FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 2/4

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1 FICHA d AVALIAÇÃO d MATEMÁTICA A.º Ano Vrsão / Nom: N.º Trma: Aprsnt o s raciocínio d orma clara, indicando todos os cálclos q tivr d tar todas as jstiicaçõs ncssárias. Qando, para m rsltado, não é pdida ma aproimação, prtnd-s smpr o valor ato. (). Considr a nção, d domínio \, dinida por n Sja n a scssão d trmo gral n. n. Indiq, jstiicando, o valor d n. ln (A) (B) (C) (D) n Tmos n n n Assim, n ln ln OPÇÃO AV D/V (). D ma nção, d domínio assíntota do s gráico. Sja g a nção, d domínio, sab-s q não tm zros q a rta y é, dinida por g. Mostr q a rta d qação y é ma assíntota do gráico d g. Como y é assintota o gráico d, sabmos q: m b, pois D Para mostrar q y é assintota o gráico d g, tmos d mostrar q: g mg Tmos: g bg g g, pois Dg c.q.m. 6 Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página /7 Vrsão /

2 g Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página /7 Vrsão / c.q.m. 7 Portanto, y é assintota o gráico d g (). Sja g ma nção ímpar contína, dinida no intrvalo a,a Sabndo q g a g, mostr q a qação g g a solção m,a., com a. tm, plo mnos, ma Mostrar q g g a tm solção m g g a tm plo mnos ma solção m Sndo g g a, prtndmos mostrar q tm, plo mnos, m zro m A nção é contína m contína m a,a g a,a é qivalnt a mostrar q a qação,a,a,a, porq é dinida pla soma d das nçõs contínas: é contína m, a, ambos sts intrvalos contêm,a g g a g g a g g a, porq g a g g a g a g é pois a nção g é ímpar a g a g a a g a g, porq g a g, pois ma nção ímpar contína tm d passar na origm do rrncial Assim, como é contína m,a mda d sinal nst intrvalo, plo corolário do Torma d Bolzano, tm plo mnos m zro m,a,a Portanto, a qação g g a tm plo mnos ma solção m. Uma donça stá a atar ma poplação d colhos bravos d ma rsrva natral. Em consqência dsta donça, o númro d colhos stá a diminir. Estdos ralizados prmitm conclir q o númro d colhos q istm nssa rsrva, t dias após a donça tr sido dttada, é dado, para t, plo modlo ct, t (). Rcorrndo clsivamnt a procssos analíticos, jstiiq q o númro d colhos dimini smpr com o dcorrr do tmpo. Tmos d mostrar q ct é stritamnt crscnt. Para tal, tmos d provar q c t, t, t, t, t c t, t, t, t c t, t, t, t, t,, t, t cond.nivrsal, t Assim, como c não tm zros a nção não tm trmos. Sabmos q, t, t. Mas, t tal como, t, t., t, t 7 q.im possívl 6, t, d ond rslta q c t, o q signiica q a nção c é stritamnt dcrscnt para qalqr valor d t, o sja, o númro d colhos dimini com o dcorrr do tmpo 7 O tabla

3 (). Calcl ct t c t t t, t O acto d ct t intrprt o rsltado obtido, no contto do problma., signiica q com o dcorrr do tmpo o númro d colhos naqla rsrva aproimar-s-á cada vz mais d, isto é, a poplação srá tinta S o alno rrir apnas q y é ma assíntota horizontal do gráico da nção trá apnas pontos pois não stá a atndr ao contto). (). Mostr q c t c t, t, t, t, t,,, t, t, t, t, t, t., t, t, t, t, t, t, t, t,, t, t, t, t, t, t, t,,, t, t, t, t, t,, t, t, t, t, t, t, t, t,,,, t, t, t, t, t, t, t,,, t + (). Embora o númro d colhos dcrsça com o dcorrr do tmpo, a vlocidad dss dcrscimnto não é constant, havndo msmo m momnto m q o dcrscimnto da poplação comça a abrandar. Dtrmin, analiticamnt, ao im d qantos dias a diminição do númro d colhos comça a abrandar. O momnto m q a diminição do númro d colhos comça a abrandar corrspond a m ponto d inlão do gráico d c. Portanto, tmos d dscobrir os zros d c c t, t, t,,, t, t, t,,, t, t, t,, +, t, t q.impossívl condição nivrsal, t ln ++, t t, t 8 + Constramos ma tabla para rlacionar o sinal d c com a concavidad do gráico Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página /7 Vrsão /

4 t 8 c + c P.I. Cálclos ailiars:,, c, 8,, c, Portanto, como a mdança d concavidad do gráico d c ocorr para t 8, é nst instant q a diminição do númro d colhos comça a abrandar, o sja, 8 dias dpois d dttada a donça +. Considr a nção dinida m por k s sn s ().. Dtrmin o valor ral d k, d modo q sja contína m. é contína m s só s sn k sn sn k sn sn sn k + sn sn Portanto, é contína m s só s k k (). Dtrmin os zros d q stão no intrvalo,. Comcmos por dscobrir a prssão gral das solçõs da qação, m sn sn sn k,k 7 A prssão gral dos zros m é k,k Agora damos valors positivos a k para dscobrir as solçõs da qação q stão no intrvalo pdido. Tmos, scssivamnt,,,,, 6,... Portanto, as solçõs no intrvalo, são,, 6. D ma nção, d domínio igalmnt no intrvalo, sab-s q a sa drivada stá dinida é dada por ln. Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página /7 Vrsão /

5 () 6.. Dtrmin, analiticamnt, o valor d ln. 9 c.a: ln () 6.. No rrncial do lado ncontram-s: ma rprsntação gráica d a rta t tangnt ao gráico d no ponto d abcissa. Dtrmin a qação rdzida da rta t. Como tmos o gráico d, o valor d no ponto T,,, sndo ln Para dscobrir o dcliv d t tmos d calclar Tmos, ln ln corrspond ao dcliv da rta tangnt ao gráico d + ln Portanto, m Assim, T, t b b b A qação d t é y () 6.. Sja g ma nova nção, d domínio, dinida por g. g Diga, jstiicando, qal das rprsntaçõs gráicas abaio pod rprsntar a nção g. Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página /7 Vrsão /

6 Tmos: g V: g O gráico d g obtém-s d azndo ma simtria m rlação ao io O sbindo nidads O gráico d g obtém-s d azndo ma simtria m rlação ao io O OPÇÃO B/V, pois g D/V: g () 7. A sgir aprsnta-s a tabla d distribição d ma crta variávl alatória discrta X. O valor médio dsta variávl é. i - p X i a b b Diga, jstiicando, qais são os valors d a d b. (A) a b (B) a b (C) a b (D) a b Valor médio: a b b a b a b pi a b b ab a b a b a b a Do sistma rslta a b bb b b OPÇÃO D/V C/V () 8. D ma variávl alatória contína X, com distribição normal d valor médio 6 dsvio padrão, sab-s q p, 7 X 6,. Diga, jstiicando, qal dos sgints pod sr o valor d? (A), (B), (C), (D), Sabmos q p X, 68 p X, Como p, 7 X 6, tmos 7, 7,, OPÇÃO B/V C/V Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página 6/7 Vrsão /

7 FORMULÁRIO: Limits notávis n Rgras d drivação n n v v v v v ln v v v v n n p p n n ln sn ln Probabilidads a a lna a \ p p... pnn loga a \ S X é N,, ntão p X, 687 lna BOM TRABALHO! Pro. José Tinoco Ficha d avaliação da Matmática A.º Ano Página 7/7 Vrsão /