c.c. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:

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1 Prof. Lorí Vili, Dr. Sj um vriávl ltóri com conjunto d vlors (S). S o conjunto d vlors for infinito não numrávl ntão vriávl é dit contínu. É função qu ssoci cd (S) um númro f() qu dv stisfzr s sguints propridds: f() f (). d A colção dos prs (, f()) é dnomind d distriuição d proilidd d VAC. Sj um VAC. Dtrmin o vlor d c pr qu f() sj um função dnsidd d proilidd (fdp). c. f() s c.c.

2 Pr dtrminr o vlor d c, dvmos igulr ár totl um, isto é, dvmos fzr: - f()d - c. d Tm-s: - c. d c - c c c d c - - -,5 P ( < < ) f ( ) d, y f(), -,5 -, -, -,8 - -,,,,8,,,5 - < < P ( < < ) f ( ) d S é um VAC, ntão: Isto é, proilidd d qu ssum vlors ntr os númros é ár so o gráfico d f() ntr os pontos. P ( ) f ( ) d P ( < < ) P ( < ) P ( < ) P ( )

3 Sj um VAC. Dtrmin proilidd d ssumir vlors no intrvlo [-; ]. f () s c.c. A proilidd solicitd é dd por: P (, 5 < - d [ () <, 5 ) (-) d ], 5 % () Epctânci, vlor sprdo µ E() f () d () Vriânci σ V() (µ) f ()d f ()d f ()d µ ( f ()d) E( ) E() (iii) Dsvio Pdrão σ (µ) f ()d f ()d µ E( ) E() (iv) O Coficint d Vrição γ σ/µ (c) Assimtri γ [µ µ µ + µ ]/σ (d) Curtos γ E[( - µ) 4 ]/σ 4 [µ 4 4µ µ + 6µ µ µ 4 ]/σ 4 - S é um VAC ntão o k-ésimo momnto d é ddo por: o k-ésimo momnto cntrl d é otido por: k k µ E( ) f () d k ' k k µ E( ) (µ) f () d k

4 Considrndo qu o momnto d ordm k d é E( k ) µ k, pod-s prssr pctânci s dmis mdids m função dss rsultdo. Tm-s, ntão: Clculr o vlor sprdo, vriilidd d vriávl númro d crs no lnçmnto d qutro mods honsts. Dtrminr pctânci o dsvio pdrão d vriávl dd por: f () s c.c. µ E ( ) -.f()d 4 -..d d σ E ( E ( ) ) E ( ). 5 d, d O dsvio pdrão d srá, ntão: σ E ( ) E ( ),6,77 4

5 É função F() dfinid por: F() P( ) f(u)du A F() é intgrl d f() té um ponto gnérico. Considrndo função io como fdp d um VAC, dtrminr F(). f () s c.c. A F() é um função dfinid m todo o intrvlo rl d sguint form: F( ) u s < - du s s > Vmos dtrminr o vlor d intgrl m u : F() u u du [u ] u du + Assim Função d Distriuição Acumuld (FDA) é: s < - F() + s s > F() +,,9,8,7,6,4,,,, -,5 -, -,,,5 5

6 O uso d FDA é stnt prático no cálculo ds proilidds, pois não é ncssário intgrr, já qu l é um função qu fornc Intgrl. Usndo FDA, trmos smpr três csos possívis: P( ) F() P( > ) F() P( < < ) F( ) F( ) Osrvção: S é um VAC ntão o momnto d ordm k é ddo por: E( k ) k f()d Uniform Eponncil Norml t (Studnt) χ (Qui-Qudrdo) F (Fishr/Sndcor) 6

7 Um VAC é uniform no intrvlo [; ] s ssum todos os vlors com igul proilidd. Isto é, s f() for: Sj um VAC com distriuição uniform no intrvlo [; 6], isto é, ~ U(; 6). Então fdp é dd por: f() s c.c. f () 6-4 c. c. s 6 Fdp d U(; 6),,,,5, A função F() é dd por: s < F() s s > Sj um uniform no intrvlo [; 6], ntão FDA d é dd por: s < F() s 6 4 s > 6,,9,8,7,6,4,,,,

8 E() +.f ()d d ( ).( + ) ( ) ( ) + A vriânci srá ntão: σ V() E( ) E() E( ) +.f ()d ( ) d σ V ( ) ( ) ( ) ( ) E ( + ) E ( ) + 4 γ γ -6/5 8

9 Um vriávl ltóri T tm um distriuição ponncil s su fdp for do tipo:. f (t).t t t < O tmpo d trlho sm flhs d um quipmnto (m hors) é ddo pl função, io. Dtrminr proilidd d qu o quipmnto não flh durnt s primirs 5 hors., f (t) -,t c. c. s t A proilidd solicitd é dd pl intgrl d função no intrvlo T < 5, isto é: P (T < 5 ), ,t, dt 9,5 % -,t,. dt -,t, 5,,5,, E(,) E(,) E() A função F(t) é dd por: F(t) - - t s t < s t Os.: Tnt dtrminr! O tmpo d trlho sm flh d um quipmnto (m hors) é um ponncil d prâmtro,. Dtrmin proilidd d l funcionr sm flhs por plo mnos 5 hors. 9

10 A FDA pr st fdp é dd por: -,t F(t) - A proilidd solicitd é dd por: P(T 5) F(5) ,5% -,.5,,9,8,7,6,4, E(,) E(,) E(),,, E(T) [ t t t ] t + t.f (t)dt + t t t. dt t dt Foi utilizdo intgrção por prts σ V(T) E(T ) E(T) E( T [ t ) t + t t ] t +.f (t)dt t t dt. t dt. t dt A vriânci srá ntão: σ V(T) E(T ) E(T)

11 Sj T um VAC com distriuição ponncil d prâmtro. Dtrminr o vlor mdino d distriuição. Conform visto mdin é o vlor qu divid distriuição d form qu: P(T < m) P(T > m) 5%. Tm - s F(t) P(T < t) Então : P(T < m) F(m) m Assim m m ln() m - m ln( ) ln() t. γ γ 6