O Uso da Álgebra Linear nas Equações Diferenciais

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1 Uso d Álgr ir s Equçõs ifriis íi Gri ol úi Rsd rir Bofim Fuldd d mái FT Uivrsidd Fdrl d Urlâdi UFU 88 - Urlâdi ril d 8 Rsumo Álgr ir é um supor mmáio pr muis árs d iêi Vrmos omo lgus d sus rsuldos podm sr uilizdos rsolução d sisms lirs d quçõs difriis lvrs hvs: Sisms lirs d quçõs difriis; mriz digolizávl; poil d mrizs Irodução Sisms d quçõs difriis ordiáris prm frqum modlgm mmái d divrsos fômos Tl é o so por mplo do modlo pr ompição r dus spéis y qu ovivm um msmo ossism ompido plo msmo suprimo limr S dormos por y s populçõs dss spéis o is ão rmos y y ε σ α y ε σ y α od ε σ α ε σ α são oss posiivs Tr-s d um sism ão-lir um vz qu prm os rmos σ α y σ y α y Como ão é possívl m grl rsolvr pliim os sisms ão-lirs é omum osidrr um proimção lir do msmo suddo-s o sism lirizdo irr olusõs quliivs do sism origil vr [ ] s rigo osidrrmos os sisms lirs d quçõs difriis vrmos omo os rsuldos d Álgr ir podrão os judr s ojivo Ess rsuldos d Álgr ir srão ssumidos sm dmosrção um vz qu o propósio qui é moivr o sudo dss ópios rvés d pliçõs irsss m ours árs Bolsis do IBEG E-mil rofssor ridor E-mil:

2 Sisms irs d Equçõs ifriis rdiáris osso ojivo é prourr soluçõs pr o sism m qu são oss ris pr odos i j { } i j sism pod sr srio form mriil z z od z º so: é um mriz digol Qudo é um mriz digol iso é ij pr odo i j o sism osis d quçõs uj solução é imdi plo fo dss quçõs srm dsoplds um d our: º so: é um mriz digolizávl Qudo é digolizávl iso é qudo is um s { v v } v d R ompos d uovors d podmos formr um mriz qudrd d ordm ujs olus são s oordds dss uovors Vrmos proposição sgui qu s mriz m um propridd muio irss qul prmiirá fzr um mudç d vriávl qu dsoplrá o sism d quçõs difriis ordiáris roposição : é ivrsívl od é mriz digol ujos lmos d digol priipl são os uovlors d iso é v i v i i rov:

3 Supoh qu mriz sj digolizávl iso é qu ism uovors lirm idpds d : { v v v } igmos: p p v v p p sjm os uovlors orrspods Sj um mriz qudrd d ordm ujs olus são s oordds dss uovors Eão: p p p p Tmos: K p p p p p K p p p p p s vi i vi i v v p p Cosqum: p p p p p p K K p p K K ogo oluímos qu: ssim é mriz qudrd d ordm ujs olus é formd plos uovors d é mriz digol ujos os lmos d digol priipl são os uovlors d mriz Como qurímos provr Sj Q ivrs d ou sj Q od é mriz ujs olus são formds plos uovors d mudç d vriávl miod im qu dsopl o sism é sgui: Q z fo sdo Q um mriz os Q z ão

4 Q Q z Q Q z ogo osqum solução z pr o sism origil srá dd por: 5 Q z Emplo: o sism lir 6 mos ujo poliômio rrísio é p s uovlors d são poro Cluldo uovors v v ssoidos rspivm ormos: v v poro ssim omo vimos im mudç d vriávl 7 rdrá o sism dsopldo

5 uj solução grl é 8 Ivrdo o sism 7 ormos usdo 8 hgmos à solução grl do sism 6: 9 S prdmos drmir solução spífi qu sisfz à odição iiil s fzr m 9 rsolvr o sism lir s vriávis odo ogo s solução spífi srá qu pod sr sri id form mriil

6 srv qu fórmul dá solução spífi dirm m fução d odição iiil riro úlimo so o qul ão é ssrim digolizávl srá osidrdo sção pós iroduzirmos o oio d poil d mrizs Epoil d rizs Já smos qu qução difril ordiári m omo solução fução d mis url poro ojurr qu solução do sism sj dd por Vrmos qu isso é vrdd dsd qu dfimos poil d mrizs d modo dqudo mrdo qu R isso sugr sgui dfiição d poil d mrizs: fiição: d um mriz qudrd d ordm dfiimos I m qu I é mriz ididd É possívl provr qu séri im ovrg pr um mriz rém izd d qulqur qu sj orm osidrd o spço ds mrizs qudrds d ordm ão vmos os oupr ds fo gor qu pr mis à ális à Topologi pois omo já dissmos o osso foo s rlho sá rdo uilizção ds éis d Álgr ir rsolução dos sisms lirs d quçõs difriis Vmos gor provr d form pouo rigoros lgums propridds irsss d poil d mrizs ropridd : I rov: Imdi

7 ropridd : S é ivrsívl ão rov: Es propridd sgu do fo qu pr odo úmro url fo ropridd : Chmdo X ão X X pr odo úmro rl rov gligido dlhs impors is omo qusão d ovrgêi d drivção rmo rmo : I d d X X I srvção: Como o rsuldo vl pr od mriz ão ropridd : é ivrsívl Em priulr rov: Uilizdo Rgr d iiiz pr um produo d mrizs omos { } d d Como mriz omu om od poêi url d ão omu om d od sgu qu { } d d ogo I omo qurímos provr

8 ropridd 5: d um mriz qudrd d ordm is som um mriz qudrd Y d ordm sisfzdo Y Y Y I I Rs mosrr uiidd r isso sj Y l qu Y Y Y I Eão rov: propridd mosr isêi pois d d { Y } Y Y Y Y omo omu om omos id qu d d { Y } Y Y ogo Y Y I osqum Y ropridd 6: ds mrizs qudrds B d ordm mos: B B B B pr odo úmro rl Em priulr B B B B B B rov: Sj X Eão X B Como B omu om por hipós ão B omu om ods s poêis uris d poro omu B B B om ogo X B B B X X I uiidd provd riorm mos qu vol os sisms d quçõs difriis ordiáris B B B Tdo dfiido é o dido à solução do sism ou sj I Es prssão d fo for solução do sism pois ssumido qu drivção rmo rmo oduz à drivd rmos Emor poil d mrizs forç um rspos m simpls pr o sism pod sr um rf omplid lulr poil d um

9 mriz rvés d su dfiição omo som d um séri ifii o os sos priulrs m qu é um mriz digol ou um mriz ilpo i Cálulo d o so m qu é um mriz digol Sdo ão ogo ou id oro ii Cálulo d o so m qu é um mriz ilpo Sr ilpo sigifi qu is um umro url r l qu r mor iiro r l qu r é domido ídi d ilpoêi d Emplos d mrizs ilpos são s mrizs qudrds d ordm ujs rds são ods uls o s rds imdim io d digol priipl qu são ods iguis io vmos o so priulr m qu ; ; ; oro s mriz é ilpo om ídi d ilpoêi

10 r mrizs ilpos d ídi r o álulo d poil s rsum à um som fii prism r r r I s som smpr pod sr fud Clro qu s o ídi r ordm form grds um om ompudor srá imprsidívl Esmos pos gor rsolvr o sism o so m qu ão é ssrim digolizávl r isso srá úil o sgui Torm: Torm Form d Jord : d um mriz qudrd d ordm is um mriz ivrsívl d msm ordm l qu fi um mriz ompos d loos J J disposos o logo d digol priipl J J J od são os uovlors d J é o hmdo -loo d Jord uj form é J Vr [ ] srvção: s rds ão sris são ods iguis zro

11 o qu d loo J pod sr domposo som J od é um mriz digol é ilpo prism Chmdo

12 ão ou id poro omo omos id Sdo digol ilpo ão ão é ssário rlizr um som ifii pr o álulo d poro solução do sism pod fivm sr luld Como o rolm d Vlor Iiil m solução úi ão mriz qu pr fórmul ds rlho é m poil ou sj: Biliogrfi [ ] vs JF Figuirdo G Equçõs ifriis plids Colção mái Uivrsiári I RJ [ ] Hirsh Sml S iffril; Equios ymil Sysms d ir lgr dmi rss 97

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