INTEGRAIS {(, ) ; 0 ( ( ) } y f x x e a x b. Figura 1.1

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1 Cpíulo INTEGRAIS Nese cpíulo esudremos o coceo de egrl e sus propreddes A egrl em mus plcções geomer (cálculo de áre de regões pls, comprmeo de rco e cálculo de volume) e físc (cálculo de rlho, mss e momeo de érc) Um dos resuldos ms mpores dese cpíulo é o Teorem Fudmel do Cálculo, que relco egrl com dervd, e smplfc cosdervelmee solução de muos prolems Irodução A prcpl movção pr esudr o coceo de egrl esá em ecorr áre de um regão pl qulquer O prolem pode ser formuldo d segue form: Prolem Cosdere um fução f :[, ] R lmd Admmos por smplcdde, f ( ) pr odo [, ] Queremos ecorr áre d regão pl S que esá lmd pelo gráfco de f, pels res = e =, e o eo S = y R y f e {(, ) ; ( ( ) } Fgur O prolem de cálculo de áre de um regão pl é go Os gregos há promdmee 5 os, já sm como ecorr áre de qulquer polígoo A dé d écc empregd er dvdr o polígoo em râgulos e em segud somr s áres ods No cso em que regão pl er qulquer, o méodo ulzdo er o d eusão, que cosse em screver ou crcuscrever fgur com polígoos cujs áres erm cohecds e melhorr promção d áre desejd, umedo o úmero de polígoos scros ou crcuscros As Fgurs e lusrm o méodo plcdo pelos gregos Fgur

2 Fgur Pr ecorr áre d regão S do Prolem, prmermee precsmos dzer o que sgfc áre de S, e depos er clculá-l A dé uv de áre os lev dzer que áre de um regão pl é um úmero rel ão egvo Ms como def-lo? Poderímos pesr em defr áre de S como sedo o supremo ds áres dos polígoos (dgmos reâgulos) codos em S (ver Fgur ) Vmos chmá-lo de medd er de S, que deoremos por m ( S ) De form semelhe, poderímos pesr em defr áre de S como ífmo ds áres dos polígoos que coêm S (ver Fgur ) Vmos chmr ese úmero de medd eer de S, e dcremos por m ( S ) Ao er defr áre de S usdo m ( S ) ou m ( ) e e S surge um prolem Eses dos úmeros em sempre são gus (como veremos Seção ) Assm pr evr um escolh rrár, defremos áre de S como sedo o úmero A l que A = m ( S) = m ( S) e Qudo m ( S) = me ( S) dzemos que o cojuo S é mesurável, cso coráro é ão mesurável As oções de m ( S ) e m ( ) e S os levm s defções de soms feror e superor, e s defções de egrs feror e superor Aes de preser ess defções, vmos relemrr os coceos de supremo e ífmo de um cojuo e sus propreddes que serão úes pr compreesão do eo Supremo e Ífmo de um Cojuo Sej A um sucojuo de R, A Dzemos que A é lmdo superormee qudo ese R l que, pr odo A Cd R com es propredde chm-se co superor de A Alogmee, dzemos que A é lmdo ferormee qudo ese R l que, pr odo A Um elemeo R com es propredde chm-se co feror de A Qudo o cojuo A é lmdo ferormee e superormee, dzemos que A é lmdo, so é, esem e R s que A [, ] Um co superor de A que perece A, chm-se mámo de A e dc-se por m A Um co feror de A que perece A, deom-se mímo de A e dc-se por m A Eemplo Cosdere o cojuo A = { R } Temos: ),, são cos ferores de A O cojuo A é lmdo ferormee ) O cojuo A ão possu co superor, so é, ão ese R l que pr odo A Logo A ão é lmdo superormee c) é um co feror de A que perece o cojuo A Logo, m A = Eemplo Sej B = { R < 4} Temos:

3 ), 5, são cos ferores de B e 4, 5, 7 são cos superores de B Segue que B é um cojuo lmdo ferormee e superormee, logo B é lmdo ) é um co feror de B que perece o cojuo B Logo, m B = c) O cojuo B ão em mámo De fo, pr odo B emos B e < Des form, pr odo B, ese ouro úmero em B que é esrmee mor que Poro, B ão dme mámo O cojuo B cm é lmdo superormee, e ão dme mámo, ms em um co superor que é meor de ods Es sução coduz defção de supremo de um cojuo Defção Sej A R, A um sucojuo lmdo superormee Um elemeo R chm-se supremo de A, qudo é meor ds cos superores de A e dc-se por sup A = O supremo de um cojuo pode ser crcerzdo rvés ds codções ( S ) e ( S ) preseds proposção o Proposção Sej A R, A Um elemeo R é o supremo de A, se, e somee se, s dus codções segues são ssfes: ( S ) Pr odo A, em-se ; ( S ) Ddo ε > qulquer, ese A l que ε < (Ver Fgur 4) Demosrção ( S ) é med, pos é co superor de A ( ) Pr provr ( S ), supohmos que ese um ε > l que ε pr odo A Assm, ε é um co superor de A Como ε < emos um cordção, pos é meor ds cos superores Logo, pr odo ε >, ese A l que ε < ( ) De ( S ) emos que é co superor de A Fl mosrr que é meor ds cos superores Supohmos que es our co superor, dgmos c, l que c < Eão ε = c > e por ( S ), ese A l que ( c) < Assm, ese A l que c < o que é surdo um vez que c é um co superor de A Fgur 4 Noe que ( S ) dz que é co superor de A e ( S ) frm que ão ese our co superor meor que De mer álog, defe-se o ífmo de um cojuo

4 Defção Sej A, A R um sucojuo lmdo ferormee Um elemeo R chm-se ífmo de A, qudo é mor ds cos ferores de A e dc-se por f A = Proposção Sej A R, A Um elemeo R é o ífmo de A se, e somee se, s segues codções são ssfes: ( I ) Pr odo A, em-se ; ( I ) Ddo ε > qulquer, ese A l que < + ε (Ver Fgur 5) Demosrção A prov é álog d proposção eror Fc como eercíco Fgur 5 Eemplo Cosdere o cojuo B do Eemplo Temos: ) 4 é meor ds cos superores de B, logo sup B = 4 ) é mor ds cos ferores de B, poro f B = c) Noe que o cojuo B possu m B = f B, e B ão dme elemeo mámo, ms possu supremo Em R, odo sucojuo lmdo superormee possu supremo Ese fo é presedo o eorem o Teorem (Teorem do Supremo) Todo sucojuo de úmeros res, ão vzo e lmdo superormee, dme supremo em R De form álog o Teorem do Supremo, emos um resuldo que dz que odo cojuo ão vzo de úmeros res que é lmdo ferormee, dme ífmo Lemremos s segues propreddes de supremo e ífmo Proposção Sejm A R, A e B R, B Se B é lmdo e A B eão ( ) sup A sup B e ( ) f B f A Demosrção () Por hpóese B é lmdo, eão ese R l que pr odo B Como A B, emos pr odo A Assm, A é lmdo superormee Sedo A e B lmdos superormee, A e B dmem supremos, dgmos sup A = α e sup B = β De β = sup B emos, β pr odo B Como A B, eão vle β pr odo A Assm, β um é co superor do cojuo A Ms, α é meor ds cos superores de A Logo, α β, ou sej, sup A sup B () Demosrção álog o em () 4

5 Eemplo 4 Deerme, cso esm, o mámo, mímo, supremo e ífmo do cojuo A = { R 4} Solução O cojuo A pode ser escro como { R } Temos, m A =, m A =, f A = e sup A = Eemplo 5 Cosdere fução f :[,] R defd por sup{ f ( ) } e f{ f ( ) } f ( ) = Ecore Solução A fução f é coíu o ervlo [, ], pelo Teorem de Weersrss f ssume em [, ] vlores mámo e mímo que são e, respecvmee Poro, sup{ f ( ) } = e f{ f ( ) } = Iegrs Iferor e Superor, e Fuções Iegráves Pr defr egrs feror e superor, precsmos de lgus coceos relcodos à prção de um ervlo Prção de um Iervlo Um prção do ervlo [, ] é um cojuo fo P = {,,, } ode = < < < < = Os ervlos [, ], =,, serão chmdos os ervlos d prção P Os ervlos [ ] Fgur 6, de P ão precsm er o mesmo comprmeo O úmero P = m{( ),( ),,( )} é chmdo orm d prção P Sejm P e Q prções de [, ] Dzemos que Q é ms f do que P, ou que Q é um refmeo de P, se P Q Som Iferor e Som Superor Sejm f :[, ] R um fução lmd e P = {,,, } um prção de [, ] Defmos som feror s( f ; P ) e som superor S( f ; P ) d fução f, referee à prção P como sedo Teorem de Weersrss Sej f :[, ] R um fução coíu Eão f ssume um vlor mámo, [, ] f ( ) f ( ) f ( ) pr odo [, ] e um vlor mímo Iso é, esem s que 5

6 e ode [ ], [ ], s( f ; P) = m ( ) + m ( ) + + m ( ) = m ( ) = = S( f ; P) = M ( ) + M ( ) + + M ( ) = M ( ) m = f{ f ( ); }, ou sej, m = ífmo dos vlores f ( ) pr o ervlo, e M = sup{ f ( ); }, ou sej, M = supremo dos vlores f ( ) pr o ervlo Noe que s( f ; P) = m ( ) M ( ) = S( f ; P) = =, pos m M pr odo =,, Ou sej, som feror de f é meor ou gul à som superor de f relv à mesm prção Qudo f é coíu e ão-egv em [, ], podemos erprer som feror s( f ; P ) como sedo um som de áres de polígoos scros o gráfco f, e ssm um vlor promdo (por fl) do que uvmee eedemos por áre d regão pl S, delmd pelo gráfco de f, pels res = e =, e pelo eo Smlrmee, som superor S( f ; P ) pode ser erpred como um som de áres de polígoos crcuscros o gráfco de f, e como um vlor promdo (por ecesso) d áre d regão pl S A Fgur 7 lusr s oservções cm Fgur 7 Eemplo 6 Clculr s soms feror e superor pr fução f ( ) [,] Usr prção P =,, Solução Os ervlos d prção P são [, ] =, e [, ] =, Temos =, defd o ervlo Dzer que fução :[, ] [, ] + f R é lmd, sgfc que ese c * f c R l que ( ) pr odo 6

7 m = f ; =, M = sup ; =, 4 m = f ; = e M = sup ; = 4 Segue que s( f ; P) = m ( ) + m ( ) e = + =, 4 8 S( f ; P) = M ( ) + M ( ) 5 = + = 4 8 O que coece com s soms feror e superor qudo crescemos um poo à prção P, ou em gerl, qudo refmos P? O prómo eorem mosr que som feror ão dmu e som superor ão ume Teorem Sejm f :[, ] R um fução lmd, P = {,,, } um prção de [, ] e Q um refmeo de P Eão ( ) s( f ; P) s( f ; Q) e ( ) S( f ; Q) S( f ; P) Demosrção ( ) Vmos ssumr clmee que Q é od prr de P crescedo um poo, dgmos Q = {,,,,,,,, } Sejm m, m ' e m '' os ífmos de f os ervlos [, ],[, ] e [, ], respecvmee Temos, s( f ; Q) = m ( ) + m ( ) + + m ( ) + m'( ) + e m ''( ) + m ( ) + + m ( ) + + s( f ; P) = m ( ) + m ( ) + + m ( ) + m ( ) + m + ( + ) + + m ( ) Fzedo, s( f ; Q) s( f ; P) = m '( ) + m''( ) m ( ) = m '( ) + m''( ) m ( + ) = m '( ) m ( ) + m ''( ) m ( ) = ( m' m )( ) + ( m '' m )( ) Como m' m e m'' m emos s( f ; Q) s( f ; P) Poro, se Q é od prr de P pelo créscmo de um poo emos s( f ; P) s( f ; Q) Se Q possu város poos ms do que P, s plcr ese resuldo repedmee, e eremos s( f ; P) s( f ; Q) ( ) A demosrção o cso ds soms superores é muo precd, e é ded como eercíco 7

8 Como coseqüêc do eorem cm, emos que od som feror é meor ou gul qulquer som superor Coroláro Sej f :[, ] R um fução lmd Pr qusquer prções P, Q de [, ] emse s( f ; P) S( f ; Q) Demosrção Cosderemos prção P Q Temos que prção P Q é ms f do que P e Q Pelo Teorem segue que s( f ; P) s( f ; P Q) S( f ; P Q) S( f ; Q) Poro, s( f ; P) S( f ; Q) Cosderemos o cojuo ds soms ferores referees ods s prções de [, ] Do Coroláro cm emos que qulquer som superor é um co superor pr o cojuo Segue que o cojuo é lmdo superormee, e pelo Teorem possu supremo Alogmee, qulquer som feror é um co feror pr o cojuo formdo pels soms superores Assm, fz sedo flr em ífmo do cojuo formdo pels soms superores Ess oservções os levm s defções de egrs feror e superor Defção Sej f :[, ] R um fução lmd Defmos egrl feror de f, deod por f ( ), e egrl superor de f, deod por ( ) f f ( ) = sup s( f ; P) e ( ) f (, ) f = S f P P P, como sedo O supremo e o ífmo são omdos relvmee ods s prções P do ervlo [, ] dzemos que f é egrável em [, ] Qudo f ( ) = f ( ) chmdo de egrl d fução f e dcmos por f ( ) Ese vlor comum é Os úmeros e são respecvmee os lmes feror e superor d egrl, fução f ( ) é o egrdo e o símolo é um sl de egrção É comum referr-se à f ( ) como egrl defd de f em [, ] A egrl defd f ( ) é um úmero Podemos ulzr ours lers pr represer vrável depedee sem mudr o vlor d egrl, ou sej, f ( ) = f ( ) d f ( s ) ds = Eemplo 7 (Eemplo de fução egrável) Sej f :[, ] R fução cose f ( ) = k Mosre que f é egrável em [, ] e que f ( ) = k ( ) Solução Sej P = {,,, } um prção qulquer de [, ] Temos que m = f{ f ( ); } = k e M = sup{ f ( ); } = k pr odo =,, Assm, 8

9 s( f ; P) = k( ) e S( f ; P) = k( ) Ddo que P é qulquer, emos f ( ) = sup s( f ; P) = k( ) e ( ) f (, ) ( ) f = S f P = k P Como s egrs feror e superor são gus, f é egrável em [, ] e f ( ) = k ( ) Eemplo 8 (Eemplo de fução ão egrável) Sej f :[, ] R fução defd por, se é rcol f ( ) =, se é rrcol Mosre que f é ão egrável em [, ] Solução Sej P = {,,, } um prção qulquer de [, ] Em odo ervlo [, ] de P esem úmeros rcos e rrcos Assm, m = f{ f ( ); } = e M = sup{ f ( ); } = pr odo =,, Segue que s( f ; P) = ( ) e S( f ; P) = ( ) pr qulquer prção P de [, ] Logo, f ( ) = sup s( f ; P) = ( ) e ( ) f ( ; ) ( ) f = S f P = Como f ( ) f ( ) P emos que f é ão egrável em [, ] P P Áre de um Regão Pl Sej f :[, ] R um fução egrável l que f ( ) pr odo [, ] Defmos áre d regão pl S, lmd pelo gráfco de y = f ( ), s res =, = e o eo, como = sedo egrl de f o ervlo [, ] (ver fgur o) Escrevemos Áre S f ( ) Fgur 8 Eemplo 9 Clcule áre d regão S lmd pelo gráfco d fução f ( ) = 5, pels res = e = 6, e o eo do Solução A Fgur 9 mosr regão S Do Eemplo 7 emos que fução cose é egrável Como f ( ) pr odo [,6], segue que 6 5 5(6 ) (uddes de áre) Áre S = = = u 9

10 Fgur 9 O Eemplo 8 mosr que em od fução lmd é egrável É mpore ser qus fuções são egráves Os Teorems e 4, cujs demosrções serão omds, grem que um grde úmero de fuções é egrável Teorem Se f :[, ] R é um fução coíu eão f é egrável Teorem 4 Sej f :[, ] R um fução lmd, com um úmero fo de poos de descoudde Eão, f é egrável Eemplo Clcule 9 erpredo- em ermos de áre Solução A fução f ( ) = 9 é coíu o ervlo [,] Pelo Teorem f é egrável o ervlo [,] Como f ( ) pr odo [,], podemos erprer egrl como áre so curv y = 9, de é Oserve que y + y = 9 com y, ou sej, o gráfco d f é mede do círculo de ro Poro, π 9π 9 = = = 9, ou Eercícos Deerme, cso esm, o mámo, mímo, supremo e ífmo dos cojuos ) A = { R ; 5} ; ) B = ; N + Cosdere fução f ( ) = + Deerme: ) sup{ f ( ) ; } ; ) sup{ f ( ) ; } Clculr s soms feror e superor pr fução f ( ) prção l que o comprmeo de cd ervlo d prção sej = o ervlo [,] Usr 4 Cosdere fução defd por, se f ( ) =, se 4

11 A fução f é egrável em [, 4]? Jusfque 5 Avle egrl 4 erpredo- em ermos de áre 6 Mosre o em ( ) do Teorem Iegrl como Lme de Soms N seção eror defmos egrl de um fução usdo lgugem de supremo e ífmo de cojuo Nosso ojevo gor é mosrr que egrl pode ser erpred como lme de soms, chmds de soms de Rem Pr sso precsmos eselecer lgus resuldos Teorem 5 Sej f :[, ] R um fução lmd As segues frmções são equvlees: ( ) f é egrável; ( ) Ddo ε > qulquer, esem prções P e Q do ervlo [, ] s que S( f ; P) s( f ; Q) < ε ; ( ) Ddo ε > qulquer, ese um prção R do ervlo [, ] l que S( f ; R) s( f ; R) < ε Demosrção Mosrremos que ( ) ( ) Temos que f ( ) = sup s( f ; P) e ( ) f ( ; ) f = S f P P Ds Propreddes e, ddo ε >, esem prções P e Q s que f ( ) ε < ( ; ) s f P ε e f ( ) + > S( f ; P) Segue ds relções cm e de f ser egrável em [, ] que ε ε ε ε S( f ; P) < + f ( ) f ( ) s( f ; Q) = + < + + Poro, S( f ; P) s( f ; Q) < ε Agor, vmos mosrr que ( ) ( ) Sej ε > Por hpóese, esem prções P e Q do ervlo [, ] s que S( f ; P) s( f ; Q) < ε Tome prção R = P Q de [, ] Eão s( f ; Q) s( f ; R) e S( f ; R) S( f ; P) (Teorem ) Poro, S( f ; R) s( f ; R) < ε Fl mosrr que ( ) ( ) Pr qusquer prções P e Q de [, ] emos s( f ; P) S( f ; P) (Coroláro do Teorem ) D defção de supremo podemos escrever sup s( f ; P) S( f ; Q) pr qulquer prção Q de [, ] P Segue que, sup s( f ; P ) é um co feror do cojuo formdo pels soms superores e ssm, P P

12 sup s( f ; P) f S( f ; P) P P Agor, vmos mosrr que sup s( f ; P) = f S( f ; P) P Se fosse sup s( f ; P) < f S( f ; P) eão f S( f ; P) sup s( f ; P) > P P P P Tome ε = f S( f ; P) sup s( f ; P) Por hpóese, pr ese ε ese um prção R do ervlo P [, ] l que Como P S( f ; R) s( f ; R) < ε () f S( f ; P) S( f ; R) e s( f ; R) sup s( f ; P) P podemos escrever S( f ; R) s( f ; R) f S( f ; P) sup s( f ; P) = ε, o que corr desguldde () Assm, sup s( f ; P) = f S( f ; P), P P P ou sej, f ( ) ( ) = f Poro, f é egrável P P P Lem Sejm :[, ] f R um fução lmd e P { } Q é um refmeo de P ode Q P { } M = sup{ f ( ) ; [, ]} e P é orm d prção P =,,, um prção de [, ] Se = eão S( f ; P) S( f ; Q) M P ode Demosrção Supohmos que esej ere e Sejm M, M ' e M '' os supremos d f em [, ], [, ] e [, ], respecvmee Assm, S( f ; P) S( f ; Q) = M ( ) M '( ) M ''( ) = M ( + ) M '( ) M ''( ) = M ( ) + M ( ) M '( ) M ''( ) = ( M M '')( ) + ( M M ')( ) M ( ) + M ( ) = M ( ) M P Oservção: Geerlzdo o Lem, se Q é um prção de [, ] od pelo créscmo de poos à prção P eão S( f ; P) S( f ; Q) M P Teorem 6 A egrl superor de um fução lmd f :[, ] R é o lme ds soms superores S( f ; P ) qudo orm d prção P ede zero, ou sej, f ( ) = lm S( f ; P) P Demosrção Ddo ε > Temos que mosrr que ese δ > l que

13 < P < δ ε + f ( ) < S ( f ; P ) < ε + f ( ) D defção de egrl superor emos f ( ) S( f ; P) pr qulquer prção P de [, ] Oserve que ε + f ( ) < S( f ; P) pr qulquer prção P de [, ] Ad, d defção de egrl superor, pr o ε > ddo ese um prção Q = {,,, } de [, ] l que ε S( f ; Q) < f ( ) + ε Tomemos δ =, ode M = sup{ f ( ) ; [, ]} Sej P um prção rrár com 4( ) M < P < δ Cosdere prção R = P Q Noe que prção R é od prr de P pelo créscmo de o mámo poos, pos Q possu + poos ode oservção fe pós o Lem emos = e S( f ; P) S( f ; R) M ( ) P Segue que S( f ; P) S( f ; R) + M ( ) P ( R é um refmeo de Q ) ε < S( f ; Q) + M ( ) 4( ) M ε ε < f ( ) + +, sempre que < P < δ Poro, lm S( f ; P) f ( ) P = = D De form álog, mosr-se que f ( ) = lm s( f ; P) P Som de Rem Sejm f :[, ] R um fução lmd e P = {,,, } um prção de [, ] Um som de Rem de f em relção à prção P é qulquer epressão S ( f ) d form S ( f ) = f ( c )( ), = ode c é um úmero em [, ] pr =,,, Se f ( c ) > eão f ( c )( ) represe áre do reâgulo de se ( ) e lur f ( c ) (ver Fgur )

14 Fgur Oserve que depedeemee d escolh de c [, ] emos s( f ; P) S( f ) S( f ; P), ou sej, m ( ) f ( c )( ) M ( ), pos m f ( c ) M = = = Eemplo Deerme som de Rem pr f ( ) =, e P prção de [, ] em 4 suervlos de mesmo comprmeo Escolh c como sedo o eremo dreo do suervlo [, ] Solução O úmero de suervlos é 4, ou sej, = 4 O comprmeo dos suervlos é = = Os suervlos são,,,,, 4 e, Assm, c =, c =, c = e c 4 = Logo, som de Rem é 4 S ( f ) = f ( c )( ) 4 = = f + f () + f + f () 7 = = 4 Teorem 7 Sej f :[, ] R um fução lmd As frmções são equvlees: ( ) f é egrável; ( ) Ese o lm f ( c )( ) depedeemee d escolh de c [, ] P = Nese cso, lm f ( c )( ) = f ( ) = P Demosrção ( ) ( ) Do Teorem 6 e f egrável emos lm s( f ; P) = f ( ) = lm S( f ; P) P P 4

15 Oserve que vlem s relções depedeemee d escolh de c = s( f ; P) f ( c )( ) S( f ; P) [, ] Aplcdo o lme s desgulddes qudo P e o Teorem do Cofroo cocluímos que lm f ( c )( ) f ( ) = P = ( ) ( ) Pr provr que f é egrável em [, ], mosrremos que pr odo ε >, ddo rrrmee, ese um prção P de [, ] l que S( f ; P) s( f ; P) < ε Sej I = lm f ( c )( ) D defção de lme, ddo ε > ese um δ > l que P = ε < P < δ f ( c )( ) I < depedeemee à escolh de c = 4 [, ] () Femos P = {,,, } com < P < δ e omemos c [, ] de dus mers ε Prmermee, vmos escolher c [, ] l que f ( c ) < m +, ode 4 ( ) m = f{ f ( ); [, ]}, pr cd =,, Assm, ou sej, ε ε f ( c )( ) < m ( ) + = s( f, P) + 4 4, = = ε f ( c )( ) < s( f, P) () = 4 Agor, vmos escolher c [, ] l que ε f ( c ) > M, ode M = sup{ f ( ); [, ]} 4 ( ) Assm, ε ε f ( c )( ) > M ( ) = S( f, P), = = 4 4 so é, ε f ( c )( ) + > S ( f, P) (4) = 4 Ds desgulddes () e (4) resulm que ε ε f ( c )( ) < s( f ; P) S( f ; P) < f ( c )( ) = = De (), emos que s soms de Rem f ( c )( ) e f ( c )( ) esão o ervlo = ε ε I, I Logo, s( f ; P ) e S ( f ; P ) ε ε perecem o ervlo I, I +, e ssm S( f ; P) s( f ; P) < ε Poro, f é egrável = Teorem do Cofroo Sejm f, g e h fuções com o mesmo domío D, sedo f ( ) g( ) h( ) Se f ( ) e h( ) êm o mesmo lme L com eão g( ) mém em lme L com 5

16 O eorem cm gre que se f é egrável em [, ], eão o vlor do lme lm ( )( ) f c P = é o mesmo, depedeemee d escolh de c, e é gul f ( ) Se, pr um escolh prculr dos c, ecorrmos lm f ( c )( ) = L, eão eremos f ( ) = L = Usremos es oservção o prómo eemplo P Eemplo Cosdere fução f :[, ] R defd por f ( ) = A fução f é egrável em [, ]? Jusfque Cso frmvo, deerme como lme de soms de Rem Solução A fução f é coíu em [, ], eão pelo Teorem emos f é egrável em [, ] Pr deermr dvdremos o ervlo [, ] em suervlos de mesmo comprmeo, formremos s soms de Rem S( f ) = f ( c )( ) ode escolheremos c como sedo o = eremo dreo dos suervlos d prção P, e clculremos lm S( f ), que será P Com efeo, pr cd N, cosderemos ( ) ( ) ( )( ) ( ) P =, +, +,, +, + = prção que cosse em dvdr [, ] em pres gus, cd um com comprmeo Pr cd suervlo ( ) ( ) + ( ), +, ( ) ( ) c = + e emos f ( c ) = + A som de Rem é S ( f ) = f ( c )( ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( ) = + [ ( ) + ] ( ) ( + ) = ( ) + (som PA com ermos) ( ) ( ) = + + ( ) = + 6

17 Como os comprmeos dos ervlos d prção P são gus, fzer P eder zero equvle fzer eder Logo, ( ) lm S( f ) = lm + P = Poro, = Eercícos Deerme som de Rem S( f ) d fução f ( ) =, ode P = {,,,, 4} é prção do ervlo [,5] em quro suervlos de mesmo comprmeo, e: ) c é o eremo dreo de ervlo[, ] ; ) c é o eremo esquerdo do ervlo[, ] ; c) c é o poo médo de [, ] Cosdere fução f :[,] R defd por ( ) f é egrável em [,]? Jusfque ( ) f ( ) = Ecore como lme de soms de Rem Sugesão: Dvdr o ervlo [,] em pres gus, escolher c como sedo o eremo dreo dos suervlos, e usr relção ( + )( + ) = 6 Cosdere fução f :[, ] R defd por f ( ) = e ( ) f é egrável em [, ]? Jusfque ( ) Ecore e como lme de soms de Rem 4 Propreddes d Iegrl N defção f ( ), ssummos < Nos csos em que = e > defmos s egrs como sedo f ( ) = e ( ) ( ) f = f, respecvmee Teorem 8 Sejm f, g fuções egráves em [, ] e k R Eão: ; ) k f é egrável em [, ] e k f ( ) = k f ( ) ) f + g é egrável em [, ] [ f + g ] = f ( ) g ( ) + ; e ( ) ( ) c) Se f ( ) pr odo [, ], eão f ( ) ; 7

18 d) Se f ( ) g( ) pr odo [, ], eão f ( ) g( ) Demosrção Vmos provr os es (), (c) e (d) O em () demos como eercíco () Sej P = {,,, } um prção de [, ] Tod som de Rem d fução k f é d form k f ( c )( ) ode c = [, ] Como f é egrável em [, ] eão ese lm ( )( ) depedeemee d escolh de f c P = f ( ) Assm, lm f ( c )( ) = k lm f ( c )( ) P P = = = k f ( ) Poro, k f é egrável em [, ] e k f ( ) = k f ( ) (c) Sej P { } c [, ], e é gul =,,, um prção de [, ] Como f é egrável em [, ] eão ese lm ( )( ) depedeemee d escolh de f c P = Como f ( c ) pr odo c [, ] segue que f ( c )( ) = Poro, lm f ( c )( ), ou sej, f ( ) = P c em [, ], e é f ( ) (d) De f ( ) g( ) pr odo [, ] segue que ( f g)( ) pr odo [, ] Dos es () e () emos que f g é egrável em [, ] e ( f g )( ) = f ( ) g ( ) Aplcdo o em (c) à fução f g emos, ( f g )( ) = f ( ) g ( ) Poro, f ( ) g( ) Eemplo Clcule egrl 5 ( + 4) Solução Dos Eemplos 7 e emos 5 4 = 4(5 ) = e = = Pelos es () e () do Teorem 8 podemos escrever 8

19 5 5 5 ( + 4) = + 4 = + 6 = 5 Eemplo 4 Sejm f um fução egrável em [, ] e m, M R Mosre que se pr odo [, ] m f ( ) M eão m( ) f ( ) M ( ) Solução Cosdere s fuções g e h defds por g( ) = m e h( ) = M pr odo [, ] Temos que g e h são egráves em [, ], pos são fuções coses, e m = m ( ) e ( ) M = M Como m f ( ) M pr odo [, ], segue pelo em (d) do Teorem 8 que m( ) f ( ) M ( ) Teorem 9 Se < c < e f é egrável em [, c ], em [ c, ] e em [, ], eão c f ( ) = f ( ) f ( ) + c Demosrção Sej P um prção de [, ] Como c (, ) eão ou c é um poo d prção P, so é, c = pr lgum, ou c esá o eror de lgum suervlo d prção P, ou sej, c (, ) Cosdere prção P ' de [, ] formd d segue mer: se c for um poo d prção P eão P ' será própr P Se c (, ) pr lgum, eão P ' será prção formd por odos os poos de P ms o poo c Assm, os suervlos d prção P ' serão os mesmos de P, com eceção do suervlo [, ] que será dvddo em [, c] e [ c, ] Des form eremos P ' P Supohmos que prção P ' o ervlo [, c ] fo dvddo em l suervlos e o ervlo [ c, ] fo dvddo em l suervlos A fução f egrável em [, ], eão podemos escrever Como P ' f ( ) = lm f ( c )( ) P = l = lm f ( c )( ) f ( c )( ) P + = = l+ l = lm f ( c )( ) + lm f ( c )( ) P P = = l+ P, emos que P ' qudo P Assm, l f ( ) = lm f ( c )( ) + lm f ( c )( ) P' P' = = l+ Como fução f egrável em [, c ] e [, ] c respecvmee f ( ) e ( ) f c c emos que os lmes guldde cm são Poro, c f ( ) = f ( ) f ( ) + c 9

20 Eemplo 5 Cosdere fução f ( ), se = Clculr egrl, se < 5 5 f ( ) Solução A fução f é egrável em [,5], pos é coíu (Teorem ) Temos que f é egrável em [, ] e f ( ) = = ( ) = 4,5 e f é egrável em [ ] f ( ) = = = Logo pelo Teorem 9 emos 5 5 f ( ) = + 9 = 4 + = 4 Eercícos Clcule egrl se Escrev egrl como um úc egrl d form f ( ) ) ) 5 7 f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Se 4 f ( ) d =, f ( ) d = e 4 f ( ) d = Ecore f ( ) d 4 Mosre o em () do Teorem 8 5 Teorem Fudmel do Cálculo Clculr egrs defds usdo soms de Rem é rlhoso, mesmo pr fuções smples Nes seção vmos demosrr o Teorem Fudmel do Cálculo 4 que eselece um coeão ere s operções de dervção e egrção Ese eorem perme ecorr egrl defd, pr um clsse de fuções, de mer rápd e smples sem ulzr lmes de soms Pr sso, roduzmos o coceo de prmv de um fução Defção 4 Sej f :[, ] R um fução Um prmv de f em [, ] é um fução dervável F :[, ] R l que F '( ) = f ( ) pr odo [, ] Eemplo 6 4 Ese eorem fo eselecdo depedeemee por Sr Isc Newo (64-77) Iglerr e Gofred Lez (646-76) Alemh

21 ) Se f ( ) = eão F( ) = é um prmv de f, pos F '( ) f ( ) = ) Se f ( ) = e eão F( ) = e é um prmv de f, pos F '( ) = f ( ) c) Se f ( ) = se eão F( ) = cos é um prmv de f, pos F '( ) = f ( ) se( ) d) Se f ( ) = cos( ) eão F ( ) = é um prmv de f, pos F '( ) = f ( ) e) Se f ( ) = eão F( ) = é um prmv de f, pos F '( ) = f ( ) l 5 4 f) Se f ( ) = eão F( ) = é um prmv de f, pos F '( ) = f ( ) g) Pr od cose c ( c R ), F( ) = + c é um prmv d fução f ( ) = 5 Noe que se F( ) é um prmv de f em [, ] eão pr od cose c ( c R ), fução G( ) = F( ) + c mém é prmv de f em [, ] A proposção segur, eselece que se F( ) é um prmv prculr de f eão od prmv de f é d form F( ) + c Proposção 4 Se F, G :[, ] R são prmvs d fução f :[, ] R, eão ese um cose c R l que G( ) = F( ) + c pr odo [, ] Demosrção Cosdere fução H :[, ] R defd por H ( ) = G( ) F( ) Temos que ( ) H '( ) = G( ) F( ) ' = G '( ) F '( ) = f ( ) f ( ) = pr odo (, ) Como fução H possu dervd ul em odos os poos de (, ), segue de um resuldo 5 vso o Cálculo I, que H é um fução cose Poro, ese c R l que G( ) F( ) = c, ou sej, G( ) = F( ) + c pr odo [, ] Teorem (Teorem Fudmel do Cálculo TFC) Se f :[, ] R é um fução egrável e F :[, ] R é um prmv de f eão f ( ) = F ( ) F ( ) Demosrção Sej P = {,,, } um prção de [, ] Temos que F é dervável em [, ], e coseqüeemee F é coíu em [, ] Segue que F é coíu e dervável em cd ervlo [, ] d prção P Aplcdo o Teorem do Vlor Médo 6 em cd ervlo de P, ese c (, ) l que F( ) F( ) F '( c ) = pr odo =,, 5 Se um fução coíu f :[, ] R possu dervd ul em odos os poos (, ), eão f é cose (pág do merl de Cálculo I) 6 Teorem do Vlor Médo Sej f um fução coíu em [, ] c (, ) l que f '( c) = f ( ) f ( ) e dervável em (, ) Eão ese

22 Como F '( c ) = f ( c ) resul que F( ) F( ) = f ( c )( ) Podemos escrever S ( f ) = f ( c )( ) ( c escolhdo como cm) = = [ F( ) F( )] = = F( ) F( ) Assm, lm S ( f ) = F( ) F( ) P Como f é egrável eão o vlor dese lme é o mesmo, depedeemee d escolh dos c, e poro f ( ) = F ( ) F ( ) É comum epressr dfereç F( ) F( ) por F( ) Eemplo 7 Clculr s segues egrs defds: ) ; ) ( + ) ; π c) (se + ) Solução ) A fução F( ) = é um prmv d fução = 7 = = f ( ) = Logo, ) Aplcdo s propreddes d egrl e o Teorem Fudmel do Cálculo, emos ( + ) = + 4 = ( ) = + [ ( )] 4 4 = 6 c) π π π (se + ) = se + π π = cos +

23 π π = cos ( cos ) + π π + 8 = + = 8 8 Eemplo 8 Clcule Solução A fução f ( ) = pode ser escr como, se f ( ) =, se < Ds propreddes d egrl e o Teorem Fudmel do Cálculo, emos = + = + = + = 4 O Teorem Fudmel do Cálculo pode ser plcdo pr clculr egrl defd de um fução f, qudo se cohece um prmv de f No que segue, mosrremos que od fução coíu em [, ] possu um prmv Se um fução f é coíu em [, ], eão f é egrável o ervlo [, ] pr qulquer [, ] Pr cd [, ] egrl f ( ) d é um úmero e é úco Assm podemos defr um fução G que cd [, ] ssoc esse úmero Mosrremos que G é um prmv de f Teorem Se f :[, ] R é um fução coíu eão fução G :[, ] R, defd por G ( ) ( ) = f d, é dervável e G '( ) f ( ) = pr odo [, ] Demosrção Sej c [, ] Pr ecorr dervd d fução G deermremos s dervds lers d G o poo c Iclmee mosrremos que G( c + h) G( c) lm = f ( c) + h h Vmos ssumr h > e dmr que c + h [, ] Pel defção d G, c+ h c G ( c + h ) G ( c ) = f ( ) d f ( ) d c c+ h c c (Teorem 9) = f ( ) d + f ( ) d f ( ) d c+ h = f ( ) d c A fução f é coíu em [ c, c + h], eão pelo Teorem de Weersrss esem, [ c, c + h] s que f ( ) f ( ) f ( ) c, c + h pr odo [ ] Pelo Eemplo 4 podemos escrever

24 c+ h f ( ) h f ( ) d f ( ) h c c+ h Como h > e f ( ) d = G( c + h) G( c) emos c G( c + h) G( c) f ( ) f ( ) (5) h + Noe que se h eão c + e c +, pos e esão ere c e c + h D coudde de f podemos escrever lm f ( ) = lm f ( ) = f ( c) e lm f ( ) = lm f ( ) = f ( c) + + h c + + h c + Fzedo h desguldde (5) e plcdo o Teorem do Cofroo oemos G( c + h) G( c) lm = f ( c), + h h ou sej, pr c l que c + h [, ] emos, ' ' G+ ( c) ese e G+ ( c) = f ( c) ' De form álog mosr-se que G ( c) = f ( c) e ssm G ' ( c) = f ( c) Oserve que pr e ' ' emos pes G+ ( ) = f ( ) e G ( ) = f ( ) Segue que G é dervável e G '( ) = f ( ) pr odo [, ] Eemplo 9 Ecore dervd d fução ( ) se d G = Solução Como f ( ) se = é coíu, eão pelo Teorem emos que G '( ) f ( ) se = = Eemplo Clcule d e d Solução Vmos plcr o Teorem jumee com Regr d Cde Fzedo d u d e d e d = d u du = e d du u = e = e u = emos 5 Eercícos Clculr s egrs o: 4 ) ( + ) ; ) c) e ; d) π cos ; d Achr s dervds ds segues fuções: ) G( ) = + d ; F = l d ; (Sugesão: escrev ) ( ) l d = l d ) 4

25 c) H ( ) e = cos d Clcule egrl defd Iegrl Idefd O Teorem Fudmel do Cálculo eselece um relção ere prmv e egrl defd Pr represer fmíl de ods s prmvs de um fução f roduzmos oção f ( ), que de cordo com defção o será chmd de egrl defd Defção 5 Se F( ) é um prmv de f ( ) em um ervlo I, epressão F( ) + c ode c é um cose rrár, é chmd egrl defd d fução f ( ) e é deod por f ( ) = F ( ) + c D defção cm emos f ( ) = F ( ) + c F '( ) = f ( ) Noe que egrl defd f ( ) represe um fmíl de fuções ( fmíl de ods s prmvs), equo egrl defd f ( ) é um úmero Propreddes d Iegrl Idefd Teorem Sejm f, g : I R fuções defds em um ervlo I, que possuem prmvs, e k um cose ão ul Eão: ) k f ( ) = k f ( ) ; ) [ f ( ) + g ( )] = f ( ) + g ( ) Demosrção ) Sej F um prmv de f Temos k F é um prmv d fução k f, pos ( ) k F( ) ' = k F '( ) = k f ( ) pr odo I Poro, k f ( ) = k F( ) + c c = k F( ) + k = k F( ) + c [ ] = k f ( ) ) Demos à você como eercíco 5

26 Eemplo ) 4 4 = + c, pos = 4 4 e e ) e = + c, pos = e c) se = cos + c, pos ( cos ) ' = se ' ' Podemos cosrur um el de egrs, prr ds dervds ds fuções elemeres Chmmos ess egrs de meds No que segue lsmos lgums egrs meds Tel de Iegrs Imeds = + c α+ α = + c, ( α é cose e α ) α + = l + c 4 e = e + c 5 = + c, > e l 6 se = cos + c 7 cos = se + c 8 9 sec cossec = g + c = cog + c sec g = sec + c cossec cog = cossec + c rc g = + + c = rcse + c 4 rcsec = + c Eemplo Clculr egrl defd + se Solução + se = + se (propredde d egrl) = l + c cos + c ( c e c coses rrárs) = l cos + c ( c = c + c ) 6

27 Eemplo Clculr egrl defd Solução = (propreddes d egrl) = = + c + + c + 4l + c = + + 4l + c ( c = c + c + c ) Oservção: Qudo vermos um som de várs egrs defds, escreveremos um úc cose pr dcr som ds coses de egrção Eemplo 4 Clcule egrl defd se + cos Solução se se + = + cos cos = g sec + = sec + + c = sec + c Eemplo 5 Clcule egrl defd + Solução = + + = rc g (el - em e TFC) π π = = 4 6 Eercícos Clcule s egrs defds: ) 4 ( + + ) ; ) + 9 d ; 7

28 c) e l ; d) ; l se 4 e) ; f) se Verfque por dferecção que guldde esá corre ) = l( + ) + c ; + ) e = e ( + ) + c ; c) = + c (4 ) 4 4 Deermr fução f ( ) l que: f ( ) = se + + c 6 4 Clcule s egrs defds: ) ( + ) e ; ) (cos θ + θ ) d θ π 7 Téccs de Iegrção Mus vezes, pr clculr um egrl defd precsmos usr ceros rfícos memácos pr rsformá-l em our egrl ms smples de ser od Nes seção vmos preser dus éccs áscs pr clculr egrs defds, que são: Méodo d Susução ou Mudç de Vrável, e Méodo d Iegrção por Pres No prómo cpíulo veremos ours éccs de egrção 7 Méodo d Susução ou Mudç de Vrável Sejm f e F fuções s que F ' = f Supohmos que g sej our fução dervável l que mgem d g esej o domío de F Podemos cosderr fução compos Fog Aplcdo Regr d Cde e usdo o fo F ' = f emos ' [ F( g( ))] = F '( g( )) g '( ) = f ( g( )) g '( ) Assm, oemos fórmul de egrção pelo méodo d susução f ( g ( )) g '( ) = F ( g ( )) + c Se fzermos mudç de vrável u = g( ) e susurmos g '( ) pel dferecl 7 du eão 7 Dferecs form vss o Cálculo Se u = g ( ) eão '( ) du g = 8

29 f ( g ( )) g '( ) = f ( u ) du = F ( u ) + c A écc d mudç de vrável é um ferrme poderos pr clculr egrs defds, que perme susur um egrl relvmee complcd por um ms smples Vejmos lgus eemplos Eemplo 6 Clculr s egrs defds: ) e ; ) cos( + ) ; c) ( + ) Solução e fremos mudç de vrável = e oemos du = ) Pr clculr egrl Logo, u e = u e du u = e + c (voldo à vrável cl ) = e + c ) Pr clculr egrl cos( + ) fremos susução Assm, u = + e oemos du = ou cosu cos( + ) = du = cos u du = se u + c = se( + ) + c c) Ecorremos Logo, u du = ( + ) fzedo mudç de vrável = + Segue que du = ( ) + = u du u = + c ( + ) = + c 9

30 Eemplo 7 Use o méodo d susução pr mosrr que g = l sec + c Solução se g = cos Fzedo u = cos oemos du = se Assm, du g = u = l u + c = l + c cos = l sec + c Eemplo 8 Clcule egrl defd + Solução Fzedo = + com oemos d = Assm, + = ( ) d = ( ) d = ( + ) 4 d 6 4 = ( + ) d 7 5 = + + c = + + c 7 5 ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) + + c 7 5 Eemplo 9 Clcule egrl + 5 Solução = + 5 ( ) + 4 Fzedo u = oemos du = Assm, = du + 5 u + 4 = 4 du u + 4 4

31 du = 4 u + d = 4 (fzedo + d = (el) + = rc g + c u = rc g + c ( ) = rc g + c u = oemos d = du ) O méodo d susução de vrável pode ser usdo pr clculr egrs defds Podemos ulzá-lo de dus forms: Mudmos os lmes de egrção o fzer mudç de vrável, e plcmos o Teorem Fudmel do Cálculo Nese cso, fórmul d egrção or-se g( ) f ( g( )) g '( ) = f ( u) du ( u = g( )) g( ) Clculmos egrl defd correspodee, e em segud plcmos o Teorem Fudmel do Cálculo 4 Eemplo Clcule egrl defd + Solução Fzedo u = + oemos du = Pr ecorr os ovos lmes de egrção, oemos que se = eão u = ; se = eão u = 5 Assm, 4 5 du = + u 5 = l u = l 5 l = l 5 Our mer de clculr egrl defd é oer prmermee egrl defd, e em segud plcr o Teorem Fudmel do Cálculo Vejmos: 4 du = + ( u = +, emos du = ) u = l u + c Aplcdo o TFC, emos = l( + ) + c

32 l ( ) 4 = + = l 5 l = l 5 Eemplo Ecore áre d regão S lmd pelo gráfco d fução f ( ) = se, pels res = e π =, e o eo dos Solução A regão S esá lusrd Fgur Fgur π Como f ( ) pr odo,, áre d regão S (ver defção Seção ) é dd por Áre S = π se Fzedo u = oemos du = Os ovos lmes de egrção são: se = eão u = ; π se = eão u = π Logo, Áre S = π se π = se u du = cos u π = (cos π cos ) = u 7 Eercícos Clculr s egrs defds ) ; ) cos(5 + ) ; l c) ; d) ; + 4

33 e) cog ; f) Clculr s egrs defds usdo o méodo d mudç de vrável ) ; ) + ; l c) e ; d) Clcule egrl sec Sugesão: Escrev (sec + g ) sec = sec (sec + g ) 4 Mosre que = rc g + c, ode + 7 Méodo d Iegrção por Pres Sejm f e g fuções derváves um mesmo ervlo I Pel regr d dervd do produo emos ' [ f ( ) g( )] = f '( ) g( ) + f ( ) g '( ) Noe que [ f ( ) g( )] é um prmv de [ f ( ) g( )]' Assm podemos escrever [ f '( ) g ( ) + f ( ) g '( )] = f ( ) g ( ) + c, ou d, f ( ) g '( ) = f ( ) g ( ) f '( ) g ( ) + c Oserve que o desevolver egrl o segudo memro surgrá our cose de egrção Suprremos cose c fórmul cm, e o fl do processo roduzremos um cose c pr represer ods s coses de egrção evolvds Dese modo podemos escrever f ( ) g '( ) = f ( ) g ( ) f '( ) g ( ), que é fórmul de egrção por pres Vmos reescrever fórmul d egrção por pres, usdo um oção que se or fácl de ser memorzd Fzedo u = f ( ) e v = g( ) emos du = f '( ) e dv = g '( ) Eão fórmul d egrção por pres pode ser escr como u dv = u v v du Eemplo Clculr egrl cos

34 Solução Vmos plcr o méodo d egrção por pres pr clculr egrl Pr sso devemos escolher u e dv Fzedo u = e dv = cos, emos du = e v = se Aplcdo fórmul d egrção por pres oemos, cos = se se = se + cos + c Eemplo Clculr egrl l Solução Fzedo u = l e dv =, emos du = e v = Logo, l = l l = = l + c Eemplo 4 Clculr egrl rcse Solução Fzedo u = rcse e dv = oemos du = e v = Aplcdo fórmul de egrção por pres emos rcse = rcse Pr clculr egrl fremos mudç de vrável, = e oemos d = Assm, d = = + c = + c Poro, rcse = rcse + + c, ode ( c = c) Eemplo 5 Clculr egrl cos 4

35 Solução Fzedo u = e dv = cos oemos du = e v = cos = se Assm, cos = se se Pr clculr se devemos plcr ovmee o méodo d egrção por pres Fzedo u = e dv = se oemos du = e v = cos Segue que, se = cos + cos = cos + se + c 4 Poro, cos = se + cos se + c 4 Eemplo 6 Clculr egrl e cos Solução Fzedo u = e e dv = cos emos du = e e v = se Assm, e cos = e se e se Pr clculr egrl e se plcmos ovmee egrção por pres Fzedo u = e e dv = se emos du = e e v = cos Segue que, e se = e cos + e cos Logo, e cos = e se + e cos 9 e cos Noe que egrl do segudo memro é gul egrl que queremos clculr Chmdo I = e cos podemos escrever I = e se + e cos 9I, ou sej, [ se I = e + e cos ] Poro, 5

36 e e cos = [se + cos ] + c Podemos clculr egrs defds usdo egrção por pres Comdo fórmul de egrção por pres com o Teorem Fudmel do Cálculo oemos f ( ) g '( ) = f ( ) g( ) f '( ) g( ), que é fórmul de egrção por pres pr egrl defd Eemplo 7 Avle egrl l Solução Fzedo u = f ( ) = l e dv = g '( ) = oemos du = f '( ) = e v = g( ) = Usdo fórmul d egrção por pres pr egrl defd emos, l = l = l l 4 = l 4 4 = l 4 74 Eercícos Clcule s egrs defds: ) e ; ) ( ) sec ; c) 4 l ; d) rc g ; e) l ( + ) ; f) Sugesão: Aplcr o méodo d egrção por pres e escrever sec ; Sugesão: Escrev sec = sec sec e use sec g = + = + + Clculr s egrs defds: 6

37 ) c) e ; ) π se ; d) π ( + ) cos ; l Use o méodo d egrção por pres pr mosrr que se = se cos + se Sugesão: Epresse se = se se 4 Supoh que f '' é coíu em [, ] Mosre que f ( ) = f ( ) + f '( )( ) + ( ) f "( ) 8 Cálculo de Áres Vmos Seção que se f :[, ] R é um fução egrável l que f ( ) pr odo [, ], áre d regão pl S lmd pels res =, = e y =, e pelo gráfco de = f é dd por Áre S f ( ) Fgur Podemos eseder o cálculo de áre pr um clsse ms mpl de regões pls Vmos ssumr que s fuções evolvds são fuções egráves Vejmos: Se f ( ) pr odo [, ], eão f ( ) e ssm Áre S f ( ) = {(, ) R ; ( ) } S = y e f y Fgur Oservção: Se regão S é descr como Fgur 4 eão c d Áre S = f ( ) f ( ) + f ( ) c d 7

38 Fgur 4 Se regão pl esá ere os gráfcos de dus fuções y = f ( ) e y = g( ), e s res = e =, com f ( ) g( ) pr odo [, ] eão Áre S = f ( ) g ( ) {(, ) R ; ( ) ( )} S = y e g y f Fgur 5 A Fgur 5 lusr o cso ode S é regão lmd pels res = e =, e pelos gráfcos ds fuções f e g com f ( ) g( ) pr odo [, ] Noe que f ( ) g( ) pr odo [, ] Se for mdo f ( ) g( ) pr odo [, ], mesmo que g ão ssfç codção g( ) pr odo [, ], o cálculo d áre do cojuo S cou o mesmo As Fgurs 6 () e 6 () judm vsulzr o cálculo d áre Fgur 6 Eemplo 8 Clculr áre d regão S lmd pels res =, = e y =, e pel curv y = + Solução A regão S esá lusrd Fgur 7 Áre S = ( + ) 8

39 = + 4 = 4 u 4 Oservção: Em lgus csos Fgur 7 = e/ou = precsm ser deermdos Eemplo 9 Ecore áre d regão S lmd pelo eo e pel práol y = + Solução A práol 8) y = + cor o eo dos os poos = e =, (ver Fgur ( ) Áre S = + = = = u Fgur 8 Eemplo 4 Clculr áre d regão S lmd pels res = y = e y = +, e pel curv Solução As curvs y = + e = y ercepm-se o poo de scss (ver Fgur 9) [ ] Áre S = + 9

40 = + = u Fgur 9 Eemplo 4 Ecore áre d regão S lmd pels curvs y = +, y =, y = e = y Solução A re y = + e y = ercepm-se o poo de scss As curvs y = e y = ercepm-se o poo de scss 4 As curvs y = e y = ercepm-se o poo de scss A Fgur dc os poos de erseção ds curvs Fgur 4 ( ) ( ) Áre S = [ + ] + ( ) + [ ] 4 4 = = 5 u Our mer pr ecorr áre cm, é clculr egrl [ ( )] Áre S = y y dy 8 Eercícos Esoce regão lmd pels curvs dds e ecore áre d regão: ) y = e y = ; ) y = 6 +, y = e y = ; 4

41 c) y =, y =, = e y = ; d) y =, =, = e y = ; e) y = cos, y = se e = ; f) y = e y = + 6 Cosdere regão descr pelo cojuo S ddo, e clcule su áre ) S = {(, y) R ;, y } ; ) S = {(, y) R ;, y }; c) S = {(, y) R ;, y + 5 } 9 Iegrs Impróprs N defção d egrl f ( ), ssummos f um fução lmd o ervlo fechdo e lmdo [, ] Agor, vmos eseder o coceo de egrl pr os dems pos de ervlos Iso é, pr ervlos d form [, ), (, ], (, ), [, + ), (, ], (, + ), (, ) e (, ) Defção 6 (Iegrs Impróprs em Iervlos Lmdos) ) Sej f :[, ) R um fução egrável em [, ], pr odo em (, ) Se lm f ( ) esr eão ese lme é chmdo egrl mprópr de f o ervlo [, ), e escrevemos f ( ) = lm f ( ) ) Sej f : (, ] R um fução egrável em [, ], pr odo em (, ) Defmos egrl mprópr de f o ervlo (, ] como sedo lm f ( ) +, se ese lme + esr, e escrevemos f ( ) = lm f ( ) c) Sejm f : (, ) R um fução e c (, ) Se f ( ) e ( ) f esem eão c defmos egrl mprópr de f em (, ) por f ( ) c = f ( ) + ( ) f c c Oservções: c ) Com oção do em (c) d defção cm pode-se provr que, se f ( ) e f ( ) λ esem pr lgum c (, ), eão f ( ) c e f ( ) esem pr odo λ λ (, ) Logo, pel cor-posv, pr mosrr que f ( ) ão ese, s ecorr um poo c (, ) l que f ( ) ou ( ) f ão es c c 4

42 ) Cosum-se chmr epressão f ( ) de egrl, mesmo que o domío d f sej [, ), (, ] ou (, ) E escreve-se egrl f ( ) gul o lme correspodee, mesmo es de clculr o lme Dedo sueeddo que egrl f ( ) só ese qudo o lme correspodee ese Por eemplo, se f esá defd em [, ) escrevemos f ( ) = lm f ( ), mesmo es de clculr o lme Qudo egrl f ( ) ese dzemos que es egrl é covergee Cso coráro, dzemos que é dvergee Eemplo 4 Deerme se cd egrl é covergee ou dvergee ) ; ) ; c), ode p > p Solução ) A fução f ( ) = é coíu em [, ] pr < < Logo, f é egrável em [, ] pr odo (, ) D Defção 6 emos = lm = lm Como = lm ( + ) = lm =, egrl é covergee ) A fução f ( ) = é coíu em [,] pr odo < < Logo, f é egrável em [,] pr odo < < Assm, = lm + Como + = lm l + + [ l ] = lm l = + lm ão ese, egrl é dvergee 4

43 = é coíu em [,] pr odo (,) Noe que pr p = egrl é p, que é dvergee (em ()) Vmos lsr covergêc d egrl pr p Nese cso, = lm p + p = p lm + c) A fução f ( ) p+ = lm+ p + p+ = lm+ p p + p Se p > eão p + <, e qudo emos + + Segue que lm + p ão ese Logo, egrl com p > é dvergee p + p Se < p < eão p + >, e qudo emos + Logo, lm + p =, so é, egrl p é covergee p Poro, egrl é covergee pr < p < e dvergee pr p p Eemplo 4 Avle egrl l Solução A fução f ( ) = l ão esá defd orgem, e é coíu em [,] pr odo < < Assm, l = lm l + Pr oer l vmos usr egrção por pres Fzedo u = l e dv = oemos du = e v = Temos, l = l = l 4 = l Assm, l = lm l

44 Vmos usr Regr de L Hospl pr clculr o lme do prmero ermo l lm l = lm + + = lm + 4 = lm + 4 = Poro, l = 4 Eemplo 44 Clcule egrl Solução A fução f ( ) = esá defd em (,), e é coíu os ervlos [,] pr odo < < e [, s ] pr odo < s < Assm, = +, desde que s egrs do segudo memro sejm covergees Vmos clculr = lm + Pr oer, plcremos o méodo d susução Fzedo u =, oemos du = Assm, du = u Logo, Agor, Poro, = u + = + = lm + = = lm = lm u = lm + = 44

45 = + = Eemplo 45 Clcule egrl Solução A fução f ( ) = esá defd em (,), e é coíu os ervlos [,] pr odo < < e [, s ] pr odo < s < Assm, = +, desde que s egrs do segudo memro sejm covergees Clculremos = lm + A fução f( ) = pode ser escr como f( ) = + Eão = + = l l + = l + l + Segue que, = lm l + l + + = Como egrl é dvergee, cocluímos que é dvergee Se egrl f ( ) esr e f é ão egv o seu domío [, ), (, ] ou (, ) eão es egrl pode ser erpred como áre d regão S do plo lmd so gráfco de f e cm do eo, e ere res = e = (ver Fgur ) Fgur 45

46 Defção 7 (Iegrs Impróprs em Iervlos Ilmdos) ) Sej f :[, + ) R um fução egrável em [, ], pr odo + > Se lm f ( ) esr, eão ese lme é chmdo de egrl mprópr de f o ervlo [, + ) Nese + + cso usmos oção f ( ) = lm f ( ) Alogmee, se f : (, ] R é um fução egrável em [, ] pr odo <,, qudo o defmos egrl mprópr de f em (, ] por f ( ) = lm f ( ) lme esr ) Sej f : (, + ) R um fução Se pr lgum c (, + ) esrem f ( ) e + f ( ), defmos egrl mprópr de f em (, + ) c + c + f ( ) = f ( ) f ( ) + c De form álog defmos s egrs mpróprs pr fuções defds em ervlos d form (, ) e (, + ) c por Oservções: + ) Cosum-se chmr s epressões f ( ), f ( ) e f ( ) de egrs E + escreve-se egrl f ( ), f ( ) ou f ( ) gul o lme correspodee, mesmo es de clculr o lme Dedo sueeddo que egrl só ese qudo o lme ese c ) Com oção do em () d defção cm pode-se provr que, se f ( ) e + λ f ( ) esem pr lgum c (, + ), eão f ( ) c e f ( ) esem pr λ odo λ (, + ) O mesmo vle pr egrs defds em (, ) e (, + ) + + Qudo egrl f ( ) ese dzemos que es egrl é covergee Cso + coráro, dzemos que é dvergee O mesmo vle pr s egrs f ( ) e f ( ) Eemplo 46 Deerme se cd egrl é covergee ou dvergee ) ) + e ; + ; 46

47 c) +, ode p > p Solução ) D Defção 7 emos Como ) + e = lm e + e + lm ( e e ) + = lm = + = lm + + e = lm e =, egrl + + = lm + = lm l + [ l] = lm l + = lm l = e é covergee + Como o lme ão ese, egrl é dvergee + c) Pr lsr covergêc d egrl p, esudremos os csos em que p = e p + Se p = eão egrl é dvergee (em ()) Pr p, emos + lm p = p + p+ = lm + p + p = lm + p p Se p > eão p <, e qudo + emos p Logo, + lm + =, so é, egrl p p p com p > é covergee Se < p < eão p >, e qudo + emos p + Nese cso, lm + p ão ese, e ssm egrl + com p < é dvergee p + Poro, egrl p é covergee pr p > e dvergee pr < p 47

48 Eemplo 47 Clcule + e se Solução D Defção 7 emos + e se lm e = se + Pr clculr egrl du Assm, Pr clculr e se plcremos egrção por pres Fzedo u = e e dv = se, oemos = e e v cos = e se = e cos e cos e cos, plcmos ovmee egrção por pres Fzedo u = e e dv = cos, oemos du = e e v = se Logo, e se = ( e cos + cos ) e se + e se ou sej, e se = [ e cos + e se ] Poro, (Noe que cos e se são lmds e + cos se e se = lm + + e e qudo qudo ) e + = + Eemplo 48 Clcule 9 + Solução Podemos escrever + + = , + 9 desde que ms s egrs do segudo memro sejm covergees Clculdo, + = lm = lm rc g (Seção 7 Eercíco 4) + = lm rc g rc g + = lm rc g + π = 6 48

49 De form álog, mosr-se que π = π Como ms s egrs são covergees, egrl dd é covergee e = + 9 Oservção: Qulquer um ds egrs mpróprs defds cm, pode ser erpred como um áre, desde que fução sej ão-egv e egrl covergee Por eemplo, se f ( ) + pr odo e egrl f ( ) ese, eão defmos áre d regão correspodee + = S = {(, y) R ;, y f ( )} como sedo Áre S f ( ) Fgur Eemplo 49 Esoce regão correspodee áre de S S = y R y e {(, ) ;, }, e deerme Solução A regão S esá lusrd Fgur Fgur Áre S = e = lm e = lm e = lm ( e e ) = e u Em lgums suções esmos eressdos somee em ser se egrl é covergee ou dvergee O prómo resuldo (Créro d Comprção) perme frmr covergêc ou dvergêc de um egrl comprdo- com our A demosrção será omd 49

50 Teorem (Créro d Comprção) Sejm f, g : I R fuções s que f ( ) g( ) pr odo I, ode I é um ervlo d form [, ), (, ], (, ), [, + ), (, + ), (, ], (, ) ou (, + ) ) Se egrl de g em I é covergee eão egrl de f em I é covergee; ) Se egrl de f em I é dvergee eão egrl de g em I é dvergee Noe que em () o eorem cm é cor-posv do em () Oservções: ) O Créro d Comprção pode ser plcdo qudo f ( ) e g( ) são ms ão posvs Sejm f e g fuções s que f ( ) g( ) pr odo I ( I é um dos ervlos cm) () Se egrl de f em I coverge eão egrl de g em I coverge () Se egrl de g em I dverge eão egrl de f em I dverge ) No Créro d Comprção, hpóese de f ( ) e g( ) serem ms ão egvs (ou ão posvs) é essecl Se es hpóese é removd podemos er prolem Vejmos: Cosdere s fuções f, g : (,] R defds por f ( ) = e g( ) = Temos g( ) f ( ), pos ( ), f pr odo ( ] Clculdo g( ) = lm lm lm ( ) = = = =, e f ( ) = = lm = lm l = lm ( l l ) = Logo, g( ) coverge, ms f ( ) dverge + Eemplo 5 Verfque que egrl mprópr é covergee 4 + Solução Temos que 4 4 < + pr Segue que < pr Mulplcdo por desguldde cm emos, < < pr Como é covergee (Eemplo 46), segue pelo Créro d Comprção que egrl + é covergee 4 + 5

51 + + e Eemplo 5 Mosre que egrl é dvergee Solução Pr emos + e + e > e > > e Como é dvergee, segue pelo Créro d Comprção que egrl é dvergee Eemplo 5 Verfque que cos é covergee Solução Pr emos cos Podemos escrever cos pr odo Como + 9 é covergee (Eemplo 48) segue, pelo Créro d Comprção, que + cos egrl é covergee + 9 Eemplo 5 Aplque o Créro d Comprção pr verfcr que e é covergee Solução Pr < emos < e e Segue que e e < pr < e Como é covergee, emos mém é covergee Logo, covergee e é 9 Eercícos Verfque se egrl é covergee ou dvergee, e vle quels que são covergees ) + + ; ) + 4 d ; + c) + + ; d), ( > ); + e) ( ) + e ; f) + g) ; h) l z dz ; + e cos Use o créro d comprção pr deermr se egrl é covergee 5

52 ) c) e) + ; ) ( + e ) ; d) + ; f) 5 + e ; se + + ; + Se f ( ) é coíu pr, rsformd de Lplce de f é fução F defd por + s F( s) = f ( ) e d, e o domío de F é o cojuo de odos os úmeros s pr os qus egrl coverge Clcule rsformd de Lplce ds segues fuções: ) f ( ) = ; ) f ( ) = cos ; c) f ( ) = e ; d) f ( ) = Ulzção de Pcoes Compucos Sofwres de Compução Numérc permem o usuáro eecur, com lgus comdos smples, um qudde de operções que ser vável de ser fe mulmee Esem dversos pcoes comercs específcos pr o cálculo umérco Um dos ms populres é o MATLAB: prcmee opresee os meos ceífcos Dversos cloes do Ml, com lceçs códgo lvre, form desevolvdos os úlmos os Dere eles podemos cr o Ocve O Ocve fo cocedo promdmee em 988 pr servr de referêc pr um posl de um curso de Projeos de Reores Químcos, que esv sedo escro por Jmes B Rwlgs, d Uversdde de Wscos-Mdso e de Joh G Ekerd d Uversdde do Tes Aulmee o Ocve é ulzdo de mer ms mpl que plejd de íco, esdo presee o o meo cdêmco como em plcções comercs As ses do MATLAB e do Ocve são muo semelhes ssm como sus fucolddes Os compudores são ferrmes esseclmee umércs, des form, s prcps lguges de progrmção são mers elords de esr o compudor como mpulr quddes de modo rsformá-ls em ours quddes Apesr de pdrão, o processmeo umérco ão é úc fucoldde dos compudores us, de fo, em 844, Ldy Lovelce 8 prevu possldde de um máqu mpulr símolos No eo, só em 95 coseguu-se cosrur um ssem que relzsse cálculos lgércos smples A mpulção smólc em compudores moderos é, ulmee, se corrquer e esmos cosumdos mpulr od sore de formção smólc (omes, ds, eos) os ms dferees coeos A dé cerl d deomd Compução Algérc ou smólc é mpulr símolos memácos dremee de form forecer resposs lgércs pr prolems lgércos O pcoe Gu/Mm é um sofwre lvre pr cálculos memácos, com se semelhe à do sofwre Mhemc Amos podem ser ulzdos pr mpulção de epressões smólcs, cludo egrção, dferecção, resolução lgérc de ssems de equções leres e ão-leres lém de mpulção de veores e mrzes O Mm 9 produz resuldos precsos e pode er grfcmee fuções e ddos em dus ou rês dmesões 8 Erou pr hsór como prmer mulher progrmdor, ode crou um lgormo pr o cálculo d Seqüêc de Beroull usdo máqu líc de Chrles Bge 9 To o Ocve como o Mm podem ser dos grumee em hp://sourceforgee/ 5

53 A segur, preseremos lgus eemplos ds poeclddes do Mm o cálculo egrl e dferecl Eemplo 54 Clculr ( + 4) 5 Solução Podemos resolver es egrl rvés do cálculo d áre delmd pels curvs dds por f ( ) = + 4, =, = 5 e pelo eo- Pr fclr, podemos desehr o gráfco d respecv regão (Fgur ) Pr sso, podemos usr o segue comdo do pcoe compucol Mm: plod(* + 4, [,, 5]) ode o prmero rgumeo represe fução e o segudo rgumeo se dvde em rês pres: vrável depedee e os eremos feror e superor do ervlo ode fução deve ser represed Fgur : Esoço do gráfco de f ( ) = + 4 e deermção de áre o ervlo [,5] Semos que regão hchurd o gráfco é um rpézo cuj áre é dd por ( B + ) (9 + 7)4 = = 5 u Tl egrl defd mém pode ser clculd rvés do comdo egre(* + 4,,, 5) ode o prmero rgumeo represe fução ser egrd, o segudo represe vrável de egrção e os dos úlmos represem os eremos feror e superor do ervlo de egrção Eemplo 55 Ecorr prmv ds egrs o, ulzdo o Mm: ) F( ) = ; ) F( ) = e ; c) F( ) = se( ) ; d) F( ) = 4 Solução Em odos os es, pode ulzr o comdo egre(f(), ) Repre que gor ele só em dos rgumeos: o prmero que deve ser rocdo pel respecv fução ser egrd e o segudo que represe vrável de egrção Em ) emos o comdo egre(,), em ) egre(*ep(*),), em c) egre(s(),) e em d) egre(^4,) Ao relzr esses eses, oe que os resuldos podem ser dcods coses de egrção pr represer od fmíl de prmvs Mores delhes sore o uso do sofwre podem ser ecordos em hp://mmsourceforgee/docs/mul/p/mmhml 5

54 Eemplo 56 Clculr áre defd pelo gráfco d curv f ( ) =, em [,] + Solução O gráfco d respecv regão (Fgur ) pode ser odo rvés do comdo plod(/(^+)^(/), [,, ]) Fgur : Esoço do gráfco de f ( ) = e deermção de áre o ervlo [,] + A áre defd pelo gráfco d fução f, o ervlo especfcdo, pode ser clculd rvés d egrl + que o sofwre Mm pode clculr usdo o comdo egre(/(^+)^(/),,, ), resuldo u Pr oermos somee prmv +, podemos usr o comdo egre(/(^+)^(/), ) Eemplo 57 Clculr áre delmd pelo gráfco ds curvs y = e y = Solução Pr esoçr os gráfcos ds dus fuções em um mesmo ssem de eos coordedos, ere =,5 e =,5 (Fgur ), ulzmos o comdo plod([^, *-^], [, -5, 5]) ode o prmero rgumeo se dvde em dus pres represedo cd um ds fuções e o segudo rgumeo se dvde em rês pres: vrável depedee e os eremos feror e superor do ervlo ode fução deve ser represed 54