TÓPICOS. Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro quadrático.

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1 Not m: litur dsts pontmntos não dispns d modo lgum litur tnt d iliogrfi principl d cdir Chm-s tnção pr importânci do trlho pssol rlizr plo luno rsolvndo os prolms prsntdos n iliogrfi, sm consult prévi ds soluçõs proposts, nális comprtiv ntr s sus rspost rsposts proposts, postrior posição junto do docnt d tods s dúvids ssocids. TÓPICOS Mlhor proimção. Projcção num suspço. Mínimo rro qudrático. AULA 7 7. Erro qudrático m spços d funçõs. 7.. Mlhor proimção. Projcção num suspço. Mínimo rro qudrático. Sj E um spço vctoril, rl ou complo, m qu stá dfinido um produto intrno, u um vctor d E, W um suspço vctoril d E { u, u,, un} um s ortogonl d W. A mlhor proimção d u m W é o vctor û tl qu distânci d u û é mnor do qu distânci d u qulqur outro vctor d W, Emplo u uˆ u v, v W û é projcção ortogonl do vctor u no suspço W, ou sj, n n n u ui u i i i i i ui ui i uˆ projw u proj i u u u O vctor u uˆ dsign-s por vctor d rro, prtnc o complmnto ortogonl do suspço W, W, sndo su norm, u uˆ, dsignd por mínimo rro qudrático. S s do suspço for ortonormd, ddo qu i i i u u u, rsult qu os coficints d projcção ortogonl são ddos pns por. A projcção ortogonl d f ( ) produto intrno, tndo m tnção qu { } u u i i no suspço vctoril, [ ] W P,, com o f g f( ) g ( ) d B, constitui um s ortogonl d W, é dd por Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

2 fˆ proj [ ] W d ( ) + f f p f p d d p + p + p p p p d A função f ( ) não pod sr rprsntd ctmnt por um função polinomil do gru. A função f ˆ.8 +. corrspond, d tods s funçõs polinomiis do gru, ˆf +, àqul cuj distânci f ( ) é mnor do qu distânci d qulqur outr função polinomil do gru f ( ). Um distânci stá ssocid um norm, dist( ff, ˆ) f fˆ, um norm stá ssocid um produto intrno, f fˆ ( f fˆ) ( f fˆ) Ao considrrmos o produto intrno num domínio d continuidd [, ] f g f( ) g ( ) d, minimizção d distânci ntr f ˆf, corrspond à minimizção d função min f fˆ min ( f fˆ) ( f fˆ) min ( ˆ)( ˆ f f f f) d min ( f fˆ ) d (( ) d, com ( ) f ( ) f ˆ( ), ou sj, corrspond à minimizção do somtório do,. qudrdo do rro comtido ponto ponto pr todos os vlors d Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

3 Adoptmos um outro ponto d vist. Sndo f ( ), o modlo qu considrmos sr dqudo um função polinomil do gru, f ˆ( ) +, difrnç ponto ponto ntr s dus funçõs, ou sj, o rro comtido, é ( ) f ( ) f ˆ( ) ( ), plo qu minimizção do rro qudrático no intrvlo [, ], rsult min( E) min ( ( )) d min + ( ) + + ( ) Drivndo prssão m ordm os prâmtros igulndo zro tmos E + E +, ou sj, otmos s soluçõs ncontrds ntriormnt trvés d projcção ortogonl. Dtrminr projcção ortogonl sor um spço d funçõs [, ] F com produto intrno f g f( ) g ( ) d, corrspond clculr solução d mínimo rro qudrático Figur 7.. É possívl dmonstrr qu os sinis sn( nω t) sn( mω t), com n m intiros, difrnts ntr si, são ortogonis m qulqur intrvlo [ t, t + ω ]. Assim sndo, considrndo ω t, o conjunto d S sn( t) : Z constitui um s sinis { } ortogonl d sinis no intrvlo [, ]. Considrndo, por mplo, o sinl t () qu s mostr n figur 7., n 7, podmos rprsntr t () no, mnos d um sinl d rro, () t, intrvlo 7 t () sn( t) + ( t) A figur 7. mostr o sinl ˆ( ) 7 t sn( t ), corrspondnt à projcção ortogonl do sinl () t no spço grdo por S Figur 7. Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

4 Figur 7. A figur 7. mostr o sinl () t () t ˆ () t, prtncnt o complmnto ortogonl do spço grdo por S. Not qu n prssão dos coficints u u u u t t t t ty () () t y () t y () t o numrdor corrspond o produto intrno ntr o sinl rprsntr os sinis qu dfinm o spço d rprsntção, ditos sinis s, sndo portnto um mdid d smlhnç do sinl com cd um dos sinis s. O dnomindor corrspond à nrgi d cd um dos sinis s no intrvlo considrdo, tndo pns função d normlizr os vlors dos coficints. S os sinis s tivrm norm unitári, ou sj, s form vrsors do spço qu dfinm, o dnomindor tm vlor, não influncindo o vlor do coficint Figur Pr qu qu nrgi do sinl d rro no intrvlo [, ], ou, o qu é proporcionl, o rro qudrático médio C () t sj o mnor possívl, os coficints dvm sr convnintmnt clculdos, sndo pr st mplo ( cos( )). A figur 7. mostr volução dos coficints pr sucssivos vlors d, no cso pr os primiros coficints. A figur 7.5 mostr volução do rro qudrático médio à mdid qu s vão somndo s sucssivs componnts d t (). A figur 7.6 mostr proimção t () consguid s utilizássmos coficints Figur O rro qudrático médio d rprsntção num intrvlo t, t d um sinl contínuo t (), num spço d sinis [ ] { y () t }, é ddo por C [ () t ˆ () t ] t t n t () y() t t t () t t t t t t t t t Figur 7.6 Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

5 Ercícios. MÍNIMO ERRO QUADRÁTICO. 7.. Clculr projcção ortogonl d f ( ) no suspço vctoril, [ ] W P,, ds funçõs polinomiis do gru no intrvlo [, ], com o produto intrno f g f( ) g ( ) d (ou sj, clculr os prâmtros do polinómio do gru,, mlhor s dpt à função qu, no intrvlo f ( ) no sntido d minimizção do rro qudrático). Figur 7.7 proj W Ddo qu B,, constitui um s ortogonl d W, tmos f p f p f p f p + p + p p p p p p p d d ( ) d ( ) d d ( ) d (5 6 ) [ ] + + ( ( ) + + ( ) + + ) + + ( ) 8 5 ( ) 5( 7 ) Figur Considrmos o sinl t < t () t <, conform rprsntdo n figur 7.8. Vmos clculr projcção ortogonl do sinl t () no spço grdo plo sinl yt () sn( t) no intrvlo [, ]. Ou sj, vmos rminr n rlção t () yt () + () t,. d modo minimizr o rro qudrático no intrvlo Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

6 Figur 7.9 Tmos ntão tyt ()() y () t t ()sn() t sn ( t ) sn( t ) sn( t ) plo qu t ˆ( ) sn( t) no intrvlo [, ]. A figur 7.9 mostr o gráfico do sinl t () d proimção t ˆ( ) no intrvlo [, ]. Podmos trçr o gráfico d volução do rro qudrático médio m função do coficint d smlhnç. Sndo o rro qudrático médio ddo gnricmnt por Figur 7. C () t t t Tmos, pr o mplo m cus, t C (() t y()) t t t t (() t sn()) t () t + sn () t () t sn() t ( + 8 ) t t A figur 7. mostr volução do rro qudrático médio m função do coficint d smlhnç. Osrv qu curv tm um ndmnto qudrático com um mínimo m dfinido corrspondnt o coficint d smlhnç. Podmos vrificr o vlor do mínimo do rro qudrático médio ( 8 ) dc d + d d ( 8 ) dc d 8 Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

7 7.. Aproimr o sinl (t) ddo no mplo ntrior plo sinl 7 ˆ( t) sn( t), d modo minimizr o rro qudrático médio no intrvlo [, ] Vmos clculr os coficints corrspondnts à projcção ortogonl d t () sor cd um dos vctors d s do spço d rprsntção. Tmos ntão Figur 7., ou sj,, logo, 7 t ˆ( ) sn( t) t t t yy t ty () () t () t ()sn( t t) sn ( t) sn( t) sn( t) sn ( t) cos( t ) cos( t ) ( cos( )) pr impr sn( t) + sn( t) + sn(5 t) + sn(7 t) 5 7 A figur 7. mostr comprtivmnt o sinl t () proimção t ˆ( ) otid. Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

8 7.. Considrmos os sinis rprsntdos n figur 7.. Podmos rminr o vlor d n sjm ortogonis. d modo qu os sinis n [n] [n] Figur 7. Pr qu os sinis [ n ] n sjm ortogonis é ncssário qu o su produto intrno sj nulo. Por dfinição d produto intrno ntr sinis discrtos, tmos n n n n, logo, ss n n ( 5) + ( ( )) + ( ( )) + ( ) 6.5 Considrndo o vlor rmindo pr, podmos clculr n n. nrgi dos sinis, A nrgi do sinl [ n] é dd por Pr n tmos E n [ n] E n [n] Figur 7. Considrmos o sinl n rprsntdo n figur 7.. Podmos clculr projcção ortogonl do sinl n no n, ou sj, o sinl ˆ [ n ] spço dos sinis n prtncnt ss spço qu mis s proim d n do ponto d vist d minimizção do rro qudrático [ n], ou sj ind, tndo m tnção dfinição d nrgi d um sinl, o sinl qu minimiz nrgi do sinl d rro ˆ n n n Vmos ntão rminr os vlors dos coficints n n+ n+ n d form d prssão Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

9 qu nrgi do sinl Tmos n sj mínim. Sndo os coficints i ddos por [ n] n n [ n] n E ( ) + ( ) + ( ) [ n] n E ( 5) + ( ( )) 9 9 Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

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