Análises de sistemas no domínio da frequência

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Carlos Eduardo Diegues Amaro
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1 prmno d Engnhri Químic d Prólo UFF iciplin: TEQ0- COTROLE E PROCESSOS náli d im no domínio d frquênci Prof inok Boorg Rpo d Frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr COCEITO: Coni d um méodo gráfico-nlíico qu prmi obrvção d rpo d um im, pr um inl d nrd noidl, cu frquênci é vrid dnro d um fix pré-blcid. rpo m rgim prmnn d um im linr invrin no mpo uio um nrd noidl rá noidl n mm frquênci, com mpliud f difrn. Função d Trnfrênci Snoidl: MÓULO : w Y w X w X Y FSE : Y w w X w

im, pr um inl d nrd noidl, cu frquênci é vrid dnro d um fix pré-blcid.

2 omínio frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr rprnção do domínio do mpo dá mpliud do inl no inn d mpo colhido. o domínio d frquênci, pr- conciulmn nóid qu formm o inl. omínio do mpo vru domínio d frquênci omínio do mpo omínio d frquênci 3 omínio frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr como á vimo, rnformd d Lplc: Lx X Trnformd d Fourir: Fx X vrdd Trnformd d Lplc Trnformd d Fourir ão rprnçõ qu ão muio rlciond um com our. Em muio co, ubiuirmo por, io é, fzndo- r um númro complxo com pr rl nul pr imginári, 0 obmo Trnformd d Fourir prir d Trnformd d Lplc X X0 X, Y Y0 Y, c. 4

omínio do mpo vru domínio d frquênci omínio do mpo omínio d frquênci 3 omínio frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr como á vimo, rnformd d

3 Sini inodi Cliqu pr dir o ilo do xo mr n π / T rd/mpo l frquênci: mudnç rápid Príodo T Frquênci π T mpliid d pico mpliid d pico pico Bix frquênci: mudnç ln : númro d ocilçõ m um gundo, no SI hrz; rd/ 0, Hz. 5 Enrd noidi Cliqu pr dir o ilo do xo mr Méodo d rpo m frquênci: Vri- frquênci do inl d nrd dnro d um cro inrvlo ud- rpo ruln. U Y Obivo: Eudr rpo d um im linl ávl n mudnç ipo noidl n nrd o cnrrmo no do cionário S: Y U : U 6

ln : númro d ocilçõ m um gundo, no SI hrz; rd/ 0,595494374 Hz.

4 Cliqu pr dir o ilo do xo mr pr pr b b b U Y 7 logo: Rpo m frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr rg lim... ] [ φ φ φ φ φ φ n ávl, no do cionário : é b L L L Y L 8 im, plicndo rnformd invr, mo: Rpo m frquênci

5 Rpo m frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr Rpo m Frquênci: Rpo m rgim prmnn d um im um nrd noidl U Y u n n φ φ rg rpo ocil com mm frquênci, m nud por um for dfd um ângulo φ rg, qu dpndm d. 9 Rpo m frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr o vlor d nução o df φ rg qu inroduz um im linl dpndm ó d podm rprnr- m função d frquênci m divro ipo d digrm, o ubiuir vriávl por m clculr o módulo rgumno do complxo ruln rg rcg rcg 0

9 Rpo m frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr o vlor d nução o df φ rg qu inroduz um im linl dpndm ó d podm

6 Rpo m frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr Form ráfic: igrm d Bod ou gráfico logrímico igrm d qui ou digrm polr igrm do Logrimo do módulo vru ângulo d f cr d ichol igrm d Bod Cliqu pr dir o ilo do xo mr O digrm d Bod d módulo d f ão um d form d crcrizr ini no domínio d frquênci. m db db 0log Hndrik Wd Bod , rg m gru função d rnfrênci noidl d um im rprnd grficmn: Módulo vru Frquênci Ângulo d F vru Frquênci.

digrm d Bod d módulo d f ão um d form d crcrizr ini no domínio d frquênci.

7 Conrução do igrm d Bod Uo d Ecl Logrímic: implificm u conrução, mnipulção inrprção. Trçdo d Curv: corrpond plor curv pr w. Como é um curv d vriávl complx, dv- prnr conunmn du curv: pr rl imginári ou Módulo F form ud. bci ixo frquênci m rd/ cl logrímic Módulo db Ordnd ixo M módulo m db M 0 log F m gru F gru 3 rd/ Conrução do igrm d Bod décd vrição corrpondn 0 x, im: oiv vrição corrpondn x um oiv corrpond à: o dobro /ou md, dpndndo do nido pr diri ou pr qurd / umnndo- / ou diminuindo-. 4

bci ixo frquênci m rd/ cl logrímic Módulo db Ordnd ixo M módulo m db M 0 log F m gru F gru 3 rd/ Conrução do igrm d Bod

8 Frqüênci rd/ Módulo M 0 log [dcibl db] F Φ [gru ] bw Conrução do igrm d Bod 0*log bw [db] w, [rdino] w, [gru] FSE Φ 0 log w Lmbrndo qu: rd/ ou Hz rd/ ou Hz 5 Rumindo: Conrução do igrm d Bod O digrm d Bod ão conruído pr funçõ d rnfrênci w ão doi: digrm d Bod d módulo digrm d Bod d f. O digrm d Bod d módulo ão gráfico d m db db x com cl logrímic O digrm d Bod d f ão gráfico d m gru x com cl logrímic Indic o gnho rlivo pcrl. Indic dfmno hrmônico do inl d íd m rlção o d nrd. 6

Lmbrndo qu: rd/ ou Hz rd/ ou Hz 5 Rumindo: Conrução do igrm d Bod O digrm d Bod ão conruído pr funçõ d rnfrênci w ão doi:

9 Mmicmn: Conrução do igrm d Bod finição: Função d rnfrênci K[ x w x [ x w x 4 3 w3...] w...] 4 Curv d Módulo ou mpliud: w db M 0log K 0log x w w... 0log x w w... Ob.: Zro m conribuição poiiv pólo m conribuição ngiv n curv d módulo. Curv d F: Φ w φ [w w / x ]...- rc g[w w / x ] -... rcg Ob.: Zro m conribuição poiiv o pólo m conribuição ngiv n curv d f. 7 Crcríic d Rpo d Frquênci d Proco d ª Ordm Cliqu pr dir o ilo do xo mr Pr qdo ond ˆ K nd φ n τ τ. O inl d íd é um noidl qu m mm frqüênci,, com o inl d nrd, x in.. mpliud do inl d íd, Â, é um função d frqüênci d um mpliud, : ˆ K 3- τ 3. íd m um mudnç d f, φ, m rlção à nrd. qunidd d dlocmno d f dpnd. 8

: Zro m conribuição poiiv o pólo m conribuição ngiv n curv d f. 7 Crcríic d Rpo d Frquênci d Proco d ª Ordm Cliqu pr dir o ilo do xo mr Pr qdo ond ˆ K nd φ n τ τ.

10 Crcríic d Rpo d Frquênci d Proco d ª Ordm Cliqu pr dir o ilo do xo mr coninução... ividindo mbo ldo d q pl mpliud do inl d nrd rul o rzão d mpliud, R mpliud rio qu podm, por u vz, r dividido plo gnho d proco pr produzir rzão d mpliud normlizd R R ˆ R τ K τ b 3 9 Crcríic d Rpo d Frquênci d Proco d ª Ordm Cliqu pr dir o ilo do xo mr coninução... Pr qdo ond ˆ K nd φ n τ τ. O inl d íd é um noidl qu m mm frqüênci,, com o inl d nrd, x in.. mpliud do inl d íd, Â, é um função d frqüênci d um mpliud, : ˆ K 3- τ 3. íd m um mudnç d f, φ, m rlção à nrd. qunidd d dlocmno d f dpnd. 0

d mpliud normlizd R R ˆ R τ K τ 3-3 3-3b 3 9 .. Pr qdo ond ˆ K nd φ n τ τ. O inl d íd é um noidl qu m mm frqüênci,, com o inl d nrd, x in.

11 Crcríic d Rpo d Frquênci d Proco d ª Ordm Cliqu pr dir o ilo do xo mr coninução... ividindo mbo ldo d q pl mpliud do inl d nrd rul o rzão d mpliud, R mpliud rio qu podm, por u vz, r dividido plo gnho d proco pr produzir rzão d mpliud normlizd R R ˆ R τ K τ b 3 Méodo Shorcu pr nconrr Rpo d Frquênci E méodo coni m: Ep. Subiuir m pr o obr.. Ep. Rcionlizr ; - xprr n form. R I ond R I ão funçõ d. Simplificndo muliplicndo o numrdor o dnomindor plo complxo conugdo do dnomindor. Ep 3. rzão d mpliud f d ão dd por : Lmbrr R R I ϕ n I/ R

produzir rzão d mpliud normlizd R R ˆ R τ K τ 3-3 3-3b 3 Méodo Shorcu pr nconrr Rpo d Frquênci E méodo coni m: Ep. Subiuir m pr o obr.

12 Exmplo Enconrr rpo d frquênci d um im d primir ordm, com Solução Primiro, ubiui - τ n função d rnfrênci τ τ Em guid, mulipliqu o numrdor o dnomindor plo complxo conugdo do dnomindor,, ou, τ τ τ τ τ τ τ R I τ τ ond: p 3 do Méodo Shorcu: ou mbém, R τ I τ τ τ R R I τ τ τ τ R τ b 4b I φ n n τ n τ 3-0b 5b R

complxo conugdo do dnomindor,, ou, τ τ τ τ τ τ τ R I τ τ 3-8 3 3 ond: p 3 do Méodo

13 5 Exrcício: w w w w w w w w w w w w Coninum... 6 Frqüênci rd/min Módulo bw Módulo 0*log bw [db] w, [rd] R w, [gru] ,0 0, Exrcício: 0 5 E complr guin bl

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