4. Geometria e Álgebra

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1 Geometra e Álgebra /5 4. Geometra e Álgebra Este caítlo rocra faer ma resão da Álgebra Lear relacoado os cocetos algébrcos com as costrções geométrcas ecotradas a Comtação Gráfca. O letor dee ecotrar ele ocos asstos qe á ão seam de se cohecmeto. Ada assm, sgermos ma letra ráda ara far os cocetos e a otação. Na Comtação Gráfca, os obetos ossem, além dos atrbtos de cor e tetra, ma forma geométrca, ma osção e, osselmete, m mometo. Cosdere, or eemlo, ma cea smles como a mostrada a Fg. 4.. Além da descrção das les e da câmera, qe são tratadas os caítlos sobre algortmos de sítese de mages, recsamos descreer geometrcamete o ble e a bola. (a) Imagem resltate (b) Modelo da cea sta de cma (c) Modelo da cea sta de frete (d) Modelo da cea sta de lado Fg. 4. Sítese de ma cea smles. Na descrção desta cea ara Sstemas Gráfcos como o OeGL, é atral termos a forma dos obetos, como o ble, defda or ma malha de trâglos o qadrláteros qe Marcelo Gattass /7/3

2 Geometra e Álgebra /5 comõe sa frotera. Esta forma de reresetar matematcamete m obeto ela sa serfíce etera é dta reresetação de frotera (bodar reresetato) e é mto comm a Comtação Gráfca orqe ormalmete as mages qe eergamos são refleões de les estas serfíces. As lacas gráfcas atas são baseadas o algortmo de ZBffer, qe roeta cada m dos trâglos das malhas qe aromam estas serfíces e altera os alores dos els tercetados. Otro roblema comm da Comtação Gráfca está lstrado a Fg. 4.. Um dos assos báscos do algortmo de Traçado de Raos é o calclo da terseção do rao com os obetos da cea. Aós determar o oto de terseção com o obeto mas rómo, o algortmo rossege com o cálclo da cor daqele oto, qe eole a medção de âglos etre as fotes de l e a ormal a serfíce. Estas e otras oerações geométrcas são baseadas a Álgebra Lear e o Cálclo Vetoral, qe comõem o foco deste caítlo. L Pel (RGB) e Câmara Ilmação e e Obetos o o o Fg. 4. O algortmo de Traçado de Raos. Potos e Vetores o Plao e o Esaço Para recordar as defções de etores e far ma otação, cosdere a osção do értce de ma estrela de 5 otas, mostrada a Fg. 4.3a, o de m értce de m tetraedro, mostrado a Fg. 4.3b. As osções de cada m destes otos com relação a m Sstema de Eos Cartesaos o, resectamete, odem ser defdas or das coordeadas, e, o três,, e, resectamete. Estes alores reresetam tato a osção de qato a dstâca, a oretação e o setdo qe seram ecessáros alcar ara lear m oto qe orgalmete estesse a orgem ara a osção do oto. O sea, o etor ode tato ser eteddo como ma osção qato or m etor. Neste teto, oto é ma etdade geométrca e etor ma etdade algébrca qe ode estar reresetado m oto o otra etdade matemátca. Para facltar a letra tlamos aq a segte otação: letras músclas são úmeros reas, também deomados escalares; letras músclas em egrto reresetam etores; e letras maúsclas em egrto são matres. A reresetação de m etor or sas coordeadas cartesaas é feta aq da forma lstrada a Fg. 4.3, o sea, as coordeadas Marcelo Gattass /7/3

3 Geometra e Álgebra 3/5 são escrtas em ma cola lmtada com arêteses. Esta otação detalhada é mortate ara dstgr as coordeadas cartesaas, qe estamos aresetado agora, das coordeadas homogêeas o roetas qe serão troddas deos. o (a) (b) Fg Posção de m értce o lao (R ) e o esaço (R 3 ). O coto de todos os otos do lao e de todos os otos do esaço são deomados R e R 3, resectamete. O lao e o esaço odem ser defdos formalmete como sedo o coto de todos os ares ordeados (, ) T o teros ordeados (,, ) T tas qe, e seam úmeros reas. Smbolcamete sto ode ser escrto como: R tal qe, R o 3 R tal qe,, R (4.) Se alcarmos o Teorema de Ptágoras aos trâglos retâglos da Fg. 4.3, odemos faclmete dedr qe o tamaho o a magtde de m etor ode ser calclado or: o (4.) Este tamaho também é deomado orma do etor. Soma, rodto or escalar, sbtração e dstâca No estdo do eso médo aredemos qe as das oerações báscas com etores são a soma e a mltlcação or escalar. A Fg. 4.4 lstra a soma de dos etores o lao, tato do oto de sta geométrco qato do algébrco. Geometrcamete, a soma de dos etores é m tercero etor obtdo a artr da orgem do rmero até a etremdade do Marcelo Gattass /7/3

4 Geometra e Álgebra 4/5 Marcelo Gattass /7/3 segdo, qado este é colocado com a sa orgem a etremdade do rmero. O mesmo etor resltate é obtdo qado colocamos o rmero a etremdade do segdo, como lstra o aralelogramo da Fg. 4.4 ara o R. Algebrcamete, esta soma é smlesmete a soma das coordeadas de cada m: o (4.3) Dersos eemlos motam esta oeração. Se estermos tratado da geometra do mometo de m oto, or eemlo, e cada etor reresetar dos mometos cosectos, a soma reresetara o mometo combado. Tato algebrcamete qato geometrcamete, dee fcar claro qe a soma é comtata, sto é, a ordem dos etores ão altera o resltado, o sea + = +. + o + + Fg Soma de dos etores o R. Dos etores mortates a serem relembrados qato à oeração de soma são o ero (o lo) e o egato (o erso com relação à soma). O ero é m etor de coordeadas las qe ão altera ehm otro qado somado a ele. Para cada etor este otro de gal magtde, mesma dreção e setdo cotráro qe, somado ao rmero, reslta o etor ero. Este etor é também chamado de egato de, o -. O rodto de m escalar or m etor reslta em otro etor cas comoetes são gas às do etor orgal mltlcadas elo alor escalar, o sea: a a a a o a a a a a (4.4) A Fg. 4.5 areseta ma terretação geométrca do rodto de m etor or m escalar o R. Note qe, qado o escalar é maor do qe., o etor é ametado. Qado o escalar é maor qe. e meor qe., o etor é reddo. Qado o escalar é egato o etor mda de setdo. O elemeto etro da mltlcação é o escalar. e a mltlcação or tora qalqer etor lo. A mltlcação de m etor or -. rod m etor egato de. O sea, - =.

5 Geometra e Álgebra 5/5 Marcelo Gattass /7/3 o a < < a < a > a a Fg Prodto de m etor or m escalar. Um caso artclar mortate é a mltlcação or m escalar resltado em m etor de tamaho táro. Vetores táros são mto útes ara medrmos dstâcas e âglos. Para calclar o táro, smbolado aq or ^, a dreção e o setdo de qalqer etor dferete de ero, basta mltlcá-lo or m escalar qe sea o erso de se tamaho, o sea: ˆ (4.5) A artr da soma de dos etores e do rodto de m etor or m escalar odemos defr a dfereça etre dos etores como sedo a soma do rmero mas o egato do segdo: o (4.6) Esta ordem ersa de e em da terretação geométrca lstrada a Fg O etor dfereça é o etor qe a da etremdade do segdo etor até a etremdade do rmero. Uma coseqüêca mortate da terretação geométrca da dfereça etre dos etores é a defção da dstâca etre os dos otos reresetados or estes etores. No setdo comm, a dstâca etre dos otos o lao o o esaço é o comrmeto do segmeto de reta qe os e. Com esta terretação geométrca, a dstâca assa a ser a magtde do etor dfereça. O sea: ) ( ) ( ), ( dst (4.7) Note qe o radcado desta fórmla é a soma dos qadrados dos catetos do trâglo ca da Fg. 4.6 o sea, cocde com a oção de dstâca da Geometra Ecldaa.

6 Geometra e Álgebra 6/5 ( - ) - - ( - ) Fg. 4.6 Dfereça etre dos etores. Uma alcação teressate do coceto de dstâca é a defção de ma esfera. No R 3 a serfíce de ma esfera ode ser caracterada como sedo o lgar geométrco dos otos (,, ) T qe dstam r do cetro (,, ) T. O sea: c ( ) ( ) ( ) r (4.8) Esaços Vetoras Qado obseramos os etores geométrcos aresetados aterormete, otamos qe as oerações de soma e mltlcação or escalar satsfaem as segtes roredades:. Comtatdade: + q= q + (4.9a). Assocatdade: ( + q)+ r= + (q + r) (4.9b) 3. Vetor lo: + = + = (4.9c) 4. Ierso adto: + (- ) = (4.9d) 5. Dstrbtdade: (a+b) = a + b e a( + q) =a +a q (4.9e) 6. Mltlcação or :. = (4.9f) ara qasqer etores, q e r e qasqer escalares a e b. Estem mtos otros obetos matemátcos qe formam cotos sobre os qas odemos defr das oerações de soma e rodto or escalar qe satsfaem estas mesmas roredades. Estes cotos são geercamete desgados de Esaços Vetoras. Esaço Vetoral das Fções As fções do teralo [a,b] os reas, lstradas a Fg. 4.7, odem ser somadas e mltlcadas or escalar resltado em oas fções defdas como: Marcelo Gattass /7/3

7 Geometra e Álgebra 7/5 (F+G)()=F()+G() (4.a) e (af)()=af() (4.b) Estas oerações de soma e rodto or escalar das fções satsfaem as roredades (4.9) e or sto, a Matemátca, as fções odem ser tratadas como etores. F, G G() F() a b Fg. 4.7 Fções de m teralo [a,b] a reta R. O ero do esaço das fções do teralo [a,b] a reta é a fção (), qe assoca a qalqer alor o teralo o alor (ero). Como é de se eserar, esta fção, qado somada a qalqer otra, ão altera o resltado e é sta como a orgem do esaço das fções. A fção egata também é obtda atraés da mltlcação da fção orgal or -. Esaço Vetoral Cartesao R Otro Esaço Vetoral mortate é o R : R T,,..., ) tal qe R, [, ] (4.) ( A soma e o rodto or escalar dos etores deste esaço são semelhates às formas algébrcas da soma o R e R 3, qe são, alás, casos artclares do R (com = e =3). A terretação geométrca o R toma emrestados os cocetos do lao e do esaço. Assm, or eemlo, odemos falar em dstâca etre dos otos o R como ma geeralação do R o R 3, embora este coceto ão sea ordo de ossa eerêca do osso mdo físco. Esaço das Matres O coto das matres m Marcelo Gattass /7/3

8 Geometra e Álgebra 8/5 c c c m c c cm C c (4.) c c cm com as oerações de soma e mltlcação or escalar coecoas também costt m Esaço Vetoral, deomado R m. Combação Lear e Bases Coforme mecoado aterormete, os esaços etoras são cotos de obetos matemátcos sobre os qas odem ser defdas das oerações: a soma e a mltlcação or escalar. Estas das oerações odem ser combadas em ma só oeração deomada combação lear. A combação lear de m etores é m etor dado ela fórmla: a a a a (4.3) ode a são úmeros reas. No R 3, or eemlo, qado adotamos ma Sstema Cartesao é comm escreermos qalqer etor como sedo ma combação lear de três etores esecas, qe são ormalmete deomados,,. Estes etores são os táros das dreções, e, resectamete. A Fg. 4.8 lstra esta combação. Esta relação etre as comoetes do etor e os coefcetes da combação lear ão é ma cocdêca. Os etores formam o qe é chamado de base caôca do R 3. Fg. 4.8 Vetor do R 3 escrto como ma combação lear de. Uma base de m esaço etoral é o coto mímo de etores caa de escreer qalqer otro etor do esaço atraés de ma combação lear úca. Esta cdade é garatda or ma otra roredade do coto de etores: a deedêca lear. Um Marcelo Gattass /7/3

9 Geometra e Álgebra 9/5 coto de etores é dto learmete deedete se ehm deles ode ser escrto como ma combação lear dos demas. Algebrcamete, esta roredade se escree como: a a a a a a (4.4) Isto orqe, se algm dos a for dferete de ero, etão oderíamos ddr o somatóro or este alor e assar todo o resto da combação lear ara o otro lado da eqação. O sea, estaríamos escreedo o -ésmo etor como ma combação lear dos otros. Não é dfícl erceber qe as bases do R 3 têm eatamete 3 (três) etores, as do R têm dos etores, o esaço das matres R m tem m matres, e, falmete, o esaço das fções temos ftas fções. No R e o R 3 odemos racocar geometrcamete. Precsamos de dos etores ara escreer todos os otos de m lao e mas de dos etores geraram reddâca, o mas recsamete deedêca lear. O mesmo racocío se alca a três etores o R 3. As bases do R e do R m odem ser deddas or dção a artr do R e do R 3 o odemos racocar algebrcamete em termos de gras de lberdade qe temos ara escreer m elemeto do coto. No R temos aráes deedetes e o R m temos m. No esaço das fções temos ftos otos detro do segmeto [a,b] resltado m úmero fto de gras de lberdade ara escreer ma fção. Este úmero de etores da base de m esaço etoral é chamado de dmesão do esaço etoral. Demos qe a dmesão do R 3 é 3, do R é, do R é e do R m é m. Este coceto de dmesão está tmamete lgado ao coceto físco do esaço em qe emos. Os etores das bases também odem ser escrtos como sedo ma combação lear deles mesmos. Assm:, e (4.5) O sea, o -ésmo etor de ma base tem como coordeadas ero em todas as osções eceto a osção, ode a coordeada é.. O coceto algébrco de combação lear eressa geometrcamete o coceto de m coto de otos, como lstra a Fg. 4.9 ara retas e laos. Nestas eqações a reta é descrta em fção do arâmetro t e o lao em fção dos arâmetros e. Por sto as eqações mostradas a fgra são chamadas de descrções aramétrcas da reta e do lao. d td d d d d (a) reta (b) lao Fg. 4.9 Retas e laos como combação lear. Marcelo Gattass /7/3

10 Geometra e Álgebra /5 O estdo da sére de Forer mostra qe o esaço das fções de - a ma fção qalqer ode ser escrta como ma combação lear a forma: m f ( ) a a cos b s m (4.6) m As fções seo e co-seo sedo stas como etores formam ma base ara este esaço etoral. Como a base ão tem m úmero fto de etores, o esaço é dto de dmesão fta. Combação lear coea Uma combação lear dada ela eqação (4.3) é dta coea se todos os escalares a forem maores o gas a ero e se somados resltarem em, o sea: a a a a, a,, a (4.7) A Fg. 4. lstra três casos mortates de combações leares coeas: o segmeto de reta, o trâglo e o tetraedro. Estes três obetos são mto tlados as aromações de cras, serfíces e olmes, resectamete. Na Comtação Gráfca, or eemlo, o algortmo de deseho de ma cra geérca se basea o deseho de ma olgoal comosta de segmetos de retas e os algortmos do OeGL se baseam em serfíces aromadas or malhas de trâglos. (a) 3 (a,b) ( a) a ( a) (a) segmeto de reta ( a, b) a b ( a b) (b) trâglo 3 4 ( a, b, c) a 3 b c3 ( a b c) 4 (c) tetraedro Fg. 4. Eemlos de combações leares coeas. Os otos de m segmeto de reta, de m trâglo o de m tetraedro odem ser ocamete assocados às coordeadas da combação coea dos ses értces. Assm, or eemlo, dado m trâglo cos értces seam, e 3, o se barcetro Marcelo Gattass /7/3

11 Geometra e Álgebra /5 fca o oto de coordeadas coeas (/3,/3,/3). Aesar de termos coefcetes ara m segmeto de reta, 3 coefcetes ara m trâglo e 4 ara m tetraedro, a restrção de qe a soma dos coefcetes reslte em cra a deedêca ecessára ara esta relação ser m ara m. Por sto, estes coefcetes também são chamados de coordeadas barcêtrcas. Geeralação da dstâca e orma de etores A dstâca de m oto à orgem dada ela eqação (4.) e a dstâca etre dos otos dada or (4.7) se baseam a orma de m etor. A orma tlada estas das eqações é a orma Ecldaa, qe corresode à ossa oção geométrca de dstâca o osso cotdao e ara a qal samos strmetos como réga e trea ara faer meddas. Para geeralar este coceto ara otros esaços qe ão o R 3, é ecessáro qe formalemos o qe é ma orma. Para sto rocramos as roredades qe cosderamos útes e qe deem ser reseradas. Em geral, a orma de m etor, deotada or, ode ser qalqer fção do Esaço Vetoral, V, o coto dos úmeros reas maores o gas a ero qe satsfaça as segtes roredades: ara todo V (4.8a) se e somete se (4.8b) q q ara todo, qv (4.8c) a a ara todo a R, V (4.8d) Esta geeralação de orma é mto mortate orqe ela também egloba o coceto de romdade de m oto a otro. A dstâca etre dos etores qasqer e ode ser dada or: dst ( ', ) ' (4.9) Com o coceto de dstâca etre dos etores odemos falar em o qato m etor aroma otro. Assm odemos medr o erro absolto se tlarmos o etor o lgar do etor como sedo: dst( ', ) ' (4.) a e o erro relato como sedo: ' rel (4.) Marcelo Gattass /7/3

12 Geometra e Álgebra /5 Estes erros deedem da orma cosderada. No caso do esaço das fções é comm tlamos a orma dada or: F b a b a F( ) d (4.) Aesar desta orma ão ser tão tta e smles qato a orma do R 3, ela resera o coceto geométrco de dstâca à orgem (etor ero). A orma de ma fção, or eemlo, forece o alor da ordeada méda da fção o teralo. Esta méda, o caso da eqação (4.), é a meda geométrca do qadrado das ordeadas. Para os etores do R a etesão é atral: (4.3) Para as matres a orma odera ser a ra qadrada da soma dos qadrados de todos os elemetos dela, como se a matr fosse m etor o R m e ão do R m, o sea: A (4.4) a F Esta orma é mecoada a lteratra como orma de Frobes. Otra orma, mas sgfcata ara o tratameto de matres como trasformações, qe será aresetado a segr, é dada or: A A ma, (4.5) Esta orma de ma matr rereseta o qato a orma de m etor ode ser ametada qado o etor é trasformado or ela. Em algs algortmos o csto de calclar ma ra qadrada tora o cálclo de ormas comtacoalmete mto caro e, or sto, mesmo o R otras ormas são tladas. Podemos, or eemlo, defr a orma L como sedo a soma dos módlos das comoetes, o sea: (4.6) e a orma L como sedo o módlo da maor comoete: ma (4.7) A otação L se dá em fção das ormas, qe são defdas or: / (4.8) Marcelo Gattass /7/3

13 Geometra e Álgebra 3/5 É ossíel mostrar qe esta defção ecl a orma L e a orma L. Até a orma L ode ser sta como a orma L qado. Pelo se sgfcado geométrco, a orma L é commete chamada de orma Ecldaa. No esaço das fções a orma eqalete à fta é dada or: b F ma F( ) (4.9) a o sea, elo módlo do alor mámo da fção o teralo [a, b]. A Fg. 4. lstra m eemlo ode a dstâca de F() a G() medda ela orma fta dá m alor bem dferete do qe a dstâca medda ela orma Ecldaa. Der qal das ormas é a melhor deede da alcação. Para algs algortmos a orma Ecldaa dá melhores resltados, ara otros a orma fta é a melhor. F, G G() F() G() -F() a b Fg. 4. Norma Ecldaa e orma fta. Aesar de das ormas oderem rodr resltados bem dferetes, odemos afrmar qe or satsfaerem as codções (4.8) ambas odem ser tladas em algortmos teratos ara medr o erro de ma dada aromação. Isto orqe, se a orma da dfereça de dos etores tede a ero, etão m etor tede ao otro, deedetemete da orma tlada. A Fg. 4. lstra m modelo de m coelho com a serfíce aromada or ma malha de úmero aráel de trâglos. A déa básca é desehar o coelho com mas detalhes qado ele ester erto da câmera. Qado ele ester loge, ma malha de ocos trâglos rod resltados satsfatóros sem sobrecarregar o rocessameto gráfco. Como medr erro de cada ma das malhas smlfcadas com relação à de maor úmero de trâglos? Fg. 4. Norma Ecldaa e orma fta. A dstâca de m értce até a serfíce S ode ser dada ela eressão: Marcelo Gattass /7/3

14 Geometra e Álgebra 4/5 d ( S) m q q S (4.3), ode. rereseta a orma Ecldaa. Isrados as ormas L odemos defr a dstâca de ma serfíce S a otra S como sedo a dstâca acma medda o oto qe roda o mámo alor. O sea: d s ( S ) ma d ( S ), S (4.3) Não é dfícl obserar qe a dstâca de ma serfíce S a otra S ão é a mesma qe a dstâca de S a S. Para comroar sto cosdere esta defção alcada às cras da Fg. 4., mostrada acma. Os otos do co da cra de cma geram dstâcas mto maores do qe qalqer oto da cra de bao (a dstâca ão é ecessaramete a ertcal). Por sto a dstâca de Hosdorff etre das serfíces é defda como sedo a máma das dstâcas dos otos de cada ma com relação à otra. O sea: dh ( S, S) ma ds ( S), ds( S) (4.3) Um últmo oto a obserar sobre orma em geral é qe, da mesma forma qe o erro deede da orma, o táro de m etor qalqer, dado ela eqação (4.5), também é fção da escolha da orma. Portato, m etor ode ser táro em ma orma e ão ser em otra. Prodto Escalar O rodto escalar de dos etores é ma oeração etre dos etores qe reslta m escalar. A defção geométrca do rodto escalar de dos etores e é dada elo rodto das ormas mltlcado elo co-seo do âglo etre eles, o sea: cos (4.33) A eressão algébrca ode ser dedda escreedo cada m dos dos etores a base caôca, resltado em: (4.34) Admtdo qe o rodto sea dstrbto, temos: (4.35) Como os etores,, são eredclares etre s e cada m deles tem orma m, os rodtos teros desta eressão resltam em ero o m. Com sto a eressão algébrca do rodto de dos etores é dada or: (4.36) Marcelo Gattass /7/3

15 Geometra e Álgebra 5/5 O rodto tero é fdametal ara o cálclo de oerações coms a Comtação Gráfca, como o cálclo de âglos, a roeção de m etor a dreção e setdo de otro, a roeção de m etor ma dreção eredclar à de otro, a refleão de m etor em toro de otro e a dstâca de m oto a m lao. Em todos estes cálclos, odemos smlfcar o roblema cosderado qe o etor de referêca é táro. É sto qe faremos a segr. Qado, or eemlo, o etor em qe estamos roetado ão for táro, deemos ormalá-lo ates de faer os cálclos o adatar as fórmlas deddas a segr. O cálclo do âglo etre dos etores táros û e û ode ser deddo dretamete da eqação (4.33): ˆ ˆ cos arc cosˆ ˆ ˆ ˆ arc (4.37) Esta fórmla forece ada ma terretação geométrca sobre o alhameto de dos etores táros. Se o rodto escalar for gal a., o co-seo é gal a. e, coseqüetemete, o âglo etre os etores é gal a ero. O sea, estão a mesma dreção e o mesmo setdo. Caso o rodto tero sea ero, os etores são dtos ortogoas. A roeção de m etor a dreção de otro táro é m etor com a mesma dreção qe o segdo com orma gal à orma do rmero ees o co-seo do âglo etre eles, como mostra a Fg Esta eressão ode ser escrta atraés de: ( ˆ) ˆ (4.38) ˆ cos Fg. 4.3 Proeção sobre m etor táro. A roeção de m etor ma dreção ormal à dreção de m etor táro também ode ser calclada como lstra a Fg O etor ode ser escrto como sedo ma soma da comoete rocrada mas ma comoete a dreção do etor táro: Como cohecemos o alor da comoete a comoete rocrada é dada or: ( ˆ) ˆ (4.39) Marcelo Gattass /7/3

16 Geometra e Álgebra 6/5 ˆ Fg. 4.4 Proeção ma dreção eredclar a m etor. O cálclo de m etor refletdo em toro de otro ode ser feto com base a forma lstrada a Fg A artr do etor roetado calclamos o etor h tal qe: h, o sea h O etor refletdo, r, ode etão ser calclado or: r h, o sea: Sbsttdo o alor de e h chegamos à eqação do rao refletdo como sedo: r ( ˆ) ˆ (4.4) h ^^ h r Fg. 4.5 Refleão de m etor em toro de otro. Cosdere m lao defdo ela ormal tára ˆ e ela coordeada d qe mede a dstâca do lao à orgem a dreção de ˆ, como lstra a Fg a ˆ b c d Fg. 4.6 Potos de m lao. Marcelo Gattass /7/3

17 Geometra e Álgebra 7/5 Todo oto ertecete ao lao ode ser escrto como ma soma de m mesmo, qe a da orgem ao lao a dreção de ˆ, mas ma comoete aralela ao lao,. Como esta segda comoete é eredclar a ˆ, o rodto tero ˆ reslta em d. O sea: ˆ ˆ ( ) ˆ d Colocado o rodto tero em termos de coordeadas chegamos a: a b c d (4.4) qe é a eqação mlícta de m lao o R 3. Esta eqação é mto útl a erfcação de ertêca de m oto a m lao. Dado m oto de coordeadas, e odemos erfcar se ele ertece a m lao smlesmete aalado a eqação: F(,, ) a b c d (4.4) Se o alor da fção for ero o oto ertece ao lao. O mas teressate desta formlação é qe ela também oscoa os demas otos com relação ao lao. Para terretarmos geometrcamete o resltado desta fção, cosdere a Fg. 4.7, qe mostra m oto ma osção qalqer em relação ao lao. a ˆ b c d Fg. 4.7 Posção de m oto em relação a m lao. A roeção de a dreção de ˆ dca se o oto está o lado do lao aotado ela ormal, o lao em s, o o lado cotráro à ormal, atraés da eqação: Como d ˆ d d F(,, ) ˆ d lado da ormal o lao lado cotráro à ormal o sal da fção F dca a osção relata do oto em relação ao lao. Se obseramos mas atetamete emos qe, sedo ˆ m etor táro, o alor absolto de F rereseta Marcelo Gattass /7/3

18 Geometra e Álgebra 8/5 a dstâca do oto ao lao. Todo este estdo de oto e lao se alca ara oto e reta o R, como lstrado a Fg F (, ) a ˆ b d F(, ) F(, ) F(, ) ˆ d a b d Fg. 4.8 Posção de m oto em relação a ma reta o R. Geeralação do Prodto Itero A eemlo das roredades (4.9) qe defem os Esaços Vetoras geras, qalqer oeração etre dos etores e q, otada aq como <,q>, qe roda m escalar e qe satsfaça: Bleardade: ', q, q ', q (4.43a) a, q a, q (4.43b), q q', q, q' (4.43c), aq a, q (4.43d) Comtatdade (smetra):, q q, (4.43e) Postdade:,, e só é gal a ero se = (4.43f) é deomada m rodto escalar. Note qe: b F, G F( ) G( ) d (4.44) ( b a) a é m rodto escalar o esaço das fções. Uma coseqüêca atral da eqação (4.33) é qe a orma de m etor ode ser calclada como sedo a ra qadrada do rodto tero de m etor or ele mesmo. O sea: F F, F (4.45) Marcelo Gattass /7/3

19 Geometra e Álgebra 9/5 Esta codção estabelece a relação estreta etre o rodto tero e a orma. Se mdarmos a defção do rodto tero mdamos a defção da orma e ce-ersa. As terretações geométrcas ctadas acma corresodem aos cocetos coms qe temos de dstâca e âglo tato o lao qato o esaço. Nos demas esaços etoras estes cocetos são geeralações útes ara formlar algortmos qe calclem, or eemlo, ma fção qe arome otra. O fato de termos como medr a dstâca abla, or eemlo, ma aalação obeta de o qato a aromação é boa. O fato de odermos medr âglos em qasqer esaços etoras ermte der qe, como: s( m)s( ) d, cos( m)cos( ) d, s( m)cos( ) d se m se m etão as fções trgoométrcas qe aarecem as séres de Forer são etores eredclares etre s. A tldade desta geeralação em das costrções geras qe se alcam a todos os obetos da classe como, or eemlo, o estdo de bases ortogoas mostrado a segr. Qado temos m coto de etores qasqer {,,..., } qe satsfa: se, (4.46) se ele é chamado de coto ortoormal, ma e qe cada etor é eredclar (ortogoal) a todos os demas e todos são etores táros (orma gal a.). Não é dfícl mostrar qe m coto ortoormal de etores é ecessaramete learmete deedete. Dada ma combação lear da forma: a a a odemos faer em ambos os lados desta eqação o rodto tero com m etor resltado em: a, a, a, a, A ortogoaldade de com todos os otros etores reslta em a =. Como é qalqer, temos qe : a a a O qe roa qe etores ortogoas são learmete deedetes. Assm, m coto ortoormal de etores m esaço de dmesão é m caddato atral ara ser ma base ara este esaço. Marcelo Gattass /7/3

20 Geometra e Álgebra /5 Otra roredade mortate de bases ortogoas ode ser dedda da eressão qe escree m etor como ma combação lear dos etores da base: a a a Se fermos o rodto tero em ambos os lados desta eqação chegamos a: a,, ara qalqer [,] o ada, se a base for ortoormal a ˆ, Com sto, os coefcetes da sére de Forer odem ser calclados or: a f ( ) d, a f ( )cos( ) d e b f ( )s( ) d Por rodrem fórmlas smles como estas, as bases ortogoas e as bases ortoormas são mto olares. Prodto Vetoral O rodto etoral é m rodto somete defdo o R 3 e sere rcalmete ara calclarmos ormas, áreas e oretações o esaço. Ele ode ser sado o R se magarmos este esaço como m sb-esaço do R 3 qe satsfaça a eqação =. A defção geométrca do rodto etoral está lstrada a Fg O rodto etoral é ma oeração etre dos etores e qe reslta em m tercero etor =. O etor resltate é eredclar a ambos os etores cas e tem como orma o rodto das ormas mltlcado elo seo do âglo etre eles. se Fg. 4.9 Defção geométrca do rodto etoral. Um oto mortate a cosderar é a oretação qe fca mlícta este rodto. O rodto de com rod m etor,, qe está a dreção do olegar qado os demas Marcelo Gattass /7/3

21 Geometra e Álgebra /5 Marcelo Gattass /7/3 dedos da mão dreta se mometam o setdo mostrado a fgra. Note qe o rodto etoral de com reslta em (traceado a fgra). Alás, este também sera o resltado do rodto etoral de com se tlássemos a mão esqerda ao és da dreta. Esta oretação, mlícta a róra defção do rodto, é fdametal ara sas alcações. Algebrcamete odemos escreer: (4.47) Admtdo qe, como o rodto tero, o rodto etoral teha as roredades de bleardade, odemos escreer: (4.48) Podemos etão defr o rodto etoral de dos etores qasqer defdo aeas os rodtos,,,...,. Pela defção geométrca dada acma ão é dfícl erceber qe:,, (4.49) Alcado estes resltados a eqação (4.48) chegamos a: ) ( ) ( ) ( (4.5) Uma forma memôca de lembrar deste rodto é dada or: ode a otação A rereseta o determate da matr A. Coforme mecoado aterormete, o rodto etoral tem dersas alcações geométrcas mortates. A Fg. 4. mostra como ele ode ser sado ara calclar a ormal e a área de m trâglo. Ambos odem ser calclados atraés do rodto etoral de dos etores qe artem de m dos értces. O etor ormal é o róro etor resltate do rodto e a área é a metade da orma dele. h h área ormal se 3 3

22 Geometra e Álgebra /5 Fg. 4. Cálclo da área de m trâglo elo rodto etoral. A Fg. 4. lstra como o rodto etoral ode ser tlado ara determar se m oto é o ão teror a m trâglo. Note qe a ormal esta fgra é calclada tlado dos etores cosectos ara reforçar a oção de oretação do trâglo. Não é dfícl erfcar geometrcamete qe o resltado é o mesmo da fgra ateror. Para m oto ser teror é ecessáro qe o rodto etoral de cada m dos etores-arestas elo etor qe a do értce cal corresodete até ele estea a mesma dreção do etor ormal. No caso da fgra sto qer der qe o oto está à esqerda de m obserador qe ercorre as arestas oretadas ( ) ( ) e e Fg. 4. Determação de ertêca de m oto em m trâglo. A Fg. 4. lstra o so do rodto etoral ara erfcar se ma malha traglar é cosstete o setdo de ter ma úca oretação e ão ossr trâglos degeerados. O trâglo, or eemlo, 4, está com a oretação ertda em relação aos aterores. Como odemos comtacoalmete er sto? Basta calclar sa ormal e comarar com as ormas aterores. Mesmo ermtdo arações saes a serfíce reresetada ela malha, é raoáel termos a ormal de trâglos adacetes aotado mas o meos a mesma dreção. Algebrcamete, sto ode ser comtado se eamarmos o rodto escalar das resectas ormas. Se for maor qe ero a oretação está correta. O trâglo oss área la e sto ode ser calclado elo rodto etoral de sas arestas. trâglos = Fg. 4. Cosstêca de malhas de trâglos. Marcelo Gattass /7/3

23 Geometra e Álgebra 3/5 Falmete, também odemos calclar o âglo etre dos etores atraés do rodto etoral: arc se (4.46) Eercícos resoldos. Mostre qe o rodto msto de três etores,, e rod o olme do araleleíedo formado or eles. Mostre também qe o olme da râmde é /6 do rodto msto. Resosta: O rodto msto de três etores é or defção e a Fg. 4.3 lstra o araleleíedo formado or estes três etores. h Fg. 4.3 Prodto msto e olme de m araleleíedo. A área da base deste araleleíedo ode ser calclada or: área da base A altra é a roeção de a dreção eredclar ao lao da base, o sea: altra O olme é smlesmete o rodto da base ela altra, resltado em: Varaleleí edo base altra (4.47) A base da râmde formada elos três etores é o trâglo ca área ode ser calclada or: área da base do trâglo A fórmla do olme é: Marcelo Gattass /7/3

24 Geometra e Álgebra 4/5 Marcelo Gattass /7/3 6 3 altra base V râmde (4.48). Mostre qe:. Resosta: T T det det det det det det (4.49) Aalogamete temos: 3. Calcle a refleão do etor (5,,) T em toro do etor (4,3,) T. Resosta: ˆ ro h ro

25 Geometra e Álgebra 5/5 r ro h Eercícos ) Dados os etores = (, 3, 4) T, = (,,) T, 3 = (3,,-5) T e 4 = (-,,5) T, determe: (a) a dstâca etre e. (b) a área do trâglo 3. (c) a ormal tára do trâglo 3. (d) os etores táros corresodetes às arestas do trâglo 3. (e) o olme da tetraedro 3 4. ) Cosderado os otos do eercíco ateror, calcle as coordeadas cartesaas dos otos cas coordeadas barcêtrcas em relação aos otos: (a) são (/3,/3). (b) 3 são (/4, /4,/4). (c) 3 4 são (/4,/4,/4,/4). 3) Desehe o lgar geométrco dos otos de m trâglo a b c qalqer qe ossem a coordeada barcêtrca corresodete ao oto b gal a.4. 4) Determe a eqação do lao qe assa elos otos e 3 defdos o eercíco. Qal a dstâca deste lao à orgem? De qe lado dele o oto 4 se sta? 5) Cosderado os otos do eercíco, calcle a roeção do etor m lao eredclar ao etor de. 6) Cosderado os otos do eercíco, calcle a refleão do etor em toro do etor. 7) Determe a ormal e a dstâca da orgem de ma reta qe assa elos otos (,) T e (5,) T. Marcelo Gattass /7/3