Capítulo 2 Sinais e Espectros

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1 Capíulo Siais Espcros Siais léricos d comuicação são quaidads variávis o mpo, ais como são corr. Sial v() o domíio do mpo; Variávl idpd. Embora o sial xisa fisicam o domíio do mpo, ambém pod sr rprsado o domíio da frquêcia. Espcro dscrição do sial, cosisido d compos soidais m várias frquêcias. Espcro V(f) o domíio da frquêcia; Variávl idpd f..1 Espcro d Lihas Séri d Fourir Rgim prma soidal sóid ra: < < +. A ampliud ou valor d pico, vols ou ampèrs; ω frquêcia agular, rad/s; φ âgulo d fas, graus ou rad.

2 O rmo φ rprsa o fao d qu o pico foi dslocado da origm do mpo ocorr m φ/ω : assim, o cosso sá adiaado d φ radiaos. A A A v + cos cos ) ( φ ω φ ω ω φ Quado : v()a cosφ A fução v() s rp o mpo com príodo d rpição: ω π ) ( ] cos[ ] cos[ ] cos[ ] ) ( cos[ ) ( v A A A A v φ ω π φ ω φ ω π ω ω φ ω Dfiição - frquêcia cíclica (ciclos/s ou Hz): Nhum sial v() é ro, coudo, s é um modlo razoávl para formas d odas soidais qu duram um logo mpo comparado com o príodo.

3 Fasors Espcro d Lihas: A aális d circuios AC m rgim prma dpd da hipós d sóid ra. orma d Eulr: Para θ ω +φ : oprador ral d Fasor gira - rês parâmros spcificam complam um fasor: ampliud: A âgulo d fas: φ frquêcia roacioal: ω. v() Fasor gira (forma polar): V jφ jω A, ω π f, sgmo oriado o plao complxo com roação o sido ai-horário. Espcro d lihas (uilaral): fasor gira V Imagiary axis v() Ral axis A projção do fasor sobr o ixo ral prmi rcuprar v(). (coiua...)

4 v() Fasor gira (forma polar): V jφ jω A, ω π f, sgmo oriado o plao complxo com roação o sido ai-horário. Espcro d lihas (uilaral): fasor gira A projção do fasor sobr o ixo ral prmi rcuprar v(). O cocio d fasor gira pod s orar muio úil quado sdido ao caso d siais mais complicados, como as modulaçõs AM, SSB, FM; m irfrêcia, ruído, c. Covçõs: i) A variávl idpd é f (m vz d ω) Uma dada frquêcia spcífica (paricular) é doada por subscrio: f, f 1, c. ii) Âgulos d fas são mdidos com rlação à fução cosso, i.., m rlação ao ixo ral posiivo do diagrama fasorial. S, iicialm, for usado o so, s prcisa sr covrido m cosso: iii) Cosidra-s a ampliud como sdo smpr posiiva. Quado o sial gaivo aparcr, dv sr absorvido pla fas:

5 Exmplo:... séri d Fourir A suprposição d sóids com difrs frquêcias fass pod dar origm a uma forma d oda ão soidal, mbora priódica. Espcro d lihas uilaral Nas próximas sçõs s cocio srá gralizado a forma d séri d Fourir d um sial v() arbirário, mbora priódico. Espcro d lihas bilaral: Propridad:, z complxo Porao, s No xmplo:, ão v() R[z] frq. pos. frq. g. Fasors cojugados: dirçõs d roaçõs oposas (frquêcias gaivas) Frquêcia posiiva Simria par Simria ímpar Frquêcia gaiva A soma das projçõs dos fasors sobr o ixo ral prmi rcuprar v().

6 A soma das projçõs dos fasors sobr o ixo ral prmi rcuprar x(). Exmplo:... séri d Fourir spcro d lihas bilaral Ampliud Simria par Fas Simria ímpar O spcro d ampliuds, m qualqur vrsão (uilaral ou bilaral), raz mais iformaçõs do qu o spcro d fass. Ambas as pars são cssárias para dfiir a fução o domíio do mpo, mas o spcro d ampliuds por si só iforma quais frqüêcias são prss m qual proporção.

7 Siais priódicos Poêcia média: Sóids fasors são mmbros da class gral d siais priódicos: sdo m iiro é o príodo fudamal. Dslocado-s o sial por um úmro iiro d príodos, para a squrda ou diria, maém-s a forma d oda ialrada. Um sial priódico é complam dscrio spcificado-s su comporamo ao logo d qualqur príodo. A rprsação o domíio da frquêcia, d um sial priódico v() qualqur, é um spcro d lihas obido a parir da séri d Fourir. Prgua: o qu sigifica poêcia média? A xpasão m séri d Fourir xig qu o sial priódico v() ha uma poêcia média fiia. Dfiição: valor médio (avrag valu) ao logo d odos os mpos: Opraçõs: Igrar v() para obr a ára sob a curva r / +/; Dividir a ára pla duração do irvalo d mpo ; Fazr para globar odos os mpos. S v() for priódico: ou sja, a opração s rsum à média ao logo d qualqur irvalo d duração. O valor médio pod sr posiivo, gaivo ou ulo.

8 S v() for a são aravés d uma rsisêcia, srá produzida uma corr i()v()/r. A poêcia média srá o valor médio da poêcia isaâa p()v()i(): S ão for sabido, a pricípio, s o sial é d são ou d corr, é adquado ormalizar a poêcia assumido-s qu R1 Ω: p() v () ou p() i (). Poêcia média (avrag powr) d um sial priódico arbirário (v ou i): uma gradza ral, ão gaiva mdida m was. Obs: v ( ) v( ) v *( ), s v( ) for complxo v ( ) v ( ), s v( ) for ral Quado a igral (.1-11) xis gra < P < +, o sial v() é dio sr um sial d poêcia priódico. A maioria dos siais priódicos práicos cam dro dsa cagoria. Algumas médias d siais podm sr drmiadas por ispção, usado a irpração física d média. No caso do sial soidal: dduz-s qu (imagiar malm o dsho do gráfico d v() ): Obs: cos ( ω o + φ) A P [ Acos( o )] d A d ω + φ +

9 Séri d Fourir: Corrspod à dcomposição d siais priódicos m somas d sóids m difrs frquêcias. Sial priódico Espcro bilaral Séri d Fourir rigoomérica c j1 j π + 1 j1 c j π +... Soma d fasors giras Séri d Fourir xpocial (ou complxa): Sja v() um sial d poêcia com príodo 1/f. Sua xpasão m séri d Fourir xpocial é (quação d sís): Os coficis* da séri são rlacioados com v() aravés d (quação d aális): ou sja, c corrspod à média do produo:. Em gral, os coficis c são complxos (podm sr rprsados a forma polar): a qual argc rprsa o âgulo d c. *A ddução dsas xprssõs pod sr corada m: Lahi, B.P., & Dig, Z., Sismas d Comuicaçõs Aalógicas Digiais Modros, 4ª. Edição, LC, 1. Higui, R.. & Kiao, C., Siais Sismas, Aposila, Usp, Ilha Solira, 3.

10 Irpração: Expasão d um sial priódico m uma soma ifiia d fasors giras, cujo -ésimo rmo é: ou sja, fasors com ampliuds c âgulo árgc as frquêcias f {, ±f, ±f,...}. Porao, o gráfico o domíio da frquêcia é um spcro bilaral dfiido plos coficis da séri. Efaiza-s a rprsação spcral, mprgado-s: c ( f ) j arg c( f ) al qu: c(f ) rprsa o spcro d ampliuds m fução d f,, arg c(f ) rprsa o spcro d fass. Propridads spcrais d siais d poêcias priódicos: (*) i) odas as frquêcias são múliplos iiros (ou harmôicas) da frquêcia fudamal f 1/ (as lihas spcrais êm spaçamo uiform). ii) A compo DC é igual ao valor médio do sial, pois, para m (.1-14): iii) S v() é uma fução ral o mpo, ão su spcro xib simria hrmiiaa: subsiuir por m (.1-14) cojugar (*) Porao, o spcro d ampliuds m simria par o spcro d fass m simria ímpar.

11 Séri d Fourir rigoomérica (spcro uilaral): spcro bilaral No caso d sial ral: spcro uilaral ou ão: spcro uilaral f ] Prova: (17a): Mas: c cos(πf + arg c ) + jsi(πf + arg c (para a soma m (.1-13), com posiivos gaivos) [ )] (para + ) Para ocorrm: c cos(π f + argc ) + c cos[π ( ) f + argc ] c cos(πf + argc c si( π f + arg c ) + c si[π ( ) f + arg c ] (17b): d (17a) vm + 1 v( ) c + c [cos(πf )cos(argc ) s(πf )s(argc )] a c cos(argc ) R{ c }, b c s(argc ) Im{ c } ) Im c s(argc ) c c argc c cos(argc ) R Fuçõs orogoais: f ] As fuçõs so cosso rprsam um cojuo d fuçõs orogoais: {cos(±f ), cos(±f ), cos(±3f ),..., s(±f ), s(±f ), s(±3f ),...} Fuçõs v () v m () são orogoais ao logo d um irvalo [ 1, ] s: Exmplo: usado as propridads rigooméricas: cosa cosb cos(a+b) + cos(a b) cos a (1+cosa)/, m-s qu S m : + / / + / cos(π f ) cos(π mf ) d + / + / / 1 cos[π ( + m) f] d + + / / S m : 1+ cos[(π f)] 1 cos (π f) d d / / O msmo s aplica a ouras combiaçõs volvdo sos cossos. # 1 cos[π ( m) f ] d

12 A fução śic : A igração para calcular c frqum volv a média do fasor: cujo rsulado aparc com grad rgularidad m aális spcral. Dvido a sua imporâcia, dfi-s: od λ rprsa uma variávl idpd. Como s obsrva: (provar qu sic 1!!) si x Obs: Fução amosragm Sa ( x) sicλ Sa( πλ. ) x

13 Exmplo.1-1: rm d pulsos ragulars (pulsos d ampliud A duração τ) Dro d um príodo: Duy cycl τ / Num irvalo / + /, basa xcuar a igração d c r τ / +τ /: (muliplicar dividir por τ) Porao: (coiua...) Cosidr-s o caso paricular τ / f τ ¼, ou sja, 1/τ 4f. Sdo λ f τ, ão, sicλ para λ f τ ±1, ±,..., iso é, f f ±1/τ, ± /τ,... ou sja, para f f ±4f, ± 8f,... Valor médio: c() Aτ/ Af τ Α/4 Evolória sicλ gaivo Simria ímpar: usar

14 Rcosrução do rm d pulsos a parir das compos harmôicas: No caso paricular τ / f τ 1/4, c () c A/4, c (Aτ / ) sic (f τ) (iso foi mosrado m sçõs ariors) a c cos(arg c ) c (Aτ/ ) sic(f τ) (A/4) sic (/4) A s (π/4) π Obs: aé as 4 primiras lihas c êm-s arg c Séri d Fourir uilaral: (.1-17a) 1 3 A/ Rcosrução do rm d pulsos a parir das compos harmôicas: covrgêcia A séri smpr covrg o poo médio. Por qu a séri ão covrg com xaidão para odos os poos d v()?

15 Codição d covrgêcia da séri d Fourir: Codiçõs d Dirichl: s a fução priódica v() m um úmro fiio d máximos, míimos dscoiuidads por príodo,, s v() é absoluam igrávl [v() m ára fiia por príodo], ão, a séri d Fourir xis covrg uiformm m oda porção od v() é coíua. Esas codiçõs são suficis mas ão sriam cssárias. (é possívl corar cora-xmplos) Codição alraiva: S v() for quadraicam igrávl [ v() m ára fiia por príodo], ou sja, s for um sial d poêcia, a séri covrg a média*, al qu, s: ão, Média (dividir por )? Vr * Ou sja, a difrça quadráica média r v() a soma parcial v N () dsvac quado mais rmos são icluídos. * É idifr dividir a úlima igral por, por causa da igualdad m zro. Fômo d Gibbs: A dspio d v() sr absolua ou quadraicam igrávl, a séri d Fourir xib o fômo d Gibbs os poos d dscoiuidad. covrgêcia o poo médio Sial vrdadiro Soma parcial Ocorr o fômo d Gibbs m oro da dscoiuidad dgrau m. A soma parcial v N () covrg o poo médio. Em cada lado da dscoiuidad, v N () aprsa ovrshoo oscilaório com príodo igual a ( /N) valor d pico d aproximadam 9% da alura do dgrau, idpdm do valor d N. Quado N, as oscilaçõs colapsam para spiks acima abaixo da dscoiuidad.

16 orma d Parsval (Marc-Aoi Parsval, 1755 a 1836): O orma d Parsval rlacioa a poêcia média P d um sial priódico v(), qual sja, com sus coficis d Fourir: Somaório m primiro igral m dpois Igral m primiro somaório m dpois A poêcia média pod sr drmiada quadrado somado os psos das ampliuds das lihas spcrais c c(f ). Coform s obsrva, a soma ão volv o spcro d fass (arg c ). Iso é jusificávl, lmbrado-s qu a séri xpocial d Fourir xpad v() como uma soma d fasors: Vrifica-s qu a poêcia média d cada fasor é: Prova: j πf j πf jπf * jπf jπf P c ( c ).( c ) * c c c c * 1 c c d c c * * 1 d c c * c j arg c j arg c c (arg c dsaparc) # c

17 Séri d Fourir rasformada d Fourir: Cosidr-s ovam a forma d oda ragular com príodo duy cycl τ/. Mado-s τ cosa, auma-s o príodo: τ, 4τ, 8τ,..., aé o ifiio. a) τ b) 4τ c) 6τ d) No limi, quado, obém-s um pulso ragular d largura τ. sial ão priódico Os coficis da séri d Fourir do sial priódico são dados por (.1-): da qual s obém: muliplicar por m ambos os lados usar f 1 c c( f) Afτ sic( fτ ) c( f) Aτ sic( fτ ) Aτ sic( λ) sdo λf τ. O príodo assumirá vários valors, obdo-s os sguis spcros: ( c ) (f f ) i) Para τ 1/τ/ f sicλ para λf τ ±1, ±,..., ou, ff ±1/τ, ±/τ,..., ou, f f ±f, ±4f,... ii) Para 4τ 1/τ4/ 4f sicλ para f f ±4f, ±8f,... iii) Para 8τ 1/τ8/ 8f sicλ para......f f ±8f, ±16f,...

18 i) Para τ 1/τ/ f sic λ para λf τ ±1, ±,..., ou, f f ±1/τ, ±/τ,..., ou, f f ±f, ±4f,... Espcro ( c ) (f f ): c( f ) Aτ sic( f τ ) Aτ sic( λ) Evolória ii) Para 4τ 1/τ 4/ 4f sic λ para λf τ ±1, ±,..., ou, f f ±1/τ, ±/τ,..., ou, f f ±4f, ±8f,... Obs: quado auma f dimiui d amaho. Espcro ( c ) (f f ): c( f ) Aτ sic( f τ ) Aτ sic( λ) A volória ão s modifica

19 iii) Para 8τ 1/τ 8/ 8f sic λ para λf τ ±1, ±,..., ou, f f ±1/τ, ±/τ,..., ou, f f ±8f, ±16f,... Obs: quado auma f dimiui d amaho. Espcro ( c ) (f f ): c( f ) Aτ sic( f τ ) Aτ sic( λ) A volória ão s modifica c c( f ) Af τ sic( f τ ) c( f ) Aτ sic( f τ ) Aτ sic( λ) a) Cosidrado-s f uma variávl coíua, a fução Aτ sic(fτ) é a volória do spcro d lihas, sdo os coficis.c as amosras dsa volória; b) Para τ fixo, a volória ão dpd d ; c) À mdida qu s auma, as amosras ficam mais próximas r si os coficis.c(f ) s aproximam da volória. d) No limi, quado, o produo.c(f ) corrspodrá à volória. ) Quado, ocorr f o spcro ora-s coíuo. Obsrv qu:, causa f c Af τ sic( f τ ). volória Porém,.c(f ) rsula fiio!! Rsula a volória!

20 Caso gral: sial ão priódico x() d duração fiia [x() para > 1 ] A parir d x() cosrói-s um sial priódico x p (), com príodo, al qu, dro d um príodo / + /, ocorr x p () x(). / / Ou sja, x p () é composo d cópias d x() a cada. m-s aida: lim x p ( ) x( ) (como ocorria com o pulso ragular priódico do xmplo arior). (coiua...) / + / 1 A séri d Fourir d x p () é: + jπf x p ( ) c od c 1 + / j f x p ( ) π / d Como x p () x() para < /,, x() para > 1 (quado / > 1 ), pod-s subsiuir x p () x() a igral acima rdfiir os limis d igração: cofici para x() 1 c lim + / jπf 1 x p ( ) d / + x( ) jπf d (com ) a parir da qual s obém c x( ) jπf (S, ão, c, mas o produo c pod rsular fiio!) + d (com ) (coiua...)

21 Como ocorru o caso da oda ragular priódica, c pod sr cosidrado como amosras d uma volória X(f) al qu: Porao, c + jπf x( d (com ) + p ( ) c ) + X ( f ) c x( ) cujos coficis c oram-s: 1 c X ( f 1 ) X ( f ) jπf x jπf d para ff + + jπf 1 jπf x p ( ) c X ( f) Como f 1/, rsula: x j f p ( ) + π X ( f) f (coiua...) x j f p ( ) + π X ( f) f Fazdo, pod-s cosidrar qu: a) x p () d a x(); b) f d a f ; c) f 1/ d ao difrcial df ; d) o somaório d à igral. Porao, a quação para x p () coduz a: + X ( f ) c x( ) jπf d + x( ) X ( f ) + X ( f ) x( ) j πf jπf df d... quação d aális da rasformada d Fourir... quação d sís da rasformada d Fourir #