Cálculo Diferencial II Lista de Exercícios 1

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1 Cálculo Difrncil II List d Ercícios 1 CONJUNTO ABERTO E PONTOS DE ACUMULAÇÃO 1 Vrifiqu quis dos conjuntos sguir são brtos m (, ) 1 (, ) 0 (, ) 0 (, ) 0 1 Dtrmin o conjunto d pontos d cumulção do conjunto ddo (, ) 1 1,1 n n (, ) 1, 1 (, ) são rcionis Sjm A B dois subconjuntos d Prov qu s A B form brtos, ntão A B A B tmbém srão CAMINHOS 4 Dsnh imgm ds sguints plicçõs ( t) (1, t) ( t) ( t, t ) 4 ( t) ( t, t ) ( t) (sn t,sn t) ( t) ( cos t,sn t) ( t) (1,1, t), t 0 ( t) ( t, t, t ), t 0 DOMÍNIO, IMAGEM, CURVAS DE NÍVEL E GRÁFICO 5 Rprsnt grficmnt o domínio d função z z z 1 0, 0 1 z z ln ( 1) z z 4, 0 z 4 z 1, z 0 (h) z ( ) (sn sn ) 6 Vrifiqu s função é homogên Em cso firmtivo, dtrmin o gru d homognidd f 7 Suponh qu 4 (, ) 5 gru f (, b) b f sj homogên d 1 Clcul f (4,4) f (0,), (, ) 0 8 Sj pr todo ( b, ), com f homogên suponh qu f (, b) 0 pr todo ( b, ), com b 1 Mostr qu 0 pr todo (, ) 0 9 Dsnh s curvs d nívl sboc o gráfico 1 z 4 z 1, z ( ), 0 0 z z (h) (i) f 4 z 1, z 0 (, ) 1 1, 1 z rctg( ) (j) sn( ), 0, 0 wwwufsjdubr/dmt/jorgphp

2 (k), 0 1, Dsnh s curvs d nívl dtrmin imgm z ( ) ( ) ( ) z ( ) z ( ) 11 Dsnh s curvs d nívl sboc o gráfico d função ( 1) ( 1) 1 Dtrmin, cso istm, os vlors máimos mínimos d f m A ; dtrmin tmbém, os pontos m qu sts vlors são tingidos ( 1) ( 1) A A (, ) 1 Sugstão Obsrv qu g( ) f (1, ), 1, fornc os vlors d f sobr rt A (, ) 4 1, 0 1 Rciocinndo gomtricmnt, dtrmin, cso istm, os vlors máimo mínimo d f m A, bm como os pontos m qu sts vlors são tingidos A (, ) 0, 0 ( 1) 14 Sj A (, ) ( ) Dsnh imgm d curv ( t) ( t), ( t), z( t) Rsn t z f ( t), ( t) gráfico d f? ond Rcos t,, R 0 Como é o 15 Como é o gráfico d 16 Suponh qu T(, ) 4 9? rprsnt um distribuição d tmprtur no plno T(, ) é tmprtur, qu podmos supor m o C, no ponto (, ) Dsnh isotrm corrspondnt à o tmprtur d 6 C Dtrmin o ponto d mis bi tmprtur d rt 1 17 Rprsnt gomtricmnt o domínio d função dd f (,, z) 1 z f z z (,, ) ln ( ) 18 Dsnh suprfíci d nívl corrspondnt c 1 f (,, z) LIMITE f (,, z) 19 Clcul, cso ist sn 1/ ( ) (, ) (0,0) 1/ (, ) (0,0) (, ) (0,0) / / ( ) (, ) (0,0) ( ) / ( ) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (h) 0 Sj ( ) / ( ) / ( ) (, ) (0,0) / ( ) (, ) (0,0) f 4 (, ) / ( ) Considr rt ( t) ( t, bt), com b 0 Mostr qu, quisqur qu sjm b, f t ( ) 0 Tnt visulizr st t0 rsultdo trvés ds curvs d nívl

3 Clcul f ( t) t0, ond ( t) ( t, t) Sugstão Ants d clculr o it, tnt prvr o rsultdo olhndo pr s curvs d nívl d f (, ) (0,0) 1 Suponh qu 4 (, ) ( 0, 0) ist? Por quê? g( u) L com g não dfinid m u Im( f) D Prov qu g g g( u) (, ) ( 0, 0) u Prov, ind, qu o rsultdo cim continu válido s supusrmos g dfinid m, com g contínu m Clcul ond Clcul 4 Sj ( hk, ) (0,0) f ( h, k) h k ( hk, ) sn( ) ( ) (, ) (0,0) 1/( 1) s 1 0 s 1 Clcul 1 5 Prov qu 6 Prov qu (, ), (, ) (0,0) 0 0 (, ) (0,0) 7 Clcul, cso ist (, ) (0,0) (, ) (0,0) 1 cos 1 ( /) f (,, z) (,, z) (0,0,0) CONTINUIDADE 9 Dtrmin o conjunto dos pontos d continuidd Justifiqu rspost 0 f (, ) f (, ) ln ( ) ( ) ( ) / 1 s (, ) (0,0) 0 s (, ) (0,0) sn( ) s (, ) (0,0) 1 s (, ) (0,0) 1 r 1 s r 1, ond r (, ) 0 s r 1 s (, ) (0,0) é contínu 0 s (, ) (0,0) m (0,0)? Justifiqu 1 Prov qu s f for contínu m ( 0, 0), ntão istirá r 0 tl qu 0 pr Sj (, ) (, ) r 0 0 f A, A brto, um função contínu sj c um númro rl ddo Prov qu o conjunto {(, ) A c} é brto Sj f (,, z) ( z ) sn z qu f é contínu 4 Mostr qu Mostr f dfinid por sn ( ) 4 é contínu 8 Sj f (,, z) ( ) ( z 1) Clculr wwwufsjdubr/dmt/jorgphp

4 5 Pod fzr-s contínu sn( ) ( ) dfinindo- d mnir dqud m (0,0)? DERIVADAS PARCIAIS 6 Dtrmin s drivds prciis f (, ) ln (1 ) rctn sn cos( ) 7 Considr função z z z z Vrifiqu qu 8 Considr função z sn Vrifiqu qu z z z 9 A função p p( V, T) é dd implicitmnt pl qução pv nrt não nuls Clcul, ond n R são constnts p V p T 40 Sj um função difrnciávl d um vriávl rl sj f f Mostr qu f 41 Sjm z, cos sn z Vrifiqu qu cos sn Conclu qu z z cos z sn 4 Sj z f ( t) ond f é um função difrnciávl d um vriávl rl um constnt Vrifiqu qu z z t 4 Sj ( ), ond é um função difrnciávl d um vriávl rl Mostr qu f f f 44 Sj 45 Sj t dt Clcul (, ) 6 ( ) f f f Dtrmin um função d modo qu f Dtrmin um função f (, ) tl qu f f f 47 Dtrmin 48 Sj 6 6 f sndo 4 s (, ) (0,0) 0 s (, ) (0,0) f Esboc o 1 s 0 1 s 0 0 s (, ) (0,0) G f f f Clcul (0,0) (0,0) f é contínu m (0,0)? Justifiqu f f (0,1) ist? (1,0)? f Qul é o domínio d? 49 Dê um mplo d um função qu f sj contínu m sj contínu m nnhum ponto d 1 f tl, ms qu f não

5 50 Sj f suponh qu (, ) 0 f (, ) 0, pr todo f é constnt (, ) 51 Dê um mplo d um função f f tl qu (, ) (, ) 0 (, ) f Prov qu f A pr todo A, ms qu f não sj constnt m A 5 Suponh qu, quisqur qu sjm (, ) ( st, ) m, Prov qu f é constnt 5 Clcul s drivds prciis z w z f ( s, t) (, ) ( s, t) f (,, z) sn z 54 Sj s f (,, z, w) Vrifiqu qu s s s s z w 0 z w z w s 55 Sj f contínu com f () 4 Sj 4 z g(,, z) f ( t) dt Clcul 0 g (1,1,1) g (1,1,1) g (1,1,1) z 56 Sj f difrnciávl sj g g(,, z) f ( r), ond r (,, z) Vrifiqu g g g qu z rf () r z 57 Encontr s drivds prciis ds sguints funçõs u(), 1 n 1 wwwufsjdubr/dmt/jorgphp n u(,,, ) sn( n ) n