Análise de Sistemas Contínuos por Série de Fourier
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- Maria Farias
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1 ES 43 Aális d Sisms oíuos por Séri d Fourir Prof. Aluizio Fuso Ribiro Arúo po. of Sisms d ompução ro d Iformáic - UFPE píulo 6
2 Irodução oúdo Rprsção d Sil Priódico por Séri d Fourir rigooméric Eisêci ovrgêci d Séri d Fourir Séri d Fourir Epocil Rspos d Sisms LI Erds Priódics -
3 Irodução i Ns ghris léric d compução, os siis cosumm sr rdos m rmos d sus spcros d frqüêci os sisms m rmos d sus rsposs d frqüêci. Es cpíulo, como os próimos, discum rprsção spcrl d siis qu, por su vz, são prssos como somórios d fuçõs soidis ou pociis. Mosr-s qu um sil priódico pod sr rprsdo por somório d fuçõs soidis ou pociis d váris frqüêcis. Ess rsuldos são sívis siis priódicos p. 7 siis discros o mpo p. 9 qu podm sr grdos prir d mosrgm d siis coíuos p
4 Rprsção d Sil Priódico i Prlimirs S um sil priódico com príodo : O mor vlor d príodo fudm l d. Es sil crcriz - s por : i Eisir o irvlo ii r msm iii Possuir, príodo pr f iv Soidl d frq. f um qu [, ] ár sob osil plo príodo b b, frqüêci sisfz soidl cos f é o ;, codição d priodicidd é chmdo pr m rdios : ou s f ésimo hrmôico b úmros f ; ris; : frqüêci d soidl f d frq. -4, f. d
5 -5 Rprsção d Sil Priódico ii fiição Rprsção d um sil priódico por um séri rigooméric d Fourir: qu m -s, lmbrdo qu s cos s cos / / d fudm l príodo priódico com o msmo é um sil Propridd Impor : s cos como : dfiid é fudm l d Fourir prfrqüêci rigoomé ric A séri b b f b
6 -6 Rprsção d Sil Priódico iii fiição Rprsção d um sil priódico por um séri rigooméric d Fourir: Em coclusão, um sil priódico com príodo pod sr prsso como um somório d um sóid d frqüêci f sus hrmôics. Es séri ifii é cohcid como séri d Fourir rigooméric. s cos s cos b b
7 -7 Rprsção d Sil Priódico iv álculo dos oficis d séri d Fourir Pr drmir os coficis, cssi-s do cálculo d I: : qução d séri d Fourir doisldos d igrdo -s os, lcul -s, cos s s s ologm m - s, cos cos cos cos cos cos m m m m m m m m I m m m I
8 Rprsção d Sil Priódico v álculo dos oficis d séri d Fourir coiução cos b s pois pr fu. priódics lcul -s Fourir por cos m b cos cos m [ s cos m ], cos, muliplicdo -s por os dois ldos d qução d séri d igrdo -s prssão : cos m s cos, [ s cos m ] cos cos m? cos m -8.
9 Rprsção d Sil Priódico vi álculo dos oficis d séri d Fourir coiução Ns pr Logo, m : úlimo m são iguis zro, co qul m qu cos rmo cos m cos m odos compos b b modo álogo uilizdo -s o muliplicdor s s m do somório s s m cos m m váris igris m -s : -9
10 - Rprsção d Sil Priódico vii álculo dos oficis d séri d Fourir Em rsumo, s um séri d Fourir pr um sil rl ou complo : s cos / por : coficis são ddos uos s cos b f b
11 Rprsção d Sil Priódico viii Form ompc d Séri d Fourir Pr um sil rl, os coficis b são ris pr odo. Assim séri d Fourir pod sr prss su form compc: θ b b Obsrvção: omo os coficis o âgulo são ris ão s próims discussõs é ssumid como rl, ão sr qudo for dio o corário. cos θ, cuos coficis são ddos - por :
12 Rprsção d Sil Priódico i O Espcro d Fourir Pr um séri d Fourir rigooméric compc, pod-s rçr o gráfico d mpliud por spcro d mpliud o gráfico d fs por spcro d fs: omo é proporciol à frqüêci, ão os gráficos cim são vrsõs sclods d θ. Os gráficos Ess cim spcros prmim su compõm os mosrm os spcros coúdos rcosruç ão ou sís. d frqüêci d frqüêci d. do sil O spcro d frqüêci d um sil cosiui su dscrição o domíio d frqüêci, quo qu dscrição o domíio do mpo, o sil é spcificdo como fução do do mpo. -
13 Rprsção d Sil Priódico Séri d Fourir compc Emplo:Ecor séri d Fourir rigooméric pr o sil priódico, mosrdo figur bio. Pl figur, f f rd/sg cos b s cuos coficis são ddos por : -3
14 -4 Rprsção d Sil Priódico i Séri d Fourir compc Emplo coiução: / / / / / s 4 cos 6.54 Poro, s s 6.54 s cos cos cos.54 b
15 Rprsção d Sil Priódico ii Séri d Fourir compc Emplo coiução: Pr.54 6 Em rmos θ b Film, d séri compc.54 b cos 4s cos 4 4 cos θ.54 : 6 4-5
16 Rprsção d Sil Priódico iii Séri d Fourir compc Emplo coiução: Espcros d séri d Fourir compc. Um sil m ididd dul: o domíio do mpo o domíio d frqüêci spcros d Fourir. Um ididd complm our us mlhorm dimo do sil. -6
17 -7 Rprsção d Sil Priódico iv Séri d Fourir compc Emplo: Ach séri d Fourir rigooméric compc pr. por : coficis são ddos cuos, 3 od s cos rd/sg Pl figur, < < < A A b f f
18 -8 Rprsção d Sil Priódico v Séri d Fourir compc Emplo coiução: s 8 s s cos cos cos cos cos é priódico pois o sil, s ; cos ; 3/ / / / 3/ / 3/ / / / 3/ / / / 3/ / A b A A b A A A A A b
19 -9 Rprsção d Sil Priódico vi Séri d Fourir compc Emplo coiução:... cos7 49 cos5 5 cos3 9 cos 8 / 3, ; : cos d séri compc Em rmos s 8 3,7,,5 pr / 8,5,9,3 pr / 8 pr pr θ θ A b b b A A A b K K
20 Rprsção d Sil Priódico vii Séri d Fourir compc Emplo coiução: Espcros d séri d Fourir rigooméric compc pr um sil priódico rigulr. -
21 Rprsção d Sil Priódico viii Um sil priódico pod sr rprsdo por um somório soidis ou d pociis. S frqüêci do sil priódico for f o sil pod sr prsso por um som podrd d um sóid d frqüêci f sus hrmôicos. O sil priódico pod sr rcosruído prir do cohcimo ds mpliuds fss dos compos soidis. S um sil priódico ivr: Simri pr ão séri d Fourir só coém rmos m cosso o rmo. Simri impr ão séri d Fourir só coém rmos m so. Nhum simri ão sri d Fourir coém mbos rmos. -
22 Eisêci ovrgêci d SF i Obsrvçõs Pr isir, um séri rigooméric d Fourir, dv r sus coficis fiios. A isêci dss coficis é ssgurd s for bsolum igrávl sobr um príodo: < Em poos d dscoiuidd, séri d Fourir covrg pr médi dos vlors d m mbos os ldos ds dscoiuidds. O spcro d mpliud d séri d Fourir pr um sil priódico com slos d dscoiuidd dci suvm com frqüêci. Ns cso, são cssários vários rmos séri d Fourir pr proimr d um fi d rro dsd. O spcro d mpliud d séri d Fourir pr um sil priódico suv dci rpidm com frqüêci poucos rmos são cssários pr proimr d um fi d rro dsd. -
23 Séri d Fourir Epocil i Moivção: mbos Uilizr qução d Eullr pr prssr s fuçõs soidis m rmos d fuçõs pociis. Em sguid, scrvr s séris d Fourir m rmos d pociis. A qução d Eullr é dd os ldos d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cosϕ / cosϕ s ϕ qu é quivl ϕ s ϕ / cosϕ s ϕ Pod -s dfiir séri d Fourir pocil prum sil priódico : o qu Prscrvr séri é cssário, q.por por : vri d[, ]. m clculr os vlors d :muliplic -s m iiro os irgr sobr um príodo. -3
24 -4 Séri d Fourir Epocil ii fiição: No qu, séri d Fourir pocil: m form mis compc qu séri rigooméric; m prssão pr cálculo dos coficis d séri mis compc qu séri rigooméric. pod sr r-scri : cim primir igrl Logo, s cos m m m m m m m
25 -5 Séri d Fourir Epocil iii oficis d SF rigooméric d SF Epocil: s cos s cos ] s [cos m -s :, Pr m - s Pr b b
26 -6 Séri d Fourir Epocil iv oficis d SF rigooméric d SF Epocil: Os rsuldos riors são válidos pr sil rl ou complo. S o sil sus coficis form ris, m-s qu - são cougdos. Além diso, b b b θ θ θ θ θ Poro,
27 Séri d Fourir Epocil v Séri d Fourir Epocil Emplo: Ecor séri d Fourir pocil pr o sil priódico, mosrdo figur bio. Pl figur, f f rd/sg cuos coficis são ddos por : -7
28 -8 Séri d Fourir Epocil vi Séri d Fourir Epocil Emplo coiução: são cougdos. são complos; Os coficis Obsrvçõs : Poro, 4.54 ` ; /
29 Séri d Fourir Epocil vii Séri d Fourir Epocil Emplo coiução: Pr rçr os spcros pociis, uiliz rl d são prssos, ou.54 ; mgiud m su form o âgulo d polr b ;.. - s s. Ns opção, os coficis. b prs imgiári /, ão : -9 K
30 Séri d Fourir Epocil viii Séri d Fourir Epocil Emplo coiução: Espcros d séri d Fourir pocil. O spcro d mpliud é um fução pr d? o spcro d âgulo é um fução ímpr d?. osidrção d vlors givos d frqüêcis? -? idic qu um compo pocil p -? is séri. -3
31 Séri d Fourir Epocil i Séri d Fourir Epocil Emplo: do os spcros d um séri d Fourir rigooméric, sboc o spcro d séri d Fourir pocil vrifiqu os rsuldos liicm. -3
32 Séri d Fourir Epocil Séri d Fourir Epocil Emplo: Os compos os spcros rigooméricos grm os msmos compos os spcros pociis sus siméricos com rlção à origm. As mpliuds são dividids por dois os âgulos são os msmos. -3
33 -33 Séri d Fourir Epocil i Séri d Fourir Epocil Emplo coiução: são idêics. logo s prssõs ] [ ] 4[ ] 6[ 6 ] [ ] 4 [4 ] 6 [6 6 Pr séri d Fourir pocil : 4 9 4cos 6 8cos 4 3 cos 6 cos Fourir rigooméric compc : Séri d 4 / 9 4 / 9 / 6 / 6 4 / 3 4 / / 9 4 / 6 / 6 / 3 4 / 3 /4 θ
34 Séri d Fourir Epocil ii Séri d Fourir Epocil Emplo: cor séri d Fourir pocil rc sus spcros pr um rm d impulsos figur bio. A prir ds rsuldo, sboc os spcros rigooméricos scrv s séris d Fourir rigooméric. rm d impulsos Séri: δ : δ, δ, od figur δ / -34
35 -35 Séri d Fourir Epocil iii Séri d Fourir Epocil Emplo coiução: ] cos3 cos cos [ séri é,,,3 ; ; ; Pr o spcro rigoomé rico : : séri d Fourir Subsiuido : od / /, o irvlo d igrção - -s Escolh / / - K K δ θ θ δ δ δ δ
36 Séri d Fourir Epocil iv Lrgur d Bd Bdwih d um Sil: A lrgur d bd ou d fi d um sil é difrç r mor mior compo d frqüêci ds compos spcris do sil vlors givos ão são cosidrdos. Efio d Simri m Séri d Fourir Epocil: Pr do simri pr, b, / vlor rl: Âgulo d pod sr ou ±p. lculr só rqur igrção sobr md do príodo. Pr com simri ímpr,, -b/ vlor imgiário: Âgulo d pod sr ou ±p. lculr só rqur igrção sobr md do príodo. -36
37 Rsposs d Sisms LI Erds Priódics i fiição Um sil priódico pod sr prsso plo somório d pociis ou soidis ão csss. A mir cohcid d drmir rspos m um sism LI pod sr mprgd pr drmir rsposs d um sism LI rds priódics. Assim, um sil priódico d rd com príodo pod sr prsso como: Sism omo LI, um um sil A liridd fz ifrir rd : prídico é prsso 443 rd produz por o pr : H síd, H y
38 Rsposs d Sisms LI Erds Priódics ii Emplo: um rificdor d od compl figur produz um sil dc prir d um sil soidl. O sil rificdo gráfico é ão plicdo à rd d um filro R pss-bi pr suprssão d compo c rsuldo m um sil dc com um odulção rsidul. Ecor: síd do filro, síd o vlor rms d odulção d são. Rificdor d od compl Filro R -38
39 Rsposs d Sisms LI Erds Priódics iii Emplo coiução: Séri d Fourir pr o sil rificdo Assim, Logo m - s qu, pr 4 com príodo s 4 : -39
40 Rsposs d Sisms LI Erds Priódics iv Emplo coiução: scrição do filro R : su fução Lmbr -s qu Subsiuido -s os d rsfrêci y 3 y vlors d H s H H O rmo é o rmo cos, o rs dos rmos são os rmos rsposáv is pl odulção. é, 3s logo H H qução cim : 3 séri d Fourir -4
41 Rsposs d Sisms LI Erds Priódics v Emplo coiução: Sil cos mis odulção. -4
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