Resolução do exame de Análise Matemática I (24/1/2003) Cursos: CA, GE, GEI, IG. 1ª Chamada

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1 Rsolução do am d nális Matmática I (//) Cursos: C, GE, GEI, IG ª Chamada Ercício > > como uma função ponncial d bas mnor do qu ntão o gráfico dsta função é o rprsntado na figura ao lado. Esta função é stritamnt dcrscnt m val, plo qu é > ],[ IR. Ercício lim ( ) lim ln( cos ) lim cos ln ( cos ) Como sn( ) ln( cos ) cos lim lim (pla rgra d L Hôpital). Logo lim ( cos ) lim Como ( ) lim ln lim ln lim lim lim ln (pla rgra d L Hôpital). Logo

2 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) Ercício f ( ) cos( ) rcta tangnt é dada por y y m( ) π y f ( ) π cos( π ) π, ond _ m f '( π ) : f '( ) cos sn( ), logo f '( π ) cos( π ) πsn( π ) Logo a rcta tm quação y π ( π ) y Rsposta (iv). f ( ) rcta tangnt é dada por y y m( ) f '() y f ( ) _ f '(), ond m : f '( ) ( ) ( ) Logo a rcta tm quação y ( ) y Rsposta (iv)., logo Ercício função f é contínua stá dfinida num intrvalo fchado, logo stá nas condiçõs dos tormas d olzano d Wirstrass. Plo torma d Wirstrass f tm máimo mínimo, logo como (ii) não tm mínimo (iii) não tm máimo, ficam cluídas. Plo torma d olzano clui-s (i) porqu s form imagns por f todos os valors ntr sriam imagm por f ( nss caso o contradomínio tria d sr [,]). Rsposta (iv). /9

3 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) Ercício 5 _ Para ],[ voltada para cima, logo no intrvalo ],[ o gráfico tm concavidad f ''( ) tm sinal positivo. _ D acordo com o gráfico, f não stá dfinida m, logo f ''() não stá dfinida. _ Para ],[ o gráfico tm concavidad voltada para baio, logo no intrvalo ],[ ''( ) f tm sinal ngativo. _ D acordo com o gráfico, f () é um ponto anguloso o gráfico faz um bico m, logo não ist f ''() (a drivada latral à squrda é positiva nquanto qu a drivada latral à dirita é ngativa logo f não é drivávl m plo qu também não tm ª drivada m ). ], [ _ Para ], [ o gráfico tm concavidad voltada para cima, logo no intrvalo f ''( ) tm sinal positivo. Rsposta (iii) Sinal d f não dfinida não dfinida Ercício 6 _ Plo gráfico tmos qu f é dcrscnt m ], [ logo f é ngativa m ],[, logo (i) (iv) ficam cluídas; _ Plo gráfico tmos qu f é crscnt m ], [ logo f é positiva m ], [ logo (iii) fica cluída;, Ercício 7 arcsn( ) d fazndo t arcsn( ) tmos dt d como arcsn( ) t arcsn sn( t), ntão o intgral d arcsn( ) quivalnt a t sn( t ) dt. d é /9

4 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) d fazndo t tmos dt d como dt d dt d, ntão o intgral d d é quivalnt a t dt. Rsposta (i). Ercício 8 d d arctg( ) C form.6 ( ), com C IR. ltrnativamnt, uma vz qu não tm raízs trata-s da primitiva d uma função racional do Tipo III logo tal primitiva nvolv a função arctg(). Rsposta (iii). Ercício 9 9.) { IR : } { IR : } IR \ { } D f 9.) Vamos dtrminar uma assímptota vrtical (podria sr outra!) Como IR \ { } D f vjamos qu é uma assímptota ao gráfico d f : lim f lim assímptota vrtical (bilatral). lim f lim, logo é uma 9.) ' f ( ) ( ) ( ) ( ) ' f ( ) ( ) ( ) ( ) Pontos críticos:. obs: apsar d não prtncr ao domínio d f, não é ponto crítico uma vz qu. D f /9

5 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) Sinal d f - - Etrmos rlativos: _ máimo rlativo: m ; _ mínimo rlativo: m. não dfinida F não dfinida Intrvalos d monotonia: _ stritamnt crscnt: m ], [ ], [ ; _ stritamnt dcrscnt: m ], [ ], [ ; 9.) f ''( ( )( ) ( ) ( ) )( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) f '' não tm zros. O su domínio é IR \ { }, logo - é o único ponto a considrar para fazr o quadro. obs: apsar d não prtncr ao domínio d f, não é ponto candidato a ponto d inflão uma vz qu. D f Sinal d f Pontos d inflão: não tm, apsar d à volta d f mudar o sntido da concavidad, -. D f não dfinida f não dfinida Intrvalos d concavidad: _ concavidad voltada para baio: m ], [ ; _ concavidad voltada para cima: m ], [; 5/9

6 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) Ercício.) s funçõs h ln k f são contínuas, a primira porqu é uma função logaritmo a sgunda porqu é polinomial. ssim, como composta da função h() com a função f(): ( h o k f ) h( f ) h k ln k ln é a k ntão ln é a composta das duas funçõs contínuas ( h f) logo também é contínua, no intrvalo ] ; [. s funçõs h f são contínuas, a primira porqu é a função raiz quadrada a sgunda porqu é polinomial. ssim, como função h() com a função f(): é a composta da ( hο f ) h( f ) h( ) ntão é a composta das duas funçõs contínuas ( h f) logo também é contínua, no intrvalo ] ;[..) Pla alína antrior sabmos qu a função é contínua m ] ; [ ] ;[ sr contínua (m todo o su domínio, i.. IR) tmos apnas d vrificar a continuidad no ponto. função é contínua no ponto s ist lim g( ). Para lim g( ) g(), tmos: lim g( ) lim k lim g( ) lim ln k ln k g () ln Logo, para qu ista lim g( ) lim g( ) g() tm qu s vrificar k k k ln k. Portanto o valor d k para o qual g() é k. 6/9

7 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//).) Para k a função não é contínua m, logo não ist g '(). Ercício Sjam y o comprimnto a largura do rctângulo, rspctivamnt. Qurmos maimizar a ára dst rctângulo, qu é dada por y sabmos qu o prímtro P é P y y 5 Então a função qu qurmos maimizar é f (5 ) 5. Fazndo, ' f 5 ' f ' f - f Má. 5 Tmos qu f é um máimo ssim, para tmos y 5 portanto as dimnsõs dos lados qu maimizam a ára do rctângulo são: 5 5 m y m. Ercício Cotação usada: valors por alína. d C.) (. ) d d, com C IR ln( ).) d ; Substituição a fctuar: t dt d dt d 7/9

8 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) ln dt Tmos ntão, d ln() t.dt ln() t Est intgral calcula-s por parts: ln () t dt. ln() t dt Cálculo auiliar: ' I.P.P: u '. v u. v u u t () t v' t v ln / u. v' C IR t, com Logo, ln() t dt t.ln() t t. dt t.ln() t dt t.ln() t t C Substituindo t pla variávl original, a solução é: [ ln( ) ] C, com C IR Método altrnativo: dirctamnt por parts ln ( ) d ln( ) d ; u ' u v ln ( ) v' C IR ln / ln / d ln C ln / Tmos ntão, d ln( ) d.ln( ) d C, com 5 d polinómios).) d (procdndo à divisão dos Tudo s rsum, pois ao cálculo do intgral d. Em primiro lugar factoriza-s ao máimo o dnominador. Para tal, calculam-s as raízs do Dnominador: 8/9

9 Rsolução Eam: nális Matmática I - ª Chamada (//) 9/9 6 6 ± ± (trata-s d uma raíz dupla) Para qu as fracçõs sjam iguais, os numradors d ambas dvrão sr iguais. Ou sja, os coficints dos trmos d igual ordm nos polinómios dvrão sr iguais: Portanto, d d d d d d C C d d d ln ln, com IR C. Esta corrcção foi ralizada com a colaboração dos profssors: na Estr Rodrigus; Matias; Vítor Sousa.