INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA NO CÁLCULO NUMÉRICO

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1 INSIUO SUPERIOR DE EDUCÇÃO Departameto de Cêca & ecologa N ELEN VRES SILV ÁLGEBR LINER E GEOMERI NLÍIC NO CÁLCULO NUMÉRICO LICENCIUR EM ENSINO DE MEMÁIC ISE/008

2 INSIUO SUPERIOR DE EDUCÇÃO Departameto de Cêca & ecologa N ELEN VRES SILV ÁLGEBR LINER E GEOMERI NLÍIC NO CÁLCULO NUMÉRICO rabalho Cetfco apresetado ao I.S.E para obteção do grau de Lcecada em Eso de Matemátca, sob oretação da professora, Doutora Natála V.K. Das Furtado

3 3 INSIUO SUPERIOR DE EDUCÇÃO Departameto de Cêca & ecologa ÁLGEBR LINER E GEOMERI NLÍIC NO CÁLCULO NUMÉRICO provado pelos membros do Júr, homologado pelo coselho cetfco em / / O Júr Praa, aos de de 008

4 4 GRDECIMENOS Deus. À mha mãe, por me ter apoado durate todo os mometos. possível. À mha rmã Floresta por estar sempre presete, cetvado e ajudado sempre que todos os meus rmãos pelo carho, e por estarem sempre do meu lado. À mha Professora e Oretadora Doutora Natála. todos os meus professores e colegas que me apoaram meso durate a elaboração deste trabalho todos aqueles que de uma forma ou outra cotrbuíram, com o seu apoo, para que este trabalho se efectvasse.

5 5 DEDICÓRI À memora do meu pa, Braz G. Slva À mha mãe, Júla Slva dedco

6 6 Ídce Itrodução..07 I.FUNDMENÇÃO EÓRIC. 08. Valores e vectores própros Quocete de Raylegh Localzação dos valores própros.. 3 II. MÉODOS PRÁICOS PR O CÁLCULO DE VLORES PRÓPRIOS Método das potêcas drectas raslações espectras Método das potecas versas Iterações em subespaços Método de Jacob clássco rdagoalzação de matrzes rotações de Gves Refleões de ouseholder valores própros de Matrzes trdagoas vectores própros de Matrzes trdagoas.55 Coclusão Bblografa.. 58 eo... 59

7 7 Itrodução Este trabalho é apresetado ao ISE para obteção do grau de lcecada em Matemátca (ramo eso). Para além do aprofudameto dos cohecmetos adqurdos a dscpla currcular Álgebra Lear e Geometra alítca, pretede-se, com este trabalho, elaborar um materal de apoo o estudo dos valores e vectores própros para cursos de Egehara. Com o desevolvmeto da teora quâtca as décadas de 90 e 930, o estudo de matrzes torou-se de grade mportâca. No fal da década de 940, algus Matemátcos se pergutavam como o computador dgtal podera ser empregado para resolver o problema de valores própros de matrzes. determação dos valores própros de uma matrz tem merecdo grade ateção, devdo a sua grade aplcação aos dversos ramos das Cêcas plcadas, como, por eemplo: teora das vbrações, quer sejam mecâcas ou eléctrcas, dos tpos macroscópca ou mcroscópca; s vbrações de potes ou outra estrutura sólda; s vbrações das asas de um avão; teora dos operadores leares dferecas e tegras, etc. obteção dos valores própros λ de uma matrz quadrada de ordem evolve cálculos compleos por serem os zeros do polómo característco det( λi) = 0, que é um polómo de grau em λ. busca de soluções para este problema acarretou o desevolvmeto de uma sére de algortmos, os mas dversos, cada vez mas poderosos e mas efcetes. O prmero a surgr fo o mas óbvo, composto de apeas dos passos. Prmero, calcula-se os coefcetes do polómo característco e, etão, as raízes desse polómo. Neste trabalho cosderam-se: Fudametação teórca; Métodos prátcos para determação dos valores e vectores própros; Eemplos (ao logo do trabalho); Problemas resolvdos (em aeo);

8 8 I. FUNDMENÇÃO EÓRIC. Valores e vectores própros fm de mostrar a orgem deste tpo de problemas vamos mostrar algus eemplos muto smples. Eemplo. Determação das drecções varates de uma matrz Cosderemos uma matrz ecarada como um operador lear que trasforma vectores de Se. Como sabemos, uma matrz de ordem pode ser em vectores de. 0 for um vector qualquer e y = dz-se que y é o trasformado de sob a acção de. Em geral a drecção do vector trasformado é dferete da drecção de. Pode acotecer, o etato, que, para certos vectores, as drecções de e de y dêtcas. = sejam Para que as drecções se mateham alteradas, e y devem ser vectores paralelos, o que mplca que y = λpara um certo λ. Etão, o problema de determar as drecções que permaecem varates pode formular-se assm: Determar os valores de λ para os quas o sstema de equações leares possu soluções = λ (.) 0. (Obvamete = 0 é sempre solução mas o vector ulo ão defe drecção alguma!)

9 9 Fg.. os valores de λ e, soluções deste problema, dá-se o ome de valores e vectores própros, respectvamete, da matrz. Outras desgações também usadas são valores e vectores característcos ou valores e vectores prcpas. Quado for também um vector utáro dz-se que é uma drecção própra, característca ou prcpal. Eemplo. Vbrações mecâcas de um sstema de massas e molas Cosderemos o sstema mecâco formado por massas potuas actuadas por molas coforme está esquematzado em. supohamos que as massas, calmete em equlíbro, são afastadas desta posção e lbertadas, dado assm orgem a um certo movmeto cuja equação vamos estabelecer. Para tal, faremos as segutes hpóteses, alás habtuas este tpo de problemas: s forças eercdas pelas molas são proporcoas ao seu alogameto meddo a partr da posção doe equlíbro; Não estem outras forças actuates (gravdade, atrto, etc.). Nestas codções, as equações do movmeto (massa aceleração = resultate das forças aplcadas) são smplesmete d = ( ) = ( + ) + k m k k k k dt d = 3 = + 3 m k ( ) k k ( k k ) dt Estamos assm, perate duas equações dferecas ordáras de seguda ordem que se escrevem, em otação matrcal, do segute modo em que pusemos M m M 0 = 0 m d dt = K k k K k k, = =

10 0 e k = k + k, k = k + k, k = k = k 3.M é cohecda pela desgação de matrz de massas; K pela matrz de rgdez, e, pela matrz de vector de deslocametos. Um problema de eorme teresse pratco é o de saber se este sstema admte movmetos vbratóros, sto é, movmetos do tpo = acos( ϖt+ φ) em que a desga a ampltude, ϖ, a frequêca, e φ a fase do movmeto vbratóro. Dervado em ordem ao tempo, vem que d = ϖ cos( ϖ t + φ) dt dode, substtudo a equação dom movmeto, obtemos a epressão d = ϖ cos( ϖt + φ) Ma = Kacos( ϖt + φ) dt que deve ser válda para todos os states de tempo. al só é possível se Podo λ ϖ = e= M K Ka eemplo ateror. Os valores própros da matrz = ϖ Ma a, recuperamos eactamete a mesma forma de equações do são agora o quadrado das frequêcas própras ϖ e os vectores própros determam os modos de vbração do sstema em estudo. No eemplo que acabamos de apresetar, a matrz M assuma a forma dagoal, o que tora a sua versão muto fácl. Em casos mas compleos, a matrz de massas ão é dagoal e a sua versão é cotra-dcada. Nestas stuações é preferível dear as equações a forma Ka = λma (.) dzedo-se, etão, que se trata de um problema de valores e vectores própros geeralzado. É mportate ter presete que em ehum dos casos apresetados os eemplos está garatda a estêca de valores e vectores própros. No etato, para que a equação (.) possua soluções é ecessáro e sufcete que esta um vector 0 tal que: ( λi) = 0 (.3) o que mplca que a matrz λ I teha de ser sgular. Cosequetemete, os valores e vectores própros devem satsfazer a equação det( λi) = 0 (.4) Eemplo.3 Determar os valores e vectores própros da matrz plcado as deas aterores, temos que = 4 3

11 λ λi = 0 ( λ)( 3 λ) λ = = λ =, λ = 5 Os vectores própros assocados ao valor própro λ são as soluções do sstema (.3) que este caso toma a forma 4 0 = 4 0 Resolvedo este sstema (sgular) obtemos =. Sedo este sstema determado, e, esta determação resulta drectamete da defção de vector própro. De facto, se for um vector própro etão c, para qualquer c 0, é também um vector própro. Para evtar esta determação é frequete egr que os vectores própros satsfaçam alguma codção como, por eemplo, terem orma utára. Se assm procedermos, o vector própro utáro assocado ao valor própro λ é = / 5 / 5. determação do vector própro correspo dete ao valor própro λ segue os mesmos passos, obtedo assm = e, cosequetemete, = / / Um aspecto a cosderar é que ada mpede que as soluções da equação (.4) sejam úmeros compleos, mesmo que seja uma matrz real e, portato, que os vectores própros sejam também vectores compleos. Decorre daqu que o problema de valores e vectores própros deva ser formulado de modo a ão eclur estas stuações e que se teha de adoptar a segute defção que podera parecer, à prmera vsta, demasado geral. Defção. Seja e. Dz-se que é um vector própro da matrz assocado ao valor própro λ se 0 e = λ. (.5) Se λ for um valor própro, e, um vector própro assocado, dz-se que ( λ, ) é um par própr o da matrz. O cojuto dos valores própros de é o espectro de, que será deotado por σ ( ), sto é, { } σ( ) = λ : = λ para al gum 0 (.6) Desga-se por rao espe ctral de, deotado por ρ( ), o valor ρ( ) = m a{ λ : λ σ( )} (.7)

12 os vectores própros utáros damos o desgação de drecções própras de. Notemos que a codção 0 a epressão (..5) se desta a evtar qu e qualquer úmero possa ser valor própro de assocado ao vector = 0, o que sera trval. Como vmos o eemplo., um vector própro defe uma drecção varate da trasformação. No etato é possível afrmar ada mas. Supohamos que e são dos vectores própros assocados ao valor própro λ. Etão é fácl verfcar q ue, para quasquer α, α ão smultaeamete ulos, o vector α + α é ada um vector própro assocado ao valor própro λ. Este resultado geeralza-se sem dfculdades do segute modo: qualquer combação lear com coefcetes ão todos ulos de vectores própros assocados ao valor própro própro. Esta proposção justfca a segute defção: Defção. Seja λ é também um vector própro assocado a este valor e λ σ ( ) subespaço varate assocado ao valor própro λ o cojuto À dmesão do subespaço própro valor própro λ.. Desga-se por subespaço própro ou S( λ) = { : = λ}. S( λ) dá-se o ome de multplcdade geométrca do É coveete otar que esta defção ão se requer 0 a fm de que S( λ ) seja, de facto, um subespaço de, o que ege, como se sabe, que o vector 0 perteça a S( λ ). Propredades dos valores e vectores própros Nesta subsecção vamos apresetar algus resultados ecessáros ao desevolvmeto dos métodos de cálculo de pares própros que apresetaremos mas adate. Começaremos por justfcar completamete a codção (.4). eorema. Um úmero λ é um valor própro da matrz sse ρ ( λ) det( λi) = 0 (.8) Demostração: prmero vamos provar que (.8) é codção ecessára para λ ser um valor própro de. Pela defçã o. deve estr um vector 0 tal que ( λi) = 0 (.9)

13 3 o que mplca que a matrz a λ I seja sgular, o que, por sua vez, mpõe que o seu determate deve ser ulo,.e., (.8) deve verfcar-se. codção de sufcêca demostrase partdo da observação de que, se epressão (.8) for verdadera para algum λ, etão λ I é sgular e, por cosegute, este um vector 0 tal que (.9) também se verfca e, portato, ada pela defção., λ é um valor própro de. epressão (.8) é cohecda como a equação característca de. Se recordarmos a defção do determate, faclmete cocluímos que o prmero membro é um polómo de grau em λ, que se desga por polómo característco e é deotado por ρ. Como um polómo de grau possu zeros (cotado multplcdades), etão podemos coclur que uma matrz de ordem possu também valores própros (ão ecessaramete todos dsttos). Dz-se que λ é um valor própro de multplcdade algébrca m se λ for um zero também de multplcdade m do polómo característco ρ. Em partcular se m = o valor própro dz-se smples; se m =, duplo, etc. s multplcdades algébrcas e geométrcas de um valor própro ão são ecessaramete guas, como se pode cofrmar pelo eemplo segute. Eemplo.3 Mostrar que as multplcdades algébrca e geométrca podem ser dferetes. Seja dada a segute matrz 0 = Como ρ I 3 = λ = ( λ ), cocluímos que λ = é um valor própro de multplcdade algébrca gual a 3. Os vectores própros assocados devem satsfazer ao sstema de equações leares cuja solução é = = =, e, qualquer. Logo, os vectores própros assocados a este valor 3 0 própro são múltplos do vector e = ) a base caóca de. Cocluímos assm que a multplcdade geométrca deste valor própro é um. Note-se que a multplcdade geométrca uca é superor à algébrca. (

14 4 Um vector com multplcdade geométrca superor à multplcdade algébrca dz-se defetuoso. Uma matrz que possua um valor própro defetuoso dz-se defetuosa. Covém ter em cota que, mesmo que seja real e, portato, o seu polómo característco teha coefcetes reas, os valores própros de, sedo os zeros do polómo característco, podem ser úmeros compleos. Etão, como os zeros compleos de polómos de coefcetes reas aparecem aos pares cojugados, também os valores própros de matrzes reas, quado compleos, surgem aos pares cojugados. O cálculo de valores própros por va de determação dos zeros do polómo característco, método que podera parecer o mas atural, revela-se, o etato, pouco atraete do poto de vsta computacoal. Para os covecermos que assm deve ser, basta que o cálculo de determate por meo de codesação da matrz (em vale a pea 3 cosderar o cálculo pela defção de determate!) requer O ( ) operações artmétcas. Como a pesqusa de um zero evolve um processo teratvo (secate, Muller, etc.) em que é ecessáro calcular o determate pelo meos uma vez por teração, faclmete os apercebemos do eorme esforço computacoal requerdo. Por sso, este método só poderá ser usado para matrzes de ordem muto pequea ou com uma estrutura especal (como, por eemplo, trdagoal) que tore o cálculo do determate fácl e uca como um método de aplcação geral. Um dos objectvos do presete captulo é precsamete o de desevolver alteratvas mas efcazes. Como os zeros de um polómo são fuções cotíuas dos seus coefcetes, também os valores própros depedem de forma cotíua dos elemetos da matrz. No etato, pode acotecer que os vectores própros sejam etremamete sesíves, e pequeas perturbações dos coefcetes da matrz possam produzr grades alterações os pares própros, facto que tem cosequêcas computacoas óbvas a que é precso estar ateto. O eemplo segute ebe um caso destes. Eemplo.4 Mostrar a sesbldade dos pares própros de matrzes a pequeas perturbações dos coefcetes. Cosderemos a matrz e a perturbação E dadas por: 0 ε δ =, E, εδ, 0 = É medato que é um valor própro duplo de, os valores própros assocados a são todos os vectores ão ulos de. Os valores própros de +E são e + ε (um valor própro múltplo deou de o ser), e os vectores própros são, respectvamete,

15 5 ( ε + δ ) / δ, ε 0 Equato os valores própros varam pouco, o prmero vector própro pode apotar a drecção que se quser, bastado para o efeto que ε e δ assumam valores coveetes. possbldade de surgrem pares própros compleos obrga-os a geeralzar algumas oções já cohecdas para o caso real. ssm deotamos o cojugado de um escalar, de uma matrz ou de um vector por uma barra, por eemplo, a, e. O trasposto do cojugado, que é gual ao cojugado do trasposto, será desgado por trascojugado e pelo ídce superor, = = ( ). umero Defção.3 Sejam, y. O produto desses vectores, deotado por (, y ) é o (, y) = y (.0) e a orma eucldaa do vector é deotada por, é defda por (, ) ( ) / / = = (.) al como o caso real, dos vectores dzem-se ortogoas se o seu produto tero for ulo, e um vector dz-se utáro se tver orma utára, sto é, gual a um. ambém é fácl verfcar as segutes propredades, ( ) = (.) ( ) B B = (.3) ( c) = c (.4) = Defção.4 Uma matrz. dz-se hermtaa se =, e at-hermtaa se Um a matrz real hermtaa é smétrca como faclmete se prova. Uma outra propredade das matrzes hermtaas é dada o teorema segute. eorema. Seja para todos os vectores. Demostração Se Uma matrz hermtaa. Etão, o escalar é real é hermtaa, etão os elemetos dagoas são reas e os elemetos ão dagoas sã o compleos cojugados, sto é, aj = aj,

16 6 Se e = a,, j =,,...,, ou seja, cosderemos um, j= j j j vector de ordem ode a a a a O = = M M O M M a L L a a + a a a + a a a + a a L M (... ) (... ) (... ) (... ( )... ( )... ( = a + a + + a + a + a + + a + a a a a a a ) = ( a a a a a a) ) ( a a... a) ( a a) = ( a a) ( a a) como queríamos demostrar. s defções segutes troduzem algumas classes de matrzes muto frequetes as aplcações. Defção.5 Uma matrz Defda postva se > 0 ; Defda sempostva se 0 ; Defda egatva se < 0 ; Defda semegatva se 0 ; para todos os vectores 0. Defção.5 Uma matrz hermtaa dz-se: dz-se utára se Uma matrz utára real que, portato, verfca = I (.5) = I (.6) dz-se ortogoal. Quer um caso quer o outro as coluas de formam um sstema de vectores ortoormados. É também fácl ver que se for utára = (.7)

17 7 pelo que a obteção da matrz versa de uma matrz utára é muto fácl. Esta propredade cofere a esta classe de matrzes uma grade mportâca computacoal, como teremos oportudade de ver. Uma outra propredade com muto teresse é a de que as matrzes utáras são trasformações que preservam os produtos teros, pos, para quasquer vectores e y, é verdade que ( ) ( ) ( ) y = y = y. (.8) Em partcular, as matrzes utáras deam varates a orma eucldaa de vectores e o âgulo etre vectores. ambém pode-se deduzr que, para utára ou seja, se é utára, também I = = ( ) = ( )( ) = (.9) o é. Dea-se como eercíco verfcar esta outra propredade das matrzes utáras = (.0) Será que quado duas matrzes estão relacoadas de alguma maera essa relação reflecte os respectvos pares própros? Os teoremas que se seguem abordam os casos mas corretes. eorema.3 Seja. Etão são váldas as segutes propredades: σ( ) = σ( ) (.) σ( ) = { λ : λ σ( ) } (.) Demostração Pelo eorema., λ é um valor própro de sse a matrz λ I for sgular. Mas esta matrz é sgular sse ( pelo que λ é um valor própro de sse for também de alogamete, λ I é sgular sse ( λi ) λi ) também for. Mas ( ) λ I = λi, o que prova a proposção (.). também for. Mas ( λ ) pelo que λ é um valor própro de sse λ for um valor própro de (.). Covém otar que este teorema ada dz quato aos vectores própros de I λ I =,, o que demostra ou, os quas podem ser, e em geral são, dferetes dos de. Em vrtude de (.) λ σ( ) λ σ( ), o que mplca a estêca de um vector y 0 tal que que equvale escrever y = λ y. y = λ y o

18 8 Dz-se este caso que y é um vector própro esquerdo da matrz assocado ao valor própro λ. Os vectores própros usuas, tal como foram troduzdos pela Defção..sao desgados, quado houver ecessdade de fazer dstção, por vectores própros dretos. eorema.4 Seja e hermtaa. Etão os seus valores própros são reas. Se, além dsso, for semdefda postva os seus valores própros são ão-egatvos, e se for defda postva os seus valores própros são postvos. eorema.5 Seja λ 0 e ( λ, ) é um par própro de uma matz vertível, e ( λ, )., um seu par própro. Etão, Demostração se vertível este uma matrz a sua matrz versa é dada por sedo ( λ, ), um par própro de etão Logo, ( λ, ) = λ é um par própro de I = λ = λ λ = = λ, como queríamos demostrar., O prómo teorema ampla bastate a classe dos matzes cujos pares própros estão tmamete relacoados com os da matrz. 0 temos eorema.6 Seja e ( λ, ), um seu par própro. Etão, ( αλ, ) α α m m ( λ, ) é um par própro de m 0, mt ero ( p( λ), ) p( ) polomo p Demostração Para provar a prmera relação basta otar que = λ ( α) = α( ) = α( λ) = ( αλ) Para demostrar a seguda relação vamos proceder por dução em m. Para m =0 = I, e para m = vem smplesmete ambos casos. Supohamos que é valda para um dado m,.e., m m = λ. =, pelo que a relação é verdadera em Multplcado ambos membros desta gualdade por e efectuado as mapulações smples obtemos válda para m+ ( m ) ( λ m ) λ m ( ) λ m ( λ) λ m+ k dado por = = = = = pelo que a relação matém m +. Para demostrar a tercera relação, cosderemos um polómo de grau

19 9 p( s) = a + a s a s 0 Etão, fazedo o uso da relação que acabamos de obter, podemos deduzr que como pretedíamos demostrar. k p ( ) = ( ai 0 + a a k ) k = a 0 + ( a ) ( a k ) k = a 0 + aλ akλ k = ( a0 + aλ akλ ) = p( λ) Estem algumas classes das matrzes para as quas a determação de valores própros é fácl, ou mesmo, trval. O caso a segur é um deles. Defção.7 uma matrz partcoada a forma k k dz-se tragular superor por blocos se puder ser L 0 L M M O M 0 0 L m. m = em que os blocos dagoas são matrzes quadradas. Se os blocos dagoas forem de ordem superor a dos, dz-se que a matrz é quase tragular. Uma defção dêtca este para matrzes tragulares ferores por blocos. O teresse prátco dessas matrzes fudameta-se o teorema segute. eorema.7 O espectro de uma matrz tragular por blocos é a uão dos espectros dos seus blocos dagoas, sto é, m σ( ) = U σ( ) = Demostração É fácl recohecer que a matrz λ I é também tragular por blocos, sedo os blocos dagoas λi mm (sedo as matrzes detdade de ordes dferetes). Etão, λ I é sgular, e λ, um valor própro de sse pelo meos uma das matrzes λi for sgular, ou seja, sse λ for valor própro de algum bloco dagoal. Uma outra propredade mportate é a segute. eorema.8 Dados vectores própros k uur, uur,..., uur, da matrz k,assocados aos valores própros λ, λ,..., λ k, todos dsttos, etão os vectores própros são learmete depedetes.

20 0 Demostração Vamos recorrer ao método de dução fta em k. Para k =, como o vector própro uur é ão ulo (por defção de vector própro), coclu-se que a proposção é verdadera. dmtamos que a proposção seja verdadera para verdadera para do eucado, Cosderemos etão k, prove-se que é gualmete k +. valdade da proposção para o tero k sgfca que, as codções uur uur uur r α + α α = 0 α = α =... = α = 0 k k k k + vectores própros as codções do eucado e admtamos que eles podem ser depedetes. Estem etão escalares α, α,..., αk, α k + ão todos ulos uur uur uur uuur r tas que α + α αk k + α k + k + = 0 uuruur uur Claro que ão pode ser α k + = 0 porque etão a depedêca de,,..., k obrgara = = = = e, essas codções, os (,..., ) a que também α α... α k 0 ulos. Da gualdade ateror obtém-se uur uur uur αλ + αλ α λ + α λ uuur r = 0 e ao mesmo tempo dode se tra k k k k+ k+ k+ uuur αk = uur k α uur + + α... uru α k k uur uur uur uur r αλ α λ + λ α... α = 0 ( ) k k k k+ k k ou uur ur u r α( λ λk+ ) α( λk λk+ ) = k 0 uuruur uur depedêca de,,..., k obrga a que α ( λ λ ) = α ( λ λ ) =... = α ( λ λ ) = 0 k+ k+ k k k+ α = r + seram todos e como os λ são todos dsttos vem que α = α =... = α k = 0 ; etão uuur αk = uur k α uur αk = r k 0 uuur r e como k + 0(por ser um vector própro) ecessaramete α k + = 0, o que é cotráro ur uur uur uuur à hpótese de,,..., k, k + serem learmete depedetes. Logo os vectores são learmete depedetes. Decorre medatamete deste teorema que, se uma matrz possur valores própros dsttos, etão é possível etrar do cojuto dos seus vectores própros um

21 subcojuto que forme uma base de. Costuma dzer-se que o cojuto dos vectores uur uur uur própros forma um sstema completo. S eja m, etão,,,..., k vectores própros assocados aos valores própros dsttos λ, λ... λ. Podo uur uur uur X =... k, X dag uuruur... uur Λ= k, Λ podemos, estas crcustâcas, escrever que X = XΛ (.3) como a matrz X possu coluas learmete depedetes, é vertível. Por cosegute, é lícto dzer que X X X Esta epressão sugere o segute coceto. Def ção.8 Uma matrz dagoalzável. vertível tal Como vmos, o X =Λ (.4) X eorema.9 matr z seja dagoal. dz-se dagoalzável se estr uma matrz eorema.8 garate que uma matrz com valores própros dsttos é é ão defetuosa sse for dagoalzável. Demostração: Se for dagoalzável, etão este uma matrz vertível X tal que X = XΛ Seja a colua de X, etão a epressão ateror é equvalete a = λ, =,..., como X é vertível, as coluas formam um cojuto de vectores learme te depedetes, em ão é defetuosa. que cada valor própro λ está assocado a um vector própro. Logo Vamos supor agora que ão é defetuosa, e demostrar este caso que é dagoalzável. Deotemos os seus valores própros por μ, μ,..., μ r, em que r, e por m, m,..., m r as respectvas multplcdades algébrcas que devem m. = satsfazer r = Como, por hpótese, ão é defetuosa, o subespaço própro S( μ ) tem eactamete dmesão m (multplcdade algébrca =multplcdade geométrca), o que sgfca que estem vectores com =,..., m que costtuem uma base deste subespaço. Orgazemos

22 estes vectores de modo a formarem as coluas de uma matrz acabamos de dzer pode traduzr-se a epressão X m m. Etão o que X m m = X Λ em que Λ = dag( μ, μ,..., μ). Podo X = ( X X... X r ), cocluímos que X = XΛ em que Λ = dag( λ, λ,... λ ). s coluas de X são learmete depedetes, pos, se ão fossem, deva estr um vector o que mplcara, partcoado c em coformdade com X, que Xc + Xc Xc = 0 r r c 0 tal que Xc = 0 Mas, como c 0, deve estr pelo meos um c 0 e, portato, Xc = 0, o que sgfcara que os vectores própros de X seram learmete depedetes, o que é cotraro à hpótese de ser ão defetuosa. Se a matrz for hermtaa, é possível formular uma versão mas forte do eorema.8. eorema.0 Seja própros assocados aos valores própros são ortogoas. uma matrz hermtaa. Etão, os respectvos vectores Demostração Sejam e vectores própros assocados aos valores própros dsttos λ e λ. Por defção, temos que relações = λ, = λ Premultplcado a prmera gualdade por, e a seguda por = λ, = λ Mas, como é hermtaa, o eorema. garate que λ e λ são reas. Etão, dode se tra que = = λ = λ = λ ( ) ( λ λ ) = 0 Como, por hpótese, λ λ, etão = 0, ou seja, e são ortogoas., obtemos as

23 3 Decomposção espectral de uma matrz Y escrever Se ão for defetuosa, etão X X X X X X = Λ = Λ = Λ ou seja, as coluas da matrz Y = X são os vectores própros esquerdos de, pos = YΛ. Se cosderarmos as matrzes X e Y partcpadas por coluas, podemos λ 0 y L O M [ ] = 0 λ y Efectuado as operações, deduz-se a segute decomposção espectral da matrz ão defetuosa = λ y (.5) = Smlardade Coroláro. (eorema.7) os valores própros de uma matrz tragular são os respectvos elemetos dagoas. Este coroláro sugere uma va para determar os valores própros, que é a de trasformá-la uma matrz tragular mas de tal modo que os valores própros sejam preservados. Quas as trasformações deam varates os valores própros? Questão esta que será respodda a segur. Defção.9 Uma matrz se estr uma matrz P dz-se smlar ou semelhate a uma matrz vertível tal que B = P P. À matrz P dá-se o ome de trasformação de smlardade ou de semelhaça. O eemplo segute ajuda a dsspar a dea de que a desgação de matrzes semelhates pode duzr que estas sejam, de alguma forma, parecdas. Eemplo.7 mostrar que matrzes semelhates podem ser muto dferetes, e que matrzes parecdas podem ão ser semelhates. s matrzes B

24 4 com 0 0 =, e B = 0 3 São smlares, pos, como se pode verfcar, B = P P P = 4. Pelo cotráro, as matrzes ε = e B = com ε 0, ão podem ser smlares. De facto, se fossem smlares estra, por defção, uma matrz P vertível tal que P BP = =0, o que é uma cotradção. No etato matrzes smlares partlham qualquer cosa em comum. eorema. Sejam, B matrzes smlares. Etão, ( λ, ) é um par própro de sse ( λ, P ) for um par própro de B. Demostração É fácl ver que se ( ) = ( λ ) = λ( ) P P P P é vertível, a relação = λ é equvalete a Mas por outro lado, ( ) = ( ) = ( ) = ( ) P P PP P P P B P Como P é vertível, 0 P 0 e daqu decorre que, se ( λ, ) é um par própro de, etão ( λ, P ) é um par própro de B e vce-versa, o que demostra o teorema. Como veremos adate, este resultado pode costtur um poto de partda para a elaboração de métodos prátcos de cálculo de pares própros. Para tal, tora-se ecessáro ecotrar trasformações de smlardade que reduzam a matrz a formas sufcetemete smples para as quas os valores própros sejam susceptíves de uma determação medata. É este o caso das formas tragulares a que aludmos atrás. s trasformações de smlardade preservam ão só os valores própros mas também a respectva multplcdade algébrca, como vamos verfcar em seguda. eorema. s matrzes smlares possuem o mesmo polómo característco Demostração O eorema.0 dz-os que a matrzes e B smlares possuem o mesmo espectro. odava pela propredade dos determates, é valdo escrever que ( λi B) = ( λi P P) = ( P ( λi ) P) det det det ( λ ) ( λ ) = det P det I det P = det I =

25 5 O que prova a afrmação feta. É possível etrar do teorema duas coclusões mportates: Duas matrzes smlares, uma vez que possuem o mesmo polómo característco, têm os mesmos valores própros com dêtca multplcdade algébrca, o que ão era evdete ates deste teorema. Os coefcetes do polómo característco são varates relatvamete a trasformação de smlardade. Vamos mostrar em seguda que, uma vez cohecdo um par própro de possível reduzr o problema ao de determar os pares própros de uma matrz de ordem. ssm, supohamos que por um processo qualquer tíhamos determado o par própro ( ) ( λ, ) de e que =, sto é, o vector própro é utáro. Seja U tal que a matrz P = [ U] resulte utára. al sgfca que e as coluas de U devem formar um cojuto de vectores ortoormados, o que, como faclmete se recohece, é sempre possível. Nestas codções usado obtemos P, é como uma trasformação de smlardade, P P = P P = [ U] [ U] = [ U λ U λ U = = λu U U 0 U U Esta ultma matrz é tragular superor por blocos e, pelo eorema.7, os seus valores própros são λ e os valores própros da matrz U U de ordem. Etão a determação dos restates valores própros, além de λ pode fazer-se agora trabalhado apeas com esta matrz de meor dmesão. Um processo de elmação de valores própros já cohecdos com redução da dmesão do problema é cohecdo em geral pela desgação de deflação, e o caso partcular apresetado em que empregamos uma trasformação de smlardade desgase deflação por smlardade. Este processo de deflação pode ser efectuado repetdamete a medda que os sucessvos valores própros forem sedo calculados, e uma cosequêca mportate deste facto é aalsada o prómo teorema. eorema.3 (Schur) Seja, e U λ, λ,..., λ, os seus valores própros. Etão, ] este uma matrz utára U tal que aqueles valores própros. U U é tragular e cujos elemetos dagoas são

26 6 Demostração Este eucado pode ser reformulado dzedo-se que, qualquer matrz é smlar a uma matrz tragular por meo de uma trasformação utára. demostração va ser efectuada para o caso da matrz tragular superor e por dução a ordem da matrz. O teorema é trvalmete verdadero para =. Supohamos que é valdo para todas as matrzes de ordem podemos costrur uma matrz utára. Recorredo ao processo da deflação que acabamos de descrever, R tal que R R λ = 0 b C em que os valores própros de C ( ) ( ) são λ,..., λ. Pela hpótese de dução podemos determar uma matrz utára S ( ) ( ) tal que S S seja tragular superor e cujos elemetos dagoas são precsamete λ,..., λ. Pohamos agora 0 U = R 0 S Etão, cálculos smples coduzem às epressões 0 0 U U = R R 0 S 0 S 0 λ b S b 0 λ b 0 λ = = = 0 S 0 C 0 S 0 S C 0 S 0 S CS Esta últma matrz é tragular superor, o que mostra que o teorema é váldo para matrzes de ordem. s coluas de U são cohecdas pela desgação de vectores de Schur. O eorema de Schur permte deduzr coclusões muto útes para matrzes hermtaas, as quas reforçam o carácter muto especal desta classe de matzes. Vejamos algumas das que têm cdêca sobre o tema em estudo. eorema.4 Seja e hermtaa. Etão os seus vectores própros formam um sstema completo e podem ser ormalzados de modo a que a matrz X =... seja utára. Demostração Pelo eorema de Schur este uma matrz U utára tal que U U = em que é tragular (superor, por eemplo). Mas sedo hermtaa, é verdade que

27 7 ( ) U U U U U U = = = = o que permte coclur que é smultaeamete tragular superor e feror, o que é mesmo que dzer que é dagoal. Portato, = dag λ λ... λ =Λ otemos pelo eorema.4, Λ é real. Por outro lado, U U = Λ U = UΛ ou seja, as coluas de U são os vectores própros da matrz. Como U é utára, as suas coluas formam um sstema de. Do teorema ateror podemos dzer que: vectores ortoormados que costtuem uma base de Uma matrz hermtaa é sempre dagoalzável por trasformações smlares utáras e, portato, uca é defetuosa. eorema.5 Seja e hermtaa. Etão, é semdefda postva sse os seus valores própros forem ão egatvos, e defda postva sse os seus valores própros forem postvos. Demostração Cosderemos o caso de ser defda postva, já que para o outro caso é dêtca. Pelo teorema ateror este uma matrz X utára e, portato, vertível tal que X X =Λ. Se for defda postva, etão y y > o, y 0 mas podemos dzer este caso que ( ) ( ) ( ) 0< y y = y X Λ X y = Xy Λ Xy = z Λz z 0, podo z = Xy. Daqu cocluímos que Λ é defda postva. alogamete se demostra a proposção versa. Neste mometo, sabemos que as matrzes hermtaas são utaramete dagoalzáves. Defção.0 Uma matrz dz-se ormal se resposta à questão ateror é dada pelo teorema segute. =. eorema.6 (Schur oepltz) Uma matrz é utaramete smlar a uma matrz dagoal sse for ormal.

28 8 Polómo mmal Já tvemos oportudade de ecotrar polómo de matrzes a propósto do polómo característco e do teorema de Cayley-amlto, por eemplo. Vamos elaborar um pouco mas sobre este tema, começado por otar que um polómo p P duz o polómo k matrcal p ( ) = a k = Defção. sucessão {,,..., k,...} desga-se por sucessão de Krylov. matrz dada por K m m (, ) = (... ) desga-se por matrz de Krylov. O subespaço m K (, ) = R( K (, )) estão assocadas à matrz e ao vector. m é cohecdo por subespaço de Krylov. odas estas oções m Vamos utlzar as otações K ( ), K ( ), K ( ) ek m. É medato que, m m dm K K m. Defção. Um polómo p tal que p= ( ) 0 dz-se que é um polómo aqulador de. Um polómo tal que p= ( ) 0, dz-se que é um polómo aqulador de. O teorema de Cayley-amlto afrma que p ( ) = 0, o que revela ser o polómo característco um polómo aqulador. eorema.8 Seja de grau mímo. O grau m aqulador de etão, q dvde p. Demostração O polómo característco. Etão este um úco polómo aqulador móco q deste polómo satsfaz m. Se p for um polómo p é móco, é de grau e é aqulador de. Portato, a por das hpóteses, será polómo aqulador de grau mímo. Se p aqular e q for um polómo aqulador móco de grau mímo, devemos ter etão, que por defção deg q deg p. Nestas codções, este um polómo quocete s e um polómo resto r, ambos de grau feror a deg q, tas que p = sq + r. Se r ( ) ão for detcamete ulo, podemos por meo de uma ormalzação costrur a partr dele um

29 9 polómo móco aqulador de de grau feror a de g q, o que cotradz a hpótese de q ter grau mímo. Deste modo, r 0, e que q dvde p. Falta provar a ucdade do polómo aqulador de grau mímo. Se estrem dos destes polómos, etão, de acordo com o resultado acabado de obter, cada um deles dvde o outro. Como têm ambos mesmo grau, sto sgfca que um é múltplo escalar do outro, mas sedo ambos mócos, tal só é possível se o escalar for, pelo que os dos polómos são dêtcos. Este teorema justfca que o polómo móco de grau mímo aqulador da matrz, q, seja desgado por polómo mmal de. eorema.9 s matrzes smlares têm o mesmo polómo mmal. Demostração Sejam e B duas matrzes smlares. Pelo teorema. possuem o mesmo polómo característco, o que quer dzer, p = pb, logo pelo teorema ateror e B têm o mesmo polómo mmal. eorema.0 O polómo mmal q dvde p. lem dsso, os zeros de q são valores própros de, embora evetualmete com multplcdade algébrca dferete Este teorema mostra que os polómos característco e mmal assumem as formas segute: α αk β p = q = ( λ λ )...( λ λ ), ( λ λ )...( λ λ ) em que 0 β α, =,..., k. partr deste resultado ão é dfícl obter o teorema eorema. Se os valores própros de uma matrz forem dsttos, etão o seu polómo característco e o seu polómo mmal cocdem. β k. Quocete de Raylegh Um escalar mportate relacoado com os valores própros é o quocete de Raylegh defdo, para qualquer vector 0, por R ( ) = (.8)

30 30 o seu valor é, em geral, compleo. No etato, se for hermtaa, o quocete de Raylegh é real e goza propredades teressates tato do poto de vsta teórco como do poto de vsta computacoal. Supohamos que obtvemos por um processo qualquer, uma apromação de vector própro. Uma perguta que se coloca é a de saber qual o valor de μ u a um que deveríamos tomar como apromação de λ assocado a. Por outras palavras, se ( λ, ), for um par própro, qual o par própro apromado ( μ,u) que deve ser cosderado a hpótese u ser cohecdo? Uma resposta a esta questão é a de tomar para μ o valor de mmzar uma orma aproprada do resíduo r( μ, u) = u μu (.9) ora, a orma que se revela smples para este efeto é a orma eucldaa, pelo que μ deve ser mmzador da fução f ( μ) = r( μ, u) = u μu (.30) lgumas mapulações coduzem os a ( μ) = ( u μu) ( u μu) = u u Re( μu u) + μμu u se for hermtaa (e esta premssa é crucal para o desevolvmeto que vamos fazer ), a fução f smplfca-se, vdo f ( μ) u u μu u u u = + μ daqu se etra que '( ) f u = u u+ μu u e, portato, o valor de μ que tora f estacoára é u u μ = = R( u). u u Falta provar que este valor é, de facto, um mmzador, o que costtu o objectvo do prómo teorema. eorema. Para e hermtaa e u dado, é valda a segute relação u R( u) u u μu, μ coclusão que daqu se tra é de que Ru ( ) é o melhor valor apromado para o valor própro assocado a u.

31 3 eorema.3 (Raylegh-Rtz) Seja hermtaa, e λ, λ,..., λ, os seus valores própros (reas) ordeados por ordem decrescete,.e., λ λ... λ. Etão, λ = ma R( ), λ = m R( ) (.3) 0 0 Demostração Como σ ( λi) = σ( ) λ vem que σ ( λ ) = {0, λ λ,..., λ λ } I e, portato, a matrz λ I possu valores própros ão postvos. plcado o eorema.5, podemos afrmar que esta matrz é semdefda egatva, o que permte escrever que ( λ I) 0, 0 ou, de modo equvalete λ, 0 mas se sto se verfca, também é válda a segute desgualdade, λ ma 0 Como o quocete de Raylegh é gual a λ quado tomarmos para o vector própro assocado a λ, cocluímos que a desgualdade ateror forçosamete tem de ser uma gualdade, pelo que é verdadera. (.3) Fg.. Demostração λ = m R( ), pos sedo σ ( λ I) = σ( ) λ 0 σ ( λ I) = { λ λ, λ λ,..., 0}

32 3 e, portato, a matrz λ I possu valores própros ão egatvos. plcado o eorema.5, podemos afrmar que esta matrz é sem-defda postva, o que permte escrever que ( λ I) 0, 0 λ m obtedo assm 0 λ = m R( ) 0, ou seja, λ, dode é válda.3 Localzação de valores própros lgus métodos do cálculo de valores própros requerem a localzação destes valores. Vejamos algus resultados útes este setdo. Uma relação mportate etre rao espectral e ormas é apresetada o teorema segute, ode se prova que é um majorate do rao espectral, qualquer que seja a orma utlzada. eorema.3 seja desgualdade. p( ), etão o rao espectral desta matrz verfca a segute. Se a for hermtaa, etão p( ) Demostração plcado orma ambos membros de λ = λ λ = λ, temos que como esta gualdade é verdadera para qualquer λ σ ( ), é também verdadera para o valor própro com maor valor absoluto. seguda parte deste teorema deduz-se drectamete da epressão defção de orma matrcal. (.3) e da É claro que para a localzação de valores própros, teressa utlzar ormas fáces de calcular, como sejam.,., ou. F. eorema.4 Seja Demostração. Etão, ( ( )) p

33 33 ( p ( )) = = p( ) = o que prova afrmação. eorema.5 (Gershgor) Seja, ς o crculo (o plao compleo) cetrado em a e rao r = a j j= j por vezes desgado por crculo de Gershgor, ς ( ) = U ς, a regão Gershgor. σ( ) ζ( ). Etão todos os valores própros de estão cotdos o domío ζ ( ),.e., Demostração se λ σ ( ), a matrz B = λ I é sgular. Isto sgfca que este um vector 0 tal que B = 0, ou seja, b = 0 = b + b kj j kk k kj j j= j= j Dode se pode obter: seja b kk k kj j j= j = b a maor compoete em valor absoluto de do vector. Etão, podemos proceder às segutes majorações = b = b = b b îj j kj j j= j= j j portato, como por hpótese para qualquer je 0, vem que j a b b λ a j j= j= j j fca assm provado que este um círculo ζ, cetrado em a e rao r que cotém o valor própro λ o que mplca que qualquer valor própro terá de estar cotdo a uão destes círculos.

34 34 eorema.6 Se k círculos de Gershgor forem dsjutos dos restates, etão, estem eactamete k valores própros a uão.

35 35 II. MÉODOS PRÁICOS PR DEERMINÇÃO DOS VLORES E VECORES PRÓPRIOS Cosderemos que os valores própros de λ λ... λ estão ordeados de modo que. Método das potêcas drectas Supohamos que possu drecções própras learmete depedetes,,...,, as quas costtuem, portato, uma base de arbtráro, e seja. Desgemos por (0) um vector um vector (0) = a = a sua represetação a base formada por aquelas drecções própras de. Costruamos () premultplcado (0) por. Etão, como faclmete se vê,

36 36 () (0) = = a = a = aλ = = = Se λ 0, etão esta epressão pode escrever-se ada λ = () λ a = λ Se λ for um valor própro domate,.e., λ > λ e se a 0, a operação efectuada reforça a compoete segudo a drecção relatvamete às restates. Por outras palavras, a premultplcação de um vector por produz um vector mas alhado com a drecção própra assocada ao valor própro domate. rado vatagem desta crcustâca, podemos costrur uma sucessão de vectores por meo da fórmula Cocludo, assm, que Supodo ada que ( m) ( m = ), m =,,... m ( m) m m λ = aλ = λ a = = λ a 0, deduz-se. a a λ = λ ( m) m λ = a plcado ormas a ambos membros desta gualdade e majorado, vem que m m ( m) λ m = c λ λ a (.) em que c depede de Esta epressão mostra que dode se deduz que o vector (0) através dos e do espectro de ( m) a λ m a, mas é depedete de m. ( m) lm = 0 m a λ m coverge para. Dado que ( m) a λ e ( m) possuem a mesma drecção, com uma letura alteratva de (.) permte dzer que uma versão adequada escalada de ( m) coverge para a drecção de. m

37 37 É mportate ter em cota que este algortmo pressupõe que λ > λ e a 0, codções estas que são geralmete dfíces de se verfcar à partda. covergêca deste algortmo é tato mas rápda quato mas domate for λ. Se a 0 for pouco domate podem ser ecessáras váras terações para produzr pares própros com precsão desejada. Como, por outro lado, o úmero de flops ecessáro é por teração, o algortmo só é efcaz se pretedermos determar algus pares própros. O ( ) Um outro aspecto a ter em cota é que a matrz partcpa este algortmo só para premultplcar vectores, o que tora relatvamete fácl a eploração da sua evetual esparsdade para ecoomzar memóra e operações artmétcas. O método é, por sso mas teressate para matrzes esparsas. Se for hermtaa é possível acelerar a covergêca recorredo ao quocete de Raylegh que este caso é, pelo teorema., um úmero real. O seu valor a teração dado por ( m) ( ) R Mas, atededo a que ( ) ( ) ( ) ( ) ( m) ( m) ( m) ( m+ ) = = ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) m ( m+ ) m = λ, = λ + (.3) = = a a m é (.) e ao facto de que os vectores própros de são learmete depedetes (ver teorema.0), obtemos portato, ( ) ( m) m+ m = λ λ = = = m+ m a λ a λ = λ + + = a λ = a λ R a a ( m) ( ) R λ = a λ + = a λ λ = a λ m+ m λ λ a λ tomado valores absolutos de ambos membros desta epressão e majorado, temos

38 38 m ( ) R ( ) m λ c λ. Em que tal como atrás v ão depede de m. gora a λ covergêca é determada por λ λ m λ em vez de λ m como acotece quado ão é hermtaa, e é, portato, mas rápda.. raslações espectras Passamos da termação dos valores própros de para determarmos os valores própros de pi (teorema.6), em que p é um escalar que está à ossa dsposção. Operação esta que é cohecda como traslação espectral, ou mudaça de orgem. Eemplo. celeração do método das potêcas drectas por traslações espectras. Supohamos que uma matrz σ =. O 4 4 possu um espectro ( ) { 4,3,,} método das potêcas drectas coverge com uma taa determada por λ λ = , faz com que o método covrja letamete. No etato, se fzermos uma traslação espectral com p =, temos que ( pi) {,,0, } σ = e a taa de covergêca passa agora a depeder de 0.5, bastate mas favorável. No fal há que desfazer a traslação. técca acabada de eemplfcar é cohecda por Método de Wlkso das traslações espectras. Uma vez obtdo λ, ada mpede que tomemos p = λ. Neste caso λ p será o valor própro domate de pi. Se este valor própro for smples, etão é possível utlzar método das potêcas para determar λ p, e, por esta va, λ e também o vector própro.

39 39.3 Método das potêcas versas rapdez do método das potêcas depede do afastameto do valor própro domate λ relatvamete ao valor própro mas prómo. Neste sub-capítulo vamos mostrar que uma combação judcosa deste método coduzdo com a matrz em vez de e com traslações espectras pode oferecer uma alteratva mas atraete. ssm, seja cal do processo teratvo segute.5 é / (0) um vector ( m) ( m = ), m=,... (.4) a sucessão ( m) coverge para o valor própro domate de, o qual, pelo teorema λ. O que quer dzer que as terações (.4) permtem calcular o par própro (, ) Na realzação prátca deste método ão se deve calcular ( m) ( m ) λ., mas assm resolver o sstema = (.5) por um método aproprado. Neste caso, a factorzação tragular, a medda em que a fase de factorzaçao ecessta de ser efectuada uma úca vez e pode ser utlzada em todas as terações. Cocretzado, a factorzação tragular produz as matrzes tragulares feror L e superor U tas que P determação de reque = LU em que P é a matrz que corpora as evetuas trocas de lha. ( m) segue agora o processo habtual Ly = P, U = y ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) ( ) em que y m fucoa meramete como vector aular. Deste modo cada teração r ( ) 0 flops. O método das potêcas versas ão se lmta, cotudo, ao cálculo do meor valor própro em valor absoluto λ. De facto, se combarmos este método com traslações espectras podemos em prcpo determar qualquer outro valor própro. ssm, seja p um escalar, efectuemos as terações (..4) com a matrz pi em vez de, vdo ( ) ( m) ( m ) = pi (.6) Se houver covergêca esta sucessão ( m) covergrá para o vector própro assocado ao valor própro de meor valor absoluto da matrz pi, ou seja, permte apromar o valor própro de mas prómo de p. Se p for u ma boa apromação dum certo valor

40 40 própro λ, é de se esperar que se produza em poucas terações um valor bastate precso para λ. Refazedo a aálse de.., podemos escrever que a estmatva cal tem a segute represetação (0) = a = e as terações vêm dadas por (.7) ( m ) m m = ( pi) a = ( λ p) a = = (.8) a compoete ( m) assocada ao vector própro assocado ao valor própro mas prómo de p é reforçada em cada teração em relação às outras e tato mas quato meor for λ p,.e., quato melhor p apromar λ. É coveete otar que se estr um gru po de valores própros muto prómos us dos outros, este método pode setr dfculdades de covergêca. O método das potêcas versas, tal como o das potêcas drectas, é efcaz quado se pretede calcular algus pares própros, mas perde teresse se o objectvo for calculá-los a todos, caso em que é preferível recorrer a outros mas rápdos..4 Iterações em subespaços O método das potêcas produz um par própro em cada teração. Pode haver a ecessdade de determar város valores própros em smultâeo. al só acotece quado ão se tem a certeza de haver um valor própro domate ou a separação etre os valores própros ser pequea e coduzr a uma covergêca demasado leta. dea que ocorre é de tomar ( k váras alteratvas cas q ), k =,..., p para os valores própros. ssm, o etato se ão forem tomados cudados especas, as sucessões assm geradas, ou ão covergem ou covergem todas para o mesmo vector própro domate. precaução a tomar é mater estes vectores ortogoas etre s. ssm tomemos p estmatvas cas ortoormadas e orgazemo-las como coluas de (0) uma matrz Q p () (0). O método das potêcas drectas cosste em ter Y = Q. Como

41 4 ão terá coluas o toormadas é precso proceder à sua ortoormalzação, que se pode () Y r efectuar pelo método de Gram-Schmdt. Processo esse que é repetdo, pe lo que, em termos algortmos, se pode descrever:.5 Método de Jacob clássco eorema. Seja e smétrca. Etão, este uma matrz ortogoal R que reduz por smlardade à forma RR = D em que D é uma matrz dagoal. Demostração É medata vocado o teorema.6 e o facto de ser real e smétrca. Nota: toda matrz real smétrca é smlar a uma matrz dagoal real, o que sgfca que D = dag( λ, λ,..., λ ). dfculdade resde, assm, a costrução da matrz ortogoal R, e efectua a redução de à forma dagoal. Eemplo. Rotações plaas Cosderemos uma matrz α γ = γ β e smétrca, escrta a forma c s matrz R s c com c = cosθ = efectua-se uma rotação de um âgulo θ de s = sθ todos os vectores de coclusão de que. Por outro lado, levado a cabo as ecessáras operações, chegamos à c s α γ c s RR = s c γ β s c αc + βs γsc c s γ + α β sc. ( ) ( ) = c s γ + α β sc αs + βc + γsc ( ) ( ) Para torar esta matrz dagoal basta que ( ) γ ( α β) c s + sc = 0 é possível coclur que o âgulo de rotação θ deve satsfazer a codção

42 4 ta θ taθ cs γ ta θ = c s = α = β Rutshauser propôs que, pusesse t = ta θ e a = ( β α) / γ a epressão acma, obtedo assm, t + at = 0 e daí tem-se as segutes soluções para t ( ( ) ) / t = sga/ a + + a ( ) / t = a± + a uma vez obtdo o valor de t, os valores de c e s podem calcular-se pelas epressões ( ) / c = / + a, s = ct em que c deve ser tomado como postvo. Nestas codções, coforme se pode verfcar, o âgulo de rotação θ π /4. pós algumas smplfcações a matrz toma a forma α γt 0 D = RR = 0 β + γ t os valores própros podem ser ldos a dagoal de { } σ ( ) = α γt, β + γt. D ; logo O método de Jacob cosste em trar partdo das rotações plaas para, em operações sucessvas, r aulado os elemetos ão dagoas de. Defção. uma matrz Rpqθ (,, ) dz-se que é uma rotação plaa de um âgulo θ o plao ( pq, ) se rpp = c = cos θ, rpq = s = sθ rqp = s = s θ, rqq = c = cosθ r =, se p, q e os restates elemetos forem ulos. O produto Rpqθ (,, ) por altera as lhas p e q, e o produto de por R ( p, q, θ ) altera as coluas p e q, pelo que Rpqθ (,, ) dfere de apeas as lhas e coluas p e q. Eemplo. 3 plcar uma rotação plaa o plao (,4) à matrz

43 43 de modo a aular os elemetos a = a = De acordo com o que acabámos de dzer, a matrz a utlzar para efectuar a rotação pretedda tem a forma c 0 s 0 R R(,4, θ ) = s 0 c Efectuado as multplcações de matrzes, chegamos às epressões 0 0 c c 3s c s 3c s 0 R = c+ s c+ s 3s+ c c e, ada, c 0 0 c c + s 6cs c s 3c 3s 0 RR = c s 4 c + s 5 s 3c 3s c+ s c + s + 6cs c 0 s 5 c 3 Para aular os elemetos as posções (,4) e (4,) basta escolher θ de modo que 3c 3s = 0, ou seja, tedo em cota o que se dsse atrás, θ = ± π /4. No caso geral, os elemetos da matrz RR R( p, q, θ ) R ( p, q, θ ) stuados as lhas e coluas p e q assumem a segute forma ( ) = pp pp pq + ( ) = + + RR c a csa s a RR s a csa c a qq qq qq pq qq

44 44 ( RR ) ( c s ) apq cs ( app aqq ) ( ) ( ) pq = + (.9) RR = ca sa, p, q p p RR = ca + sa, p, q q q q p Escolhedo o âgulo de rotação de acordo com o eposto atrás, podemos aular os elemetos as posções ( p, q ) e ( qp, ). Dz-se este caso que se efectuou uma rotação de Jacob. Nestas codções, os restates elemetos podem ser calculados pelas segutes epressões deduzdas por Rutshauser de (.9) com o objectvo de reduzr o efeto de arredodameto, ( ) ( ) RR = a ta pp qq pp pq RR = a qq + ta pq ( RR ) = 0 ( ) pq ( τ ),, RR = a p p s aq + ap p q ( RR ) = a q q + c( ap τ aq ), p, q (.0) com τ = ta( θ / ) = s/( + c) O método de Jacob clássco cosste em aular os elemetos por ordem decrescete dos seus respectvos valores absolutos. eorema. O método de Jacob é covergete. Demostração O poto de partda é a propredade de as trasformações ortogoas preservarem a orma de Frobeus,.e., F = QQ F ( k ) para qualquer matrz ortogoal Q. Cosderemos uma matrz decomposta a sua ( k ) ) ( k ) ( k ) ) ( k ) ( k ) parte dagoal D e a sua parte ão dagoal, ou seja., = D +. Em seguda ( k ) )( k ) comparemos a evolução de D e ao logo das terações de Jacob e verfquemos F se esta últma quatdade tede ou ão para zero. Em prmero lugar, regstemos que F

45 45 D ) ( k ) ( a ) ( k ) ( k ) F = = = F, j= j ( k ) ( aj ) Para cada rotação de Jacob )( k+ ) )( k) = a e ( k ) ( pq ) ( k+ ) ( k) D = D + a F F F F ( k ) ( pq ) ( k ) R podemos verfcar, efectuado os cálculos, que (.) Como terações. a ( k ) pq 0 a quatdade ) ( k ) decresce mootoamete com k ao logo das F Ora desgado por N = ( ) o úmero de elemetos ão dagoas de uma matrz de ordem, podemos escrever, em vrtude do crtéro de escolha do elemeto a aular ser o de seleccoar o maor elemeto em valor absoluto de ) ( k) ) ( k) apq aj,, je, portato, resulta daqu e de (.) que por dução em ) a ) ( k ) ( k) )( k) pq F, que / N )( k ) )( ) k + / N F N F k, deduzmos que é também valda a desgualdade )( k ) )(0) F N, Permtdo assm, coclur que as matrzes ( k ) geradas pelo F método de Jacob clássco tedem para a forma dagoal, podem ão covergr para uma matrz dagoal com elemetos dagoas fos. tededo às epressões (.0) podemos escrever que a a = t a ( k+ ) ( k) ( k) pp pp k pq em que pusemos tk = taθ. Como este âgulo fo escolhdo de k modo que tk vem que a a t a ( k+ ) ( k) ( k) pp pp k pq. Se tvermos atgdo uma teração m tal que os elemetos ão dagoas de em valor absoluto ferores a uma quatdade ε <, deduzmos que ( m) seja ( a a ε o que os permte coclur que cada elemeto k ) dvdualmete ( k+ m) ( m) k pp pp tede para um lmte. a pp Ou seja, lm k ( k ) = D o que prova o teorema.

46 46 plaas O método de Jacob costró a matrz ortogoal R do teorema. à custa das rotações ( k ) R de tal modo que R R R R R ( ) ( ) () ()... k k =... (.) Uma vez obtdos os valores própros de, que aprecem a dagoal da matrz vectores própros podem ser calculados pelo processo segute. s matrzes smlares por costrução, e ( λ, e ) é um par própro de D ; logo, e D, os D são R = e = R e, ou seja, o vector pode ser obtdo aplcado a matrz R ao vector e. Esta aplcação pode fazer-se costrudo a matrz R através de (.) e aplcado-a o fm aos vectores e ou, em alteratva, aplcado medatamete a estes vectores as rotações plaas ( k ) R mutos vectores própros de à medda que estas forem sedo estabelecdas. Se pretedermos obter e ecoomzar memóra, é preferível formar R eplctamete. Se estvermos teressados em apeas algus vectores própros e ão houver lmtações severas de memóra, é mas vatajoso guardar as rotações plaas à medda que vão sedo determadas, e aplcá-las o fm. O método de Jacob ão respeta a esparsdade da matrz, o que sgfca que, para este método, todas as matrzes teham de ser cosderadas cheas. Esta característca restrge a sua aplcação a matrzes de dmesão moderada, o que costtu uma desvatagem deste método..6 rdagoalzação de matrzes.6. Rotações de Gves Retomado o eemplo.3, podemos observar que a rotação plaa R(,4, θ ) hava sdo escolhda de modo a aular o elemeto a posção (,4) e, por smetra, também o elemeto a posção (4,). No etato, podíamos ter optado por aular os elemetos as posções (,), (,3), (3,4), ou (4,5) e os respectvos smétrcos. ssm, para aular o elemeto do a 3 eemplo 3., basta escolher uma rotação plaa cujo âgulo satsfaça c = s, ou seja,

47 47 θ =± π /4. De um modo geral, se pretedermos aular o elemeto a, com p, q devemos p escolher, de acordo com a epressão (.0), uma rotação tal que ca p sa = 0 e, portato, q t = ta θ = a p / a q. Recorredo a relações trgoométrcas elemetares, c e s podem ser calculadas através das epressões c = a / r q s = a / r p com r ( a ) a / = + (.3) p q que evtam o cálculo eplcto de θ e, por cosegute, dspesam o recurso a fuções trgoométrcas versas. O método de Gves cosste em utlzar rotações plaas Rpqθ (,, ) para aular o elemeto a posção ( p, q) (as chamadas rotações de Gves) e com os elemetos a serem aulados pela segute ordem: (,3), (,4),, (,), (,4),...,(, ),...,(, ) rotações.. matrz fca trdagoalzada ao fm de ( )( )/ Uma vatagem deste método, dervada do facto de que este processo respeta os zeros crados, é a de que podemos utlzar as respectvas posções para guardar a rotação efectuada através, por eemplo, do armazeameto do valor de c. Fgura..Refleão de ouseholder.6. Refleões de ouseholder Defção. Uma matrz da forma = I vv comvv = dz-se que é uma trasformação ou refleão de ouseholder.

48 48 Estas matrzes são smétrcas e ortogoas, portato, = =, o que costtu um cojuto de propredades mportates: é gual à sua trasposta e à sua versa! desgação de refleão de justfca-se tedo em ateção que para qualquer vector, se verfca que y = = ( ) = ( ) = ( ) I vv v v v v fgura. mostra que da drecção de v. y é, de facto, o vector que se obtém por refleão de ao logo Vejamos como trar partdo destas trasformações para trdagoalzar. Para tal, cosderemos esta matrz e a trasformação de smlardade P partcoadas do segute modo α a 0 =, P =, a B 0 em que, e cosequetemete também P, é uma refleão de ouseholder. Nestas codções a matrz trasformada vem dada por α a = PP = a B Se pretedermos que esta trasformação produza uma prmera lha (e por smetra uma prmera colua) trdagoal, basta escolher de ordem e de tal modo que a = βe, em que e é um versor a drecção de. matrz fcará etão com o segute aspecto (o símbolo dca os elemetos geércos ão ecessaramete ulos) α β 0 L 0 β L = 0 K M M M O M 0 L omemos como uma refleão de ouseholder escrta a forma I w = γ w Com γ = / w em que w é um vector a determar. Etão, ( γ ) a = γ ( ) w = βe a I ww a w a = (.4) ode β =± a.

49 49 De (.4) temos que γ ( waw ) a β e o que os permte tomar w= a βe e, portato, w =. Daí que tem a drecção do vector w = w w= ( a β a ) a β e, e também γ = ( a β a ) tomado β = sg( a) a, temos que ( a a ) a γ = +. Uma vez calculados w e γ, a refleão de ouseholder fca determada. ( γ ) ( ( I γww )( B γbww ) B = B = I ww B I γww = B Bww ww B ww Bww = γ γ + γ ) (.5) troduzdo um vector aular b B = B bw wb + γ ( w b) ww = γ Bw obteremos: No etato, Wlkso mostrou que se poda fazer ada melhor. De facto, coforme faclmete se pode deduzr, γ γ B = B b w( w b) w w b w( w b) Podo q = b w( γ w b)/ vem que B = B qw wq o cálculo de B por meo desta fórmula requer apeas O ( ) operações artmétcas, o que represeta um gaho aprecável relatvamete ao cálculo pelo smples produto de matrzes. Uma vez trdagoalzada a prmera lha e a prmera colua, podemos prossegur cosderado agora apeas a matrz B. Podemos levar a cabo a trdagoalzação completa da matrz com refleões de ouseholder. Itroduzamos a otação ( ) sucessvas matrzes trasformadas, e P k, covecoemos que (0) forma α β 0 = = 0 a B () β α a = e () e a seguda refleão de ouseholder em coformdade ( k ) para desgar as ( k ), trasformações de ouseholder, e =. Partcoemos esta últma matrz da segute

50 50 P () 0 0 = efectuado as multplcações ecessáras, chega-se, sem dfculdade, a α β 0 = =. 0 a B () () () () P P β α a Como se pode verfcar os zeros crados a prmera lha e a prmera colua matemse alterados. Para trdagoalzar em seguda lha e seguda colua basta escolher um vector de modo a que a = βerecorredo a processo em tudo dêtco ao utlzado aterormete. o fm de refleões obteremos uma matrz trdagoal smétrca. refleão de ouseholder w ( k ) ( é defda pelo vector k ) cujas prmeras compoetes são ulas, e, como tal, ão precsam ser armazeadas. s k compoetes ão ulas de podem r ocupar um dos trâgulos da matrz desde que optemos por crar um espaço adcoal para a dagoal α k e para a codagoal β k. da sobram as posções da dagoal ( k) w de que podem ser usadas para guardar os valores de tarde. ( k ) w evtado de os recalcular mas.6.3 Valores própros de matrzes trdagoas smétrcas Deotemos as matrzes reas trdagoas smétrcas de ordem por α β β α β = O O O β α β β α det = α det β det, =,3,... (.6) em que por coveção fazemos det 0 =.

51 5 Desgado o polómo característco de por p, obtemos a partr de (.6) que p ( λ) = ( λ α ) p ( λ) β p ( λ), =,3,... (.7) e ode também por coveção fazemos p 0 ( λ ) =. O cálculo de p para λ dado precsa de O(5 ) flops (ou O(4 ), se acharmos coveete calcular prevamete o quadrado dos β ). Este método é perfetamete razoável, pelo que é legtmo ecarar as hpóteses de obter os valores própros de através dos métodos de resolução de equações leares. cresce ada que a sucessão dos polómos p0, p,... p goza de propredades otáves que podem ser eploradas para facltar a pesqusa dos zeros de p. Vamos estudar alguma delas. eorema.3 Seja uma matrz trdagoal smétrca cujos elemetos ão dagoas β, =,, 3,..., são todos dferetes de zero. Etão o seu polómo característco tem zeros reas smples, e possu, portato valores própros reas dsttos. lém dsso, os zeros de p k separam os de k Demostração Desgemos os zeros de p k por p +, para k. λ ( k ) ser uma matrz real e smétrca que esses valores própros são reas. ( k ). Decorre do facto de Cosderemos os λ ( k ) ordeados de modo que ( k ) ( k ) ( k λ ) λ... λ. O resto da demostração va ser por dução em k. Para k = e k = temos smplesmete que p ( λ) = λ α p( λ) = ( λ α)( λ α) β dode se tra que λ α λ () () =, p( ) = β k Por outro lado, p ( λ) = λ +..., o que mplca que lm p ( λ) + e, portato, λ () um dos zeros de p tem de estar à esquerda de λ, e o outro à dreta coforme a Fgura.4. a epõe. Para estes k o teorema é verdadero. Supohamos agora que o teorema é verdadero para ordem k qualquer, e mostrar que cotua valdo para a ordem k +. p p Fazedo = k + em (.4.5), obtemos a segute epressão ( k) ( k) ( k) ( k) ( λ ) = ( λ α ) p ( λ ) β p ( λ ) ( k) ( k) ( λ ) β p ( λ ) k+ k+ k k k k+ k k 0 (.8) = (.9)

52 5 Esta ultma epressão mostra que um de p k os polómos adjacetes assumem valores de sas cotráros. ( k ) ambém de (.9) decorre que p ( k) ( k) ( λ ) β p ( λ ) k = k k 0 ( k) ( k) Como por hpótese da dução pk tem um só zero etre λ eλ, o sal de pk em λ tem de ser dferete do sal em sgp ( k) ( k) ( λ ) sgp ( λ ) ( k ) λ + k+ = k+ 0 a epressão acma mplca que k de zeros. Os tervalos ( ). Cocluímos assm, que (.4.8) p + tem em cada tervalo ( ( k ) ( k, ) ) λ λ um umero ímpar ( k ) ( k ) λ k, + e (, λ k ) precsam de um tratameto especfco. k Começado pelo prmero, resulta de (.4.7) que também pk ( ) k pk ( ( ) ( k) + λ β λ ) 0 =. Por outro lado sedo pk p e k polómos mócos tedem ambos para v. O que quer ( k ) dzer que para λ sufcetemete grade assumem o mesmo sal, postvo. Como λ está à ( k ) dreta de, λ ( k ) pk ( λ ) ( k ) só pode ser postvo e pk ( λ ) cosequetemete, p k + há-de mudar de sal ( k ) aálogo se pode coclur que o mesmo se sucede em (, λ k ) + terá de ser egatvo, e ( v o tervalo ( λ k ) k, + ) racocado de modo. Resumdamete, podemos afrmar que o polómo p k + possu um úmero de zeros ( k ) mpar os tervalos: (, ), λ k ( ( k ) ( k, ) ) λ λ, ( k, k,...,) ( k ) = e (, ) λ +. Como p k + é um polómo de grau k+ e o úmero destes tervalos é também k +, etão o úmero de zeros de cada um destes tervalos só pode ser eactamete um. eorema.4 O úmero de vectores própros de uma matrz real smétrca trdagoal o tervalo [ ab, ] (lmtado ou lmtado) é dado por m= V( a) V( b), em que V( ) desga o umero de varações de sal das sucessões Demostração cosderemos a fução p ( ), p ( ),..., p ( ). 0 V( ) quado a varável percorre a recta real de a +. Como os polómos p k são fuções cotuas, V só muda de sal quado e so quado passa por um dos zeros de algus destes polómos. Ora, p 0 =, portato, uca muda de sal, pelo que cocetraremos apeas as sucessões p ( ),..., ( ) p. Seja z

53 53 um zero de qualquer destes polómos terores p ( ),..., ( ) p, e depos, caso em que z é um zero de p. Deotemos por h > 0 um valor sufcetemete pequeo. z é um zero de p, k. Um mometo de ateção mostra que só são possíves k as segutes cofgurações de sas: p ( ) k + pk ( ) p ( ) k p ( ) k + pk ( ) p ( ) k z h + ± ± + z z+ h + m m + Como se pode verfcar, V ão se altera quado passa por qualquer dos zeros dos polómos terores. z é um zero de p. gora as cofgurações de sas possíves são: p ( ) p ( ) z h + z 0 + z+ h + + p ( ) p ( ) + 0 Desta feta, o úmero V de varações sofre um decréscmo de uma udade. Resumdamete, V( ) sofre uma dmução de uma udade quado e so quado passa por um dos zeros de de p superores a p. Como V ( + ) = 0resulta que V( a) é gual ao umero de zeros a. Daqu se fere medatamete que m= V() b V() a dá o úmero de p o tervalo [ ] zeros de ab, e, portato, também o umero de valores própros de mesmo tervalo. Eemplo.4 Determar quatos valores própros da matrz = estão cotdos o tervalo [ 0, ]. este

54 54 Formado as sucessão de polómos p0, p,..., p 4 de acordo com a epressão (.9) para λ = 0, obtemos Logo p0 (0) = p (0) = 0 = p (0) = (0 ) ( ) = p3 (0) = (0 ) ( ) = p ( ) = (0 4) ( ) = 3 4 V (0) = 4, ou seja, a matrz tem todos aos valores própros maores do que zero. Repetdo os cálculos para λ =, chegamos agora a p0 () = p () = = p () = ( ) = p3 () = ( ) ( ) ( ) = p () = ( 4) ( ) ( ) = 4 pelo que V () =. Como V(0) V() = cocluímos que a matrz possu eactamete dos valores própros o tervalo [ 0, ]. O eorema.4 proporcoa a base para uma aplcação telgete do método da bssecção à determação de todos os valores própros de cotdos um tervalo [ ab, ] dado. Calculemos m= V() b V() a. Se m = 0 ão há valores própros esse tervalo, e se m = este apeas um, que podemos localzar tão bem quato qusermos por bssecções sucessvas o tervalo cal. Se m >, etão também por bssecções sucessvas podemos r determado tervalos cada vez mas pequeos que coteham apeas um valor própro, e proceder como aterormete. Eemplo.5 Usar o método da bssecção para solar todos os valores própros da matrz do eemplo ateror o tervalo [ 0, ]. Bssectado o tervalo[ 0, ], costruímos dos subtervalos [ 0, ] e [, ]. Como p0 () = p () = = 0 p () = ( ) 0 = p3 () = ( ) ( ) (0) = p () = ( 4) ( ) = 4

55 55 Resulta que V () = 3 e, por cosegute, V(0) V() =. Etão podemos coclur que este um valor própro o tervalo [ 0, ], e outro, o tervalo [, ]. Bssectado cada um destes tervalos tatas vezes quatas as ecessáras, coseguremos uma localzação dos valores própros tão boa quato for precso..6.4 Vectores própros de matrzes trdagoas Uma vez calculado um valor própro da matrz trdagoal, utlzado qualquer dos métodos acabados de referr, o vector própro assocado, por defção satsfaz o sstema de equações leares o qual, equvale às relações compoete ( ) α λ + β = 0 ( ) ( λi) = 0 β + α λ + β = 0, =,3,..., + + ( ) β + α λ = 0 (.0) 0. ssm, uma vez que 0, podemos por optar por fazer = trado partdo do facto de que um vector própro é defdo a meos de uma costate multplcatva. Por substtuções descedetes o sstema (.4.9), obtemos as restates compoetes, =,3,...,. Um processo dêtco poda ser adoptado para em vez de. Embora tehamos ctado por serem, sem dúvda, os que pareceram mas aturas, detecta-se a prátca que qualquer destes métodos é stável, forecedo vectores muto afastados dos vectores própros eactos. Um método alteratvo que ão sofre deste coveete é o método das potêcas versas, que este caso se resume a determar teratvamete o vector própro através de ( ) ( k + λ ) k I =, k = 0,,... partdo de uma estmatva cal aproprada. factorzação de λ I é fácl, já que se trata de uma matrz trdagoal. No etato, esta

56 56 matrz é, de facto, sgular, o que sgfca que em artmétca de poto flutuate aparecerá como mal codcoada sedo por sso mperatvo proceder à escolha de pvot. Para termar, recordamos que, após a obteção de vectores própros de, é ada ecessáro recuperar os vectores própros da matrz orgal desfazedo a trasformação de smlardade.

57 57 Coclusão É sempre bom chegar ao fm de um trabalho e ter a sesação de que fo mssão cumprda, ou seja, os objectvos precozados foram cumprdos. Como fo dto a trodução, que o objectvo deste trabalho é aprofudar os cohecmetos adqurdos a dscpla currcular Álgebra Lear e Geometra alítca, pos com este trabalho cohecemos mutas propredades dos valores própros e algus métodos utlzados a sua determação, cada um mas efcaz que o outro, tedo em cota que cada método é mas efcaz para um certo tpo de matrz. da este trabalho demostrámos algumas das propredades dos valores e vectores própros, que ão coseguríamos demostrar caso ão tvéssemos cohecmeto dalgus cocetos durate o curso. Mas com a ajuda do Matlab, um software, podemos aplcar os métodos apresetados, ou algus deles, e, cosequetemete, resolver os problemas relatvos à determação dos valores e vectores própros.

58 58 Bblografa F.R., Das gudo. Itrodução à Álgebra Lear e Geometra alítca. Lsboa. Escolar Edtora G., Emíla, F., Vítor & S. M. Paula Marques. Álgebra Lear e Geometra alítca. Lsboa. Mc Graw ll LD. 995 L., Ph. D Seymour. Álgebra Lear eora e problemas. 3ª Edção revsta e mplada. São Paulo. MC Graw ll. 994 P. G., tóo Motero & M. Catara. Álgebra Lear e Geometra alítca, Problemas e Eercícos. Lsboa. Schaum Mc Graw ll LD.997 P., etor, Métodos Numércos. Lsboa. Mc Graw ll. Lsboa.995. R., José lberto. Métodos Numércos. Lsboa. Sílabo

59 NEXOS 59

60 60 Problemas Resolvdos. Usado o teorema de Gershgor, localze os valores própros das matrzes a) = 0 3 b) 4 4 B = Resolução: Se C σ( ) ζ( ), sedo r = aj j= j, este um crculo de Gershgor cetrado em e rao 3, ζ (, 3) λ 3, e dos círculos cetrados em, sto é ζ (,3) λ 3 ζ (,6) λ 6 3 dado que estes círculos ão são dsjutos estem três valores própros para a matrz. O quer dzer que os valores própros estão localzados círculo cetrado em e rao gual a 6, ζ (,6). 3 3 Usado as mesma defções para ζ ( 4,) λ + 4 ζ (,) λ ζ (3, 4) λ 3 4 B temos três círculos de Gershgor, dode se pode coclur que este um valor própro em ζ ( 4,) e as dos restates valores própros estão cotdos em ζ (3,4). 3. Seja a matrz B B = a) Quatos valores própros postvos tem a matrz B?

61 6 Resolução: a) sedo B uma matrz trdagoal smétrca os seus valores própros são reas. Verfquemos se estem zeros, por eemplo, o tervalo [, 0] p ( ) = 0 p ( ) = = 3 p p p = = ( ) 3( ) 5 = = 3( ) 5( ) ( ) ( 3) 7 = = 4 ( ) 7( 4) *5 5 V ( ) = 4 e p (0) = 0 p (0) = 0 = p (0) = ( ) = p P = = 3(0) ( ) ( ) ( ) = = 4 (0) ( 4) 8 V (0) = 3 V(0) = V( ) V(0) = Pelo teorema de Gershgor temos quatro círculos, dode se pode coclur que temos 3 valores própros são postvos. 3. Cosdere a matrz 4 = 5 5 Utlze o método das potêcas drectas para apromar os valores e os vectores própros de. Resolução: Seja um vector como apromação cal, por eemplo, = Calculemos: (0) 4 0 = 5 3, pelo mesmo processo, = () () (3) = 94, 76, 559 = Determemos o valor própro de maor valor absoluto: (3) λ 8.0, ()

62 6 promemos o vector própro, (3) (3) 4. Mostre que, se a matrz é dagoalzável, etão este uma matrz P tal que P P = Λ, ode Λ é uma matrz dagoal. Resolução: se é dagoalzável, uma matrz regular Q tal que D Q Q =, e D é uma matrz dagoal. Multplcado à esquerda de cada termo por Q e à dreta por Q obteremos a segute gualdade: D = Q Q QDQ = QQ QQ QDQ = II = QDQ elevado à poteca de ordem temos ( ) ( )( )...( )( ) = = QDQ QDQ QDQ QDQ QDQ factores ( ) ( ) = QD Q Q DQ... QD Q Q DQ = QDD... QDDQ factores resultado, assm = QD Q, substtudo Q por e por P D Λ obteremos P P = Λ. 5. Cosdere matrz cohecda, quadrada de ordem, com valores própros dsttos. Cosdere a equação matrcal Z = Z. a) Supodo que é um vector própro de assocado ao valor própro λ, mostre que Z é também um vector própro de assocado ao mesmo valor própro. b) Prove que é também vector própro de Z. Resolução: λ λ =. a) Pretede-se mostrar que ( I) Z = 0 sabedo que ( I) 0 ( λ ) I Z = Z λz = Z Z( λ) ( λ) ( λi) = Z = Z = 0

63 63 ( ) = 0 ( λi) 0 b) Sabemos λi Z e que seguda equação obtém-se: ( λ ) ( λ ) ( λi)( Z ) Z I I = 0 = 0 = por a). Subtrado a prmera da Note-se que a matrz tem valores própros dsttos o que mplca que os subespaços própros têm dmesão. O subespaço assocado ao valor própro λ terá como base um úco elemeto: dado que é um vector própro assocado a λ poderemos tomar aquele como base do subespaço própro. Ora, a equação ( λi)( Z ) = 0 mostra que ( Z ) própro assocado a λ e, portato, pertecerá ao subespaço própro respectvo. Este subespaço própro tem como base { } logo α :Z = α. Reescrevedo esta últma epressão temos: Z = α Z α = 0 ( Z ( I + α)) = 0 Cocluímos assm que é vector própro de Z assocado ao valor própro + α. é um vector lgortmos utlzados o cálculo de valores e vectores própros Icalzação: Escolher (0) tal que: lgortmo (método das potêcas drectas) (0) =, e a 0 Estpular uma tolerâca τ y = () (0) para m =,,... fazer: = y / y y λ ( m) ( m) ( m) = ( m+ ) ( m) ( ) ( m) ( m) ( m+ ) = fm do cclo m : y termar quado λ λ < τ λ ( m) ( m ) ( m)

64 64 lgortmo (Iterações ortogoas) Icalzação: Escolher Q, p (0) p com coluas ortoormadas Estpular uma tolerâca τ para m =,,... fazer: Q R = Y ( m) ( m) ( m) (Gram-Schmdt) fm do cclo m : termar quado R R < τ R ( m) ( m ) ( m)

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