RESPOSTA DO SISTEMA. Resposta em Regime Transitório Resposta em Regime Permanente

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Rita Manuella Cabral Mendes
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1 RESPOSTA DO SISTEMA Rsps m Rgm Trsór Rsps m Rgm Prm

2 Exmpls d ssms d prmr rdm Tqu d águ crld pr um bó Tx d vrçã lur é prprcl (H-h) dh k( H h) k h H ( )

3 Ssm RC, cpcr m sér cm rssr dv C RC ( V V C ) V C RC V ( )

4 Exmpl: Qud um rmômr é clcd m um líqud qu m um mprur TH, rzã qul mprur T ld rmômr vr cm mp é prprcl à dfrç r T TH. Qul srá: () frm d quçã dfrcl qu dscrv cmprm d vrçã d mprur ld pl rmômr cm mp? (b) quçã d T cm mp? q du dt + kt ha( TH T ) kt H ) d: mc p k dt ha mc p b) T T H ( k )

5 Equçã Dfrcl d Prmr Ordm d + b Ss d rd

6 Rslvd um quçã dfrcl d prmr rdm d + Rrrjd: b d( u + v) + ( u + v) Subsud: b u + v du dv + u + + v b

7 du dv + u + + v b Fzd: dv + v b Rsps frçd Tms: du + u Rsps rsór u rsps lvr u + Rsps rsór v Rsps frçd

8 Rsps rsór (sprd s vrávs grd) u A Rsps frçd: Dvms prpr um sluçã vrfcr s ssfz E.D. A sluçã sr prps dpd d rd. Erd dgru Erd Erd rmp + b + k, > b c + K v k v + v b K cs b + c + K Erd As ω + B csω v As ω + B csω

9 Supd um rd m dgru. > < Cs Prpms cm sluçã k v dv C b k b v dv b v k

10 A sluçã cmpl é u + v b A. + Pr drmr vlr d cs A é cssár um cdçã cl m b A + b b. +. b b A S

11 Erd Síd b.

12 Exmpl: Um ssm lérc, um rssêc m sér cm um cpcr, qud suj um rd dgru d mplud V, m cm síd dfrç d pcl cpcr V C qu é dd pl quçã dfrcl: RC dvc + VC V Qul é sluçã d quçã dfrcl, s é, cm VC vr cm mp?

13 Cmprd dvc RC + VC V cm d + b ã RC b V C V b V C V. RC

14 CONSTANTE DE TEMPO Sluçã d um quçã dfrcl d prmr rdm Qud Qud b Eã, síd m rgm prm é: b b.

15 A fuçã d rsfrêc m rgm prm é: G ss A rsps d ssm pd sr scr cm: b G ss Qud mp é gul rm xpcl é.,37 (,37), Gss 63 Gss

16 Nss s d mp síd já gu 63% d su vlr m rgm prm. Ess s d mp é chmd d cs d mp τ. Em dus css d mp ( / )τ, rm xpcl r-s -,4, ssm: (,4), Gss G ss 86

17 Tmp τ τ τ 3 τ 4 τ 5 τ τ,63 G ss,86 G ss,95 G ss,98 G ss,99 G ss G ss A sluçã d um ssm d prmr rdm é scr cm G ss τ

18 Um quçã dfrcl d prmr rdm pd sr scr cm: b d + b d + ss G d τ +

19 Exrcíc pr próxm ul A rlçã r vlcdd gulr d síd ω sã d rd v pr um mr qud suj um rd m dgru pd sr dd pr: JR k k dω +ω k V Qul srá vlr m rgm prm d vlcdd gulr cs d mp d ssm qud V V

20 Exmpl: A fgur msr cm síd V d um ssm d prmr rdm vr cm mp qud suj um rd dgru d 5V. Esmr: ) A cs d mp b) A fuçã d rsfrêc m rgm prm c) A q. Dfrcl d prmr rdm pr ssm V rg. Prm V V m um cs d mp 6,3V A cs d mp τ é mp gs pl ssm pr r d,63 d su vlr m rgm prm D fgur, cs d mp é τ 3 s

21 Pdms vrfcr s vlr qu ssm é d prmr rdm drmd vlr d rsps m τ. Em 6 s V 8,6 b) A síd m rgm prm é V. A fuçã d rsfrêc m rgm prm é G ss 5 b) A q. dfrcl d um ssm d prmr rdm pd sr scr cm d τ + G ss dv + V 3 V

22 EXEMPLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Csrvçã d qudd d mvm lr. (Sgud L d Nw Mss cs) dx F kx c m

23 dx F kx c m cm d x dx m + c + kx ( dx ) dv d F d x

24 Crcu RLC sér d + R L d + LC V LC

25 Equçã Dfrcl d Sgud Ordm Um Eq. Dfrcl d sgud rdm m frm grl d d + + É rmlm scr cm d b d + ζω + ω bω Od ω é frqüêc url gulr qul ssm sclrá usêc d qulqur mrcm ζ é cfc d mrcm

26 Fzd: d v Tms: Rslvd um Equçã Dfrcl d Sgud Ordm u + Rsps rsór v Rsps frçd dv + ζω + ωv ωb Rsps frçd d u du + ζω + ω u Rsps rsór u rsps lvr

27 Pr rslvr quçã hmgê pdms r um sluçã d frm u s A du As s Subsud q. dfrcl d u As s d u du + ζω + ω u As s + ζω As s + ω A s s + ζω s + ω

28 u s A Pd sr sluçã dsd qu quçã s sj ssf + ζω s + ω s b ± ( b 4c) s ζω ± ( 4ζ ω 4ω ) s ζω ± ω ζ ( ) Os vlrs d s dpdm mu d rm qu sá dr d rz. Qud ζ ssm scl lvrm

29 Qud ζ > s s xsm dus rízs rs dfrs s s ( ) ζω + ω ζ ( ) ζω ω ζ A sluçã grl é s s u A + B SISTEMA SUPERAMORTECIDO

30 Qud ζ xsm dus rízs rs gus s s s s ω ( ) A sluçã grl é u A + B ω SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO A sluçã dvr sr u A ω Ms s sluçã, cm um só cs, ã ssfz s cdçõs cs pr um ssm d sgud rdm

31 Qud ζ < xsm dus rízs cmplxs s s s ζω ± ω ζ ( ) s ζω ± ω ( )( ζ ) j ( ) s ζω ± jω ( ζ ) Fzd ( ω ω ζ ) s ζω + jω s ζω ± jω s ζω jω

32 O rm ω é frqüêc gulr d mvm qud sá cdçã spcfcd pr ζ A sluçã ss cdçõs é: u Ms ( jω ) u A ( ζω + jω ) ( ζω jω ) cs ω + + B j sω [ A + B ] ( ζω ) ( j ω ) ( j ) ω u ( jω ) csω j sω ( ζω ) [ A ja B jb ] csω + sω + csω sω ( ζω ) u [( A B) j( A B) ] + csω + sω Q j( A B) P A + B u ( ζω ) [ P Q ] cs ω + sω SISTEMA SUBAMORTECIDO

33 Pr rslvr quçã frçd Supd rd m dgru d mplud v k dv d v m d v + dv ζω + ωv ωb + + ω k ωb v b

34 A rsps cmpl é sm d u v Suprmrcd s s A + B + b s s ( ) ζω + ω ζ ( ) ζω ω ζ Crcm ω A + B + b ( ) mrcd Submrcd ( ζω ) [ P cs ω + Qsω] + b

35 Qud Tds s sluçõs cduzm b Fuçã d rsfrêc m rgm prm G SS b

36 Exmpl: Um crcu RLC, m RΩ, LH CµF. A crr crcu é dd pr d + R L d + LC Pr um rd dgru V V LC ) Qul é frqüêc url d ssm? b) O ssm é suprmrcd, crcm mrcd u submrcd? c) Qul é frqüêc d sclçã mrcd? d) Qul é sluçã d quçã dfrcl, s m d,

37 ) Cmprd s quçõs d d + ζω + ω bω d + R L d + LC V LC ω LC 6 b) Cmprd s quçõs ω 58 R 5 ζω ζ, 6 L 58 c) A frqüêc d sclçã mrcd é ω Hz ζ < Submrcd ( ω ζ ) ( ) ω 58,6 56 Hz

38 d) Ssm submrcd, sluçã é d p ( ζω ) [ ] P cs ω + Qsω + b ( ) [ ] ζω P csω + Qsω + V Cdçõs cs: qud [ P + ] + V P V d d qud ( ζω ) [ P Q ] ω sω + ω csω ζω ( ζω ) [ P Q ] csω + sω

39 [ + ωq] ζω [ ] P + Q ζω V ω ( ) ζω ζω V csω V sω + V ω ω 58Hz; ζ,6; ω 56Hz; V ( 5,8 ) [ cs56 +,6s56] + V V [ ( ) [ ] 5,8 cs56 +,6s56

40 V [ ( ) [ ] 5,8 cs56 +,6s56 5 E gráfc () Mhcd Dcum

41 MEDIDAS DE DESEMPENHO PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

42 Tmp d subd r Tmp gs pr qu rsps vá d é vlr fl ss Cdçõs cs: d [ P + ] + V ( ζω ) [ P cs ω + Qsω] + b qud P b d qud ( ζω ) [ P Q ] ω sω + ω csω ζω [ + ωq] ζω [ ] P + ( ζω ) [ P Q ] csω + sω Q ζω ω ( b )

43 Assm Ms Lg: ω ω ( ζω ) ω ζω ω b cs b sω + b b b SS ζ SS ( ζω ) qud ζω csω + ω ζω cs ω + sω ω sω cs + ζ ω sω ζ

44 sω csω ζ ζ ω ζ ζ r rc ω ζ ζ

45 Tmp d pc p d Tmp gs pr qu rsps vá d é prmr vlr d pc d Ps d máxm mím ( ζω ) [ P Q ] ω sω + ω csω ζω ( ζω ) [ P Q ] csω + sω d ( ζω ) b + ( b ) ω sω ω ζω ( ζω ) ( ) ( ) ζω ω b csω ζω csω + b ω sω

46 ( ) ( ) ζω ( ) b s ω ω + ω ζω d d ω ω ζ ζω ( ) ( ) b s Es q. é ssf pr ω ω ζ ω p, π, π, 3π, K p π ω

47 A quçã é ssf pr ω p, π, π, 3π, K Os ps d máxm crrm qud drvd é (-) d ω ζ ( ζω ) ( ) b ω( csω ζ s ) < ω Es q. é ssf pr ω π, 3π, 5π,K p

48 Sbr-sl É mplud máxm qul rsps ulrpss vlr m rgm prm Sbr sl crr m Rsps cm mp: ω π, 3π, 5π,K ( ζω ) ζω ω b cs ω b sω + b SS b

49 O sbr-sl crr m ω π ω π, 3π, 5π,K π ζω ω [ ] SS + + SS Sbr-sl SS SS ζω π ω Cm ω ω ( ζ ) Sbr-sl SS ζπ ( ζ ) Cfc d mrcm,,4,6,8 Sbr-sl prcul 5,7 5,4 9,5,5

50 Rzã d qud u dcrm Idc vlcdd d dcm É mplud d sgud sbr-sl dvdd pl mplud d prmr Prmr sbr-sl SS ζπ ( ζ ) Sgud sbr-sl SS ζ 3π ( ζ ) Rzã d dcrm ζ π ( ζ )

51 Tmp d sblzçã s É mp gs pr qu s sclçõs dsprçm É mp gs pr rsps dmur prmcr dr d lgum prcul spcfcd, pr xmpl % d SS ( ζω ) ζω s ω ss csω ss ω + ss Amplud d sclçã ss, ss ( ζω ) ss csω ss ζω ω sω

52 Os vlrs máxms d mplud crrm qud ω éum múlpl mpr d π, ssm cs ω - s ω ( ζω ) [ ( ) ], ss ss ss ( ) ζω, l, ζω s l, 3,9 4 s 4 ζω Pr prcul d 5% s 3 ζω

53 Príd Frqüêc Númr d sclçõs T Númr d sclçõs f ω π f mp d sblzçã príd Pr sblzçã m % d vlr fl Númr d sclçõs 4 ζω π ω ω πζω ω πζω T ζ π ω Númr d sclçõs π ζ

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