UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS

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1 REVISÃO DA TEORIA MA UNIDADE 2 FUNÇÕES POLINOMIAIS Fuções Polioiis vs Poliôios Diz-se que p: IRIR é u fução polioil qudo eiste úeros 0,,..., tis que, pr todo R, te-se p() = Se 0, dizeos que p te gru. U eeplo iteresste de produto é: ( )( ) = Dizeos etão que é divisível por., 2,..., k são rízes de p se, e soete, pr todo IR vle p() = ( )( 2 )... ( k )q() ode q é u fução polioil de gru k se p te gru. Dí result que u fução polioil de gru ão pode ter is do que rízes. U fução polioil ch-se ideticete ul qudo se te p() = 0 pr todo IR. Nesse cso p te u ifiidde de rízes, ou sej, todo úero rel é riz de p. Assi: p() = te todos os coeficietes,,..., 0 são iguis zero. Se os poliôios p() = e q() = segue que: =, =,..., =, 0 = 0. A cd poliôio p(x) = X + X X + 0 fz-se correspoder fução polioil p () = , pr todo IR. Est correspodêci (poliôio) (fução polioil) é sorejetiv. 2 Deterido u Poliôio Prtir de Seus Vlores Ddos + úeros reis distitos 0,,..., e fidos ritrriete os vlores y 0, y,..., y, eiste u, e soete u, poliôio p, de gru, tl que p( 0 ) = y 0, p( ) = y,..., p( ) = y. Fórul de iterpolção de Lgrge: p y y 0 = : 0 0 0

2 CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA - PROFMAT UFPI Mrcos Nery 2 = 2: Cso gerl: p y y y p k yi i0 ki i k 3 Gráficos de Poliôios Sej p() = , co 0. Se é pr etão, pr suficieteete grde, p() te o eso sil de. Este sil é, portto, o eso, ão iportdo se < 0 ou > 0, desde que sej suficieteete grde. Se, etretto, é ípr, p() te o eso sil de pr vlores positivos uito grdes de e te o sil oposto de pr vlores egtivos uito grdes de. E os os csos ( pr ou ípr), qudo cresce iliitdete, p() té cresce iliitdete. U eeplo de lgorito grdeete eficiete pr oter u riz d equção p() = 0 é o étodo de Newto. Segudo este étodo, se é u vlor próio de u riz, sequêci, 2,...,,...de úeros reis otidos pel fórul itertiv p p' U cso prticulr do étodo de Newto já er cohecido pelos ilôios, que clculv riz qudrd de u úero positivo (ou sej, u riz d equção 2 = 0) todo u vlor iicil e, prtir dele, costruir s proições, 2,...,,... de pel fórul itertiv: 2 UNIDADE 3 FUNÇÃO EXPONENCIAL Itrodução O odelo teático coveiete pr descrever vrição de u cpitl plicdo juros fios, e ct h ct fução do tepo, deve ser u fução crescete c(t) tl que o créscio reltivo ct deped pes de h, s ão de t. c t c As úics fuções co ests proprieddes são s d for 0 t. U situção á ocorre qudo se estud desitegrção rdiotiv. De u odo gerl, se desigros por = (t) ss d sustâci rdiotiv presete o corpo o istte t, vereos t h t que é u fução decrescete de t e, lé disso, perd reltiv, ocorrid pós o t decurso do tepo h, depede pes de h s ão do istte iicil t, ou sej, d ss (t) eistete quel ocsião.

3 CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA - PROFMAT UFPI Mrcos Nery 3 As úics fuções co esss proprieddes são s do tipo t 2 Potêcis de Epoete Rciol t. Sej u úero rel positivo. Pr todo IN, potêci, de se e epoete é defiid coo o produto de ftores iguis. Pr quisquer ; IN te-se. Segue-se que, pr, 2,..., k quisquer vle: 2 k 2... k... E prticulr, se = 2 =... = k =, ve k k. 2 Se Alé disso, Coo iguldde 0 = 0+ deve ser válid, tereos 0 =, o úic defiição possível é 0 =. 0 Ddo qulquer IN, deveos ter, o. Que setido pode ser ddo à potêci r qudo r é u úero rciol (ode Z e N), de r s r s odo que cotiue válid regr. Dest iguldde result, que se deve ter, pr r : r r r r rr r r Portto r é o úero rel positivo cuj -ési potêci é igul. Por defiição de riz, este úero é, riz -ési de. Assi, úic eir de defiir potêci r, co r, Z, IN, cosiste e pôr Le: Fido o úero rel positivo, e todo itervlo de R + eiste lgu potêci r, co r Q. UNIDADE 4 FUNÇÃO EXPONENCIAL A Fução Epoecil Sej u úero rel positivo, que suporeos sepre diferete de. A fução epoecil de se, f: IR IR +, idicd pel otção f() =, deve ser defiid de odo ter s seguites proprieddes, pr quisquer ; y IR: ) y y 2) 3) y y y qudo e y qudo 0. 4) A fução f: IR IR +, defiid por f() =, é iliitd superiorete. 5) A fução epoecil é cotíu. 6) A fução epoecil f: IR IR +, f() =, é sorejetiv. Veos, pois, que pr todo úero rel positivo, diferete de, fução epoecil f: IR IR +, dd por f() =, é u correspodêci iuívoc etre IR e IR +, crescete se >, decrescete se 0 < <, co propriedde diciol de trsforr sos e produtos, isto é, f y f f y.

4 CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA - PROFMAT UFPI Mrcos Nery 4 A ijetividde d fução decorre d su ootoicidde. Se >, por eeplo, etão: y y y y e y, portto y. 2 Crcterizção d Fução Epoecil Teore: (Crcterizção d fução epoecil.) Sej f: IR IR + u fução oóto ijetiv (isto é, crescete ou decrescete). As seguites firções são equivletes: () f f pr todo Z e todo IR. (2) f pr todo IR, ode f. (3) f y f f y pr quisquer,y IR. UNIDADE 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO INVERSA Fuções Epoeciis e Progressões Sej f: IR IR, f() =, u fução de tipo epoecil. Se, 2,...,,... é u progressão ritétic de rzão h, isto é, + = + h, etão os vlores 2 f, f,..., f,..., for u progressão geoétric de rzão h pois: 2 f h h Teore: Sej f: IR IR u fução oóto ijetiv (isto é, crescete ou decrescete) que trsfor tod progressão ritétic, 2,...,,... u progressão geoétric y, y 2,..., y,... = f( ). Se puseros = f(0) e = f()/f(0) tereos f() = pr todo IR. 2 Fução Ivers Diz-se que fução g: Y X é ivers d fução f: X Y qudo se te g(f()) = e f(g(y)) = y pr quisquer X e y Y. Evideteete, g é ivers de f se, e soete se, f é ivers de g. Qudo g é ivers de f, te-se g(y) = se, e soete se, f() = y. Se g(f()) = pr todo X etão fução f é ijetiv, pois f( ) = f( 2 ) g(f( )) = g(f( 2 )) = 2. Por su vez, iguldde f(g(y)) = y, vledo pr todo y Y, iplic que f é sorejetiv pois, ddo y Y ritrário, toos = g(y) X e teos f() = y. Portto, se fução f: X Y possui ivers etão f é ijetiv e sorejetiv, ou sej, é u correspodêci iuívoc etre X e Y. Oservção. Se f: X Y é sorejetiv e g: Y X é tl que g(f()) = pr todo X etão te-se ecessriete f(g(y)) = y pr todo y Y e g = f é ivers de. Co efeito, ddo qulquer y Y eiste X tl que f() = y, o f(g(y)) = f(g(f())) = f() = y. Fuções Logrítics UNIDADE 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A ivers d fução epoecil de se é fução : IR + IR, que ssoci cd úero rel positivo o úero rel, chdo o rito de se. Por defiição de fução ivers, te-se = e ( ) =.

5 CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA - PROFMAT UFPI Mrcos Nery 5 Cosequêcis d defiição: 0,.. IR \ () (2),.. IR \ (3),.. IR \ (4),.. IR \ Proprieddes opertóris Tods s proprieddes io são válids,, c IR, co.. () ( c) c (2) c c (3) ( c ) c,.. IN (4) c c (5) c c 2 Crcterizção ds Fuções Logrítics Teore: (Crcterizção ds fuções rítics.) Sej f: IR + IR u fução oóto ijetiv (isto é, crescete ou decrescete) tl que f(y) = f() + f(y) pr quisquer ; y R +. Etão eiste > 0 tl que f() = pr todo R +. Geerliddes sore Fução Logrític Ddo u úero rel IR \, chos de fução rític de se fução f : IR IR que ssoci cd o úero rel, isto é, f : IR IR tl que f ( ). A fução é crescete se A fução é decrescete se 0. Pr resolver iequções rítics, pós igulr s ses, oservos o. Se, 2 2 Se 0, 2 2 UNIDADE 7 LOGARITMOS NATURAIS Logritos Nturis Pelo Teore de Crcterizção ds fuções rítics, eiste u úero rel positivo, que chreos de e, tl que f() = e pr todo R +. Escrevereos l e vez de e e chreos o úero l de rito turl de. O úero e, se dos ritos turis, é crcterizdo pelo fto de que seu rito turl é igul e, ou sej ÁREA H.

6 CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA - PROFMAT UFPI Mrcos Nery 6 O úero e é irrciol. U vlor proido dess iportte costte é e = 2, l Dividido por : l Todo : l Portto: e e li e