MÉTODOS NUMÉRICOS. Prof. Ionildo José Sanches Prof. Diógenes Cogo Furlan. Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática CI-202

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2 Uversdde Federl do Prá Deprteto de Iforátc CI- MÉTODOS NUMÉRICOS Prof. Ioldo José Sches Prof. Dógees Cogo Furl E-Ml: URL: CURITIBA 7

3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... CONCEITO DE ERRO.... INTRODUÇÃO.... ERROS NA FASE DE MODELAGEM.... ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO....4 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS....5 ERRO DE ARREDONDAMENTO....6 ERRO DE TRUNCAMENTO...4 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS...6. INTRODUÇÃO...6. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Sste de Nuerção Decl Sste de Nuerção Báro...7. ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE....4 PROPAGAÇÃO DE ERROS... 4 ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS INTRODUÇÃO Dervd de u fução u poto Tpos de Métodos Isoleto de Rízes Clssfcção dos étodos MÉTODO DA BISSEÇÃO Esttv do Núero de Iterções Cosderções Fs Eeplos MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Csos especs Cosderções fs Eeplos MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR Csos de covergêc Cosderções fs Eeplos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MÉTODO DAS TANGENTES Cosderções fs Eeplos Codções de Newto-Rphso-Fourer MÉTODO DA SECANTE Eeplos MÉTODO MISTO Eeplos MÉTODO PARA EQUAÇÕES POLINÔMIAIS Itrodução Loclzção de Rízes Deterção ds Rízes Res Método de Newto pr Zeros de Polôos SISTEMAS LINEARES INTRODUÇÃO Clssfcção Quto o Núero de Soluções...8

4 5. MÉTODOS DIRETOS (ALGORITMOS DIRETOS Regr de Crer Método d Elção de Guss Método de Jord Eeplos FATORAÇÃO LU Cálculo dos Ftores L e U MÉTODOS ITERATIVOS (ALGORITMOS ITERATIVOS Método de Guss-Jcob ( Algébrco Método de Guss-Jcob ( Mtrcl Método de Guss-Sedel ( Algébrco Método de Guss-Sedel ( Mtrcl INTERPOLAÇÃO INTRODUÇÃO Coceto de Iterpolção INTERPOLAÇÃO LINEAR Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Obteção d Fórul Eeplos: INTERPOLAÇÃO PARABÓLICA PROGRESSIVA INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Dfereçs Dvdds Propredde do Operdor Dfereçs Dvdds Eeplos INTERPOLAÇÃO DE GREGORY-NEWTON Dfereçs Ordárs ou Fts Relção etre dfereçs dvdds e dfereçs ordárs Gregory-Newto usdo Dfereçs Ordárs Eeplos AJUSTE DE CURVAS MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS Ajuste Ler Sples Ajuste Polol INTEGRAÇÃO NUMÉRICA INTRODUÇÃO Fóruls de Newto-Cotes REGRA DOS RETÂNGULOS Eeplos REGRA DOS TRAPÉZIOS Regr do Trpézo Repetd Eeplos REGRA DE SIMPSON Regr de Spso Repetd Eeplos...84

5 Itrodução Cálculo Nuérco é obteção d solução de u proble pel plcção de étodo uérco; solução do proble será crcterzd, etão, por u cojuto de úeros, etos ou prodos. Método Nuérco é u lgorto coposto por u úero fto de operções evolvedo pes úeros (operções rtétcs eleetres, cálculo de fuções, cosult u tbel de vlores, cosult u gráfco, rbtreto de u vlor, etc.. Proble Físco Modelge Modelo Mteátco Resolução Solução Modelge é fse de obteção do odelo teátco que descreve o coporteto do sste físco. Resolução é fse de obteção d solução trvés d plcção de étodos uércos (este é o objetvo de estudo do Cálculo Nuérco.

6 Coceto de Erro. Itrodução A oção de erro está presete e todos os cpos do Cálculo Nuérco. De u ldo, os ddos, e s, e sepre são etos e, de outro ldo, s operções sobre vlores ão etos propg esses erros seus resultdos. Flete, os própros étodos uércos, freqüeteete étodos prodos, busc zção dos erros, procurdo resultdos o s próo possível do que ser vlores etos. Erro é dfereç etre o vlor eto e o vlor presetdo. No próo cpítulo, sobre represetção de úeros res, reos lsr várs stuções e que ocorre erros, qudo utlzos o coputdor pr relzr os cálculos. A segur, lsreos os erros que ocorre durte s fses de odelge e resolução e tbé sobre erros de rredodeto e erros de truceto.. Erros Fse de Modelge Ao se tetr represetr u feôeo do udo físco por eo de u étodo teátco, rrete se te u descrção corret deste feôeo. Norlete, são ecessárs várs splfcções do udo físco pr que se teh u odelo. Eeplo: Estudo do oveto de u corpo sujeto u celerção costte. Te-se segute equção: ode: d d o v o t α d d o + v o * t + / * α * t : dstâc percorrd : dstâc cl : velocdde cl : tepo : celerção Deterr ltur de u edfíco co u bolh de etl e u croôetro: s d + * + / * 9.8 * 44. Este resultdo é cofável?. Ftores ão cosderdos: resstêc do r velocdde do veto, etc.. Precsão dos ddos de etrd: Se o tepo fosse,5s d 6.5 Vrção de 6,7% o croôetro 6% ltur.. Erros Fse de Resolução Pr resolução de odelos teátcos uts vezes tor-se ecessár utlzção de struetos de cálculo que ecesst, pr o seu fucoeto, que sej fets certs proções. Ts proções pode gerr erros, ts coo: coversão de bses, erros de rredodeto e erros de truceto..4 Erros Absolutos e Reltvos Erro bsoluto (EA é dfereç etre o vlor eto de u úero N e o seu vlor prodo N :

7 N N + EA N (N > N EA N > N < N EA N < EA N N N Erro bsoluto Por eeplo, sbedo-se que π (.4,.5 toreos pr π u vlor detro deste tervlo e tereos, etão, EA π π - π <.. Erro Reltvo é defdo coo o erro bsoluto dvddo pelo vlor prodo: ER N EAN N N' Erro Reltvo N' N' É clro que EA N só poderá ser deterdo se N for etete cohecdo; coo sso é rro, e cálculos uércos costu-se trblhr co u ltção á pr o erro, o vés do própro (dcdo-se, etão, E < ε, ode ε é o lte. Por eeplo, se α e só desejos prte ter α, o erro bsoluto será: α α α'.7 Se fzeros o eso co o úero β.7, tereos: β β β'.7 Obvete, o efeto de proção de β é uto or do que e α, s o erro bsoluto é o eso os dos csos. O erro reltvo, etretto, pode trduzr perfetete este fto, pos: δ α, 7,96 < -4 δ β, 7,7 < 5* Erro de Arredodeto Ao se plcr u étodo uérco, os erros devdos os vlores cs, teredáros e fs coduze u erro globl (dfereç etre o eto e o obtdo tbé chdo de rredodeto. Erros cs são os coetdos o rredodeto dos ddos cs. Os erros teredáros são decorretes dos erros coetdos durte plcção do étodo uérco e os erros fs decorretes d presetção fl do resultdo. Os tpos de rredodetos s cohecdos são: Arredodeto pr bo ou por flt; Arredodeto pr c ou por ecesso; Arredodeto pr o uero de qu s próo. Crtéro de Arredodeto: o cálculo ul, o regstrr u vlor prodo, costu-se usr segute regr:. sor e udde pós últ cs decl coservr;. desprezr s des css. Ass, co úeros sgfctvos te-se: ( (

8 4 O uso deste crtéro lt o erro e udde d últ cs coservd: E <.5 Os vlores prodos obtdos pode ser ferores (vlor prodo por flt ou superores (vlor prodo por ecesso os etos;.4 é o vlor prodo, por flt, de ;.6 é o vlor de, prodo por ecesso. Pr coclur este te de erro de rredodeto, deve-se ressltr portâc de se sber o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção d áqu que está sedo utlzd pr que se teh oção d precsão do resultdo obtdo. Alé d precsão decl, o cálculo do chdo Épslo d áqu os dá u dé d etdão d áqu. O ε d áqu é o eor úero de poto flutute, tl que: + ε >. Algus étodos pr cálculo de ε ão dão seu vlor eto, s sto e sepre é ecessáro, pos o que port é su orde de grdez. O progr bo, escrto lguge C, clcul u proção do ε d áqu: #clude <stdo.h> t ( { flot Eps.; whle (Eps + > Eps Eps /.; prtf("a qu ch que %.5f vle zero!\", Eps; retur ; } O progr c, eecutdo u Petu, obteve segute respost: A qu ch que.54 vle zero! Logo, o úero de dígtos sgfctvos é 9..6 Erro de Truceto São erros proveetes d utlzção de processos que dever ser ftos ou uto grdes pr deterção de u vlor e que, por rzões prátcs, são trucdos. Estes processos ftos são uto utlzdos vlção de fuções teátcs, ts coo, epoecção, logrtos, fuções trgooétrcs e várs outrs que u áqu pode ter. Eeplo: U áqu poder clculr fução seo( e epoecl( utlzdo s segutes téccs: 5 7 seo( ! 5! 7! e !!... Fzedo truceto:

9 seo( e (! 5! 7!! !!! 5 A solução é de terroper os cálculos qudo u deterd precsão é tgd. De u er gerl, pode-se dzer que o erro de truceto pode ser duído té chegr fcr d orde do erro de rredodeto; prtr desse poto, ão fz setdo dur-se s, pos o erro de rredodeto será dote.

10 6 Represetção dos Núeros Res. Itrodução { Copleos (+ - Núeros (π; Res{Irrcos (-4; Rcos{Iteros Frcoáros{Ordáros (/7; / Decs (-.5;... Algus ds propreddes báscs d rtétc rel ão vle s qudo eecutds o coputdor, pos, equto teátc lgus úeros são represetdos por ftos dígtos, o coputdor sso ão é possível, pos u plvr de eór é ft e própr eór tbé. Eeplos:,, π e. Se desejásseos clculr áre de u crcuferêc de ro, obteríos os segutes resultdos: A 4 b A 46 c A Coo justfcr s dfereçs etre os resultdos? É possível obter o vlor eto dest áre? Os erros ocorrdos depede d represetção dos úeros áqu utlzd. A represetção de u úero depede d bse escolhd ou dspoível áqu e uso e do úero áo de dígtos usdos su represetção. O úero π, por eeplo, ão pode ser represetdo trvés de u úero fto de dígtos decs. No eeplo ostrdo c, o úero π fo escrto coo.4,.46 e respectvete os csos (, (b e (c. E cd u deles fo obtdo u resultdo dferete, e o erro este cso depede eclusvete d proção escolhd pr π, Qulquer que sej crcuferêc, su áre uc será obtd etete, u vez que π é u úero rrcol. Coo este eeplo, qulquer cálculo que evolv úeros que ão pode ser represetdos trvés de u úero fto de dígtos ão forecerá coo resultdo u vlor eto. Quto or o úero de dígtos utlzdos, or será precsão obtd. Por sso, elhor proção pr o vlor d áre d crcuferêc é quel obtd o cso (c. Alé dsso, u úero pode ter represetção ft e u bse e ão-ft e outrs bses. A bse decl é que s epregos tulete. U coputdor oper orlete o sste báro. Observe o que cotece terção etre o usuáro (ou ddos do progr e o coputdor: os ddos de etrd são evdos o coputdor pelo usuáro o sste decl; tod est forção é covertd pr o sste báro, e s operções tods serão efetuds este sste. Os resultdos fs

11 7 serão covertdos pr o sste decl e, flete, serão trstdos o usuáro. Todo este processo de coversão é u fote de erros que fet o resultdo fl dos cálculos. N pró seção, reos estudr os processos de coversão de úeros do sste decl pr o sste báro e vce-vers. Estudreos tbé for de rzeeto fet pelos coputdores dgts.. Sste de Nuerção Este város sstes uércos, detre os qus destc-se o sste decl (bse, o octl (bse 8 e o hedecl (bse 6. E u sste uérco co bse β, este β dígtos e o or é β. De u odo gerl, u úero bse β, ( j j-... β, k (β, k,,..., j, pode ser escrto for polol: j β j + j- β j β + β + β Co est represetção, podeos fclete coverter u úero represetdo e qulquer sste pr o sste decl... Sste de Nuerção Decl No sste de uerção usul, o sste decl, usos dez dígtos,,..., 9. U úero or que 9 é represetdo usdo u coveção que trbu sgfcdo à posção ou lugr ocupdo por u dígto. Por eeplo, e vrtude ds posções ocupds pelos dígtos dvdus o úero 5, este úero te sgfcdo uérco clculdo coo: 5 * + * + * + 5* Notos que u úero é epresso coo u so de potêcs de ultplcds por coefcetes proprdos. No sste decl, é bse do sste. Este dígtos, o or sedo 9. E u sste uérco co bse β, este β dígtos e o or é β -... Sste de Nuerção Báro No sste báro este pes dígtos: e. Coo os crcutos eletrôcos usdos o coputdor preset estdos possíves, covecoou-se chr o estdo deslgdo de e o estdo lgdo de. Cd dígto de u úero represetdo o sste báro é deodo bt (cotrção de BIry dgt, o cojuto de 4 bts é deodo bble e o de 8 bts de byte, tero bstte utlzdo áre de forátc.... Coversão do Sste Báro pr Decl Qudo u úero é escrto o sste báro, os dígtos dvdus represet os coefcetes de potêcs de. Por eeplo, o úero decl 9 é escrto e represetção bár coo, pos este rrjo de dígtos báros sgfc: * 4 + * + * + * + * Coversão do Sste Decl pr Báro A coversão de u úero decl pr báro é fet d segute for:

12 8 LSB MSB 9 ( ( O bt eos sgfctvo de u úero báro recebe otção de LSB (Lest Sgfct Bt e o bt s sgfctvo de MSB (Most Sgfct Bt.... Coversão de Núeros Báros Frcoáros e Decs Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro báro (bse pr u úero decl (bse..5 * + * - + * - + 5* * + * - + * - + * * + * - + * - + * Coversão de Núeros Decs Frcoáros e Báros Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro d bse pr bse. U úero rel etre e pode ter represetção ft o sste decl, s represetção ft o sste báro. No cso gerl, sej r u úero etre e o sste decl e (.d d...d j... su represetção o sste báro. Os dígtos báros d, d,..., d j,... são obtdos trvés do segute lgorto: Psso : r r; k Psso : Clcule r k. Se r k, fç: d k, cso cotráro, fç: d k Psso : Fç r k+ r k d k Se r k+, pre. Cso cotráro: Psso : k k +. Volte o psso. Observr que o lgorto pode ou ão terr pós u úero fto de pssos. Pr r (.5 tereos: r.5. k r.5 d r.5 d.5 k r.5 d

13 r.5 9 k r. d r 4 Teos etão.5., sedo portto represetção bár ft. Já pr r., tereos: r. k r. d r. k r.4 d r.4 k r.8 d r 4.8 k 4 r 4.6 d 4 r 5.6 k 5 r 5. d 5 r 6. r Coo r 6 r, tereos que os resultdos pr k de e 5 se repetrão e etão: r r 6 r. e ss defdete. Cocluíos que: (. (... e, portto, o úero (. ão te represetção bár ft. O fto de u úero ão ter represetção ft o sste báro pode crretr ocorrêc de erros preteete eplcáves e cálculos efetudos e sstes coputcos báros. U coputdor que oper o sste báro rá rzer u proção pr (., u vez que possu u qutdde f de posções pr gurdr os dígtos de tss de u úero, e est proção será usd pr relzr os cálculos. Não se pode, portto, esperr u resultdo eto. Podeos gor eteder elhor por que o resultdo d operção: S. ão é obtdo corretete u coputdor. Supodo u áqu dgtl que trblhe co pes 9 dígtos tss, o úero (. ser rzedo coo (. e este úero represet etete ( Portto, tods s operções que evolve (. ser relzds co est proção. Vereos pró seção represetção de úeros e rtétc de poto flutute co o objetvo de se eteder elhor cus de resultdos precsos e operções uércs. O progr segur perte clculr., sedo o vlor eto dess sotór. #clude <stdo.h> t ( { t ; flot ;

14 } for (;<; ++ +.; prtf(" %.f", ; retur ; Qudo ess sotór é efetud utlzdo o coputdor o vlor é: Se trocros o tpo flot pr double (or precsão o resultdo será Artétc de Poto Flutute Us-se, roterete, dus fors pr fzer o rzeeto dos úeros e áqus: poto fo (pr vlores teros e poto flutute (pr vlores res. U áqu de clculr, ou u coputdor dgtl, represet u úero rel o sste deodo rtétc de poto flutute. Neste sste, o úero é represetdo for: ode: ± d d d dt t β β β β β: é bse e que áqu oper; d : são úeros teros cotdos o tervlo d (β - ;,,..., t; d ; e: represet o epoete de β e ssue vlores etre I e S; I, S: lte feror e lte superor, respectvete, pr vrção do epoete. d d d dt t β β β β é chd de tss e é prte do úero que represet os seus dígtos sgfctvos e t é o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção, couete chdo de precsão d áqu. β e Eeplo : No sste de bse β (decl, te-se: Os úeros ss represetdos estão orlzdos, sto é, tss é u vlor etre e. A for orlzd é utlzd s operções evolvedo poto flutute e coputdores dgts. No sste de bse β (báro, te-se: * * Eeplo : Nu áqu de clculr cujo sste de represetção utlzdo teh β, t, I 5 e S 5, o úero 5 e.5 é, ss represetdo:

15 5. * 5. * ou, de u for s copct: Mtss epoete * Cd dígto é chdo de bt, portto, est áqu são utlzdos bts pr tss, 4 pr o epoete e s u bt pr o sl d tss (se bt postvo, se bt egtvo e u bt pr o sl do epoete, resultdo, o totl, 6 bts, que são ss represetdos: 5.5. * Vlor d Mtss Epoete Sl d Mtss Sl Ep. O or vlor represetdo por est áqu descrt o eeplo ser: que, bse decl, te o segute vlor:. * 76 E o eor vlor ser:. * 76 Logo, os úeros que pode ser represetdos est áqu estr cotdos o tervlo [76; 76]. Nest áqu, d, o vlor zero ser represetdo por: O próo úero postvo represetdo ser:. * O subsequete ser:. * Atrvés desses eeplos pode-se coclur que o cojuto dos úeros represetáves este sste é u subcojuto dos úeros res, detro do tervlo ostrdo terorete.

16 Cosdere, por eeplo, u áqu que oper o sste: β ; t ; e [-5,5]. Os úeros serão represetdos d segute for esse sste:.d d d * e, d j 9, d, e [5, 5] O eor úero (, e vlor bsoluto, represetdo est áqu é:. * -5-6 e o or úero (M, e vlor bsoluto, é: M.999 * Cosdere o cojuto dos úeros res R e o segute cojuto: G { R M} Ddo u úero rel, várs stuções poderão ocorrer:. G: por eeplo, *. Observe que este úero possu 5 dígtos tss. Estão represetdos etete est áqu os úeros:.5* e.6*. Se for usdo o truceto, será represetdo por.5* e, se for usdo o rredodeto, será represetdo por.6*. N pró seção, sobre erros, estudreos o truceto e o rredodeto;. < : por eeplo,.45* -7. Este úero ão pode ser represetdo est áqu porque o epoete e é eor que 5. Est é u stução e que áqu cus ocorrêc de uderflow;. > M: por eeplo,.875* 9. Neste cso o epoete e é or que 5 e áqu cus ocorrêc de overflow. Algus lguges de progrção perte que s vráves sej declrds e precsão dupl. Neste cso, est vrável será represetd o sste de rtétc de poto flutute d áqu, s co prodete o dobro de dígtos dspoíves tss. É portte observr que, este cso, o tepo de eecução e requereto de eór uet de for sgfctv. O C forece três tpos pr úeros de poto flutute. Cd tpo te u tervlo e u precsão especfcd: Tpo Nº de bts Itervlo Ico F flot.4e8.4e+8 double 64.7E8.7E+8 log double 8.4E49.4E+49 O tpo log double é o tpo de poto flutute co or precsão. É portte observr que os tervlos de poto flutute, tbel c, estão dcdos e f de epoete, s os úeros pode ssur vlores tto postvos quto egtvos..4 Propgção de Erros Durte s operções rtétcs de u étodo, os erros dos operdos produze u erro o

17 resultdo d operção; sedo A,, B, b os vlores etos e prodos, respectvos, e E e E b, os erros dos operdos. A + B ( + E + (b + E b + b + E + E b A B ( + E (b + E b b + E E b A * B ( + E (b + E b b + E b + be + E b *E EA A+B E + E b EA A-B E E b EA A*B E b + be + E b *E Vejos trvés de u eeplo, coo os erros descrtos terorete pode fluecr o desevolveto de u cálculo. Eeplo: Supoh-se que s operções bo sej processds e u áqu co 4 dígtos sgfctvos e fzedo-se:.49* 4 e.45* te-se: ( + (.45* +.49* 4.49* 4.49* 4.49* 4. + (.45* + (.49* 4.49* Os dos resultdos são dferetes, qudo ão dever ser, pos dção é u operção dstrbutv. A cus dest dfereç fo u rredodeto feto dção ( +, cujo resultdo te 8 dígtos. Coo áqu só rze 4 dígtos, os eos sgfctvos for desprezdos. Ao se utlzr áqus de clculr deve-se estr teto esss prtculrddes cusds pelo erro de rredodeto, ão só dção s tbé s outrs operções.

18 4 4 Zeros de Equções Trscedetes e Polos 4. Itrodução Sej F( u fução rel defd u tervlo [, b]. Ch-se rz(es dest fução e [, b] todo ξ (cs (, b tl que F(ξ, coo ostr fgur bo. y f( ξ b 4.. Dervd de u fução u poto A fução ƒ : A R dz-se dervável o poto de cuulção A qudo este e é fto o lte: l y l f ( f ( l f ( + f ( Qudo f é dervável e, o lte é chdo dervd de f o poto. 4.. Tpos de Métodos Pode-se dzer que são dos os étodos pr se chr (s rz(es de u equção: Método dreto: qudo forece solução e pes u úco psso. Est rz é et, eos de erros de rredodeto. Eeplo: Sej F( +. A solução dret pode ser obtd trvés d fórul de Bskr co b b c epressão: X ± 4, que terá coo cojuto solução {, }. PROGRAM Bskr; VAR, b, c : INTEGER; delt : INTEGER;, : REAL; BEGIN : ; b : -; c : ; {f( ^ - * + } delt : b*b - 4**c; IF delt > THEN BEGIN : (-b + SQRT(delt / (*; : (-b - SQRT(delt / (*; WRITELN(' ',; WRITELN(' ',; END ELSE WRITELN('No possu rzes res'; END. Método tertvo ou dreto: é u processo de cálculo fto, recursvo, e que o vlor obtdo cd psso depede de vlores obtdos e pssos terores. Este tpo de étodo, or ds vezes, ão obté solução et pr s rízes, s s u solução prod detro de u f de erro cosderd cetável.

19 É portte sletr, que orlete, os étodos tertvos são s precsos qudo eecutdos e u coputdor que perte glzr os cálculos teátcos, obtedo ss u elhor precsão. Eercíco: Clculr 4 e de usdo o Método de Newto defdo por: +, pr,,,... ode: : o úero ser clculdo rz : u trbução cl qulquer dferete de zero (por eeplo,. Coo vos terorete, o cálculo ds dus rízes de u equção do segudo gru, colocd sob for + b + c, são fclete obtds pel fórul de Bskr. Etretto, se colocros u epressão e que preç u equção trscedete, solução já ão é tão sples, coo deostr os eeplos bo: e + cos( l( + Meso u polôo de gru or que três já ão te u solução lgébrc sples coo d equção do segudo gru, ão ser e csos prtculres. Vos lsr coo efretr esse proble, tão cou e dverss áres d egehr, d ecoo, ds cêcs, d físc, etre tts outrs. Esss equções, co eore freqüêc, os lev rízes res ão rcos que, o sere represetds o coputdor, ecessrete, o serão de for prod, pels rzões já eposts o cpítulo teror, tedo e vst que ecesstr de ftos dígtos, e sus tsss, pr sere represetds. Alé dsso, e gerl, estos teressdos e obter esses vlores, esss rízes, co u deterd precsão, co u erro tolerável, co lgus css decs, se pretesão de obter vlores etos. Isso é s do que sufcete, pr or dos probles prátcos ecotrdos. Os étodos uércos sere presetdos, prtdo de vlores clete propostos, busc prorr esses vlores, dudo os erros, prodo-se, ss, dos vlores ds rízes procurds, té que os erros sej cetáves, podedo-se grtr que sej erros ferores vlores pré-defdos. Pr se clculr u rz dus etps deve ser seguds: Isolr rz, ou sej, chr u tervlo [, b], o eor possível, que coteh u e soete u rz d equção f( ; Melhorr o vlor d rz prod, sto é, refá-l té o gru de etdão requerdo. Co bordge tertv precsos deterr u tervlo cl pr costruros seqüêc { } e tereos que rz ' será dd por: 5 ' l Alé dsto, teos que estpulr crtéros de prd, pos prtc ão clculreos ftos teros, s pes o sufcete pr tgros etdão desejd.

20 4.. Isoleto de Rízes Nest fse é fet u álse teórc e gráfc d fução f(. Pr tl f, us-se freqüeteete u portte teore d álgebr. Teore: Se u fução f( cotíu u tervlo [, b] ssue vlores de ss opostos os potos etreos deste tervlo, sto é, f(. f(b <, etão o tervlo coterá, o ío, u rz d equção f( ; e outrs plvrs hverá, o ío, u úero ξ (, b tl que f(ξ Núero de Rízes Res N seção teror vos coo deltr s rízes res de F(. Agor reos verfcr quts rízes este o tervlo deltdo. Os étodos segur dão u bo dcção sobre o úero de rízes do tervlo. Teore de Bolzo: Sej F( u equção lgébrc co coefcetes res e (, b: Se F(.F(b <, etão este u úero pr de rízes res (cotdo sus ultplcddes o tervlo (, b. Se F(.F(b >, etão este u úero pr de rízes res (cotdo sus ultplcddes ou ão este rízes res o tervlo (, b. A deterção do úero de rízes de equções trscedetes gerlete é quse possível, pos lgus equções pode ter u úero fto de rízes. Não freos ores cosderções sobre este portte tópco, por ão ser o objeto de estudo este oeto, e por erecer u trblho prte, devdo etesão de seu coteúdo. Etretto, podeos sletr que o proble de solr rízes costtu-se d euerção, loclzção e seprção ds ess Refeto Depos de solr rz o tervlo [, b], pss-se clculá-l trvés de étodos uércos. Coo vereos dte, estes étodos deve forecer u seqüêc { } de proção, cujo lte é rz et ξ. E cd proção, d rz et ξ, us-se u destes crtéros e copr-se o resultdo co tolerâc ε pré-fd. A verfcção, de que está "sufceteete" pró d rz, pode ser fet de dos odos dferetes (que pode levr resultdos dferetes: f( ε ( bordge pelo eo y - ε (bordge pelo eo Observ-se que depededo dos úeros evolvdos é coselhável usr os testes de erro reltvo: ε 4..4 Clssfcção dos étodos Métodos de quebr: Os étodos de quebr são os s tutvos geoetrcete; cotudo, são os que coverge s letete. Estes étodos são ss chdos porque prtr de u tervlo que coteh u rz d fução, v-se prtcodo este tervlo e outros eores, que d coteh rz. Depededo d escolh do poto de quebr do tervlo, podereos ter dferetes étodos, ts coo. Método d Bsseção; 6

21 Método d Fls Posção. 7 Métodos de poto fo: Nos étodos de poto fo coeços de u proção cl e costruíos seqüêc { } qul cd tero é ddo por + ζ(, ode ζ é u fução de terção. Cofore for ζ, (dzet tereos dferetes étodos de poto fo, ts coo. Método de Newto-Rphso; Método d Iterção Ler. Métodos de últplos potos: Os étodos de últplos potos costtue u geerlzção do étodo teror, ode pr deterr u poto + utlzos város potos terores:, -,..., -p. Eeplo: Método d Secte. 4. Método d Bsseção Sej f( u fução cotíu o tervlo [, b] e sej ξ u rz dest fução, sedo que ξ (, b, tl que f(ξ. y f( f(b ξ 4 b f( Iterpretção geoétrc do étodo d bsseção Dvddo o tervlo [, b] o eo, obté-se, hvedo, pos, dos subtervlos, [, ] e [, b], ser cosderdos. Se f(, etão ξ ; cso cotráro, rz estrá o subtervlo ode fução te ss opostos os potos etreos, ou sej, se f(. f( < etão ξ [, ], seão f(. f( > e ξ [, b]. O processo se repete té que se obteh u proção pr rz et ξ, ou sej, que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão, por dução, teos: Algorto: + b, pr,,,... Se f(. f( <, etão tereos b, seão. Crtéro de Prd: f ( erro ou b erro Restrção: É ecessáro cohecer u tervlo que coteh o vlor desejdo ξ. 4.. Esttv do Núero de Iterções Cosderdo u precsão ε e u tervlo cl [, b] é possível sber, pror, quts terções serão efetuds pelo étodo d bsseção té que se obteh b ε, usdo o lgorto

22 deste étodo. Vos que: b k k b k k b k 8 Deve-se obter o vlor de k tl que b k k < ε, ou sej, b k < ε b ε < k log(b log(ε < k * log( log( b log( log( ε < k Portto, se k stsfz relção c, o fl d terção k tereos o tervlo [, b] que cote rz ξ. 4.. Cosderções Fs As terções ão evolve cálculos lborosos; Apesr de teorcete seguro, o étodo pode ter flhs. Se ocorrer u erro de rredodeto, eso que pequeo, o oeto e que áqu vl o sl do poto édo, podereos ter u tervlo que efetvete ão coté u rz; Pode ser dfícl ecotrr u tervlo [, b], tl que f(. f(b <, e equções co rízes de ultplcdde pr ou uto prós; A covergêc é uto let, pos se o tervlo cl é tl que b >> ε e se ε for uto pequeo, o uero de terções (k tede ser uto grde; Deve ser utlzdo pes pr dur o tervlo que coté rz. 4.. Eeplos Eeplo : Ecotrr rz d fução f(.l(. cotd o tervlo [, ], co erro -. + b Algorto: b Escolh do tervlo: f(.87 f(.9584 ξ [, ] c Vlor do erro: erro - d Iterções: X b f( f( ε f( ,565.7 e Respost:

23 A rz desejd é ξ,955 9 Eercíco : Ecotrr rz de f(, cotd o tervlo [; ], co erro -. Respost: A rz desejd é ξ.7475 Eercíco : Ecotrr rz d fução f( + l( cotd o tervlo [.5, ], co erro -. Respost: A rz desejd é ξ.6565 Eercíco : Ecotrr prer rz postv d fução f( e - se(, co erro -. Respost: A rz desejd é ξ Método d Fls Posção Sej f( u fução cotíu o tervlo [, b] e sej ξ u rz dest fução, sedo que ξ (, b, tl que f(ξ. No cso do Método d Bsseção, é obtdo trvés d éd rtétc etre os etreos e b: + b N or ds vezes rz está s pró de u dos etreos do tervlo. Se prtros do prcípo de que rz deve estr s pró do poto que preset o eor vlor d fução, etão, e vez de tor éd rtétc etre e b, o étodo d fls posção to éd rtétc poderd etre e b co pesos f(b e f(, respectvete: f ( b + b f (, vsto que f( e f(b tê ss opostos, teos etão: f ( b + f ( f ( b bf ( f ( b f ( f ( b bf ( f ( + f ( f ( b f ( ( b. f (, pr,,,... f ( b f ( Grfcete, este étodo procur prtcor o tervlo [, b], terseção d ret que ue os potos (, f( e (b, f(b co o eo. Este poto é represetdo coo. Escolhe-se etão u ovo subtervlo cofore for vrção do sl d curv f. O étodo d fls posção plcdo fgur bo ostr que f(.f( <, co sso, o ovo tervlo que coté pelo eos u rz rel é ddo por (,. Cotudo o processo, deteros o poto e verfc-se, gor, que f(.f( <, dí o processo segue tedo o tervlo (,. Após ecotrr o poto, deveos verfcr, coo o cso d bsseção, se rz está etre o tervlo (, ou (, b. Se f(.f( <, etão tereos b, cso cotráro tereos. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto.

24 y f(b' f(b f( ξ b f( Represetção geoétrc do étodo d fls posção O lgorto deste étodo tbé pode ser ecotrdo trvés d álse dos trâgulos fordos pel ret (, f( e (b, f(b co o eo. Sej o trâgulo f( e o trâgulo f(f(bf(b, etão, pel propredde d seelhç de trâgulos teos: b f ( b f ( b f ( f ( b f ( f ( ( b ( f ( f ( b f ( ( b ( f ( f ( b f ( Se f(.f( <, etão tereos b, seão. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão, por dução teos: Algorto: ( b. f ( Pr,,,... f ( b f ( Se f(.f( <, etão tereos b, seão. Crtéro de Prd: - erro ( ou b Pode ser usdo tbé o crtéro: f ( erro Restrção: É ecessáro cohecer u tervlo que coteh o vlor desejdo ξ. 4.. Csos especs Se f( é cotíu o tervlo [, b] co f(.f(b < etão o étodo d fls posção ger u seqüêc covergete. Se u fução é côcv ou cove e [, b], ou sej, segud dervd este e [, b] e f ( ão ud de sl esse tervlo, etão o étodo d fls posção tereos sepre u ds etreddes f. Este cso especl tbé é chdo de Método ds Cords. A fgur bo ostr grfcete os qutro csos que pode ocorrer:

25 f "( > f ( < e f ( b > b é poto fo f "( > f ( > e f ( b < é poto fo y f( y f(b f( ξ b f( ξ b f( f(b f "( < f ( < e f ( b > é poto fo f "( < f ( > e f ( b < b é poto fo y y f( f(b f( f( ξ b ξ b f( Método d fls posção co u ds etreddes f f(b 4.. Cosderções fs Se o poto fo estr e for rzovelete próo d rz, o étodo te bo covergêc; cso cotráro, pode ser s leto que bsseção. 4.. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo d fls posção eor rz postv d fução de qurto gru f( té que o erro bsoluto sej gul ou feror.. Os cálculos deve ser efetudos co css decs e co rredodeto. ( b. f ( Algorto: f ( b f ( f( f ( f ( 5 b Escolh do tervlo: E prero lugr, deve-se procurr o tervlo ode possvelete estej prer rz postv. Atrvés d álse do vlor d fução os preros potos do eo dos teos que: f(, f(, f( 9, logo, etre (, este u rz postv. c Vlor cl:

26 b f ( 4 f ( 4 f (.f ( > cocvdde ão ud. teos f ( <, f( > e f(b <, portto, b é poto fo. d Vlor do erro: erro - e Iterções: ( ( f ( ( ( f f 9 9, ( ( ( ( 5,5,5 > erro f(.f( (.(,6 6, >, portto rz está o tervlo (, b, etão f 5 (, 5( (, 5 (, 49( 6, (, 55,, 5 5. ( f ( f (, , 58 (,,,58,5,7 > erro f(.f( (,5.(,58,858 >, (, 58( f (, 58 (, 4(, 4,, 58, 58, 58, 59 ( f ( f (, 58 9 (, 4 9, 4,59,58, < erro f Respost: ξ,59 é prer rz postv do polôo. Eercíco : Clculr rz prod pr equção f( cos( +, co ε.. Respost: ξ.79 é rz procurd d equção. Eercíco : Clculr rz egtv pr fução f( e +, co o erro.. Sbe-se que rz está cotd o tervlo [, ]. Respost: ξ.5677 é rz procurd d equção. 4.4 Método d Iterção Ler Sej f( u fução cotíu o tervlo [, b] e sej ξ u rz dest fução, sedo ξ (, b, tl que f(ξ. Por u rtfíco lgébrco, pode-se trsforr f( e dus fuções que lhe sej equvletes. f( y y g(

27 ode g( é chd de fução de terção. y yg( y f( ξ Iterpretção geoétrc do étodo d terção ler Sedo prer proção d rz ξ, clcul-se g(. Fz-se etão, g(, g(, g( e ss sucessvete. Etão, por dução, teos: Algorto: g( pr,,,... Crtéro de Prd: - erro Melhor etreo: Eprcete, sbe-se que o étodo te sucesso qudo g'( < e todo tervlo. O etreo s rápdo pr cr o étodo é quele pr o qul o ódulo d prer dervd é eor. Se g'( < g'(b etão, seão b Csos de covergêc Sej f( 5 +. Possíves g(: g( + 5 g( ( 5 5 g( g( 5 Coo podeos ter várs fuções g(, vos estbelecer lgus codções pr que os resultdos sej stsftóros. Vos observr grfcete o proble e verfcr que há fuções g( que ão são dcds pr escolh. Covergêc ootôc < g ( < Covergêc osclte < g ( <

28 4 y y y y yg( yg( ξ 4 ξ Dvergêc ootôc g ( > y yg( y Dvergêc osclte g ( < y y yg( ξ 4 Covergêc o étodo d terção ler ξ 4.4. Cosderções fs A or dfculdde este étodo é ecotrr u fução de terção que stsfç à codção de covergêc; Teste de g'( < pode levr u ego se ão estver sufceteete próo d rz. A velocdde de covergêc depederá de g'(ξ : quto eor este vlor or será covergêc; Deveos observr que o teste de erro ( - erro ão plc ecessrete que ξ erro, cofore veos fgur bo: y y yg( ξ Eeplos Eeplo : Dd fução f( + 4, obter su rz cotd o tervlo [4.5, 5.5], pelo MIL, co u erro -4. Algorto: g ( b Escolh d fução de terção: y

29 5 y 4 y' dvergêc osclte y y' ( + covergêc osclte y 4 y' 4 covergêc osclte c Melhor etreo (vlor cl: y 4 y' * 4 y'( y'( d Vlor do erro: erro -4 e Iterções: < erro f Respost: A rz desejd é ξ 5. Eercíco : Dd fução f( + cos(.45, obter su rz cotd o tervlo [.5, ], pelo MIL, co u erro -. Respost: A rz desejd é ξ Método de Newto-Rphso ou Método ds Tgetes Sej f( u fução cotíu o tervlo [, b] e sej ξ u rz dest fução, sedo ξ (, b, tl que f(ξ e f (. y f( f( f( ξ β α b ' f(

30 Iterpretção geoétrc do étodo de Newto 6 Toeos b. Etão teos: tgα f '( f '( f ( f ( f '( Se erro, etão é rz desejd, seão deve-se clculr, que é obtdo co bse o f ( eso rcocío teror:. f '( Se erro, etão é rz desejd, seão deve-se clculr,...,, té que erro. Etão, por dução, teos: Algorto: f (, pr,,,... f '( Crtéro de Prd: erro Restrção: É ecessáro cohecer u tervlo que coteh o vlor desejdo ξ. Melhor etreo: Pr decdr qul o elhor etreo do tervlo (, b cr o étodo, bst verfcr qul dos etreos possu fução e segud dervd co eso sl: f(. f''( > Pr {etreos do tervlo} 4.5. Cosderções fs Requer o coheceto d for lítc de f '(, s su covergêc é etrordár Eeplos Eeplo : Clculr rz postv d equção f( se( 4, co erro -, usdo o étodo de NR. Algorto: f ( f '( f( se( 4 f ( cos( f''( se( b Escolh do tervlo: f(.99 f(.8589 f(. f( < ξ [, ] c Melhor etreo (vlor cl: f(.99 f(.8589 f''(.99 f''(.4 d Vlor do erro:

31 erro - 7 e Iterções: f ( f '( > erro f ( f '( > erro f ( f '( < erro f Respost: A rz desejd é ξ.54 Eercíco : Obter rz cúbc de 5, usdo o étodo NR sedo o erro -. f( 5 f'( f''( 6 Respost: A rz desejd é ξ.7 Eercíco : Clculr rz egtv de f( 5 + +, co erro -4. f( f ( + f''( 6 Respost: A rz desejd é ξ Eercíco : Sej fução f( se( tg(. Desej-se sber u ds rízes dest fução, sbedo-se que está cotd o tervlo (, 4. Todos os cálculos deve ser relzdos co 4 css decs co rredodeto e erro ão superor.. f( se( tg( f'( cos( sec ( f''( se( sec ( tg( Respost: A rz desejd é ξ Codções de Newto-Rphso-Fourer Segudo Newto, pr hver covergêc à u rz e seu étodo, bstr que o tervlo (, b e álse fosse sufceteete pequeo. Cotudo, Rphso e Fourer cocluír que u tervlo pequeo é quele que coté u e soete u rz. Co sso, lgus codções for estbelecds pr que tl egêc fosse váld:

32 ª Se f(. f(b >, etão este u úero pr de rízes res (cotdo sus ultplcddes ou ão este rízes res o tervlo (, b (Teore de Bolzo; ª Se f(.f(b <, etão este u úero ípr de rízes res (cotdo sus ultplcddes o tervlo (, b (Teore de Bolzo; ª Se f'(. f'(b >, etão o coporteto d fução este tervlo poderá ser pes crescete ou pes decrescete, e uc os dos se lterdo; 4ª Se f'(. f'(b <, etão fução terá o coporteto de or crescer or decrescer; 5ª Se f"(. f"(b >, etão cocvdde ão ud o tervlo e álse; 6ª Se f"(. f"(b <, etão cocvdde ud o tervlo e álse. Portto, hverá covergêc à u rz o tervlo (, b se e soete se: f(. f(b <, f'(. f'(b > e f"(. f"(b >. Eeplo : Sej fução f( , obter rz cotd o tervlo [8, 9]. Os cálculos deve ser relzdos co 4 decs co rredodeto e erro ão superor,. Algorto : f ( f '( f( f ( 9.5 f ( b Escolh do tervlo: f(8.5; f(9 4 f(8. f(9 < ξ [8, 9] c Melhor etreo (vlor cl: f(8,5 f(9 4 f(8. f(9 < f'(8 6.5 f'(9 8.5 f (8. f (9 > f"(8 f"(9 f (8. f (9 > 9 d Vlor do erro: erro - e Iterções: f ( f '( > erro f ( f '( > erro f ( f '( < erro f Respost: A rz desejd é ξ 8.5 8

33 9 Eercíco 4: Clculr rz d equção f( +, cotd o tervlo [, ], co u erro -. f( + f ( f ( 6 Respost: A rz desejd é ξ Método d Secte U grde desvtge do étodo de Newto é ecessdde de se obter dervd f ( e clculr o seu vlor uérco cd terção. Pr cotorr este proble podeos substtur o cálculo d prer dervd f ( pelo quocete ds dfereçs, usdo ss, u odelo ler bsedo os dos vlores clculdos s receteete: f ( ( f f '( ode e - são dus proções pr rz. Substtudo o vlor prodo d dervd c, fução de terção fc: + f ( f ( f ( + (. f ( f ( f (, pr,,,... Pr cr o étodo ecesstos de dus proções ( e pr rz. y f( f( o ξ 4 f( Iterpretção geoétrc do étodo d secte Neste étodo prtos ds dus proções cs e e deteros ret que pss pelos potos (, f ( e (, f (. A tersecção dest ret co o eo forece o poto. E segud é clculdo u ov proção pr rz prtr dos potos (, f( e (, f (. O processo se repete té que sej stsfeto o crtéro de prd. Observe que este étodo ão ecesstos d crcterístc que é fudetl o étodo d

34 fls posção que ege que f(. f( - <. É portte sletr tbé que rz ão ecesst estr etre s dus proções cs ( e. A covergêc deste étodo é s rápdo que o étodo d bsseção e o d fls posção, cotudo, pode ser s leto que o étodo de Newto-Rphso. Algorto: + ( f (. f ( f (, pr,,,... Crtéro de prd: + erro 4.6. Eeplos Eeplo : Clculr rz d fução f( + 6, sedo.5,.7 e o erro -. (. f ( Algorto : + f ( f ( b Vlor cl:.5.7 c Vlor do erro: erro - d Iterções: (.7.5. f (.7 (.(.4 ( f (.7 f (.5.4 ( > erro ( f (.57 (.57( f (.57 f ( ( > erro.57 ( f (.9977 (.8( f (.9977 f (.57.5 ( < erro e Respost: ξ. é rz procurd. Eercíco : Clculr rz d fução f( cos(, sedo,.5 e o erro -4. Efetue os cálculos co 5 css decs co rredodeto. Respost: ξ.675 é rz procurd. Eercíco : Clculr rz d fução f( 4, sedo, e o erro,5. Respost: ξ,594 é rz procurd.

35 4.7 Método Msto O étodo sto, cosste plcção seqüecl dos étodos NR e Fls Posção, est orde. O étodo NR é plcdo o prero psso, sepre prtr do elhor etreo. Etão, co o ovo N N resultdo obtdo, deter-se qul vlor dos etreos do tervlo será substtuído ( f(. f( < b N, seão N e etão plc-se o étodo d Fls Posção. O resultdo obtdo e F será utlzdo pró terção pelo étodo NR, s tes é feto o teste do erro pr verfcr o crtéro de prd. Ass, por dução, segue-se s terções segutes. Qudo o crtéro de prd for stsfeto, tr-se éd rtétc sples do resultdo d últ terção de bos os étodos e obté-se respost desejd. Algorto: Crtéro de prd: N F +, pr,,,... F N erro 4.7. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo sto, rz d fução f( se( + cos( cotd o tervlo [.5, ], co tolerâc de * -4 e cálculos co 4 css decs co rredodeto. N F + Algorto: f( se( + cos( f ( cos( se( f"( (se( cos( b Vlor do erro: erro. c Escolh do tervlo: f( f(.45 d Iterções: Melhor etreo: f( f(.45 f"( f"( f ( ( f ( ( N N etreo à trocr: N f(. f( f(.5. f(.878 (.678(.594 <.5 b.878 ( * f (.5 (.78 *( f (.878 f (.5 (.594 (.678 F.7488

36 F N > erro etreo à trocr: f(.5. f(.7488 (.678(.5 >.7488 b.878 f (.7488 ( f (.7488 (.557 N etreo à trocr: f( f(.764 (.5(.8 <.7488 b.764 ( * f (.7488 (.55 * ( f (.764 f (.7488 (.8 (.5 F F N erro e Respost: ξ Eercíco : Dd fução f( + cos(.45, obter su rz cotd o tervlo [.5, ] pelo étodo sto, co erro - e cálculos co 4 decs co rredodeto. f( + cos(.45 f'( + + se( f"( + cos( Respost: ξ Método pr Equções Polôs 4.8. Itrodução Ebor qulquer u dos étodos estuddos terorete poss ser usdos pr ecotrr zeros de u polôo de qulquer gru, o fto de os polôos precere co tt freqüêc e plcções fz co que sej dedcd u teção especl. Norlete, u polôo de gru é escrto for: P K pr Sbeos d álgebr eleetr coo obter os zeros de u polôo do segudo gru P (, ou sej,. Este fóruls fechds, seelhtes à fórul pr polôos de gru, s be s coplcds, pr zeros de polôos de gru e 4. Agor, pr 5, e gerl, ão este fóruls eplícts e soos forçdos usr étodos tertvos pr ecotrr os zeros dos polôos. Mutos dos teores d álgebr são útes loclzção e clssfcção dos tpos de zeros de u polôo. O estudo será dvddo e loclzção de rízes e deterção ds rízes res Loclzção de Rízes Vejos lgus teores que serão útes pr efetur loclzção de rízes.

37 Teore Fudetl d Álgebr: Se P ( é u polôo de gru, ou sej, P ( K+, pr,,, K, res ou copleos, co, etão P ( te pelo eos u zero, ou sej, este u úero copleo ξ tl que P (ξ. Pr deterros o úero de zeos res de u polôo co coefcetes res, podeos fzer uso d regr de sl de Descrtes: Ddo u polôo co coefcetes res, o úero de zeros res postvos, p, desse polôo ão ecede o úero v de vrções de sl dos coefcetes. Teos d que v p é u úero tero, pr e ão egtvo. Eeplos: Ddos os polôos segur, deterr o úero de rízes res postvs: P 5 ( v p: se v p, se v p, p p ou b P 5 ( v p: se v p, p se v p, p ou c P 7 ( v e p: {v p p }. Pr deterr o úero de rízes res egtvs, eg, toos P ( e usos es regr pr rízes postvs: P 5 ( P 5 ( v eg: se v eg, eg se v eg, eg ou b P 5 (

38 P 5 ( v eg: se v eg, eg se v eg, eg ou c P 7 ( P 7 ( Neste cso, vos que ão este zero postvo. Teos d P 7 (. Teos etão que, v e eg: {v eg eg }, ou sej, P (, ão te rz rel postv, o zero ão é rz e te pes u rz rel egtv dode te três rízes coples cojugds Deterção ds Rízes Res Estudreos u processo pr se clculr o vlor uérco de u polôo, sto porque e qulquer dos étodos este cálculo deve ser feto u ou s vezes por terção. Por eeplo, o Método de Newto, que vereos segur, cd terção deve-se fzer u vlção do polôo e u de su dervd Método pr Clculr o Vlor Nuérco de u Polôo Pr eeplfcr o étodo, estudreos o processo lsdo u polôo de gru 4: 4 P 4 ( Este polôo pode ser escrto for: P 4 ( ((( cohecd coo for dos prêteses ecdos. Teos etão, o cso de 4, que P 4 ( ((( b 4 b : : Pr se clculr o vlor uérco de P 4 ( e c, bst fzer sucessvete: b b 4 4 b + b 4 c

39 b + b c b + b c b + b c 5 P(c b. Portto, pr P ( de gru qulquer, clculos P (c clculdo s costtes b j, j,,...,, sucessvete, sedo: b b j j + b j+ c j,,...,, e b será o vlor de P ( pr c. Podeos clculr o vlor de P ( e c usdo os coefcetes b j obtdos terorete. Todo coo eeplo o polôo de gru 4, teos: 4 P 4 ( P 4 ( Usdo os vlores de j do cálculo teror e ddo que já coheos b, b, b, b e b 4 : P 4 ( b c + ( b b c c + ( b b c c + ( b b c 4b4c b4c + bc bc + bc + b b c Ass, P 4 ( b 4c + bc + bc + b Aplcdo o eso esque teror, tereos: c 4 b 4 c b + c 4 c c b + c c c b + c c Clculos, pos, os coefcetes c j, j,,..., d segute for: c b c j b j + c j+ c j,,..., Tereos etão P (c c Método de Newto pr Zeros de Polôos Sej P ( + + L u proção cl pr rz procurd. Cofore vos, o Método de Newto cosste e desevolver proções sucessvs pr ξ prtr d terção: P( k k+ k pr k,,,... P'( Eeplo : Dd equção polol , teos que: k

40 P 5 (. P 5 (.6 6 Etão, este u rz o tervlo (,. Prtdo de.5 e cosderdo ε., o Método de Newto pr polôos forece: P ( (((( b 5 b (.5. b 7.4.(.5 4. b ( b (.5.85 b (.5.65 c 5 c (.5.7 c 4..7(.5.5 c (.5.75 c.85.75(.5.75 P(.5.65 e P'(.5.75 P(.5 P'(.5 (-, ( ( > ε b 5 b ( b ( b ( b.8.688( b ( c 5 c ( c ( c ( c ( P( e P'( P(.786 P' (.786 ( ( ( > ε b 5 b ( b ( b ( b.8.968( b ( c 5 c ( c ( c ( c (

41 P( e P'( P(.779 P' (.779 ( (.6.79 ( < ε A rz procurd é:.79 Eercíco : Clculr rz postv do polôo P( +, co erro < -4, pelo étodo de Newto pr polôos. P'( A rz procurd é:.966

42 8 5 Sstes Leres 5. Itrodução Sstes Leres são sstes de equções co equções e cógts fordos por equções leres. U sste ler co equções e cógts é escrto usulete for: ode j : coefcetes j : cógts b : costtes + + L + b + + L + b L + b, j j,,...,,,..., A resolução de u sste ler cosste e clculr os vlores de j, j,,...,, cso eles est, que stsfç s equções sulteete. Usdo otção trcl, o sste ler pode ser represetdo por AX B, ode M L b L b... L b é chd trz coplet ou trz uetd do sste. L L A... L é trz dos coefcetes X B M b b M b é o vetor ds cógts, e é o vetor costte (teros depedetes. 5.. Clssfcção Quto o Núero de Soluções U sste ler pode ser clssfcdo quto o úero de soluções e:

43 Coptível deterdo (o sste ler te solução úc deterdo (o sste ler dte fts soluções 9 Icoptível (o sste ler ão dte solução. Qudo todos os teros depedetes fore ulos, sto é, se b,,,...,, o sste é dto hoogêeo. Todo sste hoogêeo é coptível, pos dtrá pelo eos solução trvl ( j, j,,,...,. 5. Métodos Dretos (Algortos Dretos U étodo é dto dreto qudo solução et r do sste ler é obtd relzdo-se u úero fto de operções rtétcs. São eeplos cohecdos Regr de Crer, o Método d Elção de Guss (ou trgulção e o Método de Jord. 5.. Regr de Crer Sej u sste ler co úero de equções gul o úero de cógts (u sste, sedo D o deterte d trz A, e D, D, D,..., D os detertes ds trzes obtds trocdo e M, respectvete, colu dos coefcetes de,,,..., pel colu dos teros depedetes, teos que: O sste S será coptível e terá solução úc se, e soete se, D. Neste cso úc solução de S é dd por: D, D D D, D D,..., D D A plcção d Regr de Crer ege o cálculo de + detertes ( det A e det A, ; pr o úero totl de operções efetuds será *! * 9 ultplcções s u úero seelhte de dções. Ass, u coputdor que efetue cerc de lhões de ultplcções por segudo levr 5 os pr efetur s operções ecessárs. Co sso, regr de Crer é vável e fução do tepo de coputção pr sstes uto grdes Eeplos Eeplo : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: Clculdo os detertes D, D, D e D teos: D 7 D D Etão, D D 7, D D : 5 T,, , e D 5 D 7 D 5 e solução do sste é

44 Eercíco : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: A solução deste sste é : (,, T 5.. Método d Elção de Guss O étodo d elção de Guss cosste e trsforr o sste ler orgl u outro sste ler equvlete co trz dos coefcetes trgulr superor, pos estes são de resolução edt. Dzeos que dos sstes leres são equvletes qudo possue es solução. O deterte de sstes leres equvletes são gus. Co ( pssos o sste ler AX B é trsfordo u sste trgulr equvlete: UX C, o qul se resolve fclete por substtuções. Vos clculr solução de AX B e três etps: ª etp: Mtrz Coplet Cosste e escrever trz coplet ou uetd do sste ler orgl. ª etp: Trgulção Cosste e trsforr trz A u trz trgulr superor, edte u seqüêc de operções eleetres s lhs d trz. ª etp: Retro-substtução Cosste o cálculo dos copoetes,,...,, solução de AX B, prtr d solução do últo copoete (, e etão substturos regressvete s equções terores. Teore: Sej AX B u sste ler. Aplcdo sobre s equções deste sste u seqüêc de operções eleetres escolhds etre: Trocr orde de dus equções do sste; Multplcr u equção do sste por u costte ão ul; Adcor u últplo de u equção u outr equção; obteos u ovo sste UX C e os sstes AX B e UX C são equvletes Resolução de Sstes Trgulres Sej o sste ler AX B, ode A: trz, trgulr superor, co eleetos d dgol dferetes de zero. Escrevedo s equções deste sste, teos: D últ equção deste sste teos: L + b + + L + b + L + b O M b

45 b 4 - pode etão ser obtdo d peúlt equção: - b,, e ss sucessvete obté-se -,...,, e flete : b L 5... Estrtégs de Pvoteeto O lgorto pr o étodo de elção de Guss requer o cálculo dos ultplcdores: k - k kk k +,..., e k,,,..., - cd etp k do processo. Sedo o coefcete kk chdo de pvô. O que cotece se o pvô for ulo? E se o pvô estver próo de zero? Estes dos csos erece teção especl pos é possível trblhr co u pvô ulo. E trblhr co u pvô próo de zero pode resultr e resultdos totlete precsos. Isto porque e qulquer clculdor ou coputdor os cálculos são efetudos co precsão ft, e pvôs próos de zero são orge ultplcdores be ores que udde que, por su vez, org u plção dos erros de rredodeto. Pr se cotorr estes probles deve-se dotr u estrtég de pvoteeto, ou sej, dotr u processo de escolh d lh e/ou colu pvotl. Est estrtég cosste e: o co d etp k d fse de escloeto, escolher pr pvô o eleeto de or ódulo etre os coefcetes: k, k, k +,..., ; trocr s lhs k e se for ecessáro Clssfcção do Sste Trgulr Sej U u sste trgulr superor esclodo de equções e cógts, tereos s segutes possblddes: sste coptível e deterdo; < sste coptível e deterdo. Se durte o escloeto surgr equções do tpo: b, etão: Se b, etão elreos equção e cotuos o escloeto; Se b, etão coclu-se que o sste é coptível Eeplos Eeplo : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss

46 4 ª etp: Mtrz coplet: M ª etp: Trgulção: Ireos se referr s equções coo: E (prer equção, E (segud equção e ss por dte. O copoetes dc o pvô. E E E E E E E E 7 E 6 ª etp: Retro-substtução: D tercer lh teos: Substtudo segud lh teos: ( 6 Substtudo e prer lh teos: + ( + ( A solução deste sste é : (,, T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss:, 5 +, 5 +, 5, 9 +, +, 49, +, +, 8 A solução deste sste é : (, -, T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss: Método de Jord Cosste e plcr operções eleetres sobre s equções do sste ler ddo té que se obteh u sste dgol equvlete Eeplos Eeplo : Resolver o sste ler pelo étodo de Jord:

47 ª etp: Mtrz coplet: M 4 ª etp: Dgolzção: E E E E E E E E E E E + E E E + 5E 4 E E E E E E E ª etp: Cálculo d solução do sste: D prer lh teos: N segud lh teos: N tercer lh teos: A solução deste sste é : (,, T 5. Ftorção LU A bse do étodo chdo Ftorção ou Decoposção LU, está pod splcdde de resolução de sstes trgulres. Sej o sste ler A b O processo de ftorção pr resolução deste sste cosste e decopor trz A dos coefcetes e u produto de dos ou s ftores e, e segud, resolver u sequêc de sstes leres que os coduzrá solução do sste ler orgl. Supohos que sej possível ftorr trz A dos coefcetes u produto de u trz trgulr feror co dgol utár L e u trz trgulr superor U, sto é: A LU Nests codções, o sste A b pode ser reescrto for LU b, o que perte o desebreto e dos sstes trgulres Ly b e U y

48 Resolvedo o prero sste, clculos y que, usdo o segudo sste, forecerá o vetor procurdo. Dess er, cohecds L e U, o sste será resolvdo co operções (dos sstes trgulres, o que represet u gho substcl coprdo co s operções do étodo d elção de Guss. 5.. Cálculo dos Ftores L e U Os ftores L e U pode ser obtdos trvés de fóruls pr os eleetos l j e u j, ou etão, pode ser costruídos usdo dé básc do étodo d Elção de Guss. Vereos segur coo obter L e U trvés do processo de Guss. Dd u trz qudrd A de orde, sej A k trz costtuíd ds prers k lhs e colus de A. Supoh que det(a k pr k,,..., (. Etão, este u úc trz trgulr feror L ( j, co,, e u úc trz trugulr superor U (u j ts que LU A. Ad s, det(a u u...u. Eeplo : Resolver o sste ler segur usdo ftorção LU: Sej A Clculdo os j e u j, usdo o processo de Guss se estrtég de pvoteeto prcl. Pr trgulr A, teos: Etp : Pvô ( ( ( Multplcdores: ( ( Etão: E E E E E A ( E E E 4 U vez que os eleetos posções, etão: ( e ( são ulos, podeos gurdr os ultplcdores ests