NÚMEROS COMPLEXOS. Podemos definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma:

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1 NÚMEROS COMPLEXOS DEFINIÇÃO No cojuto dos úmros ras R, tmos qu a a a é smpr um úmro ão gatvo para todo a Ou sja, ão é possívl xtrar a ra quadrada d um úmro gatvo m R Portato, podmos dfr um cojuto d úmros complxos C, tal qu: ou Podmos dfr o cojuto dos úmros complxos como sdo o cojuto dos úmros scrtos a forma: a b od a b são ras, sdo a chamado d part ral b d part magára Smbolamos as parts ral a magára com a sgut otação: R( Im( Dfmos ada qu dos úmros complxos a b a b srão guas quado a a b b PLANO DE ARGAND-GAUSS Gauss assocou a cada úmro complxo a b um par ordado (a, b com a, b R rprstou cada úmro como um poto o plao Essa rprstação rcb o om d Plao d Argad-Gauss ou Plao Complxo :

2 Na forma polar, um úmro complxo pod sr rprstado a forma polar, sto é: Isto, é b a s b ρ s a ρ ρ ρ ( ρ ( ρ s a b ( s ρ ρ a b módulo do vtor ρ é chamado d módulo d COMPLEXO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO O complxo cojugado d um úmro complxo é dfdo como o úmro com a part magára multplcada por S a b, tão o complxo cojugado srá Por xmplo: a b Módulo d um úmro complxo: ρ a b O valor d ρ é chamado d módulo d S a b a b, tão: ρ Vjamos: a b a b a b a b

3 OPERAÇÕES ELEMENTARES As opraçõs d adção, subtração multplcação são ftas d mara atural, drado-s o úmro complxo como um bômo Soma: Sjam os úmros complxos a b a b, tão a b a b a a b b Na forma polar, s ρ ( s ρ ( s, tão ρ ( ρ ( ( ρ ρ ( ρ ρ s s s s Subtração: sjam os úmros complxos a b a b, tão a b a b a a b b Na forma polar, s ρ ( s ρ ( s, tão ρ ( s ρ ( s ( ρ ρ ( ρ s ρ s Multplcação: sjam os úmros complxos a b a b, tão a b a b a a b b a b a a a b a b b b a a b b a b a b, pos Na forma polar, s ρ ( s ρ ( s, tão ( s ( s ( s ( s ρ ρ ρ ρ ρ ρ s s s s ρ ρ s Exmplos: s 5

4 s s s s s s s ou 0 s s Potcação: s um úmro complxo scrto a forma polar ρ ( s dst úmro srá: ρ ρ s ρ s O msmo rsultado pod sr obtdo para potêcas maors, sto é:, o quadrado ( s ( ρ, od 0 < Esta fórmula é cohcda como Fórmula d Movr Radcação: chamamos d ra -ésma d um úmro complxo o úmro complxo tal qu ( Por xmplo,, pos s, pos s, pos s

5 5 A opração d radcação é uma forma d potcação, od os xpots são úmros racoas ão tros Dsta forma, podmos utlar a fórmula d Movr para calcular também as raís ésmas d um úmro complxo: s r, od 0 < < 0 Exmplo Ecotr as raís quadradas d º Passo: calcular o módulo d ( : º Passo: dtrmar o argumto d s : º Passo: usar a Fórmula d Movr: s s Ou sja, para, 0 s para 7 7, s 5 NOTAÇÃO DE EULER Os úmros complxos podm ada sr aprstados m uma outra forma bastat útl, dcorrt da fórmula d Eulr S xpadrmos a fução xpocal x m sér d Mac Laur (ou sér d Taylor a orgm, têm s: 0 0 0! 0!!!! x x x x x x x x x x x x x S frmos a substtução x, obtrmos:

6 ( ( ( ( ( ( R Im 0 0 Mas a part ral 5 a part magára s 0 Portato s um úmro complxo pod sr scrto como ( s sto é, o módulo d sua fas Est rsultado é trssat, pos podmos scrvr as fuçõs trgoométrcas m fução d uma combação d úmros complxos Por xmplo, s s, s, com, tão s s Rlaçõs úts Podmos ada scrvr um úmro complxo, lvado a ésma potêca a forma: ( s Um caso partcular é o úmro

7 ( ( s ( s s s s O msmo pod sr fto para a ra ésma: S, ρ ρ ρ ρ Ests úmros somt srão guas s: ρ ρ Um caso partcular é o úmro 0 ρ ρ ρ s No plao d Argad, as raís -ésmas da udad dstrbum-s sobr o círculo (ctrado a orgm, corrspoddo aos vértcs d um polígoo rgular d lados scrto o círculo, coform lustrado a fgura abaxo Raís da udad, para, rspctvamt 7