Fórmulas de quadratura do tipo Gauss associadas aos polinômios similares: propriedades e exemplos

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1 Fórls de qdrr do po Gss ssocds os polôos slres: propreddes e exeplos Algcoe Sr Rg Depo de Cêcs de Copção e Esísc IILCE UNESP 554- São José do Ro Preo SP E-l: rg@lceespr Del Olver Veroe Uversdde Federl do ocs - Crso de eác 77- Cps Uversáro de Arrs Arrs O E-l: veroe@fedr Fórls de qdrr ê sdo plee esdds e são de grde porâc eác e de grde plcldde e ors áres do coheceo prcplee s Cêcs Aplcds scee o oevo de rlhr co fórls de qdrr é proxção érc de egrs De odo gerl eor ds fórls de qdrr evolve o esdo de fórls d for I f ) w φ f x ) qe pode r lzds pr proxr egrs do po f x) dφ x) ode dφ x) é dsrção o edd posv) e ) rdcolee esss fórls de qdrr são ods proxdo- de lg for fção f x) por polôo de gr e oedo- f ) por eo d egrl des polôo U cls de fórls de qdrr e cohecd e de grde vlor eórco é cls ds fórls de qdrr erpolórs s fórls são ods cosderdo- o polôo de erpolção de f x) os poos escolhdos deodos por x As fórls de qdrr erpolórs cosríds prr do polôo F x ξ ) P ξ ) P x) P ξ ) P ) I x { P x)} do qêc de polôos orogos e relção o prodo ero defdo por < f g > : f x) g x) dφ x) são cohecds coo fórls de qdrr gss e ê gr de precsão + ξ) so é são exs qdo fção egrd é polôo de gr eor qe o gl + ξ) ode ξ ) P P ξ ) ξ ) Ne rlho deos vesgr coo coporrão fórls de qdrr ssocds os polôos slres Dzeos qe } é qêc de { polôos slres os orogos cd polôo ) é de gr exee e lé dsso relção + s > s s é ssfe N defção dos polôos slres fção ψ ) é fção rel ld ão-decrescee e co fos poos de eo e ) ) Alé dsso ψ ) é l qe odos os oeos de orde defdos por ± ±

2 ex o são fos Nes cso dzeos qe ) é dsrção fore de Seles e ) É e cohecdo ve por exeplo [4]) qe os polôos slres ssfze ge relção de recorrêc de rês eros: β+ ) α + + co e β ) + β α β + α + N relção de recorrêc c ) H + ) do qe ) H ) H O A prr dos polôos slres c defdos podeos cosrr ovo polôo qe rá coção ler dos polôos ) e ) Ddo o prâero IR podeos cosderr o polôo defdo pel expressão xo: G : ) G Noe qe o gr do polôo c defdo vso coo polôo vrável depederá d escolh do prâero o o gr de rá ddo por G Ulzdo defção dos polôos slres podeos orvr d qe ssfz ge relção: G ) + s G s ) Oro resldo eres e de grde porâc eórc é qe os zeros do polôo G são res sples e pelo eos deles perece o ervlo ) Alé dsso ) deo os G zeros de eão coo G ge qe pr lg { } Pode- osrr é qe escolheros coo ovo prâero dos zeros de o ovo polôo G ) G erá os esos zeros de G vso qe gldde G G ) verfc e qe G Os resldos relvos à fção cdos eroree são odos de odo álogo o qe é feo pr os polôos orogos ve por exeplo []) Ulzdo coo ferre os resldos c odos podeos lsr o qe ocorre qdo cosderos fórls de qdrr cos ós poos escolhdos pr oeção do polôo de erpolção d fção r egrd) são exee os zeros de G Pr cosrção d fórl de qdrr ssocd os zeros de G vos spor qe fção G ) f polôo de gr o áxo + Alsdo o polôo de erpolção de Lgrge de G) e relção os zeros podeos por eo de plções lgércs coveees e d lzção d relção ) coclr qe: f λ ) ) f ) ode ) G ) λ ) ) G ) )

3 A ál fe o prágrfo eror os dz qe f ) é l qe f é polôo de gr o áxo + eão fórl de qdrr ssocd os zeros de rá ex G Noe qe es cso os pesos d fórl de qdrr são ddos por W λ ) ) Se escolheros fção G ) G eão ereos qe ) G) rá polôo de gr o áxo + e poro fórl de qdrr plcd G) rá ex Sedo ss chegos à coclsão de qe λ ) > pr { } vez qe ) ) Podeos perceer poro qe for ípr eão o sl dos pesos ) rá posvo Cso coráro o sl de W v depeder do sl de Vle resslr qe só eos gr de qe dos zeros de G perece ) ) o ão podeos descrr possldde de qe pelo eos zero egvo Poro qros grr qe odos os pesos ) W W posvos s escolheros úero ípr de poos o d escolheros coo prâero úero posvo pos eão os oros zeros de G esrão e ) e coqüeeee é rão posvos Podeos orvr d qe fção λ : IR IR defd por ) G λ ) é posv G y pr odo y IR De fo pr cd y IR podeos cosderr o polôo e coo o própro y é dos zeros de ge qe λ > G G A fção λ ssfz d ge propredde: λ ) π ) ode o ío é odo dere odos os polôos π ) de gr eor qe o gl e qe pos propredde π Pr provros l fo s oros qe oros π ) so s codções cds eroree eão fórl de qdrr plcd à fção ) G ) π rá ex Sedo ss chegos à coclsão de qe ) π ) λ O resldo ge poro odo qe gldde ocorrerá oros o polôo G π G y Coo exeplo cosdereos dsrção d ψ d o ervlo Noe qe ) é dsrção fore de Seles Vos escolher coo prâero o úero y Se ereos 4 ) G ) e poro 8 l ) 7499 e ) Clcldo λ ) por eo d expressão G ) d chegos à coclsão G ) ) de qe λ ) + l Podeos gor clclr qo vle π d qdo π ) percorre odos os polôos de gr eor qe o gl s qe π ) Noe preree qe π ) deve r d for π ) + co IR e qe poro osso prole rese zr ge fção de vrável: H ) + ) d

4 Agor coo H) ão o vlor áxo fzeros H ) ecorreos o vlor de qe z H ) Ass 4 H ) + ) d 4 odo oeos 4 H + l λ ) Coo coqüêc dre do fo de qe λ ) π ) ge qe ) e são ds dsrções fores de Seles s qe ψ x) ψ x) pre qe x > y e x y ) eão λ ψ λ ψ IR Coo exeplo cosdereos ds dsrções fores de Seles e dds por d e d ψ d Sedo ss coo ψ e ψ ) ) eos qe pr x > y co x y vle relção: x o y x + x x y ψ x) ψ ψ x) ψ ψ Clcldo os vlores de λ ) e λ ) veos qe: ψ ψ λ ) 77 > 6485 λ ) Veos gor or propredde qe podeos oer e oss ál ds fórls de qdrr ssocds G Cosdereos ss o polôo de gr defdo por: l G G Noe qe l ) Usdo coo o coo ) )} podeos { escrever fção er: ) l ) l d ge ) Se coo l é polôo de gr o áxo + plcdo fórl de qdrr pr l e sdo o fo de qe l ereos: ) l λ Agor por oro ldo sdo s relções de orogoldde dos polôos slres e eqção ) chegos : ) l ) Poro de ) e ) coclíos qe λ Dí sdo relção de recorrêc dos polôos slres podeos oer: λ G ) ) + edo poro os eros ddos explcee podeos reescrever eqção ) d ge for:

5 l λ G + ) ) Sedo ss cosderros os veores λ G ) λ G ) λ G ) L ) ) ) [ ] ) ) e ) L eão l ) ) ) e poro vle relção ) ) ) ) E ors plvrs os veores { e { )} são orogos )} Podeos coclr poro qe s propreddes ods e rlho por eo ds fórls de qdrr do po Gss ssocds os polôos slres são propreddes elhes às ods pr s fções x ξ ) s fórls ê F osrdo de grde ldde qdo deos egrr fções co sglrdde orge do poro o esdo de ss propreddes de grde eres Referêcs [] S Chhr A Irodco o Orhogol Polyols hecs d s Applcos Seres Gordo rech New Yor 978 [] G Fred Orhogol Polyols Pergo Press New Yor 97 [] V I rylov Approxe Clclo of Iegrls cll New Yor 96 [4] A Sr Rg Coed Frcos wh correspod o wo res expsos d he srog Hrger oe prole e de dooreo Uv of S Adrews 984