CÁLCULO I 2º Semestre 2011/2012. Duração: 1 hora e 30 minutos

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1 NOVA SCHOOL OF BSINESS AND ECONOMICS CÁLCLO I º Smsr / TESTE INTERMÉDIO Tópi d rsolução Abril Duração: ora miuos Não é prmiido o uso d calculadoras. Não pod dsagraar as olas do uciado. Rspoda d orma jusiicada a odas as qusõs, aprsado smpr os cálculos cuados. Simpliiqu smpr os rsulados ao máimo. Não s sclarcm dúvidas. RESONDA A CADA GRO NAS RESECTIVAS FOLHAS. NOME: NÚMERO:

2 GRO Cosidr a sgui ução ral d variávl vcorial:, y y a valor Qual a prssão gral da amília das curvas d ívl da ução? Rprs graicam as curvas d ívl d coas -,. b valor Cosidr a ução ral d variávl ral g corrspod à curva d ívl da ução d coa. Calcul pla diição g. Rsolução a k, y k y k y Traa-s d uma amília d ipérbols. S k : S k : S k : y ução a vrd o gráico sgui y ução a vrmlo o gráico sgui y ução a pro o gráico sgui b ou g g g g g g g

3 GRO Com a vracidad das sguis airmaçõs, jusiicado cada uma m ão mais d lias. Cada qusão val valor. a ma ução admiir ivrsa m R é codição cssária para qu a ução sja crsc m R. b ma ução ão dirciávl um poo pod r i ss poo. c ma sucssão sr divrg é codição suici para qu m módulo sja um iiiam grad posiivo. d Sjam F, G grad gaivo, Eão a sucssão B rês sucssõs. Sab-s qu G é uma sucssão iada qu F B é um iiiam grad gaivo. F é um iiiam B < G, N. Rsolução a Falsa. or ouras palavras a ras obriga a qu uma ução crsc m R admia ivrsa m R, o qu ão é cssariam vrdad pois a ução pod sr a m algum subcojuo do domíio o qu az com qu ão sja ijciva m R por quêcia ão admia ivrsa m R. b Vrdadira. ma ução qu ão a drivada iia um poo do domíio pod sr coíua, logo pod isir i ss poo is larais iguais iios. m bom mplo é a ução y qu ão é dirciávl m mas é coíua ss poo. E sr coíua é codição suici para r i. c Falsa. ma sucssão divrg ão é cssariam propriam divrg iiiam grad posiivo, gaivo ou m módulo. odrá sr oscila. m bom mplo é a sucssão. Esa sucssão é divrg ão é, m módulo, um iiiam grad posiivo. d Vrdadira. Sabmos qu a soma d um iiiam grad gaivo com uma sucssão majorada é um iiiam grad gaivo. Viso qu F é um iiiam grad gaivo qu B é uma sucssão majorada plo aco dos sus rmos srm smpr iriors aos rmos da sucssão iada provado qu F B é um iiiam grad gaivo. G sá

4 GRO - Cosidr a sucssão a valor Esud, pla diição, a moooia da sucssão. b valor Diga, por palavras, s é possívl corar iiios rmos da sucssão ão pro d ao quao s prda. S sim, srá possívl cocluir qu o i da sucssão é? S ão, pliqu porquê. c valor Srá uma sucssão iada? Jusiiqu. d, valors Calcul o valor d m sdo a ução m dada por: > <, l,, m, valors Srá m uma ução coíua m R? S sa alía cssiar d calcular algum i dvrá usar obrigaoriam o iiiésimo ε. Rsolução a impar s par s S par: < S impar: > Logo a sucssão ão é moóoa.

5 b Cosguirmos arrajar rmos ão próimos d aravés da subsucssão dos rmos d ordm par, qu m i. Há, por isso, iiios rmos da sucssão qu são ão pro d ao quao s prda. No ao, ambém ism iiios rmos da sucssão ão próimos d - ao quao s possa imagiar, aravés da subsucssão dos rmos d ordm ímpar. Sabdo qu o i, s isir, é úico do a sucssão dois subis disios - podmos cocluir qu a sucssão ão m i, sdo por isso divrg. c é uma sucssão iada s or majorada miorada. Sdo covrgido os rmos d ordm ímpar para - os d ordm par para podmos cocluir qu <. Assim s coclui qu é uma sucssão iada. d m l l m Aravés da mudaça d variávl k, mos: l l k k Logo m k A ução m é coíua m R \ { } viso rsular da opração d uçõs coíuas somas, subracçõs divisõs d uçõs logarímicas, pociais poliomiais. Esudo da coiuidad m : m

6 l la alía arior coclui-s qu o i laral dirio é : Calculmos aravés do iiiésimo ε : ε ε ε ε ε ε Como os is larais m são iguais iguais a m coíua m. S é coíua m coíua m R. m R \ { } a ução m é ão a ução m é GRO - Calcul as sguis primiivas. Cada val valor. si a.. b si - D uma ução, ral d variávl ral, sab-s qu. a valor Sm cuar quaisqur cálculos diga, jusiicado, s a ução é coíua m k, k R. b, valors Sabdo qu cor a ução. c, valors Ecor os valors d d qu ala o Torma da Média o cálculo do igral d. d valors Sja a ução g d. Ecor o dcliv da rca ag ao gráico d g m sm uilizar o méodo d primiivação por pars ou por subsiuição. - a Rsolução: si si si C 8 8

7 7 b [ ] C v u v u si si si si si si si si si si si si si si si - a Como o domíio d é R, sigiica qu a ução m drivada iia m odos os poos al só é possívl caso sja coíua m R. Caso isiss um poo od a ução oss dscoíua implicaria a ão isêcia d drivada iia ss poo logo o domíio d ão sria R. b C arca Logo C arca Como, arca C C. Assim: arca c lo Torma da Média: d d

8 8 Assim: 8 8 ± d Como m d sar r / ão 8. d d g d d d d g d g