= n + 1. a n. n 1 =,,,,,, K,,K. K descreve uma sequência finita.

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1 DICIPINA: CÁCUO A CONTEÚDO: EQUÊNCIA PROFEORA: NEYVA ROMEIRO PERÍODO: BIMETRE EQUÊNCIA Um squêc um fução f cujo domío o cojuo dos ros posvos su gráfco o plo y do po, ou d, squêc um cojuo d prs orddos do po, f, como pod sr obsrvdo s Fgurs f k, oção dcl, pr cd ro k posvo k Emplo : f, ão f, f, f, f, K, ão os rmos d squêc f pod sr rprsdo por: 6,,,,,, K, 6 7 cosqum os rmos d squêc f pod sr rprsdo por: 6,,,,,, K,,K 6 7 Ercíco : do f, cor os rmos d squêc f Fgur : Rprsção d um squêc 7 Ercíco : do quro prmros rmos d squêc, ch os Ercíco : Ach os rmos ds squêcs: f Fgur : Rprsção d um squêc Emplo :, dscrv um squêc f; {,,,, K,,K} b {,,,,, }, K dscrv um squêc f b, s for mpr f, s for pr c Obsrv os rmos ds squêcs dscrs m b d Esboc os gráfcos ds squêcs d d b Obsrvdo ss gráfcos, o qu você pod coclur sobr s squêcs dscrs m b? OB: do f um squêc, os úmros do cordomío são do po f, f, f, f, K, f, ou d

2 Dfção : Um squêc { } m por lm ou covrg pr s pr odo ε s um úmro posvo N l qu < ε smpr qu N ou lm l úmro ão s, squêc ão m lm ou dvrg Torm : lm f f svr dfd pr odo ro posvo, ão qudo for um ro posvo Emplo : lm A squêc f covrg, pos, lm f lm pr odo, m prculr o ão lm pr odo ro posvo, lm f lm cosqum, s for mpr b A squêc f, s for pr dvrg pos ão há um úmro dfdo pr fução f, so : lm lm Assm, o lm f dd dvrg ão s, poro sr Dfção : um squêc { } vr um lm, dzmos qu l covrg, covrg pr o lm squêc ão for covrg, l srá dvrg b form squêcs covrgs c for um cos, ão: Proprdd : { } { } lm c c lm lm ± b lm ± lm b lm b lm lm b v lm lm s lm b lm b b odo b Torm Torm do Cofroo dpdo pr squêcs: b c pr o lm lm c ão lm b Torm : lm ão lm A squêc { } r covrg s < r dvrg pr odos os ouros vlors d r, s - < r < lm r, s r Emplo : Us os rsuldos cm pr drmr s squêc 6 covrg 6 ou dvrg covrg, drm su lm olução: Usdo o rsuldo cm, od lm r, s r <, obsrv-s qu r squêc dd r 8 <, 6 poro lm 6 cosqum 6 squêc covrg su lm zro Ts rsuldos podm sr vrfcdos grfcm Fgur por mo do cálculo do lm, como sgu: Alsdo o lm do modulo, pos s lm ão lm,ssm, lm 6 lm 6 lm 6 cosdrdo y 6 l y l 6 l y l l y 8, sdo 6 qu l 8 Ou d, 6

3 l y 8 y 8 ou y, poro lm y lm 8 8 Assm, lm 6 6 lm 6 6 cosqum Dfção : Um squêc { } domd crsc s < pr odo, so < < < Um squêc { } < domd dcrsc s pr odo, so Dfção : Um squêc d mooôc ou moóo s for crsc ou dcrsc Dfção : Um squêc { } lmd suprorm s sr um úmro M l qu M pr odo E lmd frorm s sr um úmro m l qu m pr odo Fgur : Gráfco d squêc f 6 6 Ercíco : Us os rsuldos cm pr drmr s squêc covrg ou dvrg covrg, drm su lm Us um rcurso gráfco pr sboçr o gráfcos d cd squêc OB: l for lmd supror frorm ão { } um squêc lmd Emplo : A squêc f moóo pos crsc, porm ão lmd um vz qu ão possu lm supror Ad ms, squêc ão covrg, pos lm Ts rsuldos mbm podm sr obsrvdos Fgur b c d l Fgur : Gráfco d squêc f f Tod squêc lmd, mooôc, covrg g h { } OB: Nm od squêc covrg lmd mooôc

4 Emplo 6: A squêc f covrg, porm ão mooôc, como pod sr obsrvdo Fgur Fgur 6: Gráfco d squêc f Ercíco : Ivsgu squêc { }, od Fgur : Gráfco d squêc f b Emplo 7: Ivsgu squêc { }, od olução: < pos < pr odo ro posvo, logo squêc { } poro mooôc Obsrv-s qu lm squêc são:,, dcrsc, qu os rmos d,,, K,,K, poro squêc lmd suprorm por frorm por zro, sdo squêc lmd, Fgur 6 Ercíco 6: Vrfqu s squêc mooôc dcrsc ou dcrsc b! Ercíco 7: Vrfqu s squêc covrg, s for clcul su lm ÉRIE INFINITA Frqum scrvmos fuçõs como polômos fos <

5 Podmos rprr l rsuldo obsrvdo s Fgurs Fgur : Gráfco ds fuçõs,, K, pr <, Assm, podmos vlr o polômo como um som f d coss, qul chmrmos d sr f ÉRIE E OMA PARCIAI Um som f d úmros rs smpr produz um rl, ms um som f d úmros rs lgo complm dfr Ess rzão pl qul prcsmos d um dfção cuddos d srs fs Fgur : Gráfco Fgur : Gráfco od M Dfção : Dd um squêc d úmros, um prssão d form { } M um sr f O úmro rmo d sr o smo As soms prcs d sr formm um squêc M d úmros rs, cd um dfdo como um som f squêc d som prcs m um lm qudo, dzmos qu sr covrg pr som scrvmos Pod-s obsrvr qu, logo squêc d som prcs m um lm qudo, dzmos, ssm, qu sr covrg pr som Emplo : Drm s quro prmrs soms prcs d sr olução:

6 6 6 6 OB: A sr lscópc chmd d sr Emplo : Por mo dos rsuldos prsdos cm pod-s frmr qu sr lscópc pr, so covrg su som covrg Ercíco : Drm s quro prmrs soms prcs d sr b Ulz o m pr vrfcr s sr covrg, m cso frmvo drm o vlor pr o qul su som covrg Um sr covrg ou covrg s su squêc d soms prcs { } covrg, so, s úmro rl lm pr lgum lm ão sr sr srá dvrg OB: ogo, ou Emplo : Mosr qu sr covrg drm o vlor pr o qul su som covrg olução: Do Emplo mos qu Fgur : ssm,,,,, K, smplfcdo s prssão usdo um dcomposção por frçõs prcs, mos A B A B ou Fgur : A B A B A 6

7 7 A B A B ogo ssm, Poro lm lm lm Ercíco : Ddo sr, ch,, ; b ch ; c vrfqu s sr covrg ou dvrg; d s covrg, drm o vlor pr o qul su som covrg Ercíco : Ddo sr, drm s sr covrg ÉRIE GEOMÉTRICA rs gomrcs são srs d form r r r r r od r são úmros rs fos A rzão r pod sr posv ou gv Dfção : A sr gomrc são srs d form r r r r r r r r r covrg m som r, s < r dvrg s r Emplo : Vrfqu s sr covrg ou dvrg olução:, r ; 66 < r poro sr covrg su som covrg pr, como pod sr obsrvdo Fgur 6 Fgur 6: Covrgêc d sr pr som Emplo : Mosr qu sr hrmôc 6 dvrg olução:

8 8 6 M porm mlrm 7, 6 6, m grl Como lm, mos qu sr hrmôc dvrg Fgur 6: Dvrgêc d sr hrmôc Torm : sr for covrg, ão lm Ts : Ts d dvrgêc: o lm ão sr ou s lm, ão sr dvrg OB: lm sr pod sr covrg ou dvrg Emplo 6: Mosr qu sr dvrg olução: Clculdo o lm, mos / lm lm logo sr dvrg, como frm o Ts d dvrgêc

9 Torm : b form srs covrgs, ão mbm os srão s srs c ± c c b, ± b ± Emplo 7: Clcul som d sr A sr sr gomrc com r, r <, logo covrg, ssm sr b Vmos, o Emplo qu covrg su som covrg pr, ssm ogo, plo Torm cm mos qu Torm : b são dus srs fs qu dfrm som plos sus m prmros rmos, so k bk s k m, ão mbs covrgm ou mbs dvrgm Emplo 8: Drm s sr dvrg ou covrg olução: / Como lm lm, ão podmos / frmr d sobr su covrgêc ou dvrgêc Porm, sr ms, sb-s qu sr hrmôc dvrg como sr dd dfr d sr hrmôc som plos prmros rmos, ou sj, mos qu sr dd dvrg Podrímos d scrvr Ercíco : Já vmos mbm mosrmos qu sr lscópc dvrg Emplo, porm, usdo o rsuldo cm, mosr dvrgêc d msm Ercíco : Vrfqu s s srs covrgm ou dvrgm b c d l f 9

10 h 8 ÉRIE HIPERHARMÔNICA Um sr-p ou hprhrmôc d form: p p p ro posvo p p p p do b s s b Como b sr gomrc covrg r <, logo, plo s d s comprção sr covrg A sr p covrg s p ; dvrg p ÉRIE DE TERMO NÃO NEGATIVO Ts : Ts d Comprção: b são srs d rmos ão gvos: b covrg b pr odo ro ão covrg b dvrg b pr odo ro ão dvrg Emplo 9: Mosr qu sr dvrg b-s qu sr b qu dvrg ogo, plo s d comprção sr dvrg A sgu frmção fo dd m sl d ul: A sr hrmôc dvrg 6 gu bo um dmosrção d frmção: Obsrv-s qu qudo ão mplc qu sr covrg Pr so fz-s cssáro um vsgção mlhor Cosdrdo ps 6 rmos, so : 6 do 9 b um sr gomrc covrg, comprdo b pod-s obsrvr qu ão ssfz codção dvrg b logo sr Emplo : Mosr qu sr covrg s

11 Ts : Ts m d Comprção: jm b srs d rmos ão gvos s lm c ão mbs s srs covrgm b ou mbs s srs dvrgm Emplo : Drm s sr covrg ou dvrg comprdo com sr olução: usdo o s lm d comprção mos: b lm b, logo, lm Como sr dvrg, m-s plo s lm d comprção qu sr mbm dvrg Tbl : Emplos d como scolhr b Trmo d mor mgud b 6 Ercíco 6: Drm s sr covrg ou dvrg: l b l l OB:, pr, como pods vrfcr Fgur f f 8 6 l Fgur 7: Gráfco ds fuçõs f l f

12 Ts : Ts d Rzão: j um sr d rmos ão gvos upodo qu lm s < sr covrg s ou lm sr dvrg s o s d rzão d pod frmr Dv-s plcr ouro s - -! [ 6 ] 8- OB: qudo, como pod sr obsrvdo s Fgurs 8 9 Ts : Ts d Rz: j um sr d rmos ão gvos upodo qu lm s < sr covrg s ou lm sr dvrg s o s d rz d pod frmr Dv-s plcr ouro s s d Ercícos: Us um dos ss: comprção, lm d comprção, d grl, d rz ou o d rzão, pr drmr s sr covrg ou dvrg: l -! - 6- l 8- - f f Fgur 8: Gráfco ds fuçõs f p f f f 6 8 Fgur 9: Gráfco ds fuçõs f f! - 7 -

13 f ! Fgur : Gráfco ds fuçõs f! lm gráfco lm rfr o rcíco d s d Ercícos f 7 7! l l Fgur : Gráfco ds fuçõs f gráfco rfr o rcíco 8 d s d Ercícos s d Ercícos:: Us o sgu rsuldo: " lm sr dvrg" pr mosrr qu sr dd dvrg - - l TETE DA INTEGRA j { } um squêc d rmos posvos upodo f od f um fução d coíu, posv dcrsc pr odo N N ro posvo Eão o sr quo grl f d covrgm ou N o um quo our dvrgm Emplo : Aplqu o s d grl pr vrfcr s sr dvrg olução: covrg ou Vrfc-s prmro s o s d grl pod sr ulzdo, so, vrfc-s s fução d coíu, posv dcrsc pr odo N f domío d f odos os Rs posvos co o zro D f R { } pr odo Poro f coíu f posv pr odo f dcrsc pr odo, d fo: f f / / f < / / / / plo s d drvd prmr, s f < pr odo m um rvlo, f dcrsc s rvlo logo, fução f dcrsc do ão f coíu, posv dcrsc pr odo, pod-s plcr o s d grl pr vrfcr s sr dd covrg ou dvrg

14 N f d N lm d / d lm lm / lm lm / d lm dcrsc Um our form pr vrfcr s dcrsc obd ulzdo o s d drvd prmr, od f qu dcrsc, ssm, f qu, pr qulqur smpr srá gv pos lm Como grl sr d mbm covrg ÉRIE ATERNADA covrg, logo Ts 6: Ts d r Alrd: A sr lrd covrg s: pr odo dcrsc lm Emplo : Mosr qu sr lrd Vrfcdo: covrg dcrsc, lm, lm lm Poro, plo s d srs lrds, sr covrg Emplo : Drm s sr lrd l covrg ou dvrg l / l f f < pr qu f sj dcrsc, ssm: / l < l < < l ou l Como l pr vr Tbl Fgur 6, mos qu l f dcrc pr cosqum, sr lrd l srá dcrsc pr Rs vrfcr s lm pr grr covrgêc d sr dd l l do, mos qu lm, como pod sr vrfcdo usdo Rgr d Hopl, ou sj: l / lm lm lm como < ou m-s qu

15 Tbl : Vlors d l l 69 Dfção: Um sr codcolm covrg s sr for covrg, s sr for dvrg f l Torm: sr bsolum covrg qu sr covrg OB: covrgêc d ão mplc covrg bsolu d msm 9 9 l Fgur 6: Gráfco d fução f Poro, grfcm fução dcrsc pr Emplo 6: Vmos qu sr lrd covrg, ms Hrmôc dvrg sr Dfção: Um sr bsolum covrg s sr for covrg Emplo : Vrfqu s sr lrd olução: bsolum covrg qu sr-p com p poro covrg Como sr dd covrg m módulo, logo l bsolum covrg s d Ercícos: Drm s sr lrd covrg ou dvrg: b Pr qus vlors d p cd sr covrg? b p p Mosr qu sr b, od b / s for ímpr b / s for pr, dvrg Porqu o s d sr lrd ão s plc? Drm s sr cos cos cos cos covrg ou dvrg

16 Ts sr pr covrgêc bsolu 6 Drm s sr bsolum covrg, codcolm covrg ou dvrg: c b d! f 7 Pr qus ros posvos k sr! k! 6

17 ÉRIE DE POTÊNCIA Vmos qu sr gomrc r r r r r covrg pr, s r < r Cosdrdo r, podmos obsrvr qu pr <, logo, scrvmos fução f como um polômo fo quvl ou smplsm, mos f rprsd por um sr d poêcs Pr chr um vlor prculr ds fução, bs fzr c Por mplo, pr, m-s: f / Dfção: Um sr d poêcs d, um vrávl, d form od cd k um úmro rl OB: od sr d pocs m covrg s pos: Pr corr ouros vlors qu produzm covrgc ulz-s o s d rzão pr covrgêc bsolu Emplo 7: Ach odos os vlors d pr os qus sr bo bsolum covrg olução: 6 Fzdo usdo o s d rzão pr covrgc bsolu, m-s: ogo lm lm Plo s d rzão pr covrgc bsolu, m-s qu sr covrg s <, como dd, cosqum < pr qu sr dd sj covrg, Os vlors dos rmos, dvm sr suddos sprdm sr lrd pr odo dcrsc lm D fo: 7

18 o qu vrdd ogo dcrsc Ou podr lsr usdo o fo d qu prmr drvd gv f f E poro f dcrsc Rs gor vlr o lm lm lm <, Poro sr lrd covrg 6 7 sr Hrmôc pr Torm: um sr d poêcs covrg pr um úmro c, ão bsolum covrg smpr qu < c um sr d poêcs dvrg pr um úmro d dvrg smpr qu d Torm: ão ou:, ão um sr d poêcs, sr covrg som s, sr bsolum covrg pr odo s um úmro r l qu sr bsolum covrg s r, r dvrg s < r ou r Como dvrg Poro sr d poêcs covrg pr odo [, sr d poêcs pr Dfção: Um sr d poêcs d c d form od cd c c c k um úmro rl c c OB: r o ro d covrgêc d sr Emplo 8: Ach rvlo d covrgêc d sr olução: Fzdo usdo o s d rzão pr covrgc bsolu, m-s: 8

19 ogo lm lm Plo s d rzão pr covrgc bsolu, m-s qu sr covrg s <, como dd, cosqum < pr qu sr dd sj covrg, Os vlors dos rmos, dvm sr suddos sprdm sr lrd pr odo dcrsc lm D fo: o qu vrdd ogo dcrsc Ou podr lsr usdo o fo d qu prmr drvd gv f f E poro f dcrsc Rs gor vlr o lm lm lm <, Poro sr lrd covrg Usdo o s d comprção, obsrv-s qu:, qu sr-p, p, logo sr covrg, vrfcdo qu <, m-s qu sr dd covrg ogo o rvlo d covrgêc d sr r [,] o ro d covrgêc s d Ercícos rs d Poêcs: Ach rvlo d covrgêc d sr b c d! REPREENTAÇÃO DE FUNÇÕE POR ÉRIE DE POTÊNCIA Um sr d poêcs df um fução f cujo domío o rvlo d covrgêc d sr Espcfcm, pr cd ss rvlo, m-s f um fução f ssm dfd, dzmos qu um rprsção d fuçõs por srs d poêcs 9

20 Torm: upoh qu um sr d poêcs h ro d covrgêc r, f dfd por: f pr odo o rvlo d covrgêc r r < <, ão: f d f mlrm: Torm: upoh qu um sr d poêcs c h ro d covrgêc r, f dfd por: c c c c c f pr odo o rvlo d covrgêc r r < <, ão: c f c d f Emplo 9: Us rprsção m sr d poêcs d f pr obr um rprsção pr sr g, s < olução: ogo ou, < Drvdo mbos os ldos, m-s: ou ou d Poro rprsção m sr d g, <

21 Emplo : Ecor rprsção m sr d poêcs d fução g l olução: b-s qu g l d, APROXIMAÇÕE DA FUNÇÃO s 7!!! 7! ms Agor, grdo mbos os ldos, obmos d d d d d logo g l d Emplo : Mosr qu rprsção m sr d poêcs d fução olução: Pr mosrr, obsrv-s qu: u g du, u Tbl : fuçõs srs d poêcs!!!! s cos 7!!! 7! 6!!! 6! 7!! 7! o mplo u, logo: g como d logo 6

22 Poro g d 6 d 7 7 Assm, mosrou-s qu Emplo : Mosr qu rprsção m sr d poêcs d fução / olução: Pr mosrr us-s o fo d qu f d ou f d ms / ogo, / / / / / d / / / / d / / / / s d Ercícos rs d Poêcs, sr d Mclur, sr d Tylo: Ecor o ro o rvlo d covrgêc d sr: b c! Mosr qu rprsção m sr d poêcs ds fuçõs são: b c Ecor sr d Tylor pr c f m Rprs f s como som d um sr d Tylor crd m π / Usdo Tbl, drm rprsção ds fuçõs m srs d poêcs: b s c cos d cos π 6 Clcul com um rro mor qu 6 7 Mosr qu sr d Tylor grd por f m c covrg pr f pr odo vlor rl d OB: us o fo d qu lm! Assm, / d

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