INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Em situações práticas, a função a ser integrada não é fornecida analiticamente, e sim por meio de pares (x, f(x)).

Transcrição

1 NTEGRAÇÃ NUMÉRCA trodução Em stuçõs prátcs, ução sr tgrd ão é orcd ltcmt, sm por mo d prs,. Nsts csos tor-s cssár utlção d métodos umércos pr o cálculo do vlor d tgrl d. grupos: s métodos ms utldos podm sr clsscdos m dos Fórmuls d Nwto-Côts, qu mprgm vlors d od os potos são gulmt spçdos. Fórmul d qudrtur guss, qu utl potos d drtmt spçdos, od st spçmto é dtrmdo por crts proprdds d polômos ortogos; p d tr s órmuls d Nwto-Côts, s ms usds são: Rgr dos Trpéos; Rgrs d Smpso.

2 Polômo trpoldor d Grgor-Nwto A plcção ds órmuls d Nwto-Côts pré-supõm utlção do polômo trpoldor d Grgor-Nwto P, qu s s o polômo d Nwto: p Fdo sgut susttução d vrávs: logo: ] [ M ] [ Susttudo o polômo d Nwto: [ ] p o ] [ p o com: [ ] [ ],, { } { }! logo: [ ]!!! p o

3 rçs Fts - ct.,, Etão s drçs o são drçs ts ordm ro ª ordm c ª ordm d ª ordm E.: Costrur tl ds drçs ts pr ução crctrd plos potos d tl o: polômo d Grgor-Nwto rprsttvo d ução tld é: p !!!!

4 Rgr do Trpéo A órmul d tgrção umérc trvés d rgr do trpéo é otd, cosdrdo um lrção d ução dtro do trvlo d tgrção trpolção lr. Polômo trpoldor: ordm. - ; d d p p p o! o ; [ ] [ ] p d ár do trpéo ou: o d

5 Erro d Trucmto Pr trpolção lr tm-s: ε ε ET Cosdrdo qu rprstção t d é: p ET d p d ET d tm-s: Sdo: d d ;,, tão E T d ε - d ε E T ε, ε

6 E.: trmr o rro mámo d trucmto comtdo o s. vlr tgrl d pl rgr dos trpéos.. Cálculo pl rgr dos trpéos: [ ] ;. ;. ; - ; ; /.75 p Cálculo do rro: E ε ε E, ε ε Emá N vrdd, E má ão é o vlor do rro comtdo, ms sm um lmtt pr st rro. Pr cocr su vlor soluto, é cssáro clculr o vlor to d tgrl. 6 c Cálculo to:.. d l d Erro rltvo: p p l E % %

7 Rgr dos Trpéos pr múltplos sgmtos d d d d Aplcdo, rgr dos trpéos pr cd sgmto: Erro d trucmto T E ε do um vlor médo d ª drvd m um poto ε tl qu: ε, tm-s: E T E T

8 Prmr Rgr d Smpso Rgr do / Cocdo-s os vlors d um ução m três potos gulmt spçdos,,, pod-s tão promr ução por um polômo do º gru clculr o vlor promdo d su tgrl o trvlo [,], trvés d tgrl do polômo trpoldor. tm-s: Fdo: ; ; -/; d d

9 A tgrl d pod tão sr promd por: p d od: p tão: d Rsolvdo tgrl, otém-s: Como: tm-s: [ ] Pod-s dmostrr qu o rro d trucmto é ddo, ss cso, por: E T 5 9 ε

10 Prmr Rgr d Smpso com Múltplos Sgmtos dsvolvmto é dêtco o d rgr do trpéo com múltplos sgmtos. trvlo d tgrção é dvddo m sgmtos. Pr cd dos sgmtos é t um trpolção com polômo d grg d sgudo gru.,,5,...,,6,... u: [... ] Erro d trucmto A prssão do rro d trucmto c: E t 8 5 ξ srv qu um úmro pr d sgmtos é cssáro mplmtção do método.

11 Sgud Rgr d Smpso Rgr dos /8 Nss cso, o trvlo d tgrção é dvddo m três sgmtos pr tur trpolção. ogo, o polômo trpoldor é d trcro gru. Cosdrdo ms um v órmul d Grgor-Nwto, gor pr p, tm-s: o!! d como: ; ;, cg-s clmt : com: Erro d trucmto 8 [ ] rro d trucmto é otdo trvés d tgrl: u: ET ε! 5 d E T 5 ε ε 8

12 Sgud Rgr d Smpso com múltplos sgmtos trvlo d tgrção é dvddo m sutrvlos; Nss cso é múltplo d. Após s tgrçõs, otém-s: com: Erro d trucmto A prssão do rro d trucmto c: 5 ε E t, ε 8

13 E.: 5 d ução , dtrm umrcmt tgrl d ução o trvlo [,.8], utldo o método do trpéo rgr d Smpso. Compr os rsultdos otdos com o vlor to: Rgr do Trpéo to.65.78, E t.677 ε % 89.5% rltvo E t Rgr do Trpéo com Múltplos Sgmtos,..88, E t.557 ε % 9.5% Prmr Rgr d Smpso Rgr d / , E t.766 ε % 6.6% Prmr Rgr d Smpso com Múltplos Sgmtos.66667, E t.7667 ε %.% Sgud Rgr d Smpso Rgr d / , E t -.58 ε %.8%

14 Etrpolção d Rcrdso É um método sdo plcção rptd ds órmuls d Nwto-Cots pr tgrção umérc, com o ojtvo d mlorr prcsão dos rsultdos otdos. Rgr dos Trpéos Cmdo d o rsultdo otdo com plcção d rgr dos trpéos, pr sgmtos, o vlor to d tgrl pod sr ddo por: E ; od: E ε Aplcdo msm rgr pr sgmtos, com >, tm-s: E ; od: E ε Comdo s quçõs cm, c: ou: E E ε ε ogo: Aprtmt, o vlor to podr tão sr cotrdo dss orm. É vdt qu ss rsultdo só o possívl, dvdo um promção dotd durt ddução: ε o cosdrdo com o msmo vlor pr úmros d sgmtos dsttos.

15 E.:Clculr s d pl rgr dos trpéos pr π, postrormt, mlorr o rsultdo trvés d trpolção d Rcrdso. π π Pr sgmtos:. 57 Pr sgmtos: c c. π. π. π c. π.77 π. π.77 π. c Pl qução d Rcrdso: π ; d Altcmt, Rgrs d Smpso Um v qu m ms s rgrs d Smpso o rro d trucmto é vrsmt proporcol, tm-s, pr ms. É clro qu dvm sr clculdos pl msm rgr.

16 tgrção upl d sj-s clculr, d d. A tgrl pod sr scrt d orm: c Fdo: tém-s: d, c G d c d d G, d d Pod-s utlr qulqur rgr d tgrção. A título d lustrção, mostr-s o o dsvolvmto trvés d rgr do trpéo: G d [G G ], Pr o cálculo d G G, tm-s: G d c d, d [,d,c ] c d c d, d [,d,c ] G c

17 Qudrtur Guss s métodos d tgrção studdos trormt svm-s o cocmto d potos gulmt spçdos,.., o cocmto prévo dos potos utldos órmul d tgrção d ução. sso pod mplcr m dsvtgs, como mostr o mplo sgur. Cosdr, por mplo, tgrção pl rgr do trpéo, como mostr gur o: * Agor, supo qu msm rgr d tgrção sj plcd, pós o dslocmto do sgmto d rt AB pr cm, d tl orm qu os rros postvos pssm sr compsdos por rros gtvos, como mostr gur o. Nss cso, tgrl podr sr otd d orm t, dsd qu ossm scoldos dqudmt.

18 Método dos cocts dtrmdos A m d lustrr ss método, qu srá usdo pr qudrtur guss, scrv-s qução * orm grl: c c ** com c, c costts dtrmr. A prtr dí, g-s qu rgr do trpéo orç um vlor to, qudo ução tgrr é um costt ou um rt, p.., pr. Assm: c d c c c d Cosdrdo qu:, rspctvmt, otém-s: c c c c c c c c c [ ] qu, susttudo m ** rprodu órmul d rgr do trpéo: [ ]

19 Qudrtur d Guss - Fórmul pr Potos Sj d clculr. A m d otr órmul d Guss pr tgrção umérc, dv-s clmt rlr um mudç d vrávl, tl qu o trvlo d tgrção mud pr [-, ]: α α β α dí: od: ogo: β β β α ; d d F d F d A órmul d tgrção guss s rport à prssão grl d trpolção, pr promr o rsultdo d tgrl cm: od: F d A F F Fução d s º d potos A Cocts ou psos, dtrmr Rís, dtrmr Um orm d otr órmuls Gusss é procurr r com qu sjm ts o s usr uçõs d s,,,..., -, o qu rsult m codçõs dtrmção dos A.

20 E.: trmr os cocts s rís d órmul d tgrção d Guss, pr dos potos, utldo como uçõs d s F k, k,,, Solução: Etão: k d A F A F k d A F k d A F k d A F k d A F A F A F A F A F A A A A A A A A Rsolvdo o sstm d quçõs, od s cógts são: A, A, Z, Z m tm-s: A A Z Z Susttudo sss vlors órmul grl, c: F G F qu é órmul d Guss pr dos potos.

21 E.: Clculr, trvés d qudrtur Guss pr dos potos: d Solução: F F Z A F Z F A G Z Z F, -, Z Z Z Z F ; F F,57 G

22 FERENCAÇÃ NUMÉRCA trodução Fdo uso ds proprdds d lrdd do oprdor, é possívl prssr s drçs ts d um ução m trmos d sus drvds vc-vrs. Fdo uso d sér d Tlor, podmos scrvr:!! ' ' '! "! ' ou sj: ; ogo, o oprdor pod sr scrto como:!!!!! Portto, smolcmt: M

23 rcção por rçs Fts Rtrotvs trmo rtrotvs dv-s o to d qu s drçs ts pr o -éssmo poto são dds tomdo-s vlors pr st poto su tcssor, ou sj: Equçõs qu prssm s drçs ts m trmos ds drvds d um ução orm dtrmds. A prtr dsts, podm sr otds quçõs qu prssm s drvds d um ução m trmos ds drçs ts. dí: l l logo: Sdo ssm, tmos: M

24 Rtdo-s ps o prmro trmo ds drvds: M otém-s promçõs pr s drvds d um ução, o poto, com rro d ordm d. Rtdo-s os dos prmros trmos ds drvds, otéms promçõs com rro d ordm d. M Pod-s tão, pl rtção d m trmos, otr-s prssõs pr s drvds com rros d ordm d m.

25 rcção por rçs Fts Progrssvs Sgudo procdmto álogo o mprgdo pr drcção por drçs ts rtrotvs: Rtdo-s ps o prmro trmo ds drvds, otém-s promçõs pr s drvds d um ução, o poto, com rro d ordm d : M Rtdo-s os dos prmros trmos ds drvds, otéms promçõs com rro d ordm d. M 8 5 5

26 rcção por rçs Fts Ctrs Sgudo, ovmt, procdmto álogo o mprgdo pr drcção por drçs ts rtrotvs, otém-s: M M BS.: Smpr qu possívl, usm-s, pr promr drvds, órmuls m ução ds drçs ts ctrs, tdo m vst qu ls são ms prcss. As ms smpls já são d.

27 E.: d tl o, prom::,8,9,,,,889,7,778 7,9 9,855,, usdo drçs ts rtrotvs, com rro d ordm d. Solução:,,,,55,778,7,889,, usdo drçs ts progrssvs, com rro d ordm d. Solução:,,,,5,778 7,9 9,855 c,, usdo drçs ts ctrs, com rro d ordm d. Solução:,,,,9,7 7,9

28 d Sdo qu: ; dtrm o rro m cd cso: Solução: Vlor to:,,,67 rçs ts rtrotvs:,,55,67,55,7 rçs ts progrssvs:,,5,67,5,7 rçs ts ctrs:,,9,67,9 -,68