Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos. Capítulo II : Autovalores, Autovetores e Formas Quadráticas
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- Suzana Porto Sabrosa
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1 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo DISCILIN étodos atemátcos plcados a rocessos Químcos e Boquímcos Capítulo II : utovalores utovetores e Formas Quadrátcas José Luz de ederos e Oféla Q.F. raúo Egehara Químca FRJ lm@eq.ufr.br ofela@eq.ufr.br el. -6-7
2 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Sstema Quadrado Homogêeo : Equações em Varáves : x : x O SQH tem obvamete a Solução rval odava emos Iteresse apeas a ossbldade de Soluções Não-rvas para as quas
3 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Sstema Quadrado Homogêeo x eorema.... m L.I. e em-se B com osto[... m B]m Etão : [... m] B m B em Solução Úca
4 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Sstema Quadrado Homogêeo x eorema.... m L.I. e em-se B com osto[... m B]m Etão : [... m] Demostração B m B em Solução Úca Sol. B em Sol. é Úca. B B ssm dmta pos que osto [ há Duas. e. Só... Há ma ] Soluções Dferetes m Sol. p osto[ {... Etão :... L. I. B]
5 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. O SQH tem Solução Não-rval Se e Somete Se sua atrz é Sgular. Demostração se e somete se B se somete B se B B é Sufcete para B é Necessáro para se B somete se B : : B B B é Sufcete para B é Necessáro para
6 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH 6 Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. O SQH tem Solução Não-rval Se e Somete Se sua atrz é Sgular. Demostração se e somete se B se somete B se B B é Sufcete para B é Necessáro para se B somete : se B : se se B B e somete e somete se se B B B é Sufcete para B é Necessáro para B B : B
7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH 7 Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. O SQH tem Solução Não-rval Se e Somete Se sua atrz é Sgular. Demostração Sufcêca Sgular com Necessdade Não Sgular / com
8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH 8 Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. O SQH tem Solução Não-rval Se e Somete Se sua atrz é Sgular. Demostração Sufcêca Sgular Sgular com osto p <... São L. D. Sgular pode ser com obtdo com
9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH 9 Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. O SQH tem Solução Não-rval Se e Somete Se sua atrz é Sgular. Demostração Necessdade Não Sgular / com Não Sgular osto osto[ ] p em Sol. Úca. e. com p G. L. Como é Sempre Sol. é Úca Não Sg. / com
10 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. SQH com D só possu a Solução rval Demostração D Não Sgular osto osto[ ] p em Sol. Úca. e. com p G. L. Como é Sempre Sol. é Úca DE apeas para
11 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Sstema Quadrado Homogêeo x eorema. Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH SQH com osto- tem Solução Completa β.s ode β é Costate rbtrára Demostração [ ] S V V com V V V ssm úco é V eor elo V como colocado ser pode L D Col a Sea L D Col e L I Cols em p osto G L p a em Sol osto p osto β β β ; ] [ L or que?
12 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH SQH com osto- a Solução Completa é costate vezes o vetor de cofatores de Q.Q. lha com ao meos um cofator Demostração elo eor.. a Sol. Completa é β.s ode β é Costate rbtrára e S é um vetor específco. Como osto- D.. ; SQH Completa Sol SQH do Sol de dreção a defe D Etão de cofatores vetor k k k k k k k k k Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω β Sstema Quadrado Homogêeo x eorema.
13 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH SQH com osto- a Solução Completa é costate vezes o vetor de cofatores de Q.Q. lha com ao meos um cofator Exemplo Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω β β β β Dado samos Sstema Quadrado Homogêeo x eorema.
14 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH Solução Completa do SQH pode ser Obtda pela Estratéga Geral de votameto e álse de Sstemas Leares. Exemplo Sstema Quadrado Homogêeo x
15 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Exemplo Normalzado vô umetado ableau β β β... ] [ : 6 G L tem Sol osto osto Fm Nulo vô vô vô Normalza Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Sstema Quadrado Homogêeo SQH β Sol. Completa
16 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 6 Seam x x Y Q é uma Forma Quadrátca Quado F Y é uma Forma Blear Quado x Q F Y Y x atrz da Forma Quadrátca x Varáves da Forma Quadrátca Y x Varáves da Forma Blear
17 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo x x Seam [ ] Q Q Q Quado Quadrátca Forma uma é Q L Q Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB
18 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 8 Seam F Y é F Y F Y x x Y x uma Forma Blear Quado F Y Y Y Y Y [ L ] Y Y Y Note que em geral F Y Y Y F Y Y Y
19 9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Smétrca Q Smétrca Q Q Q Q Q Q Q Como Q oda FQ é Idêtca a uma FQ com atrz Smétrca eorema.6 Demostração Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB
20 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Smétrca Q Smétrca Q Q Q Q Q Q Q Como Q oda FQ é Idêtca a uma FQ com atrz Smétrca eorema.6 Demostração Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB
21 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB oda FQ é Idêtca a uma FQ com atrz Smétrca eorema.6 Devdo ao eor..6 deste oto em Date só Cosderamos FQs com atrzes Smétrcas pos : Q Smétrca
22 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Classfcação de Formas Quadrátcas Defção. Sea Q smétrca x real Q Q Q Q Q > < para Q Q a lg um Q ostva Defda D ostva Semdefda SD Negatva Defda ND Q Q Q para alg um Negatva Semdefda NSD Q Q Q > < Q Idefda
23 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Sea Q Defda D ou ND Etão D eorema.7 Demostração dmta Q Defda com DE ssm ocorre para * SQH Em Q * * * bsurdo pos Q é Defda Logo Q Defda Não Sgular D
24 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Q Codção Necessára e Sufcete para Q D ND eorema.8 Quatdades abaxo todas ostvas lterem Sal com < L L L O L...
25 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Vetores Ortogoas e Cougados Defção. Y Vetores x Y Smétrca D x real > Y Y > Y Y Y Y > Y Y > Y São Ortogoas Y São Cougados por
26 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 6... São Vetores utuamete Ortogoas Etão Eles São L.I. eorema.9 Demostração ara dmta Re Serem L.I. r emult. petdo L k para k L e.. L.D.; k só.e. para k k [ bsurdo Vetores k com k são L.I.]
27 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 7... São Vetores utuamete Cougados por Smétrca e.d. x. Etão Eles São L.I. eorema. Demostração ara dmta Re L Serem L.I. r emult. petdo L k para k L.D.; Cougados...e. k só por para com k k [ bsurdo Vetores k > são k L.I.]
28 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 8 Costrução de Base Ortogoal... de Vetores va Ortogoalzação Schmdt eorema. Demostração Com L L.I. r oduzr O... L Ortogoas com :
29 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 9 Costrução de Base Ortogoal... de Vetores va Ortogoalzação Schmdt eorema. Demostração Com L L.I. r oduzr O... L Ortogoas com : Costates... - calculadas de modo que... Seam utuamete Ortogoas.
30 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Costrução de Base Ortogoal... de Vetores va Ortogoalzação Schmdt eorema. Demostração Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB
31 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Costrução de Base Ortogoal... de Vetores va Ortogoalzação Schmdt eorema. Demostração Re sumo do r ocesso Schmdt : Etrar For k... For... k Calc. k Ed k Calc k k. Ed... ; Fazer k k
32 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Costrução de Base Ortogoal... de Vetores va Ortogoalzação Schmdt eorema. o Fal os Vetores da Base Ortogoal podem ser Normalzados For k... k k Ed k
33 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Costrução de Base Cougada... por atrz Smétrca e Defda va rocesso Schmdt eorema.b Demostração Com Smétrca Com r oduzr L x Defda; L.I. L Cougados por O... com:
34 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Costrução de Base Cougada... por atrz Smétrca e Defda va rocesso Schmdt eorema.b Demostração Com Com r oduzr Smétrca L x L L.I. Cougados Defda; O... por com: Costates... - calculadas de modo que... Seam Cougados pela atrz
35 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Costrução de Base Cougada... por atrz Smétrca e Defda va rocesso Schmdt eorema.b Demostração...
36 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 6 Costrução de Base Cougada... por atrz Smétrca e Defda va rocesso Schmdt eorema.b Demostração Re sumo Etrar For Ed k For Ed Calc. do... k Calc. r ocesso... k k k... Schmdt k k ; para Fazer k Base Cougada :
37 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 7 Costrução de Base Cougada... por atrz Smétrca e Defda va rocesso Schmdt eorema.b o Fal os Vetores da Base Cougada podem ser Normalzados For k... k k Ed k
38 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 8 Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. rasformação de uma Forma Quadrátca Geral do tpo Q Em uma FQ Dagoal de esmo Valor do tpo Q Y DY D Y { Y É uma aera Rápda de Determar o Caracter de uma FQ os :
39 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 9 Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. D D D D >... Q > para Q D... Q para Q SD D kk < D para a lg um k... Q < para Q ND... Q para Q NSD kk para a lg um k lg um s lg um s lg um s D D D > < Q > < para Q Idefda
40 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. Sea Sea Etão Seam a a Em FQ Smétrca atrz... Dagoal [ L ] rasformação x em Y Vetores : Q Y Y x Cougados Coverte D Q Y por
41 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. Demostração Como Y Y Como Dado os : Vetores... [ L ] São São Q L.I. a Cougados rasformação : Y é Iversível Y Y : [ ] L L O L Y
42 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. Demostração Q Y Y Q Q Y Y { FQ L L O L Y Dagoalzada
43 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. Cálculo Com Vetores I I I I de va r ocesso Caô cos I Schmdt [ I I L I ] O k L para Base I I k Cougada etc I
44 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. I I I I L O [ ] [ ] I L L O O L L L L L
45 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. I I L L O O L L L
46 6 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca eorema. L L O O L L L
47 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca Exemplo Cogruêca de com rasformação Q Dagoalzar Q
48 8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca Exemplo : r.. : Re I I I I I I I I Caôca Base Schmdt ocesso para L I Vetores solução
49 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB 9 Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca Exemplo I I I I I I.9689
50 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. Formas Quadrátcas FQ e Formas Bleares FB Dagoalzação de Forma Quadrátca com rasformação de Cogruêca Exemplo D Defda ostva é Q Y Y Y Y D Y Q
51 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores Cosdere a atrz Quadrada baxo e o Vetor x x É Razoável Questoar sob que Casos a ultplcação da atrz por roduz Vetor aralelo a : I Em geral Iteressa Obter as Codções de Valdade de em ermos de e de. Ora a codção é Solução rval de de modo que apeas buscamos Soluções. O Sstema é um SQH que erá Sols. Não rvas Se e Somete Se: I DE
52 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores I DE Esta Equação Cohecda como Equação Característca é um olômo de Grau a Varável cuas Raízes pelo eor. Fudametal da Álgebra sempre exstrão sedo expressas como.... Esta Lsta de Raízes oderá Coter Números Reas dsttos ou repetdos parcalmete ou ão e Números Complexos em ares Cougados também com Repetção ou Não. Desta Forma a Eq. Escreve-se: DE I K... ode K devdo aos termos dagoas em. Fazedo as ultplcações dos Fatores a Eq. Resulta a Forma olomal em :
53 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo DE DE Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores I... { I β β... β β } β β β k... s Raízes... são os Valores Característcos ou utovalores da atrz. ara gual a cada destes o SQH erá Solução Não rval pos o Determate D será Nulo. Estas Soluções são os chamados utovetores ou Vetores Característcos da atrz. Com a Eq. Vem : k β DE β DE é Sgular D se ao meos um dos utovalores é Nulo.
54 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo utovetores utovalores Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
55 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo Resolução : Equação Característca e Busca de utovalores I DE 7 7 Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
56 6 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo Resolução : Busca de utovetores o SQH Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
57 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo Resolução : Busca de utovetores o SQH Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
58 8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo Resolução : Busca de utovetores o SQH Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
59 9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cálculo de utovetores e utovalores Exemplo Correspodêca de utovalores e utovetores Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores
60 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 ématrz x etão e têm a mesma Equação Característca eorema.a Demostração Eq. Carac. para : DE I DE I DE I DE I Logo DE I DE I
61 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 ématrz x etão e têm a mesma Equação Característca eorema.a Demostração Eq. Carac. para : DE I DE I DE I DE I Logo DE I DE I ématrz x etão e têm os mesmos utovalores. Coroláro.a. Demostração DE I DE I polômos com raízes.e.... guas.
62 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 ématrz x etão os utovetores de são Ortogoas aos de que correspodem a utovalores Dsttos. eorema.b Demostração elo eor..a e Y Y são ésmo e ésmo autovalores dst t os de e são os respectvos autovetores de e de têm mesmos autovalores. Y Y Y Y ; sto é :
63 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 ématrz x etão os utovetores de são Ortogoas aos de que correspodem a utovalores Dsttos. eorema.b elo Demostração eor. são Y Y.a Y ésmo são Y e rasp. e os respectvos ésmo têm mesmos Y autovalores Y autovetores autovalores. Y Y dst t os de pósmult. Y Y e de de Y e Y Y ; sto é : Y Y Y Y
64 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 Se e B são atrzes x Smlares elas têm a mesma Equação Característca eorema.c Demostração e B Smlares S ão Sgular tal que B S S Eq. Carac. para B : DE B I DE B I DE S S I DE B I DE S S S I S DE S I S DE B I DE S DE I.DE S DE B I DE I
65 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 6 Se e B são atrzes x Smlares elas têm a mesma Equação Característca eorema.c Demostração e B Smlares S ão Sgular tal que B S S Eq. Carac. para B : DE B I DE B I DE S S I DE B I DE S S S I S DE S I S DE DE B B I I DE DE I.DE S S DE I ortato sedo Smlares e B êm os esmos utovalores
66 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 66 m utovetor de x Não pode Correspoder a Dos utovalores Dsttos eorema. Demostração x com utovalores dmta que I I Subtrado : Correspodem ao mesmo utovetor. ssm : I Como [ bsurdo ]
67 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 67 m utovetor de x Não pode Correspoder a Dos utovalores Dsttos eorema. Demostração dmta I I Subtrado Como x que I com : utovalores Correspodem ao mesmo [ bsurdo ] utovetor. ssm : No etato Note que o mesmo utovalor poderá correspoder a Dos ou mas utovetores Dsttos. Bastará que o SQH teha ou G.L.
68 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 68 Se... m são utovetores de x correspodedo a utovalores Dsttos... m m Etão... m são L.I. eorema. Demostração odos x dmta São que... com Soluções Soluções apeas p dos os p p de... r oblemas prmeros utovalor m / utovalor I utovetores são L.I....m L.D....m os demas : L.I. L.D.
69 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 69 Se... m são utovetores de x correspodedo a utovalores Dsttos... m m Etão... m são L.I. eorema. Demostração odos x dmta São que... com Soluções Soluções apeas p dos os p p de... r oblemas prmeros utovalor m / utovalor I utovetores são L.I....m L.D....m os demas : L.I. L.D. ssm : p p β
70 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo I I I I p p p p Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores Demostração Se... m são utovetores de x correspodedo a utovalores Dsttos... m m Etão... m são L.I. eorema. p p β I p p p p β β
71 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo I I I I p p p p Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores Demostração Se... m são utovetores de x correspodedo a utovalores Dsttos... m m Etão... m são L.I. eorema. p p β I p p p p β β p p β p β or Quê?
72 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 7 Se... m são utovetores de x correspodedo a utovalores Dsttos... m m Etão... m são L.I. eorema. Demostração p p β β p Como p β p bsurdo pos p O bsurdo estabelece que Não apeas os p prmeros mas odos utovetores... m de utovalores Dsttos são L.I.
73 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 7 Se os utovalores de x são Dsttos... Etão os utovetores... são L.I. Coroláro..
74 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 7 Os utovalores de x Smétrca são Reas. eorema.6 Demostração Sea x Smétrca Re al. ssm e ara r o var que w é Re al provamos que w w. Cosdere um utovalor e seu utovetor de. ssm Com Cougados : r é ult. a ateror com : é sempre Re al >. Logo Re al
75 7 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores Demostração Se e são utovetores correspodetes a utovalores Dsttos de x Smétrca Etão e são Ortogoas; sto é. eorema.7 Como : com ult. r é. e utovetores seus e os t Dst utovalores Seam os ssm Re al. Smétrca x Sea
76 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 76 ara matrz Smétrca x a um utovalor de ultplcdade r correspoderão Exatamete r utovetores L.I. eorema.8 oda matrz Smétrca x ossu utovetores L.I. Coroláro.8.
77 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 77 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Demostração Sea Fase. : Fase. : x Fase : oda Já Os os Smétrca Smétrca x x de utovetores utovetores tem elo eor..7 de Re al. de autovalores x todos utovalores tem repetção autovalores autovalor ssm autovetores o repetdos rep. dmte Dferetes seu são utovetores são quadro.... de apeas... utovalores : eor. são a autovetores Ortogoas. são.7;. L. I. eor..8; de autovalores.
78 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 78 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Demostração É vável a... ssm k k Ortogoalzação k são k a autovetores de... k. autovetores de... kk k autovalor plcado de a autovalor k múltplo. Ortogoalzação repetdo. Schmdt... C. L. de... k k :
79 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 79 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Demostração estamos... k a : como autovetores β β β β a a... k C. L. de... k β... k São ambém de autovalor a a é utovetor ssocado a a... k
80 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 8 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Demostração Isto é os utovetores de utovalor Repetdo após Ortogoalzação Schmdt Cotuam utovetores porém agora apresetado Ortogoaldade. Em suma Sempre é possível escrever utovetores Ortogoas para uma atrz x Smétrca mesmo que haa repetção em seus utovalores.
81 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 8 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Demostração Fase : Os Normalzados orado se utovetores Smbolzados como Ortogoas utovetores... Reudos Ortoormas a podem agora Fase ateror ser.... e
82 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores 8 oda atrz x Smétrca dmte utovetores Ortoormas.e. Ortogoas e Normalzados eorema.9 Isto ocorre depedetemete da repetção ou ão de autovalores Em Suma : x Smétrca Exstem utovetores com as que......
83 8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores x Smétrca em utovetores Ortoormas eor : : Forma Forma Forma utovetores em rep em rep eor reas todos são utovalores Obter Smétrca x para Exemplfcada ções de Cadea b a c b a
84 8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores x Smétrca em utovetores Ortoormas eor : : Forma Forma Forma utovetores em rep em rep eor reas todos são utovalores Obter Smétrca x para Exemplfcada ções de Cadea b a c b a peas L.I.
85 8 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores x Smétrca em utovetores Ortoormas eor : : Forma Forma Forma utovetores em rep em rep eor reas todos são utovalores Obter Smétrca x para Exemplfcada ções de Cadea b a c b a Já Ortogoas
86 86 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores x Smétrca em utovetores Ortoormas eor : : Forma Forma Forma utovetores em rep em rep eor reas todos são utovalores Obter Smétrca x para Exemplfcada ções de Cadea b a c b a Ortogoalzar va Schmdt
87 87 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. utovalores e utovetores x Smétrca em utovetores Ortoormas eor : : Forma Forma Forma utovetores em rep em rep eor reas todos são utovalores Obter Smétrca x para Exemplfcada ções de Cadea b a c b a Normalzação /
88 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 88 B x e Q x Não Sgulares Defção. B Q rasformação de Equvalêca B Equvaletes B Q Q rasformação de Smlardade B Smlares B Q Q rasformação de Cogruêca B Cogruetes B Q Q rasformação Ortogoal B Ortogoal / Smlares Q Q B Q Q rasformação tára B tara / Smlares Q Q
89 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 89 x possu utovetores L.I. etão é Smlar à atrz de utovalores em Dagoal eorema. Demostração Seam Como [ L ] [ L ] [ L ] [ L ] [ L ]... Sea a atrz utovetores utovetores L. I. osto Normalzados O x de. DE
90 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 9 x Iversível etão utovalores de - são o Iverso de utovalores e utovetores são Iguas aos de. eorema. Demostração Seam... utovetores Normalzados de. Logo utovalores de são os Iversos de utovalores de com os mesmos utovetores Correspodetes.
91 9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes x Iversível com utovetores L.I.. etão - é Smlar à atrz Dagoal de Iversos de utovalores Coroláro.. Demostração [ ] / / / :.... de Normal utovetores O L / / / O
92 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 9 x Smétrca etão é Smlar a uma atrz Dagoal. eorema. Demostração elo eor..9 x Smétrca possu utovetores Ortogoas e assm L. I. Logo pelo eor.. é Smlar à atrz Dagoal de utovalores :
93 9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes ma atrz cuas Coluas são ortogoas etre s é uma atrz Ortogoal. eorema. Demostração [ ] [ ] : ± DE DE DE I são Coluas Cuas Sea L O L L L L
94 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes Smétrca x é Ortogoalmete Smlar à atrz Dagoal de utovalores eorema. 9 Demostração Seam Seam ssm... os os [ L ]... utovetores utovalores Correspodetes. de Smétrca x. O elo eor.. : Como os utovetores de Smétrca são é Ortogoal;
95 9 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes Com Smétrca x qualquer Forma Quadrátca Q pode ser posta gual à Forma Dagoal com utovalores. eorema. Demostração [ ] utovalores os e utovetores os ode Y Y Y Q Y com Y Q ssm Smétrca é Como Q Quadrátca Forma a Sea O L
96 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 96 Com Smétrca x a Forma Quadrátca Q pode ter seu carácter determado pelos utovalores de. eorema.6 Demostração Com Q sado Q Q Q Q Q Smétrca e eor..: Q Y Q Y Y Y [ L ] utovets ormalzados O utovals em dagoal Y ostva defda ostva semdefda Negatva defda Negatva semdefda Idefda > < elo meos um pelo pelo resulta : meos meos um um k k pelo meos um >
97 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 97 Com Smétrca x a Forma Quadrátca Q pode ter seu carácter determado pelos utovalores de. eorema.6 Exemplo Q
98 J.L. de ederos & Oféla Q.F. raúo Cap. II : utovalores utovetores e F. Quadrátcas. rasformações em atrzes 98 Com Smétrca x a Forma Quadrátca Q pode ter seu carácter determado pelos utovalores de. eorema.6 Exemplo utovalores: ssm Q Y Q é ostva defda. ara calcular utovalores o atlab : [ Lambda] eg
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