Sinais de Potência. ( t) Período: Frequência fundamental: f = T T

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Natália Pais Marroquim
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1 Siais d Poêcia P lim ( ) d < Siais Priódicos ( ) ( + ) com Ζ ( ) Príodo: P Frquêcia udamal: ( ) d

2 Exmplos Sial cosa ( ) Sial siusoidal Fas ula Im si θ c Fórmulas d Eulr xp ± jθ cosθ ± j si ( ) θ jθ θ cosθ R - volv θ - as cos π ( π ) [ xp( jπ ) + xp( j ) ] si π j ( π ) [ xp( jπ ) xp( j ) ]

3 Exmplos (co.) Sial siusoidal Caso ral cos ( π + θ ) + jθ jθ jπ jπ si ( π + θ ) + j ( θ π / ) j jπ ( θ π / ) jπ

4 Exmplos (co.) Sial siusoidal com compo dc ( ) j j c j j c cos π θ + + π θ + + θ π ( ) ( ) ( ) j / j c j / j c si π π θ + + π π θ + + θ π

5 Exmplos (co.) Oda rcaular Fução radora ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < caso corário < < caso corário ( ) rc, rc ( )

6 Séri d Fourir ( ) + c jπ c - coicis d Fourir c - compo dc ( >) - harmóicas Produo iro jπ jπm, jπ si π ( π( m) ) ( m) jπm d sic ( - m) sic ( x) 3 4 jπ jπm, m m

7 Séri d Fourir (co.) Dcomposição m compos orooais bas orooal d dimsão iiia ( ) + c jπ { } π j ra o spaço vcorial dos siais priódicos d príodo ális d Fourir d siais priódicos Cálculo dos coicis d Fourir c jπ ( ), ( ) jπ d

8 Séri d Fourir (co.) Rlação d Parsval Cálculo da poêcia (orma quadráica) P ( ) d c x 3 3 x x x x + x + x 3 x x

9 Séri d Fourir (co.) Exmplo ( ) c / 4 / 4 / jπ c d 4 sic π ar (c ) -π

10 Siais d Eria E + ( ) d < Exmplos α ( ) < α ( ), < < E α E α ( ) rc E

11 rasormada d Fourir Exmplo + j d ( ) ( ) G ( ) rc ( ) sic ( ) G spcro d maiud k, k Ζ π spcro d as -π

12 rasormada d Fourir (co.) Impulso d Dirac - δ( ) rc sic ( ) sic ( ) d rc

13 rasormada d Fourir (co.) Impulso d Dirac - δ( ) δ( ) F { jπ } jπ jπ d δ( ) + Propridad udamal ( ):. coíua m µ µ ( µ ) δ( µ µ ) µ µ µ ( µ ) µ < µ < µ caso corário dµ

14 rasormada Ivrsa d Fourir + jπ d ( ) G( ) jπ ( ) d ( u) G ( ) ( u) ( u) δ( u ) jπu du jπ d jπu jπ d du du

15 rasormada d Fourir (co.) orma d Raylih E ( ) d G( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) G( ) ( ) G jπ jπ d ( ) d G ( ) d G( ) G ( ) d d d

16 Propridads da rasormada d Fourir Propridad Dscrição Mamáica. Liaridad ( ) + a ( ) a G ( ) a G ( ). Escalamo mporal ( α) G a + α α 3. Dualidad ( ) G( ) G( ) ( ) 4. raslação mporal ( ) G( ) xp( jπ ) 5. raslação spcral ( ) xp( jπ ) G( ) 6. Dirciação mporal ( ) jπg( ) d d jπ 7. Primiivação mporal ( ) d G( )

17 rasormada d Fourir d um sial priódico Fórmula d Poisso + ( ) c δ( ) ( ) G( ) ( ) G( ) xp( jπ) rasormada d Fourir d um P d Diracs L L + δ ( ) ( ), ( ) δ( ) G( ) ( ) { ( )} F xp jπ δ( )

18 Sismas x() rada H oprador y() H [x()] saída Sismas Ivarias o mpo H [x()] y() H [x(- )] y(- ) Sismas Causais x(), y() H [x()],

19 Sismas Liars y () H [x ()] y() H [α x () + α x ()] α y () + α y () y () H [x ()] Rsposa Impulsioal δ(-τ) rada h y() h(, τ) saída Rsposa mporal y ( ) h(, τ) x( τ) dτ

20 Rsposa mporal d Sismas Liars Ivarias Iral d Covolução y ( ) h o x( ) h( τ) x( τ) dτ { x o h( ) } x() h() / x(-τ) h(τ) - / + / τ - / + / τ y() - / + / τ - / / - / + /

21 Rsposa mporal d Sismas Liars Ivarias (co.) Iral d Covolução - Mmória (τ) h(-τ) (τ) h(-τ) τ τ

22 Rsposa m Frquêcia d Sismas Liars Ivarias F { y( ) } F{ h o x( ) } F{ h( ) } F{ x( ) } Y( ) H( ) X( ) Fução d rasrêcia H ( ) F{ h( ) } Rsposa m Maiud Rsposa m Fas ( ) H( ) X( ) Y ( Y( )) ar( H( )) ar( X( )) ar +

23 Rsposa m Frquêcia d Sismas Liars Ivarias (co.) Exmplo α ( ) a h ( ) β u ( ) a α α + β s ( ) a a + α + β α β β α G ( ) α α + 4π ( ) H β + 4π G ( ) H( ) G ( ) s ar π β ( H( )) aa ar ( G ( )) ar( H( )) + ar( G ( )) s aa π β

24 Rsposa m Frquêcia d Sismas Liars Ivarias (co.) Filram Larura d Bada Larura d Bada a 3 db B lo lo 3 ( ) ( ) db Filro Passa-Baixo (FPBx) H( ) ( ) H H( B) ( ) H β + 4π Filro Passa-Bada (FPBd) H( ) -B B B ( ) H H( B) B - c -B c +B c c

25 Sismas Liars Ivarias (co.) Filram Idal Filro Passa-Baixo Idal K B H jπ B ( ) K d rc ( ) BK sic ( B( )) h - d Filro Passa-Bada Idal - c K c -B B c c +B H h jπ ( ) K d rc c rc c B + + B ( ) 4BK sic ( B( - )) cos( π ( )) d c d

26 Exmplos d Sismas Não Liars Quadrador s s ( ) ( ) G ( ) G o G ( ) s ( ) sic ( B) ( ) sic ( B) s /B B /B G ( ) ( ) G s B Rciicador (idal) ( ) ( ) ( ) cos( π ) s s ( ) cos( π ) c sic sic

27 Corrlação mporal Siais d Poêcia Oprador Média mporal Propridads Dsidad Espcral + / / ( ) lim ( ) / / / + + / / + / α ( ) lim ( ) d lim ( ) d lim ( ) d ( ) ( d ) ( ), d ( ) + α ( ) α ( ) + ( ) α d

28 Produo Iro ( ) ( ) + /, lim ( ) ( ) / d Norma Quadráica - Poêcia P + / / ( ),( ) lim ( ) d Dsiualdad d Schwarz P ( ),( ) ( ) ( ) P x cos θ y x, y x y cosθ x, y x y cosθ x y θ x x, y míimo máximo x y θ θ, ( orooais) ± π ( coliars)

29 Poêcia da Soma ( ) ( ) ( ) + P P ( ) + ( ),( ) + ( ) ( ),( ) + ( ),( ) + ( ),( ) + ( ),( ) + P + R ( ), ( ) { } P P Corrlação R w Propridads R w ( τ) + P ss + / / ( τ) ( ), w( τ) lim ( ) w ( τ) P P w ( τ) ( τ) R w R w míimo máximo P P w w w d

30 uocorrlação R + / / ( τ) R ( τ) ( ),( τ) lim ( ) ( τ) Propridads R R ( τ) R ( ) ( τ) R ( τ) P d Siais priódicos d príodo Corrlação Priódica R w ( τ + ) ( ) w ( τ ) R w + / + / / ( τ) / ( ) w ( τ) d d

31 Siais priódicos d príodo (co.) Coicis d Fourir da Corrlação jπ jπ ( ) a w( ) b R w ( τ) ( ) w ( τ) d ( ) + / b b w a / jπ + / / τ + ( ) jπ c + / jπ jπ d / τ τ b jπ jπ τ ( τ) c, od c a b R ( ) τ d ( τ) + c jπ R, od c a a τ a

32 Dsidad Espcral d Poêcia S Siais Priódicos S ( ) F R ( τ) + jπτ dτ { } R ( τ) ( ) a R ( τ) ( ) a a jπ δ a jπ jπ ( ) τ ( ) jπτ dτ τ dτ a jπ τ P + ( ) S ( ) R d

33 Siais d Eria Corrlação R w uocorrlação R Propridads + ( τ) ( ), w( τ) ( ) w ( τ) + ( τ) ( ),( τ) ( ) ( τ) Idêicas às vriicadas pla corrlação auocorrlação d siais d poêcia d d

34 Dsidad Espcral d Eria S ( ) F R ( τ) + jπτ dτ { } R ( τ) S ( ) R ( τ) dτ ( ) ( τ) ( ) ( τ) ( ) ( τ) ( ) ( u) ( ) d ( u) ( ) G ( ) G( ) G jπτ jπ + jπτ dτ d jπτ dτ jπu du d jπ d jπu du d jπτ dτ

35 Rlaçõs d Erada - Saída m Sismas Liars Ivarias ( ) ( ) h H s Dada a rsposa impulsioal (ral) h(τ), diimos h - (τ) h(-τ). Sdo H() F{h(τ)}, ão H () F{h - (τ)}. Pod mosrar-s qu: R s ( τ) R o h o h ( τ) S s ( ) S ( ) H ( ) H( ) ( ) S ( ) H

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