Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Vinícius Natal do Amaral
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1 NOTAS D AULA Geoetr Alít e Álger Ler Vetores o sço Professor: Lz Ferdo Nes Dr. 08/Se_0

2 Geoetr Alít e Álger Ler Íde Vetores o sço Trdesol.... Defção.... Oerções o etores.... Proeção ortogol de etor sore otro eríos roostos sore etores... 5 Referês lográfs... 7 Geoetr Alít e Álger Ler

3 Prof. Nes Vetores o sço Trdesol. Defção U etor é lsse de segetos eqüoletes. Ns fgrs s flehs rereset eso etor o ql será ddo or A A o A de odo qe A = A = A. Cost-se dr A té or A o etão or letr lt úsl o fleh e oo. Dest for teos qe A A. Oserções: ) O tho (tesdde o oreto) de etor é ddo or e h-se or de. Se dzeos qe o etor é táro. Algs tores tlz r or de otção. ) O etor A é hdo de etor oosto do etor A. Ass A e A só dfere etre s o setdo (se A ). O etor oosto do etor A é ddo té or A ; o etor oosto de é. ) O etor lo ode ser reresetdo or 0 A A AA. Te-se d qe 0 0 e 0 0. d) Se e te es dreção dzeos qe eles são etores rlelos e dos or //. e) Dzeos qe e são ortogos se fleh qe rereset fz âglo reto o fleh qe rereset. Notção. Geoetr Alít e Álger Ler

4 Prof. Nes Geoetr Alít e Álger Ler. Oerções o etores.. Adção Se os etores A e C etão A C C A Proreddes d dção de etores (A) Proredde Assot: (A) Proredde Cott: (A) leeto Netro: 0 0 (A4) leeto Oosto: 0 Ilstrção d roredde ssot (A):

5 Prof. Nes Geoetr Alít e Álger Ler elos: ) otre o etor so dos etores destdos s fgrs qe sege: Resolção: A D C D A C Resolção: A D C D A C Resolção: 0 A A D C D C Oserções: Podeos té defr dfereç etre etores oo: elo: ) Ddos os etores e destdos o rleleíedo qe sege detfqe fgr reresette r o etor :

6 Prof. Nes 4.. Mltlção de úero rel or etor Ddo etor e úero rel defos o etor oo: Se 0 o 0 etão 0 ; Se 0 e 0 etão é o etor tl qe: () é rlelo ; () e te eso setdo se 0 ; () e te setdo otráro se 0 ; () A or de é. elos: ) N seqê são resetdos lgs sos de rodto de etor or úero rel: ) Pr 0 : ) Pr 0: ) Pr 0 Proosção: elos: Se e são rlelos e 0 este tl qe. ) Se e rlelos 0 e 50. Sedo ere os sos: ) e tê eso setdo. Geoetr Alít e Álger Ler

7 ) e tê setdo otráro. Resolção: Ass e tê eso setdo se ) É ddo etor 0 setdo qe ele. 5. Logo 5. 5 e e te setdo otráro se Prof. Nes Detere etor de tho rlelo e de eso Resolção: tão teos qe o 0.. Coo 0 teos qe Ssttdo este lor de e oteos: Logo Defção: Ddo etor eso setdo qe. elo: ) Ddo etor 0. 0 h-se ersor do etor etor táro rlelo e de ostre qe o ersor de é. Resolção: Chdo de o ersor de teos qe o 0.. Coo 0 teos qe Ssttdo este lor de e oteos:. Logo.. Proreddes d ltlção de úero rel or etor (M) (M) (M) (M4) Geoetr Alít e Álger Ler

8 ... etores do.... Prof. Nes 6 Defção: Se e.... Ch-se oção ler dos etores o oefetes... o etor:... Defção: U se do é trl orded de etores e e e este eh lo rlelo slteete os etores e e e e. do ts qe ão Proosção: Ddo etor qlqer este ú trl orded tl qe e e e. Ass fgr teror teos: OR e OS e e OT e Sedo e e e se do esree-se: OP e e. e = ) Sedo 4 e 5 lle: se e e e Resolção: O se = 5 e 7 e 7 e. = ) Sedo 7 4 e lle os lores de e. e Geoetr Alít e Álger Ler. e sedo qe

9 Prof. Nes 7 Resost: e 0 Defção: U se e e e é ortoorl se e e e e ortogos. ( e e e ). são táros dos dos Proosção: se ortoorl. Se e e e etão: Se e e e. ) Se e e e se ortoorl. Sedo 0 ) Resost: 5 ) Resost: 56 ) Resost: 45 d) Resost: 6 e) Resost: 7 e 4 6 lle:.. Prodto eslr o rodto tero Sedo e etores defos o úero rel do segte odo: ) Se 0 o 0 etão 0 (zero) ) Se 0 e 0 etão os ode é o âglo oeo etre os etores e. ( 0 ). Se 0 ode-se olr qe 0 o 0? Não! Pos 0. Proosção: Se e e e e e é se ortoorl etão:. Geoetr Alít e Álger Ler

10 Prof. Nes 8 Deostrção: D Le dos Cosseos teos qe: QP os = (I) Ms teos té qe: QP = (II) Igldo (I) o (II) oteos: =. Logo olíos qe Oserção: Se e e e se ortoorl. Se e e e etão: Ass. ) Se e e e se ortoorl. Sedo 5 e 4 ) ) 55 7 lle: ) 4 4 d) o âglo etre e os 7 7 os r os ) Se e e e se ortoorl. Sedo 4 e Resost: Resost: 47 ) ) lle: Geoetr Alít e Álger Ler

11 Prof. Nes 9 Geoetr Alít e Álger Ler ) Se e e e se ortoorl. Sedo 0 e 0 lle o âglo oeo etre os etores e. Resost: 6 rd Proreddes do rodto eslr (P) e (P) (P) (P4) 0 ; 0 0 ) Proe: ) Resolção: Lerdo qe teos qe: ). Resolção: Alogete teos: ) (Desgldde de Shrz) Resolção: os os os d) (Desgldde Trglr) Resolção:..4 Prodto etorl o rodto etero Se // etão or defção o rodto etorl (o rodto etero) de or é o etor lo. Notção: 0 o 0. Se e ão são rlelos etão é etor o s segtes rterísts: ) se ; ode é o âglo etre os etores e. ) é ortogol e ;

12 ) o setdo de ode ser ddo el regr d ão dret: Ass s fgrs qe sege te-se: e Prof. Nes 0 A regr d ão dret ode ser elhor oserd s fgrs qe sege ode o olegr d o setdo do etor ordo do rodto etorl: Oserção: Se e e e é se ortoorl etão e e e o e e e. Teos d qe e e e e se Defção: U se ortoorl h-se rógr se e e e e leógr se e e. e Oserção: Se é se ortoorl rógr etão teos qe: 0 et. Geoetr Alít e Álger Ler

13 Prof. Nes Geoetr Alít e Álger Ler elo: ) Aresete os etores e se. Resost: e 00 Proreddes do rodto etorl (PV) o (PV) (PV) Proosção: Se é se ortoorl rógr e se e etão:. Deostrção: elos: ) Sedo se ortoorl rógr e 4 lle : Resolção: 7 4.

14 Prof. Nes Geoetr Alít e Álger Ler Resost: 7 ) Sedo se ortoorl rógr lle os segtes sos: ) 0 e Resost: 7 4 ) e 4 5 Resost: 08 9 ) Oteh tl qe e 5 sedo se ortoorl rógr. Resolção: 0 0 = e = 0. Ms Logo Resost: ) Oteh tl qe 0 e sedo se ortoorl rógr. Resolção: Logo Resost: 4) Oteh tl qe e 0 sedo qe 4 sedo se ortoorl rógr. Resolção:

15 4 5 Seos qe Logo = 84 Resost: 84 5) Oteh tl qe sedo e 6 ortoorl rógr. Resost: Iterretção geoétr do rodto etorl Prof. Nes se Ass áre do rlelogro qe te etorl destes etores sto é S. e oo ldos é or do rodto..5 Prodto sto Ddos os etores e o rodto sto destes etores é úero rel reresetdo or. (fet-se rero o rodto etorl) o Nldde do rodto sto Ddos os etores e o rodto sto destes etores = 0 se: ) Pelo eos destes etores for lo; o ) // (os este so 0 ) o ) Os três etores são olres. Proosção: Se é se ortoorl rógr e se r s t etão:. r s t Deostrção: Seos qe = Geoetr Alít e Álger Ler e

16 Prof. Nes 4 Geoetr Alít e Álger Ler Logo. tão = t s r t s r elo: ) Clle o rodto sto dos etores 0 e sedo é se ortoorl rógr. Resolção: t s r 4 0 Resost: 4 Proreddes do rodto sto (PM) (PM) (PM) O rodto sto d de sl ertdo-se dos etores: (PM4) O rodto sto ão se lter se ertros os síolos e = Iterretção geoétr do rodto sto Ass o ole do rleleíedo d fgr teror é: os V = elo:

17 Prof. Nes 5 ) Clle o ole do rleleíedo erdo elos etores 4 e 54 Resost: V 9 sedo é se ortoorl rógr.. Proeção ortogol de etor sore otro Resolção: resse etorlete roeção ortogol de etor sore etor. ro ( ) 0 ( ) 0 Logo ro 0 Resost: ro.4 eríos roostos sore etores Cosdere e todos estes eeríos se ortoorl rógr. ) Detere sedo qe os etores são rlelos os sos: ) 0 0 Resost: 6 ) Resost: 4 ) e 9 Resost: 6 ) Cllr r qe os etores se olres os sos: ) 0 4 e 4 Resost: = 4 ) e Resost: ) Ddos e 6 6 esreer se ossíel oo oção ler de e. Resost: 4 6 Geoetr Alít e Álger Ler

18 4) Ddos 0 0 oção ler de e. e 6 Resost: É ossíel os estes três etores ão são olres. 5) Sedo e o âglo etre os etores e ) + Resost: ) o ersor de Resost: Resost: 5 ) Prof. Nes 6 esreer se ossíel oo é de rdos he: 6) Deterr o âglo etre os etores e sedo-se qe 0 4. Resost: r os 4 7) Se rlelogro ostrído sore os etores e. Deterr o âglo etre s dgos deste rlelogro sedo-se qe: e o âglo etre os etores e é de rdos. Resost: r os ) Sedo qe llr o(s) etor(es) slteete s odções o: ) ) 0 ) 6 Resost: 0 qe stsfç 9) Deterr áre do rlelogro ostrído sore e 0 5. Resost: 5 e s dgos são: 0) Deterr etorlete o âglo fordo or ds dgos de o. Resost: ) Clle r os etre e é. Resost: 5 sedo qe e e edd e rdos do âglo ) Ahe tl qe = e se ortogol = ( ) e ( 46) Resost: ( ) ) Ahe etor táro ortogol = () e = (). Geoetr Alít e Álger Ler

19 Prof. Nes 7 Resost: ( ) 6 4) A edd e rdos etre e é de. Sedo = e = 7 lle: ² e 4 Resost: 47 7 e resetete ) Ddos = +6 ; = e = + lle: ) áre do rlelogro ostrído sore e ; Resost: 49 ) o ole do rleleíedo ostrído sore e ; Resost: 7 ) ltr do rleleíedo. Resost: 7 6) Cllr os lores de r qe o etor + se ortogol ode: = ( ) ; = (+ 5 ) e = ( 8 ). Resost: 6 o ( 4 ) 9 7) Resol o sste ( ) Resost: Referês lográfs. ARSOTTI Leo. Geoetr Alít e Vetores.. dção. Crt: Artes Gráfs e dtor Ufdo OULOS Plo CAMARGO I de. Geoetr Alít U trteto Vetorl. São Plo: Mro oos do rsl dtor Ltd OULOS Plo CAMARGO I de. Itrodção à Geoetr Alít o sço. São Plo: Mro oos do rsl dtor Ltd VNTURI Jr J. Sstes de Coordeds e Álger Vetorl. Crt: Artes Gráfs e dtor Ufdo STINRUCH Alfredo e WINTRL Plo. Álger Ler.. dção. São Plo: Perso dto do rsl STINRUCH Alfredo e WINTRL Plo. Geoetr Alít.. dção. São Plo: Perso dto do rsl 00. Geoetr Alít e Álger Ler

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