CENTROS DE MASSA I. Cabrita Neves Setembro de 2005

Transcrição

1 CENTR DE AA I. Crt Neves etero de 005

2 Ídce. Cetro de vectores preos Cetro de grvdde Cetro de ss stes co trução cotíu de ss Desdde ássc 6 4. Cetro de ss de sstes co trução cotíu de ss Propredde trutv etr ter oetos estátcos ou oetos de ª orde Cetros de ss de voues de revoução Cetros de ss de superfíces de revoução Cetros de ss de rcos pos Teores de Pppus-ud º Teore de Pppus-ud º Teore de Pppus-ud... 6

3 CENTR DE AA. Cetro de vectores preos Cosdere-se o segute sste de vectores pcdos, todos preos etre s e co o eso setdo. ej r o versor cou este sste. A r r A A r r R r A r g. r e-se d teor dos sstes de vectores que u sste co ests crcterístcs é u sste equvete vector úco. e cd vector te u poto de pcção perfetete defdo, é tur que resutte do sste té possu o seu poto de pcção. Cheos-he. Por se trtr de u sste equvete vector úco podereos pcr-he o teore de rgo, que d que u sste equvete vector úco o oeto resutte e reção u poto é gu o oeto d resutte e reção esse poto. r r = A = r = R () s r r = () e r R = r r = = = = = r (3) ogo r r r = A = = = (4) utpc-se u produto etero de dos vectores por u escr, utpcdo ququer dos vectores por esse escr. Ass sedo, os escres e, que = utpc o segudo vector dos produtos eteros d Eq. 4 pode pssr utpcr os preros vectores respectvete r r r = A = = = (5) 3

4 Pssdo o segudo ero pr o prero e podo o vector r e evdêc à dret, fc = r A = 0 = (6) os provr que este produto etero se u por se ur o prero vector, ou sej, por ser = A = 0 (7) = Pr sso devereos provr que o produto etero d Eq. 6 ão se u por este vector ser preo o vector r. N verdde, se gur rodásseos todos os vectores do sste e sutâeo por for fcre todos preos e co o setdo de u ovo versor r, tedo todos os potos de pcção, oteríos epressões e tudo dêtcs às Eqs. 6 co ecepção do versor r que pssr ser r, ou sej, chegríos = r A = = 0 (8) Evdeteete que o vector do prero ero Eqs. 6 e 8 ão pode ser suteete preo os vectores r e r, peo que terá que ser uo. D Eq. 7 oté-se fete = A = (9) = Ao poto ch-se cetro de vectores preos. A su posção perece terd qudo todos os vectores do sste rod e sutâeo tedo os respectvos potos de pcção.. Cetro de grvdde Cosdereos u sste de prtícus ters e respectvos pesos (g. ). E rgor, trt-se de u sste de vectores cocorretes o cetro d Terr. Pr s pcções que os teress, por se trtr de u poto uto fstdo do sste, os vectores são prtcete preos. 4

5 A A A A p r p r p r P r p r g. É óvo que este sste possurá u cetro de vectores preos cujo vector de posção poderá oter-se prtr de = p A = (0) p = sedo p o peso d prtícu ocd o poto A. A este poto ch-se cetro de grvdde. 3. Cetro de ss edo ss d prtícu, o peso p pode ser susttuído por p = g () represetdo g ceerção d grvdde o poto A d Terr ode se oc prtícu. s sstes que os terress tê s sus prtícus sufceteete prós us outrs pr que o vor d ceerção d grvdde cosderr sej dêtco pr to es. Nests codções, Eq. 0 poderá escrever-se for = g A A = = = () g = = Ao poto ch-se cetro de ss ou cetro de sss. A Eq. perte-os oter o vector de posção do cetro de ss de u sste creto de prtícus. E trdu gudde etre dos vectores, peo que s respectvs copoetes deverão ser gus. Deste odo, tereos 5

6 X = = = Y = = = Z = = (3) = sedo, e s coorde do poto geérco A. 4. stes co trução cotíu de ss 4. Desdde ássc P(,,) g. 3 Cosdere-se gor u sste e que ss se tru de for cotíu u deterdo doío. U t sste pode ser ecrdo coo sedo costtuído por prtes co ss, cotd u voue, tededo o seu úero pr fto à edd que ss de cd prte tede pr ero (g. 3). Ch-se desdde ássc e voue ou ss voúc o te d ρ ( P) = = (4) 0 d e epre-se e uddes de ss por udde de voue. Qudo est grde vr de poto pr poto o doío, este d-se heterogéeo. Cso cotráro d-se hoogéeo. Qudo ss se tru u superfíce defe-se guete u desdde ássc e superfíce trvés de sedo áre d superfíce que coté ss ss por udde de superfíce. d ρ ( P) = = (5) 0 d. Epre-se e uddes de 6

7 Qudo ss se tru o ogo de u h defe-se u desdde ássc e h trvés de sedo s o copreto de h que coté ss de ss por udde de copreto. d ρ s ( P) = = (6) s 0 s. Epre-se e uddes 4. Cetro de ss de sstes co trução cotíu de ss A epressão que perte ccur o vector de posção do cetro de ss de u sste e que ss se tru de for cotíu u deterdo doío, pode ser otd geerdo Eq. pr u sste de prtícus cuj ss d tede pr ero à edd que o seu úero tede pr fto (g. 3). Todo P pr prtícu geérc do sste, à qu se ssoc ss d truíd su vhç, os sotóros d Eq. são susttuídos por tegrs esteddos o doío. P d = (7) d Cosote ss se tru u voue, u superfíce ou u h, poderá escrever-se, co se s Eqs. 4 6, respectvete e susttudo e (7) fcrá ( P) d d = (8) ρ ( P) d d = (9) ρ ( P) d = (0) ρ s = P ρ ρ ( P) ( P) d d () = Pρ ρ ( P) ( P) d d () 7

8 = P ρ ρ s s ( P) ( P) (3) A deterção do vector de posção do cetro de ss de u sste ter co trução cotíu de ss egrá portto resoução de tegrs de voue, de superfíce ou de h, cosote ss se tru e voue, e superfíce ou e h. e o sste for hoogéeo, s Eqs. 3 spfc-se, pos ρ, ρ e ρ s, sedo costtes, poderão pssr pr for dos tegrs o uerdor e o deodor frcções e ser edos, fcdo pes 5. Propredde trutv P d = (4) d P d = (5) d P = (6) Cosdere-se u sste ter e que ss se tru u doío, o qu se pode sudvdr e dos su-doíos e (g. 4). P(,,) g. 4 8

9 s tegrs d Eq. 7 poderão ser esteddos prero o su-doío e segur o su-doío, fcdo P d + = (7) d + d P d utpcdo e dvddo s dus prces do uerdor respectvete por = d e = d fc = P d d + + P d d = + + (8) eerdo pr su-doíos, tereos (9) = = que é dêtc à epressão que os perte oter o vector de posção do cetro de ss de u sste creto de prtícus. Tudo se pss coo se o sste c fosse susttuído por u sste de prtícus costtuído peos cetros de ss prtes e que o sste c é su-dvddo, cocetrdo-se ss de cd u prtes o respectvo cetro de ss. recurso à propredde trutv é de grde utdde e três stuções: = ) stes hoogéeos co for geoétrc cope, susceptíves de sere decopostos e prtes co for geoétrc spes, pr s qus sej fác oter ss e o respectvo cetro de ss (g. 5). ) stes heterogéeos susceptíves de sere decopostos e prtes hoogées, pr s qus sej fác oter ss e o respectvo cetro de ss (g. 6). 3) stes possudo vos. Neste cso o sste é decoposto e prtes cosderdo-se os vos coo doíos co ss egtv (g. 7). 9

10 + = + g. 5 - Core - Aço = + + g. 6 = + + ( ) ( ) g. 7 U for prátc de sstetr o cácuo de cetros de ss co recurso à propredde trutv cosste e orgr u te. Ates de coeçr costrur te é ecessáro detfcr s prtes que costtue o sste, uerdo-s. ste T. 0

11 6. etr ter A Eq. 7 pode ser escrt for equvete = P d (30) ou, utpcdo os os eros pe ceerção d grvdde g = P gd (3) Desdordo e copoetes, teos g = gd (3) g = gd (33) g = gd (34) g. 8 e gros o sste oretdo de t fo que o po sej horot, Eq. 3 epre o Teore de rgo e reção o eo. º ero represet o oeto resutte dos pesos de to s prtícus que costtue o sste e reção o eo equto que o º ero represet o oeto e reção do peso tot. Aogete, Eq. 33 epre o Teore de rgo e reção o eo. po d-se de setr ter se por cd poto co ss eeetr d ocdo pr u dos dos u deterd tâc houver u poto correspodete co gu ss ocdo pr o outro do do po à es tâc. Nests crcustâcs, é fác ver que o oeto resutte dos pesos e reção o eo se u, o que tr coo cosequêc que o cetro de ss terá que estr ocdo sore o po de setr. Est cocusão é ger e pc-se ququer po de setr, coo é fác de provr trvés do teore de rgo oretdo o sste por for que o po de setr fque vertc: cetro de ss de u sste oc-se sepre sore pos de setr ter, qudo est. 7. oetos estátcos ou oetos de ª orde No cso dos sstes hoogéeos, s Eqs ssue for segute, cosote ss se tru e voue, e superfíce ou e h

12 = d (35) = d (36) = (37) = d (38) = d (39) = (40) = d (4) = d (4) = (43) As grdes represet pes Eqs desg-se por oetos estátcos ou oetos de prer orde do voue, d superfíce ou d h e reção o po, respectvete. De for áog, s Eqs e 4 43, represet os oetos estátcos e reção os pos e, respectvete. No cso de superfíces ps ou hs cot o po s Eqs. 36 e 37 defe té os oetos estátcos d superfíce ou d h e reção o eo, e s Eqs. 39 e 40 os oetos estátcos d superfíce ou d h e reção o eo. 8. Cetros de ss de voues de revoução Cosdere-se o voue de revoução gerdo pe rotção de p e toro do eo d superfíce p detd pe curv = () e pes rects = 0 e = e = (g. 9). A coorded do cetro de ss deste voue de revoução oter-se-á prtr d epressão = () d = (44) d d g. 9 A vráve que prece o uerdor dest frcção crcter o voue eeetr d, sto é, o voue eeetr d é o que se tru vhç do poto ou potos do doío u tâc do po. Norete cosder-se d coo sedo o voue eeetr de u preepípedo de dos d, d e d que este vhç do poto geérco P do doío, e os tegrs d Eq. 44 dão orge tegrs trpos e, e. No cso dos voues de revoução pode recorrer-se o chdo étodo fts, que os perte spfcr resoução dos tegrs de voue d Eq. 44 trsfordo-os e tegrs defdos u úc vráve.

13 N verdde, d pode ser cosderdo coo o voue gerdo pe f de rgur eeetr d e tur = (), ddo por d = π d (45) s tegrs de voue d Eq. 44 trsfor-se ss e tegrs defdos e = π π ( ) ( ) d d (46) A Eq. 46 é vád pr voues de revoução hoogéeos. étodo fts pode utr-se té pr sódos de revoução heterogéeos desde que desdde ássc e voue só deped d coorded ( ρ = ρ ( ) ). Neste cso Eq. 46 ssue for = π π ( ) ρ ( ) ( ) ρ ( ) d d (47) 9. Cetros de ss de superfíces de revoução étodo fts pode té ser utdo co vtge o cácuo d posção do cetro de ss de superfíces de revoução. ej etão superfíce de revoução gerd pe rotção de p e toro do eo d h p defd pe equção = () e detd pes rects = e = (g. 0). A coorded do cetro de ss dest superfíce de revoução oter-se-á prtr d epressão d = (48) d = () g. 0 Neste cso, áre eeetr d será áre gerd pe rotção de p e toro do eo do eeeto de h de copreto eeetr, dd por 3

14 d ( ) = π (49) copreto pode ser recodo co d (g. ) trvés de d = d + d = + d = + ( ) d (50) d E Eq. 48 fcrá d g. d = π π ( ) + ( ) ( ) + ( ) d d (5) A Eq. 5 é vád pr superfíces de revoução hoogées. étodo fts pode té ser usdo pr superfíces de revoução heterogées desde que desdde ássc e superfíce só deped d coorded ( ρ = ρ ( ) ). Neste cso Eq. 5 ssurá for = π π ( ) + ( ) ρ ( ) ( ) + ( ) ρ ( ) d d (5) 0. Cetros de ss de rcos pos Cosdere-se u rco po hoogéeo estete o po (g. ), defdo pe curv = (). = () g. A coorded do seu cetro de ss será dd por 4

15 = (53) Recorredo à Eq. 50 fcrá = + + ( ) ( ) d d (54) Pr rcos pos heterogéeos co ( ) ρ = cohecdo será s ρ s = + + ( ) ρ ( ) ( ) ρ ( ) s s d d (55). Teores de Pppus-ud. º Teore de Pppus-ud Cosdere-se superfíce de revoução gerd pe rotção de p e toro do eo d h p defd pe equção = () e detd pes rects = e = (g. 3). = () g. 3 A áre dest superfíce de revoução será dd por = d (56) 5

16 Recorredo à Eq. 49 ter-se-á = π = π = π = ( π ) (57) Nest epressão é coorded e do cetro de ss d h p que ger superfíce de revoução. A Eq. 57 trdu o º Teore de Pppus- u d, que pode eucr-se d segute for A áre d superfíce de revoução gerd pe rotção de p de u rco po de copreto e toro de u eo que o ão tersecte pode oter-se utpcdo o copreto do rco peo cho que o cetro de ss do rco percorre durte rotção. e rotção for de rdos e ve de p Eq. 57 ssurá for = ( α ) (58) As Eqs. 57 e 58 tto pode ser us pr ccur áre d superfíce de revoução, o cso de ser cohecd posção do cetro de ss do rco, coo pr ccur posção do cetro de ss do rco, o cso de ser cohecd áre d superfíce de revoução gerd. Eepo: ccur posção do cetro de ss de u se-crcuferêc (g. 4). R T g. 4 e feros grr de p se-crcuferêc e toro do eo otereos u superfíce esférc, cuj áre é dd por de ode se oté. º Teore de Pppus-ud = 4π R = (π )( π R) (59) R = (60) π Cosdere-se o voue de revoução gerdo pe rotção de p e toro do eo d superfíce p detd pe curv = () e pes rects = 0 e = e = (g. 6). 6

17 = () d g. 6 voue do sódo ss gerdo pode oter-se, tedo e teção Eq. 45, prtr de = d = π d (6) s, tededo que = d (6) 0 Eq. 6 fcrá d = π d d = π d = π = 0 d ( π ) (63) A Eq. 63 trdu o º Teore de Pppus- u d, que pode eucr-se d segute for voue do sódo de revoução gerdo pe rotço de p de u superfíce p de áre e toro de u eo que ão tersect pode oter -se utpcdo áre d superfíce p peo cho que o cetro de ss dess superfíce percorre durte rotção. e rotção for de rdos e ve de p Eq. 63 ssurá for ( α ) = (64) As Eqs. 63 e 64 tto pode ser us pr ccur o voue do sódo de revoução, o cso de ser cohecd posção do cetro de ss d superfíce que o 7

18 ger, coo pr ccur posção do cetro de ss dess superfíce, o cso de ser cohecdo o voue do sódo de revoução gerdo. Eepo: ccur o voue de u coe de ro R e tur H (g. 7) H R g. 7 e feros grr de p e toro do eo o trâguo AB otereos o coe de revoução cujo voue pode ser otdo por pcção do º Teore de ud, sedo que o cetro de ss do trâguo se ecotr u tâc do eo dd por R = (65) 3 ( π R ) H R = R H π = (66) 3 3 8