1- Resolução de Sistemas Lineares.
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- Cecília Neto
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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Resolução de Sstes Leres..- Mtrzes e Vetores..2- Resolução de Sstes Leres de Equções Algébrcs por Métodos Extos (Dretos)..3- Resolução de Sstes Leres de Equções Algébrcs por Métodos Itertvos..4- Covergêc dos Métodos Itertvos.
2 .4.- Covergêc do Método d Iterção Método d Iterção: x = β+ x ( 2) x = β + x j j 2 =,, Muts vezes o reduzr () pr 0 x = β (2) é coveete que 0. + Isto pode ser feto = 0= + 2 x = β + jxj, =,,, 02 Logo s foruls do étodo = 0, = (,, ) serão: 0 x = β b j β =, j = ( 3) +,,,, ( ) x = β + jxj = b j β =, =, j = = (,, ) Método d Iterção x x x x 2 b b = b b 2 ()
3 .4.- Covergêc do Método d Iterção Codção sufcete pr covergêc do processo tertvo. Teore: Pr o sste reduzdo (2) o processo tertvo (3) coverge pr su úc solução se lgu or côc d trz é eor que udde. Isto é, codção sufcete pr covergêc do étodo d terção x = β+ x = 2,, co x 0 rbtráro é <. x 0 A = x ( - o r ) j j A = x j (l- o r ) l j 2 j, j Prov: Escolh e costru s segutes proxções 0 x = β+ x x = β+ x = β+ ( β+ x ) = ( E+ ) β+ x 2 0 x = β+ x = ( E ) β+ x (*) A = (-or )
4 .4.- Covergêc do Método d Iterção Ns dus tels segur ostrreos u resultdo teredáro l portte prov do teore. Cosdere covergêc do segute processo tertvo: Sej logo F = E AD, D = D + D F = D ( E + F ) e F < 0 F = E AD = E AD ( E + F ), 0 0 F = E AD = E AD ( E + F ) = E AD ( E + F )[ E + F ] = E AD ( E + F )[ E + E ( E F )( E + F )] = E AD ( E + F )[ E + F F )] = E AD ( E + F + F + F ), F = E AD = E AD ( E + F + F + + F ) = + + l l l= 0 l= 0 E AD F = E ( E F ) F, j que AD = E F ode F = E = ( E ) l =
5 .4.- Covergêc do Método d Iterção Se F < o processo tertvo teror coverge e 0 l F = l ( E AD ) = E A l D = 0 + l l D = A E = A. Já que F = E ( E F0 ) F0 l = 0 e 0 = E A A do resultdo teror segue l 0 0 l = 0 0 = l F = E ( E F ) F = E A A l l l= 0 l= 0 ( E F ) F = A A = E ou F = ( E F ). l Se F0 segue ( E ). Note que l = 0 = = < é hpótese do teore que quereos provr. Logo, o resultdo c pode ser plcdo à trz.
6 .4.- Covergêc do Método d Iterção Se < segue 0 qudo, cosequeteete l = 0 e l( E ) = = ( E ) Se pssos o lte e (*) qudo obteos 2 0 x = l x = l[( E ) β+ x ] 2 0 = l( E ) β+ l x = ( E ) β (**) ( E+ ) 2 = 0 Isto prov covergêc do processo tertvo, ou sej, que exste o lte. D equção (**) segue que x= ( E ) β ou ( E ) x= ( E )( E ) β ou ( E ) x = β ou x = β+ x que sgfc que l x (**) é solução do sste (2). Coo trz ( E é ão sgulr o sste (2) te ) u úc solução. zero
7 .4.- Covergêc do Método d Iterção Coo coseqüêc do teore teror segue. Coroláro : O étodo d terção pr o sste (2) coverge se for verfcd u ds desgulddes: ) = x < (-or) ou j j = 2) = x < (l-or) ou l j j = 3) = < (-or) j = 2 E prtculr se os eleetos d trz stsfze etão o étodo d terção coverge ( é o úero de cógts). j <
8 Coroláro 2: Pr o sste o étodo d terção coverge se for verfcd u ds desguldde bxo: ) > ( =,, ).4.- Covergêc do Método d Iterção j j 2) > (j =,, ) jj j j x=b ( =,, ) j j ) < ( =,, ) 2) < (j =,, ) j j j j j =, = > + 2 j j 2 = + + < = < < Explcdo ul teror.
9 .4.2- Esttv do Erro do Método d Iterção x Sej e x dus proxções sucessvs d solução do sste ler x = x + β. Pr p segue + p + p p + p x x = x x + ( x x ) + ( x x ) + + ( x x ) x x + x x + + x x p + p é zero, s est pulção perte usr desguldde trgulr + + coo x = x + β e x = x + β segue x x = ( x x ) ( 4) + + x x x x x x > > logo de (4) segue + p p + p x x x x + x x + + x x + p + N tel segur ostros este resultdo e detlhes! x + x x x x x
10 .4.2- Esttv do Erro do Método d Iterção p p + + x x [ ] x x Progressão Geoétrc Progressão ( q ) = q (rzão) S = =, co Geoétrc = q (tero cl) S = l S = = q =, se q <. Logo, q = = p p q = < (rzão) [ ] =, co. = = (tero cl) Coo Progressão Geoétrc p = = = + p x x [ ] Progressão Geoétrc p, logo pssdo o lte qudo p est desguldde obteos x x x x + +
11 .4.2- Esttv do Erro do Método d Iterção + p + l x = x x x x x (5) ou p x x x x (6) se etão segue que 2 x x x x logo se x x < ε cosequeteete q x x < ε. No cso s gerl, se q = < e x x < ε, q etão x x ε e pr cd copoete x x < ε (=,,) Note que estes cálculos ão for cosderdos erros devdos à Artétc de Precsão Ft (roud-off errors). Ou sej, é ssudo que os cálculos são extos.
12 .4.2- Esttv do Erro do Método d Iterção Se usos (6) pr estr or d dfereç etre dus proxções sucessvs segue x x x x (6) + coo x x x x x x 0 substtudo e (6) 0 x x x x. Coo cso prtculr, se escolheos x = β, etão x = β+ x = β+ β e x x = β β. + Portto, x x β (6 ) Est desguldde perte estr o erro que estos coetedo terção. Note que este erro depede pes dos ddos do proble ( trz e o vetor β).
13 .4.3- Covergêc do Método de Sedel Prer codção sufcete pr covergêc do étodo de Sedel (Nor ). Teore: Se pr o sste x = x + β (7) se verfc codção. < co = x < (-or) j j =, etão o étodo de Sedel coverge pr su úc solução x = x + β cl x 0. depedeteete d escolh d proxção Note que prov deste teore prov coo cso prtculr o Coroláro sobre covergêc do étodo d terção. Prov: Sej x = ( x, x,, 2 x ) proxção do étodo de Sedel. Ou sej, x = β + x + x ( =,, ) ( 8) j j j j Se o sste (7) terá u úc solução que pode <
14 .4.3- Covergêc do Método de Sedel ser ecotrd pelo étodo d terção. Sej x = ( x, x, 2, x ) solução ext de x β x ( 9) = + j j Subtrdo (8) de (9) segue x x = ( x x ) + ( x x ) logo j j j j j j j j j + j j j x x x x x x. Lebrdo defção de -or x x = x x x segue que x x x x j j Que substtudo desguldde teror segue x x p x x + q x x ode p = e q = ( 0) j j Deoteos por s=s() o vlor d copoete que verfc x x = x x x = x x s s
15 .4.3- Covergêc do Método de Sedel A desguldde (0) é vld pr tods s copoetes, logo é váld pr copoete s e segue x x p x x + q x x ode p = e q = s s s s s sj s sj s x x = x x p x x + q x x s s s s qs x x ( ps) qs x x ou x x x x ( p ) s q Se defos μ = x segue d desguldde teror ( p ) x x μ x x ( ) Agor deveos provr que <. De fto μ p + q = + = < por hpótese do Teore j j j logo q q p = p p p s ou p p
16 .4.3- Covergêc do Método de Sedel p + q <, p <, q < logo p < p e p < q p p logo μ = = < ou μ < p p p D desguldde () x x μ x x segue 0 Note que fo obtdo: x x x x x x μ x x e cosequeteete l x = x pr o étodo d terção x x μ x x pr o étodo de Sedel co μ q Isto dc que sob certs codções μ = x o étodo ( p ) de Sedel coverge elhor que o étodo d terção. Neste cso é coveete que prer equção do sste teh eor so dos ódulos. q = j, p = 0 =.
17 .4.3- Covergêc do Método de Sedel Teores e provs seelhtes pode ser costruídos se cosderos e lugr d -or (lh) l-or (colu) e -or (Eucld). Teore: Se pr o sste x = x + β (7) se verfc codção < co = x j < (l-or) l, etão o étodo de Sedel coverge pr su úc solução x = x + β cl. x 0 l depedeteete d escolh d proxção j = Teore: Se pr o sste x = x + β (7) se verfc 2 codção co j < < (-or ), etão o étodo de Sedel coverge pr su úc solução x = x + β depedeteete d escolh d proxção cl x 0. = = j =
18 .4.4- Esttv do Erro do Método de Sedel Procededo seelhte o descrto pr o étodo d terção obteos + μ μ e + p x x x x x x x x μ Pssdo o lte qudo p est desguldde segue + p μ l x = x e cosequeteete x x x x p μ q μ = x ( p ) μ x x x x μ 0 ou por copoete μ 0 0 x x x x x se x x x < μ j j j j j j etão x x < ε. μ ε μ
19 .4.5- Resuo d Covergêc e Esttv do Erro pr o Método d Iterção Os étodos d Iterção e de Sedel coverge se lgu or côc d trz é eor que udde: < Esttv do erro -or: x x x x 0 Método d Iterção Coo cso prtculr, se escolheos = β, etão x = β+ x = β+ β e x x = β β. x Portto, x x + β
20 .4.5- Resuo d Covergêc e Esttv do Erro pr o Método de Sedel Os étodos d Iterção e de Sedel coverge se lgu or côc d trz é eor que udde: < Esttv do erro -or: μ x x x x μ 0 Método de Sedel q μ = x ( p ) ode p = e q = j j
21 Frse do D O objetvo de h teor é estbelecer de u vez por tods certez dos étodos teátcos... O estdo tul ds coss, e que os chocos co os prdoxos, é tolerável. Ige s defções e os étodos dedutvos que todos preede, es e us e teátc, os prdgs de verdde e de certez, coduzdo bsurdos! Se o peseto teátco é defetuoso, ode chreos verdde e certez? D. Hlbert, O the Ifte, e Phlosophy of Mthetcs, de Becerrf e Put.
Método de Gauss- Seidel
.7.- Método de Guss- Sedel Supohmos D = I, como fo feto pr o método de Jco-Rchrdso. Trsformmos o sstem ler A = como se segue: (L + I + R) = (L + I) = - R + O processo tertvo defdo por: é chmdo de Guss-Sedel.
3.1 Introdução Forma Algébrica de S n Forma Matricial de Sn Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema
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1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS
.6- MÉTODOS ITRATIVOS D SOLUÇÃO D SISTMAS LINARS PRÉ-RQUISITOS PARA MÉTODOS ITRATIVOS.6.- NORMAS D VTORS Defção.6.- Chm-se orm de um vetor,, qulquer fução defd um espço vetorl, com vlores em R, stsfzedo
Método de Eliminação de Gauss
étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem
... Capítulo III - Resolução de Sistemas. Vamos estudar métodos numéricos para: - resolver sistemas lineares
Cpítulo III - Resolução de Sstems Vmos estudr métodos umércos pr: - resolver sstems leres ão leres (; - Resolução de Sstems de Equções eres Cosdere-se o sstem ler de equções cógts:............ b b b usdo
Capítulo III - Resolução de Sistemas. Como sabemos os sistemas podem ser classificados em possíveis. (determinados ou indeterminados) e impossíveis.
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