forma, seam:,,..., os etores cola (o lha) de A, etão adota-se: ( ) e se > ε ( ) ( ) e se > ε... [( k ) k ] e se > ε k para,..., com ode p p + p + + p (módlo de p) e ε. Ecotrado-se drate este processo algm etor k com módlo lo ( o meor qe m alor posto peqeo ε) abadoa-se este etor e prossege-se o procedmeto remerado-se os etores sbseqüetes, ao fal do processo o úmero de etores k ão los é gal ao posto da matrz. Este procedmeto pode ser também aplcado a matrzes ãoqadradas. Eemplos Ilstratos :Calclar atraés do processo de ortogoalzação de Gram-Schmdt o posto de cada ma das matrzes abao: 7 (a) 4 6 ; (b) ; (c) (a) tlzado os etores cola da matrz, sto é: ; e, 4. tem-se:

13 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal 6 ( ) ; ( ) ( ) como os etores, e são ão los o posto da matrz é gal a. tlzado os etores lha da matrz, sto é: ; e, tem-se: 7..58; ( ).866 ; ,548 6,94, ( ) ( ) oamete tem-se os etores, e ão los e o posto da matrz é gal a. (b) tlzado os etores cola da matrz, sto é: ; e, aplcado o método de Gram-Schmdt a estes etores, chega-se a: como há apeas etores ão los, o posto desta matrz é gal a ; tlzado os etores lha da matrz, sto é :

14 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal ; ; e, aplcado o método de Gram-Schmdt a estes etores, chega-se a:. e, , Noamete erfcado-se qe há apeas etores ão los, recofrmado o fato de o posto desta matrz ser gal a. (c) tlzado os etores cola da matrz, sto é: ; ; e, aplcado o método de Gram-Schmdt a estes etores, chega-se a: e ,, como há apeas etores ão los, o posto desta matrz é gal a ; tlzado os etores lha da matrz, sto é : 6 5 e 4 4 ; 4 ; 4, aplcado o método de Gram-Schmdt a estes etores, chega-se a: e, , Noamete erfcado-se qe há apeas etores ão los, recofrmado o fato de o posto desta matrz ser gal a. 4) VALORES CARACERÍSICOS E VEORES CARACERÍSICOS DE MARIZES Dada ma matrz A pode-se determar m escalar λ e m etor tal qe a eqação: A λ sea satsfeta, o escalar λ é chamado de alor característco o atoalor da matrz A e é chamado de etor característco o ato etor de A. A eqação de defção do alor e etor característco pode também ser escrta a forma: ( A I λ ), trasformado-se assm em m sstema lear e homogêeo de eqações qe apreseta solção apeas se a matrz A I λ for sglar, sto é:

15 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal a λ a a det( A I) det a a λ a λ p ( λ) qe é m a a a λ polômo de gra em λ chamado de polômo característco de A cas raízes são os alores característcos o atoalores de A. Verfca-se, pela epasão deste determate, qe o úco termo de gra e (-) em λ é o correspodete ao prodto da dagoal prcpal de A λ I, sto é : ( a λ) ( a λ) ( a λ) sedo todos os demas termos de gra feror a (-), além dsto como p()det(a) o termo depedete de λ em p(λ) é det(a), permtdo assm coclr qe p( λ) ( λ) + ( a + a + a )( λ) + + det( A ), mltplcado-se membro por (-), tem-se: p( λ) λ ( a + a + a ) λ + + ( ) det( A ) (ote qe apesar de ter-se mltplcado membro a membro da epressão por (-), matee-se a otação p(λ) para desgar o polômo característco, á qe o mesmo está galado a zero sedo assm rreleate se sal). Pela epressão de p(λ) dedz-se qe: (a): λ+ λ+ λ a+ a+ a o sea : λ tr( A) ; (b): λ λλ det( A ) o sea : λ det( A ); (c) como p( λ) det( A λi) se A for sglar tem-se det(a) desta forma p() det(a), sto é se A for sglar λ é ecessaramete alor característco de A. Após determados os alores característcos de A os etores característcos são determados atraés de : ( A λ I) para,,...,, porém, sabe-se qe para qalqer matrz qadrada M : M ad(m) det(m) I, qe aplcado a M A λ I e m sta de det( A λ I), tem- A λ I A λ I se: ( ) ( ) te ( λ ) [ ( λ )] ão lo da matrz ad( A I) ad o ada: A I C ad A I, deste modo qalqer etor cola λ mltplcado por qalqer costate real é m etor característco de A, como a matrz adta de ma matrz qadrada é obtda traspodo-se a matrz costrída sbsttdo cada elemeto por se cofator, para calclar o etor característco basta calclar os cofatores ão los de ma lha qalqer de ( A I) mltplcados por ma costate real coeete. Pré-mltplcado a eqação de defção do alor e etor característcos pela matrz A tem-se: A λ ( A ), mas : A λ, assm: A λ, repetdo o procedmeto a esta últma eqação temse: A λ, e assm scessamete, permtdo escreer: 8 λ

16 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal m m A λ para m,,.., sto é os alores característcos de A m são os alores característcos de A eleados a mesma potêca m e os etores característcos são os mesmos. Se a matrz A é reglar admte ersa e λ ão é alor característco [ pos: p()det(a) ], assm da defção de alor e etor característcos A -, cocl-se qe os alores característcos de A - λ são os recíprocos dos alores característcos de A e os etores característcos são os mesmos. Desta forma a afrmação de qe os alores característcos de A m são os alores característcos de A eleados a mesma potêca m e os etores característcos são os mesmos ale para todos os alores teros de m, sto é para m, ±, ±,... Estas últmas propredades podem também ser aplcadas a fções polomas de A do tpo: m m m q( A) A + a A + aa + + ama + ami, assm m m m q( A) A + a A + aa + + ama + am, e se é m etor característco de A, tem-se: m m m q( A) + a λ λ + aλ + + amλ + am q( λ), sto é se λ é m alor característco e o correspodete etor característco de A, etão q(λ) é alor característco e o correspodete etor característco de m m m q( A) A + a A + a A + + a A + a I m Pela propredade acma e a propredade de qe : tr( A) m tem-se qe: Sr tr( m m λ A ), sto é a soma da m ésma potêca dos alores característcos de A é gal ao traço da matrz A m. Cosderado a segte epasão do polômo característco de A: p( ) c c λ λ + λ + λ + + c λ + c qe pode também ser epresso pelo prodto dos moômos: (λ-λ ) sto é: p( λ) ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ), além dsto: dp( λ) ( λ λ) ( λ λ) + ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ) + + ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ) dλ p( λ) p( λ) p( λ) p( λ) ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) cada ma destas parcelas pode ser obtda pela dsão da forma orgal de p(λ) por (λ-λ I ), assm: p( λ) λ + ( c + λ ) λ + ( c + c λ + λ) λ + ( c + c λ + c λ + λ) λ 4 + λ λ ( ) λ, 9

17 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal + + c + c λ + c λ + + c λ + λ para,,..., assm: dp( λ) p( λ) dλ λ λ ( ) ( ) ( ) λ + ( c + S ) λ + c + c S + S λ + ( c c S c S S ) λ + + ( c + c S + c S + + c S + S ) sbtrado desta epressão a epressão obtda derado dretamete a forma orgal de p(λ), sto é: dp( λ) λ + ( ) c λ + ( ) c λ + + c, tem-se: dλ c + S c + c S + S, ( ) c + c S + c S+ + c S + S além dsto, como: p( λ) λ + c λ + c λ + + c λ + c para,,...,, tem-se também : c + c S + c S+ + c S + S, resltado assm em m sstema lear traglar ca solção pode ser epressa a forma recrsa: c S c ( c S + S) c ( c S + c S+ + c S + S ) c ( ) c S c S c S S Este método é chamado de método de Leerrer, qe determa recrsamete os coefcetes de p(λ) a partr do cálclo dos traços das scessas potêca de A de a (). Eemplo Ilstrato: Aplqe o método de Leerrer para determar o polômo característco, os alores característcos e os etores característco da matrz: A , assm: A e A , resltado em S tr(a)-6 ; S tr(a )4 e S tr(a ) -6. E, recrsamete: c -S +6 ; c [ ( ) ] e

18 c [ ( 6) ] 6, logo: ( ) PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal p λ λ + λ 6 + λ+ 6, por speção erfca-se qe as três raízes característcas são : λ - ; λ - e λ -. Para determar os correspodetes etores característcos assm se procede: o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da prmera lha: ;- e, mltplcado estes cofatores por -, tem-se: o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da prmera...5 lha: -.5;-.5 e +., mltplcado estes cofatores por -, tem-se: o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da...5 segda lha:, e -, matedo estes cofatores como elemetos do etor, tem-se: Note qe : A + 6 A + A + 6 I e qe costrdo ma matrz cos etores cola são os etores característcos de A, sto é: P, tem-se : 6 A P P 9 D o P A P D 4 6, ode Ddag(-, -, -). Uma propredade mto mportate de alores característcos e etores característcos dz respeto a matrzes smétrcas, para sto assocase m otro problema de alores e etores característcos à mesma matrz A:

19 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Determar os alores de µ e de w qe satsfazem a: w A µ w o, de forma aáloga, A w µ w (a realdade está se estdado o problemas dos alores e etores característcos assocado à matrz trasposta de A)este problema pode também ser colocado a forma: ( A µ I) w, qe, de forma aáloga ao caso ateror, só apreseta solção se det( A µ I) det( A µ I), resltado assm o mesmo polômo característco do problema ateror. Assm os alores característcos deste oo problema são os mesmos do problema ateror, etretato os etores característcos ão são os mesmos ( a ão ser qe a matrz A sea smétrca), pos este caso são os etores cola ão los de ad(a -λi), qe são a realdade os etores lha ão los da matrz ad(a-λi) (qe são os cofatores ão los de ma cola da matrz A-λI mltplcados por costate real coeete). Seam e w dos etores característcos de A e A, respectamete, correspodetes a alores característcos dsttos λ λ, assm: A λ w A λ w pré-mltplcado a prmera epressão por w, tem-se: w A λ w, mas : w A w λ, etão : λ λ ( λ λ) w w w como λ λ, esta últma epressão só é la se w,sto é os etores e w para são ortogoas etre s. Eemplo Ilstrato. No eemplo ateror, tha-se: o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da prmera...5 cola: -;- e -, mltplcado estes cofatores por -, tem-se: w o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da...5 prmera cola: -.5; e.75, mltplcado estes cofatores por -4/, tem-se: w o Vetor Característco: λ -,

20 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da...5 segda cola:, e.5, dddo estes cofatores por.5, tem-se: w Note qe: w ; w w w 4 ; w w 4 ; w w w assm redefdo os etores w, w e w como : w,oo -.5 w ; w,oo +.5 w e w,oo +.5 w, tem-se:.5.5 w, oo.5 ; w,oo, e w,oo.5, ê-se qe a matrz :.5.5 w,oo.5.5. Q w,oo.5..5 P, pos : Q P I,oo,.5.5 w No caso partclar de A ser smétrca como w para todo tem-se os etores característcos mtamete ortogoas etre s, sto é para, se além dsto (etores característcos de módlo táro) tem-se δ e matrz composta pelos etores característcos : ( ) P é ma matrz ortogoal. Uma otra propredade de matrzes smétrcas é qe só apresetam alores característcos reas, sto pode ser demostrado cosderado a hpótese oposta, sto é sea λ α+ β m alor característco de A correspodedo a m etor característco (também compleo): a + b, como todos os elemetos da matrz A são reas os coefcetes do polômo característco serão também todos reas, desta forma se λ α+ β é raz de p(λ) o se cogado λ αβ também o será correspodedo a m etor característco : a b, demostro-se etretato qe em matrzes smétrcas w e qe de forma geral λ λ w para: λ λ, qe o caso de matrzes smétrcas será: ( ) ( λ λ), adotado esta epressão λ λ e, tem-se: λ λ β e a a + b b a + b, assm: ( λ λ) β ( a b ) +, como a + b > tem-se ecessaramete: β o qe cotradz a hpótese cal da matrz admtr m alor característco compleo.

21 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Eemplo Ilstrato: Determe o polômo característco, os alores característcos e os etores característco da matrz: 6 A, assm: A 5 e 5 9 A 4, resltado em S tr(a)- ; S tr(a )6 e 4 5 S tr(a ) 7. E, recrsamete: c -S - ; c [ + 6] 6 e p λ λ λ 6 λ + 9, por speção erfca-se qe: λ é raz de p(λ), assm: λ λ 6 λ + 9 λ + λ cas raízes λ + são λ e λ. Para determar os correspodetes etores característcos assm procede-se: o Vetor Característco: λ +, A λ I A I, cofatores da prmera lha: +4; -4 e 4 +, dddo estes cofatores por +, tem-se: c [ ] 9, logo: ( ) o Vetor Característco: λ, A λ I A I 5, + cofatores da tercera lha: 5; - e 6, matedo estes cofatores como os elemetos do etor característco, tem-se: 5 6 o Vetor Característco: + λ 4

22 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal A λ I A + I 5, cofatores da tercera lha: ( 5+ ); - e 6+, matedo estes cofatores ( + ) como os elemetos do etor característco, tem-se: Note qe : A A 6 A + 9 I e qe 9 ;, ;, ; assm redefdo os etores, e como : ,oo.667 ;,oo.75 e,oo , ê-se qe a matrz : P (,oo,oo,oo ) , é ortogoal pos : P P P P I Uma otra propredade mportate relata a alores característcos de matrzes dz respeto à sa arâca à segte trasformação da matrz A: P - AP ode P é ma matrz ão sglar, assm sea B P - AP os alores característcos de B são as raízes de ( ) ( ) ( det B I det P A P I) det[ P ( A I) P] p λ λ λ λ det( P ) det( AλI) det( P) det λ det det λ det ( P) ( A I) ( P) ( A I) matedo-se assm dêtco ao polômo característco de A, desta forma os alores característcos de A e de BP - AP são os mesmos. Etretato os etores característcos de A e B são dsttos, assm seam e os etores característcos de A e B, respectamete, correspodetes ao mesmo alor característco λ, sto é: A λ e B λ o sea: P AP λ, prémltplcado membro a membro desta últma epressão por P, tem-se: A( P ) λ ( P ) qe cofrotado com a defção de etor 5

23 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal característco de A permte coclr qe P o P, sto pode ser terpretado como ma mdaça de coordeadas, assm os elemetos do etor ada mas são qe os compoetes do etor a base composta pelos etores cola da matrz P. Eemplo Ilstrato: Em eemplo ateror determaram-se os alores e.5..5 etores característcos da matrz: A , mostre qe...5 a trasformação: BP - AP com P 4 ão modfca os alores característcos de A e os oos etores característcos são P Iertedo a matrz P, tem-se: P..., assm: BP - AP ; B e B resltado em S tr(b)-6 ; S tr(b ) e S tr(b ) -6. E, recrsamete: c -S +6 ; c [ ( ) ] e c [ ( 6) ] 6, logo: ( ) p λ λ + λ 6 + λ+ 6, dêtco ao polômo característco de A, desta forma os alores característcos matém-se alterados. Para determar os correspodetes etores característcos assm procedese: o Vetor Característco: λ -, B λ I B + I , cofatores da prmera lha: +; e +4, dddo estes cofatores por +, tem-se: 5 logo : P o Vetor Característco: λ -, 6

24 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal B λ I B + I , cofatores da prmera lha ;+.5 e.75, mltplcado estes cofatores por -4, tem-se: 97 logo: P o Vetor Característco: λ -, B λ I B + I , cofatores da prmera lha: -5 ; e 7.5, mltplcado estes cofatores por -/, tem-se: 7 logo: P 5-5) FORMA CANÔNICA DE MARIZES À toda matrz qadrada A assoca-se a trasformação lear A, ode A (,), R e R, reepressado os etores e em ma base composta pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, tem-se: P e P, ode: ( ) P p p p, e são os compoetes de e a oa base, assm: P AP ( P. AP), permtdo terpretar a matrz: A P. AP como os compoetes de A a oa base p, p,, p. Este procedmeto cosste em ma trasformação de coordeadas podedo assm ser resmdo: m etor R tem como compoetes em ma base formada pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, os elemetos de relacoados com os elemetos de atraés de : P P o, ode: P ( p p p) e ma matrz A R tem como compoetes em ma base formada pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, os elemetos de A relacoados com os elemetos de A atraés de A P. A P A P. A o P. Uma propredade mportate da trasformação de coordeadas dz respeto à potêcas da matrz A, assm tem-se : A P. AP P. A P P. A P e ( ) ( ) ( ) ( ) A A A P. A P P. A P P. A P, e assm scessamete, permtdo coclr qe: A m P. A m P A m P. A m o P, para m,,,... Se a matrz A for reglar tem-se : A ( P. A P ) ( P ) ( P. A ) P. A P e A P. A P, assm para A reglar tem-se: A m P. A m P A m P. A m o P, para m, ±, ±,... 7

25 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Esta mesma propredade pode ser aplcada a fções polomas de A do tpo: m m m p( A) A + a A + aa + + ama + ami, pré-mltplcado esta epressão por P - e pós-mltplcado por P, tem-se: m m m m P p( A) P P A + a A + a A + + a A+ a I P P A P+ ( m m ) m m m m + a P A P+ a P A P+ + a P A P+ a I A + a A + m ( ) ( ) ( ) m + a A + + a A + a I p A P p( A) P p A e Pp( A ) P p A m m A qestão qe se propõe agora é como selecoar a base composta por p, p,, p de tal forma qe a matrz A assma sa forma mas smples forma caôca), das stações se apresetam: -) A matrz A apreseta alores característcos dsttos e, em coseqüêca, etores característcos learmete depedetes, seam estes etores : p, p,, p, como Ap λ p para,, tem-se: ( ) A P λp λp λ p, mas : λ λ λ p P ; λp P ; ; λ p P λ A P ( λp λp λ p ) PD, ode D dag (λ, λ,..., λ ) λ λ, sto é: λ o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da...5 segda lha:, e -, matedo estes cofatores como elemetos do etor, tem-se: Note qe : A + 6 A + A + 6 I e qe costrdo ma matrz cos etores cola são os etores característcos de A, sto é: P, tem-se : m 8

26 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal 6 A P P 9 D o P A P D 4 6, ode Ddag(-, -, -). Uma propredade mto mportate de alores característcos e etores característcos dz respeto a matrzes smétrcas, para sto assocase m otro problema de alores e etores característcos à mesma matrz A: Determar os alores de µ e de w qe satsfazem a: w A µ w o, de forma aáloga, A w µ w (a realdade está se estdado o problemas dos alores e etores característcos assocado à matrz trasposta de A)este problema pode também ser colocado a forma: ( A µ I) w, qe, de forma aáloga ao caso ateror, só apreseta solção se det( A µ I) det( A µ I), resltado assm o mesmo polômo característco do problema ateror. Assm os alores característcos deste oo problema são os mesmos do problema ateror, etretato os etores característcos ão são os mesmos ( a ão ser qe a matrz A sea smétrca), pos este caso são os etores cola ão los de ad(a -λi), qe são a realdade os etores lha ão los da matrz ad(a-λi) (qe são os cofatores ão los de ma cola da matrz A-λI mltplcados por costate real coeete). Seam e w dos etores característcos de A e A, respectamete, correspodetes a alores característcos dsttos λ λ, assm: A λ w A λ w pré-mltplcado a prmera epressão por w, tem-se: w A λ w, mas : w A w w w w λ, etão : λ λ ( λ λ) como λ λ, esta últma epressão só é la se w,sto é os etores e w para são ortogoas etre s. Eemplo Ilstrato. No eemplo ateror, tha-se: o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75, cofatores da prmera...5 cola: -;- e -, mltplcado estes cofatores por -, tem-se: w o Vetor Característco: λ -, 9

27 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal.5..5 A λ I A + I.5..75,...5 cofatores da prmera cola: -.5; e.75, mltplcado estes cofatores por -4/, tem-se: w o Vetor Característco: λ -,.5..5 A λ I A + I.5..75,...5 cofatores da segda cola:, e.5, dddo estes cofatores por.5, tem-se: w Note qe: w ; w w ; 4 ; w 4 w w w w w assm redefdo os etores w, w e w como : w,oo -.5 w ; w,oo +.5 w e w,oo +.5 w, tem-se:.5.5 w, oo.5 ; w,oo, e w,oo.5, ê-se qe a matrz :.5.5 w,oo.5.5. Q w,oo.5..5 P, pos : Q P I,oo,.5.5 w No caso partclar de A ser smétrca como w para todo tem-se os etores característcos mtamete ortogoas etre s, sto é para, se além dsto (etores característcos de módlo táro) tem-se δ e matrz composta pelos etores característcos : ( ) P é ma matrz ortogoal. Uma otra propredade de matrzes smétrcas é qe só apresetam alores característcos reas, sto pode ser demostrado cosderado a hpótese oposta, sto é sea λ α+ β m alor característco de A correspodedo a m etor característco (também compleo): a + b, como todos os elemetos da matrz A são reas os coefcetes do polômo característco serão também todos reas, desta forma se λ α+ β é raz de p(λ) o se cogado λ αβ também o será correspodedo a m etor característco : a b, demostro-se etretato qe em matrzes smétrcas w e qe de forma geral

28 ( λ λ) ( λ λ) w PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal para: λ λ, qe o caso de matrzes smétrcas será:, adotado esta epressão λ λ e, tem-se: λ λ β e a a + b b a + b, assm: ( λ λ) β ( a b ) +, como a + b > tem-se ecessaramete: β o qe cotradz a hpótese cal da matrz admtr m alor característco compleo. Eemplo Ilstrato: Determe o polômo característco, os alores característcos e os etores característco da matrz: 6 A, assm: A 5 e 5 9 A 4, resltado em S tr(a)- ; S tr(a )6 e 4 5 S tr(a ) 7. E, recrsamete: c -S - ; c [ + 6] 6 e p λ λ λ 6 λ + 9, por speção erfca-se qe: λ é raz de p(λ), assm: λ λ 6 λ + 9 λ + λ cas raízes λ + são λ e λ. Para determar os correspodetes etores característcos assm procede-se: o Vetor Característco: λ +, A I A I λ, cofatores da prmera lha: +4; -4 e 4 c [ ] 9, logo: ( ) +, dddo estes cofatores por +, tem-se: o Vetor Característco: λ, A λ I A I 5, + cofatores da tercera lha: 5; - e 6, matedo estes

29 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal cofatores como os elemetos do etor característco, tem-se: 5 6 o + Vetor Característco: λ A λ I A + I 5, cofatores da tercera lha: ( 5+ ); - e 6+, matedo estes cofatores ( + ) como os elemetos do etor característco, tem-se: Note qe : A A 6 A + 9 I e qe 9 ;, ;, ; assm redefdo os etores, e como : ,oo.667 ;,oo.75 e,oo , ê-se qe a matrz : P (,oo,oo,oo ) , é ortogoal pos : P P P P I Uma otra propredade mportate relata a alores característcos de matrzes dz respeto à sa arâca à segte trasformação da matrz A: P - AP ode P é ma matrz ão sglar, assm sea B P - AP os alores característcos de B são as raízes de ( ) ( ) ( det B I det P A P I) det[ P ( A I) P] p λ λ λ λ det( P ) det( AλI) det( P) det λ det det λ det ( P) ( A I) ( P) ( A I) matedo-se assm dêtco ao polômo característco de A, desta forma os alores característcos de A e de BP - AP são os mesmos. Etretato os

30 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal etores característcos de A e B são dsttos, assm seam e os etores característcos de A e B, respectamete, correspodetes ao mesmo alor característco λ, sto é: A λ e B λ o sea: P AP λ, prémltplcado membro a membro desta últma epressão por P, tem-se: A( P ) λ ( P) qe cofrotado com a defção de etor característco de A permte coclr qe P o P, sto pode ser terpretado como ma mdaça de coordeadas, assm os elemetos do etor ada mas são qe os compoetes do etor a base composta pelos etores cola da matrz P. Eemplo Ilstrato: Em eemplo ateror determaram-se os alores e.5..5 etores característcos da matrz: A , mostre qe...5 a trasformação: BP - AP com P 4 ão modfca os alores característcos de A e os oos etores característcos são P Iertedo a matrz P, tem-se: P..., assm: BP - AP ; B e B resltado em S tr(b)-6 ; S tr(b ) e S tr(b ) -6. E, recrsamete: c -S +6 ; c [ ( ) ] e c [ ( 6) ] 6, logo: ( ) p λ λ + λ 6 + λ+ 6, dêtco ao polômo característco de A, desta forma os alores característcos matém-se alterados. Para determar os correspodetes etores característcos assm procedese: o Vetor Característco: λ -,

31 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal B λ I B + I , cofatores da prmera lha: +; e +4, dddo estes cofatores por +, tem-se: 5 logo : P o Vetor Característco: λ -, B λ I B + I , cofatores da prmera lha ;+.5 e.75, mltplcado estes cofatores por -4, tem-se: 9 7 logo: P o Vetor Característco: λ -, B λ I B + I , cofatores da prmera lha: -5 ; e 7.5, mltplcado estes cofatores por -/, tem-se: 7 logo: P 5-5) FORMA CANÔNICA DE MARIZES À toda matrz qadrada A assoca-se a trasformação lear A, ode A (,), R e R, reepressado os etores e em ma base composta pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, tem-se: P e P, ode: ( ) P p p p, e são os compoetes de e a oa base, assm: P AP ( P. AP), permtdo terpretar a matrz: A P. AP como os compoetes de A a oa base p, p,, p. Este procedmeto cosste em ma trasformação de coordeadas podedo assm ser resmdo: m etor R tem como compoetes em ma base formada pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, os elemetos de relacoados com os elemetos de atraés de : P P o P p p p e ma 4, ode: ( ) matrz A R tem como compoetes em ma base formada pelos etores learmete depedetes : p, p,, p, os elemetos de A relacoados com os elemetos de A atraés de A P. A P A P. A o P.

32 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Uma propredade mportate da trasformação de coordeadas dz respeto à potêcas da matrz A, assm tem-se : A P. AP P. A P P. A P e ( ) ( ) ( ) ( ) A A A P. A P P. A P P. A P, e assm scessamete, permtdo coclr qe: A m P. A m P A m P. A m o P, para m,,,... Se a matrz A for reglar tem-se : A ( P. A P ) ( P ) ( P. A ) P. A P e A P. A P, assm para A reglar tem-se: A m P. A m P A m P. A m o P, para m, ±, ±,... Esta mesma propredade pode ser aplcada a fções polomas de A do tpo: m m m p( A) A + a A + aa + + ama + ami, pré-mltplcado esta epressão por P - e pós-mltplcado por P, tem-se: m m m m P p( A) P P A + a A + a A + + a A+ a I P P A P+ ( m m ) m m m m + a P A P+ a P A P+ + a P A P+ a I A + a A + m ( ) ( ) ( ) m + a A + + a A + a I p A P p( A) P p A e Pp( A ) P p A m m A qestão qe se propõe agora é como selecoar a base composta por p, p,, p de tal forma qe a matrz A assma sa forma mas smples forma caôca), das stações se apresetam: -) A matrz A apreseta alores característcos dsttos e, em coseqüêca, etores característcos learmete depedetes, seam estes etores : p, p,, p, como Ap λ p para,, tem-se: ( ) A P λp λp λ p, mas : λ λ λ p P ; λp P ; ; λ p P λ A P ( λp λp λ p ) PD, ode D dag (λ, λ,..., λ ) λ λ, sto é: λ se A apreseta alores característcos dsttos etão P. A P D o P. D P A sedo P ma matrz (,) cos etores colas são os etores característcos p, p,, p de A correspodetes aos alores característcos λ,λ,...λ, sedo : m 5

33 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal λ λ D dag (λ, λ,..., λ ) a forma mas smples qe a λ matrz A pode assmr (o caso, a forma dagoal e o procedmeto é chamado de dagoalzação) Eemplo Ilstrato: No eemplo ateror tha-se:.5..5 A , e a matrz dos etores característcos...5 P Iertedo a matrz P, tem-se: P A P P D.5.5 e P D P.5.5, assm: A...5 -) A matrz A apreseta alores característcos múltplos e, este caso, ão é possíel determar etores característcos learmete depedetes. Sea o prmero alor característco λ m alor característco de mltplcdade m sedo os (-m) restates dsttos etre s e dferetes de λ, ao alor característco λ assoca-se m etor característco p tal qe : A p λ p e aos demas os etores característcos p k qe : satsfazem a: A pk λ k pk para k m+, m+,...,. Os etores característcos p, p m+, p m+,..., p costtem a prmera cola e as colas m+, m+,...e da matrz P, para determar as demas colas desta matrz (colas:,,...,m) assm procede-se: A p λ p + p para,.deste modo tem-se: A P λp λp + p λp + p λp + p λ + p + λ p mas: λ λ λ λp P λp p P λp p P λp p P λ + + ; ; ; ; + p P λ m m ; ; λ ( ) m m m m 6

34 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal λ λ, ode J é forma λ λ m+ λ λ A P P P J mas smples da matrz A chamada de forma caôca de Jorda de A. Eemplo Ilstrato: com: A, tem-se : 4 5 λ p( λ) λ ( λ ) ( λ ) λ 4 5 assm os alores característcos são λ λ + e λ + o Vetor Característco: λ +, A λ I A I, cofatores da prmera lha: +; +4 e 4,, dddo estes cofatores por +, tem-se: p e ( A λ I) p ( A I) p p p + p p p p p 4 p 4p p + p logo : p e p + p + p em qe ma das solções é: p 4p p p 6 e p, logo: p o Vetor Característco: λ +, A I A I λ, cofatores da prmera lha: ; +4 e 4 +4, dddo estes cofatores por +4, tem-se: p, assm P Iertedo a matrz P, tem-se: P, assm: 4 7

35 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal P A P J P J P e A 4 5 6) FUNÇÕES DE MARIZES De forma aáloga a fções aalítcas de aráes escalares qe podem, em m certo domío, ser epaddas em séres de potêcas da forma: df ( ) f( ) c ode : c tem-se as fções de matrzes! d qe é m matrz da forma: f( A) c A. Como eemplo tem-se a fção epoecal de ma matrz A defda, em aaloga à fção e!, pela sére: A ep( A) e A, ote qe esta fção apreseta as propredades:! -) ep() I ode é a matrz la; At t -) ep( At) e A ode t é m escalar, assm:! dep( At) t t A A A Aep( At) o sea se dt!! Φ t ep A t, tem-se: () ( ) dφ() t Φ( ) I e dt A Φ() t, o sea a matrz ( ) dφ( t) A Φ() t dferecal ordára matrcal Φ( ) I. dt Φ t é solção da eqação, seta à codção cal Uma forma mas smples para determar fções de matrzes pode ser deseolda atraés da aplcação do eorema de Cayley-Hamlto qe estabelece qe todo a matrz qadrada A é raz de se polômo característco, sto é se p( ) c c λ λ + λ + λ + + c λ + c é o polômo característco de A, etão: p( A) A + c A + c A + + c A + c I. A demostração deste teorema pode ser feta defdo-se a matrz adta da matrz λi- A, sto é: C ad(λi- A) qe pode ser epressa a forma: C Cλ + Cλ + + Cλ + C, ode C k k,,..., são matrzes do mesmo tpo de A, mas : (λi- A)[ad(λI- A)]det(λI- A)I p(λ)i, o sea: λi A C λ + C λ + + C λ + C λ + c λ + c λ + + c λ + c I ( ) ( ) ( ) galado os termos eqüpotetes de λ, tem-se: 8

36 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal C I A A C A C A C ci A A C A C ca C A C ci A A C A C ca somado C A C ci A AC A C ca A C ci A I A C ci todos os termos após tem-se: A + c A + c A + + c A+ c I p( A). Uma coseqüêca do teorema de Cayley-Hamlto é qe: A c A c A c Ac I, mltplcado membro a membro por A: + A c A c A c A c A sbsttdo a epressão de A, tem-se: A + ( ) A ( ) A c c + cc c + + ( cc c) A+ cc I, e assm scessamete, o qe permte coclr qe : m A d A + d A + + d A + d I para m,,,... Além dsto se A é reglar, mltplca-se membro a membro de p(a) por A -, resltado em : A + c A + c A + + c I+ c A o sea: A A A + + A - c c + + c I { ote qe c (- c ( ) ) det(a) pos A é reglar o ão-sglar), assm sedo se A é reglar: m A d A + d A + + d A + d I para m, ±, ±,... A aplcação do eorema de Cayley-Hamlto à sére de potêcas f( A) c A permte reescreê-la a forma: f 9 ( A) α A pos potêcas sperores à (-) da matrz A pode, pelo teorema de Cayley- Hamlto, serem epressas em termos das (-) prmeras potêcas da matrz A, além dsto de acordo com a propredade aterormete apresetada de qe se λ é m alor característco e o correspodete etor característco de A, etão q(λ) é alor característco e o correspodete etor característco de m m m q( A) A + a A + a A + + a A + a I tem-se qe os alores m m característcos de f(a) satsfazem a: f( λ) α λ, etão para determar os coefcetes α, assm procede-se: () se os alores característcos de A são todos dsttos, resole-se o sstema lear de eqações: α λk f( λk ) para k,,...; Se A é ma matrz (,), α, α é solção de : λf( λ) λf( λ) α α + αλ f ( λ) λ λ α α λ λ λ λ + f ( ) f( ) f( ) α λ λ

37 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal λf( λ) λf( λ) α lm f( λ) λf ( λ) λ λ λ λ caso λ λ tem-se: f( λ) f( λ) α lm f ( λ ) λ λ λ λ o mesmo resltado podera ser obtdo derado-se a segda eqação do sstema em relação a λ e, em segda, fazer λ λ, assm: α + αλ f ( λ) α f( λ) λf ( λ) α f ( λ) α f ( λ) Eemplos Ilstratos: (a) para A 4 calcle A- e l(a); 5 (b) para A calcle A. p( λ) λ 7λ + λ λ 5 λ e λ 5, assm: (a) ( )( ) 5f( ) f( 5) α ; para f() - α. tem-se: f() 5 f() 5 8 α α.9 logo: A..9 e l() l(5) α.887 para f()l(), tem-se etão: l(5) l() α B l(a) , esta últma fção matrcal está correta se a fção ersa também é erdadera, sto é : A ep(b), para sto dee-se calmete determar os alores característcos de B qe são η.6947 e η.6948 determase a segr: e etão: η 5η β.694 η η 5 β.747 η η ep( B ) A p( λ) λ λ 4 λ + λ 4 λ e λ 4 etão como (b) ( )( ) f( ), tem-se: f( λ ) ( λ ) α α e.4. 5 e f 4 logo:

38 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal A (.4 +.8) + (.4.) ote qe: ( A ) A () se a matrz A apreseta alores característcos múltplos, por eemplo, λ λ λ m λ m+ λ, este caso para leatar a determação o cálclo dos coefcetes α, dera-se em relação a λ m ezes a eqação correspodete a λ, assm: α λ f ( λ ) ; α λ f ( λ ) ; ( ) α λ f ( λ );...; m m d f( λ) ( ) ( m+ ) α λ m dλ m α λk f( λk ) para k m+, m+,... λ sedo as demas eqações: Eemplo Ilstrato: para A calcle.5..5 ep(a); λ p( λ) det.5 λ λ + 4λ + 5λ + λ λ.5..5 λ + e λ, assm: α α + α ep( ) α.8794 α α ep( ) tem-se assm: α.6855 logo: α α + 4α ep( ) α.55 epa ( ) , , Caso desear-se determar ma sére de potêcas () f( At) c t A Ψ t ode a aráel t é ma aráel escalar real, [ ] esta fção pode ser rescrta a forma: Ψ( t) α() t A ma fção escalar de t determada atraés da solção de: ode α () t é

39 PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal () α() t λ k f( λkt) para k,,... se os alores característcos de A são todos dsttos; () α () t λ f( λ t) ; t df ξ t ( ) d α() λ ( ) α() λ t t ξ ξ λ t ; df( ξ) d ( ) ( ) α() λ m ξ ξ λ t m+ t t sedo as demas eqações: α() t λ k f( λkt) λ λ λ λ λ m m+ m m ; m d f( ξ) m d ξ ξ λ t para k m+, m+,... se Eemplos Ilstratos: (a) para A 4 calcle ep(at); (b) para A calcle. ep(at). λ λ 7λ + λ λ 5 λ e λ 5, assm: (a) p( ) ( )( ) t 5e e α 5 e e α 5t t t ; logo: e t 5 e t e t e t ep( At) etão: d[ep( t e t 5 A )] e t e t e t 5 dt e t 5t t t e e e e A[ep( At)] t 5t 5t t e e 5e e + 4 d[ep( A t)] e dt ep(a)i, comproado qe esta matrz epoecal está correta. (b) p( λ) λ + λ + ( λ + ) λ λ dee-se assm resoler o sstema:

40 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal dα t λt t t α + αλ e α α α ( + ) e te te dt λ t t t α α α α te te te d ( te ) dt assm: t t ep( At) ( + t) e + te ; ep( At) t e d[ ep( A t) ] t t te + ( t) e e dt t t A[ep( At)] ( + t) e te +, comproado qe a matrz epoecal está correta. t d[ep( At)] dt 7-) ANÁLISE DA SOLUÇÃO DE SISEMAS LINEARES ALGÉBRICOS É o obeto desta seção forecer os elemetos para a aálse de sstemas leares algébrcos da forma: A b, ode A é ma matrz qadrada (,) chamada de matrz dos coefcetes, b R chamado de etor das costates e R chamado de etor das cógtas a solção deste sstema só este se a matrz A for reglar e pode ser epressa a forma: A b. Este procedmeto á ecotra-se mplemetado, com grade efcêca, em úmeros pacotes comptacoas ( MAHCAD, MAPLE, MAHLAB, etc.) e dfclmete haerá a ecessdade de reprogramá-lo. Etretato dos aspectos de atreza qaltata da estrtra do sstema deem ser aalsados: Nem sempre o úmero de eqações do sstema é gal ao úmero de cógtas e este caso o sstema é descrto da mesma forma apresetada acma : A b etretato a matrz A é retaglar (m,) o etor b R m e o etor das cógtas R, sto é m é o úmero de eqações e o úmero de cógtas. O sstema de eqações pode também ser rescrto a forma: b A ( a a a ) a + a+ + a, ode a k R m para k,,..., são os etores colas da matrz A, desta forma os elemetos do etor podem ser terpretados como os compoetes do etor b a base formada pelos etores a, a,..., a sedo assm obrgatoramete learmete depedete do coto, sedo assm r o úmero de etores learmete depedetes o coto de etores [ r ] a, a,..., a dee ser gal ao úmero etores learmete depedetes do coto de +etores a, a,..., a, b. Isto é o posto, r, da matrz ( ) matrz ametada ] A ( a a a b). A a a a dee ser gal ao posto, r, da matrz [chamada de

41 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal Qado r posto( A) r posto( A ) o sstema é dto cosstete e admte solção, etretato só admte solção úca de r posto( A ). Se m (úmero de eqações úmero de cógtas) o posto(a) é o mámo, eqato qe se m < (úmero de eqações < úmero de cógtas) o posto(a) é o mámo m <, portato só há possbldade do sstema apresetar solção úca se m (úmero de eqações úmero de cógtas). Caso b o sstema é dto homogêeo e como este caso ( ) r posto A será sempre gal a r posto( A ) o sstema será sempre cosstete e caso r admte como solção úca a solção tral, deste modo para o sstema homogêeo de eqações e cógtas A ode : A R e R, só apreseta solção ão tral se r posto A <, sto é a matrz A dee ser sglar. ( ) 4

42 NIVELAMENO - M. Sc. - 7 Álgebra Vetoral e Matrcal O esqema de caracterzação da cosstêca e da estêca de solção de sstemas algébrcos leares é mostrado o dagrama abao: Sstema de Eqações A b Cálclo dos postos de A e A respectamete r e r Sstema é Icosstete r > r r r r : r Sstema é Cosstete Não há Solção r < r : Solção Úca r Número Ifto de Solções 5