Método dos Mínimos Quadrados: um resumo
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- Gabriel Stachinski Cortês
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1 Método dos Mínmos Qudrdos: um rsumo Um mã dsj sbr o pso d su flho. N UBS nformrm qu é Fkg. Pr vrfcr sso, l psou-s com o flho no colo, obtndo MF79kg. Postrormnt, psou-s sm o flho, obtndo M7kg. Rsumndo, qu stão os rsultdos (m kg) MF79 M7 F Esss quçõs são nconsstnts! Qu vlors dvmos trbur pr os psos d mã do flho? D fto, mss. Ms tntr dsfzr ss confusão é um btlh prdd Otvno Hln Curso d tnsão ofrcdo no IFUSP m julho/
2 Solução pr um problm sm solução: o MMQ MF79 M7 F. Procur vlors pr M F qu mnmzm s dfrnçs ntr os vlors clculdos os vlors prmnts. Ms... mnmzr com qu crtéro? Solução do MMQ: mnmzr s dfrnçs qudrátcs. Prmr dívd: por qu ss form d mnmzção
3 Q( M, F) ( M F 79) ( M 7) ( F ) Q Q M F, M F F, M (M F - 79) (M - 7) (M F - 79) ( F -) Eqs. ()
4 Solução: M 69,7 F,7
5 E s os ddos tvrm dfrnts prcsõs?. Rsultdos dsvo pdrão (ncrtz) MF79 3, M7, F, Nst cso, mnmz Q( M, F) ( M F 3 79) ( M 7) ( F ) Sgund dívd: por qu ss form d pondrção?
6 Como stmr o dsvo pdrão Emplo: mdds d um comprmnto 4,9 4, 4,5 39,8 4,3 4,4 n - ( )
7 Nss mplo, o dsvo pdrão dos ddos é promdmnt 3,8. O dsvo pdrão d méd é n,36 6,5 O rsultdo prmntl é 4,35±,5
8 Ms dívds A orgm ms comum dos dsvos pdrõs é propgção d ncrtzs Pod hvr ( sso é comum) covrâncs ntr os ddos O MMQ não vl pns pr ddos gussnos Os rsultdos do MMQ só tm s proprdds ótms qundo conhcmos os vlors vrddros dos dsvos pdrõs (ou s todos são gus)
9 MMQ: Um mplo, consumo d combustívl Dstânc n cdd (km) Dstânc n strd (km) Consumo (ltros) Qul o rndmnto dss vículo (m ltros por qulômtro) n strd n cdd? (Suponh qu todos os dsvos pdrõs são gus.)
10 Ajust d prâmtros d funçõs: mplo d um rt O MMQ é muto usdo pr o just d prâmtros m funçõs conhcds Emplo: (; ) (,; 3,), (,; -,), (3,;,) (4,; -,). Todos os s com o msmo dsvo pdrão,
11 Q b Q b b (, ) (, ) b b b b ) ( ), ( b b Q Prâmtros justr: b O qu dvmos mnmzr Equçõs lnrs Como mnmzr
12 A mnmzção pod sr ft lgbrcmnt, numrcmnt ou grfcmnt curvs d nvl d Q(,b) - d,5 m, b
13 Rsultdo d função justd
14 O MMQ não é tndncoso Um mdd é não-tndncos qundo o vlor sprdo do rsultdo é gul o vlor d grndz mdd. Emplo: Um dtctor cont o númro d prtículs durnt um crto ntrvlo d tmpo. S é o númro médo d prtículs qu m méd sprrímos obsrvr nqul ntrvlo d tmpo, ntão probbldd qu sjm obsrvdos n vntos é dd por um dstrbução d Posson, P (n) - n /n!. É fácl mostrr qu o vlor sprdo d n é gul : <n>. Assm, o númro d vntos obsrvdo, n, é um mdd não tndncos d.
15 Os prmntos m cêncs dvm sr ts qu os vlors sprdos ds grndzs mdds sjm gus ls. Emplo: S mdmos um comprmnto usndo régus não tndncoss procdmntos tmbém não tndncosos, o rsultdo é um mdd não tndncos do objto mddo; os vlors obtdos fluturão m torno do vlor vrddro d grndz.
16 Contr mplo: um mdd tndncos Suponh qu qurmos stmr ár d um qudrdo. Pr tl, mdmos o ldo do do qudrdo (vmos chmr d l o rsultdo d mdd) por um procsso não tndncoso. Assm, l srá gul l, o vlor vrddro do ldo, ms um rro d mdd, : ll. S o vlor sprdo dss rro é nulo, <>, ntão <l><l ><l ><>l.
17 Not qu o vlor sprdo d um constnt é l msm o vlor sprdo do produto d um constnt por lgum cos qu vr é o produto d constnt plo vlor sprdo dqulo qu vr. Ms, ár? Vj squênc d quçõs bo. ( ) l l l l < >< l > < l > < > < > l l < > < > < > < >
18 (M (M E o MMQ? Vmos voltr o mplo ncl (Eqs. (). Not qu s soluçõs dotdos pr M F dpndm lnrmnt dos vlors mddos,, Assm, s sss vlors são não tndncosos, ntão os vlors justdos plo MMQ tmbém srão não-tndncosos. F - 79) F - 79) (M - 7) ( F -) M F 7 79 M F 79
19 Conclusão O MMQ é não tndncoso no cso lnr (s grndzs mdds dpndm lnrmnt dos ddos prmnts). Vrfqu qu os vlors justdos dos prâmtros d um rt dpndm lnrmnt dos ddos prmnts (vlors d d qução bo) b
20 Emplo: não-tndncosdd tndncosdd - p/3 p/3 p/3 é um mdd não tndncos d : < > ( / 3)( ) (/ 3) (/ 3)( )
21 Ms... ár dd por é tndncos: ( -) p/3 ( ) p/3 ( ) p/3 < > / 3)( ) (/ 3) (/ 3)( ) 3 ( 3
22 3 Smplfcndo s quçõs do MMQ ( ) ( ) ) ( bd c d c b b b d b c d c b d c b d c b d c b d c b t t
23 Formlsmo mtrcl (prc complcdo... ms smplfc fclt gnrlzçõs) MF79 M7 F Form ms rgoros: M F 79 M 7 F 3
24 F M ) ( 7) ( 79) ( ), ( F M F M F M Q F M F M F M Q t ), ( ss qução é dêntc
25 Prc qu complcou? No cso lnr, qução básc do MMQ smpr pod sr scrt n form n m nm n n m m n
26 YX A (ddos)(plnjmnto)(prâmtros)(rros) Q(,,...)(Y-XA) t (Y-XA) Q,... A t (X X) t X Y
27 Emplo b (, ) (,; 3,) (,;,) (3,;,) (4,; -,) ,,, 3, b
28 Emplo Consdr um prmnto pr dtrmnr clrção d grvdd no qul form mdds posçõs vlocdds m lguns nstnts d tmpo (ddos bo). Adot (t) v tgt / v(t)v gt Construr qução básc do MMQ justr, v g t(s) (m) v(m/s) 5,,7,8 3 45,9 4 4, 5 5,4
29 Ercíco: como provtr um nformção prntmnt ncomplt N psgns mã flho obtv-s os vlors 69,7kg,7 kg. Suponh os ddos orgns qu drm orgm sss rsultdos tnhm sdo dscrtdos qu mã ncontrou um outr blnç psndo-s com o flho no colo obtv 8 kg. É possívl nclur ss nov nformção nsufcnt pr stmr os psos ds dus pssos obtr novs stmtvs pr os psos?
30 Sm! Vj como: 8,7 66,7 8,7 66,7 3 t t F M F M XA Y Os novos vlors srm dotdos são 67,9,9
31 4 Vrâncs covrâncs Pr usr plnmnt o MMQ prcsmos conhcr vrâncs covrâncs. Vmos lá A vrânc é formlmnt dfnd como o vlor sprdo do qudrdo d dfrnç ntr um ddo prmntl o vlor vrddro mddo: <(- ) >
32 Emplo Consdr um qupmnto qu fornc como rsultdo os sgunts vlors: - p,5 p,5 p,5 Not qu sso corrspond mdd não tndncos d. A vrânc d mdd dss grndz é (,5)( -- ) (,5)( - ) (,5)( - ),5 O dsvo pdrão é,7
33 Às vzs, prcsmos stmr s vrâncs prtr d um conjunto d ddos prmnts 4,9 4, 4,5 39,8 4,3 4,4 n - ( ) n,36 6,5 Às vzs, conhcmos muto bm s vrâncs por mdds ntrors: qupmnto usdo muts vzs m mdds ntrors Rv. Ensno d Físc,3, 99, O qu é um mdd? O. Hln, S.P. Ts, R.R.P. Tr, p.
34 Propgção d ncrtzs (t no cso lnr) Vj squênc d quçõs ( ) ( ) ( ) ( ) ( )......),, ( s conhcdos, conhcdo z z w z b b b b
35 Propgção d ncrtzs: cso não lnr promção ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p 4 ) ( conhcdo d d
36 Covrâncs Orgm: dos rsultdos prmnts são covrnts s há um ou ms fonts d rros qu ftm mbos Emplos: () Dus mdds fts com msm régu: os rsultdos srão covrnts (b) Sçõs d choqu mdds no msmo clrdor
37 Mtrz d covrâncs,,... n são n ddos prmnts ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( n n n n n V
38 Propgção d vrâncs covrâncs t V DV D ),..., ( ),..., ( ),..., ( n m n n j j D,
39 5 Ms rsultdos O MMQ dv usr o mtrz d covrânc dos ddos prmnts, V, o qu não fo fto nd. É fácl (ms trblhoso) mostrr qu solução é A (X t V X) X t V Y
40 Emplo: méd d dos ddos msm grndz um pr rsultdos são dos V ( ) ( ) ( ) (propgção vrânc) o vlor sr dotdo pr grndz, dd plo MMQ, pod sr obtdo como sgu:
41 b Mtrz d covrânc dos prâmtros justdos S A (X t V X) X t V Y ntão, usndo t V DV D podmos mostrr qu mtrz d covrânc dos prâmtros justdos é dd por V t (X V X) A
42 c As stmtvs do MMQ são s d mnor vrânc ntr tods s stmtvs lnrs. Vmos lustrr. Consdr dos ddos prmnts,,, não covrnts, corrspondnts mdds d um msm grndz. A solução do MMQ é Procur outr combnção lnr d, α (-α). É possívl mostrr qu mnor vrânc d é obtd qundo pondrção ocorr como n qução cm
43 d O MMQ é não-tndncoso A qução lnr qu rlcon os prâmtros os ddos prmnts é YX A. Como <> (ddos não tndncoso), ntão <Y>XA. Usndo ss rsultdo m Y V X X) V (X A t t tmos. t t t t A XA V X X) V (X Y V X X) V (X A
44 A mdd d um grndz pod ftr o vlor dotdo d outr grndz Vmos fzr um mplo numérco. Consdr dus grndzs cujos vlors são s s, com mtrz d covrânc V 3 3 Suponh qu prmr dsss grndzs tnh sdo mdd d form ndpndnt, obtndo-s o vlor s 5, com vrânc gul 3 ndpndnt dos rsultdos ntrors. A mtrz d covrânc dos três ddos é V s ss 3 3 É fácl mostrr, usndo o MMQ, qu os novos vlors srm dotdos pr s dus grndzs são,5,7. Ou sj, mdd d prmr grndz (s ) ltrou o vlor dotdo pr sgund. 3
= 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial.
6. Função Eponncil É todo função qu pod sr scrit n form: f: R R + = Em qu é um númro rl tl qu 0
Fernando Nogueira Dualidade 1
Dldd Frnndo Nogr Dldd Todo problm d P.L. pod sr sbsttído por m modlo qvlnt dnomndo Dl. O modlo orgnl é chmdo Prml. Problm Prml j n j n c j j j j j j b {... n} {...m} Problm Dl Mn W m m b j c {... m} j
c.c. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
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86 VARIÁVIS ALATÓRIAS CONTÍNUAS Vmos gor studr lgums vriávis ltóris contínus rspctivs propridds, nomdmnt: uniform ponncil norml qui-qudrdo t-studnt F DISTRIBUIÇÃO UNIFORM Considr-s qu função dnsidd d proilidd
4.21 EXERCÍCIOS pg. 176
78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s
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Métodos Computciois m Eghri DCA34 Cpítulo 4 4 Solução d Equçõs Não-lirs 4 Técic d isolmto d rízs ris m poliômios Cosidrdo um poliômio d orm: P L Dsj-s cotrr os limits ds rízs ris dst poliômio Chmrmos d
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