10. EXERCÍCIOS (ITA-1969 a ITA-2001)

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1 . EXERCÍCIOS (ITA-969 a ITA-) - (ITA - 969) Sjam f() = + g() = duas funçõs rais d variávl ral. Então (gof)(y ) é igual a: a) y y + b) (y ) + c) y + y d) y y + ) y - (ITA -97) Sjam A um conjunto finito com m lmntos I n = {...n }. O númro d todas as funçõs dfinidas m I n com valors m A é: a) n C m b) m.n c) n m d) m n ) nda - (ITA 97; qustão convidada ) A li d dcomposição do radium no tmpo t é dada pla fórmula N(t) = C. -kt ond N(t) é a quantidad d radium no tmpo t C k são constants positivas. S a mtad da quantidad primitiva M() dsaparc m6 anos qual a quantidad prdida m anos? a) ( - ) da quantidad inicial. b) ( -6 ) da quantidad inicial. c) ( -6 ) da quantidad inicial. d) ( -/6 ) da quantidad inicial. ) Nnhuma das antriors 4- (ITA-974) Sjam A B D subconjuntos não vazios do conjunto R dos númros rais. Sjam ainda as funçõs f: A B ( y = f() ) g: D A ( = g(t)) a função composta (fog) : E K ( portanto Z = (fog)(t) ). Então os conjuntos E K são tais qu : a) E A K D. b) E B K A. c) E D D E K B. d) E D K B ) n.d.a

2 5- (ITA-975) Sja f() = dfinida m R. S g é função invrsa d f ntão quanto val g 7 5? a) 4/ b) 7/5 c) log (5/7) d) (7/5) 6- (ITA 976) Considr g : { a b c } { a b c } uma função tal qu g(b) = a g(a) = b. Podmos concluir qu: a) a quação g() = tm solução só g é injtora. b) g é injtora mas não é sobrjtora. c) g é sobrjtora mas não é injtora. d) g não é sobrjtora ntão g(g()) = para todo m { a b c }. 7- (ITA-976) Sjam A B conjuntos infinitos d númros naturais. S f : A B g : B A são funçõs tais qu f(g()) = para todo m B g(f()) = para todo m A ntão podmos concluir qu: a) B / f(y) = y A. b) ist a função invrsa d f. c) A tais qu f( ) = f( ). d) a B / g(f(g(a))) g(a). 8- (ITA-976) Sja A uma função ral d variávl ral tal qu..a() + = R. Nstas condiçõs tmos: a) A() = A() = A(-) para todo númro ral não ist um númro ral satisfazndo a rlação A() =. b) A() = A() = para algum númro ral. c) A() < A() = A(-) para todo númro ral. d) não ist um númro ral não nulo satisfazndo a rlação A()= não ist um númro ral satisfazndo A() = A(-). 4

3 9- (ITA-976) Considr a função ral d variávl ral M dfinida por M() = tgh() (obs.: vja a qustão 5!!!). Então: a) > ocorr M() >. b) R ocorrm simultanamnt M(-) = -M() M() <. c) a > b < / M(a) < M(b) d) M() = somnt quando = M() > somnt quando <. - (ITA-977) Supondo a < b ond a b são constants rais considr a função H() = a + ( b a ) dfinida no intrvalo fchado [ ]. Então: a) H não é uma função injtora. b) dado qualqur y mpr ist um m [ ] satisfazndo H( ) = y. c) para cada y com a < y < b! R com < < / H( ) = y. d) não ist uma função ral G dfinida no intrvalo fchado [ a b ] satisfazndo a rlação G(H()) = para cada [ ]. - (ITA-978) Sjam R o conjunto dos númros rais f uma função d R m R. S B R o conjunto f - (B) = { R; f() B } ntão: a) f(f - (B)) B. b) f(f - (B)) = B f é injtora. c) f(f - (B)) = B d) f - (f(b)) = B f é sobrjtora. - (ITA-978) Com rspito à função g() = log [n + n ] podmos afirmar qu: a) stá dfinida apnas para b) é uma função qu não é par nm ímpar. c) é uma função par. d) é uma função ímpar. - (ITA-978) Considr a função ral d variávl ral dfinida por: f ( )

4 S a = log 4 = a 6 ntão o valor da função f() no ponto é dada por: a) f( ) = b) f( ) = c) f( ) = d) f( ) = /8 4- (ITA-978) Qual das funçõs dfinidas abaio é bijtora? a) f : R R + tal qu f() =. b) f : R + R + tal qu f() = + c) f : [ ] [ 4] tal qu f() = +. d) f : [ ] R tal qu f() = n 5- (ITA-979) Sja f uma função ral dfinida para todo ral tal qu: f é ímpar; f( + y) = f() f() f() + f(y); f(). Dfinindo g: R * R com g() = ndo n um númro natural podmos afirmar qu: a) f é não-dcrscnt g é uma função ímpar. b) f é não-dcrscnt g é uma função par. c) g é uma função par g(n) f(). d) g é uma função ímpar g(n) f(). ) f é não dcrscnt g(n) f(). 6- (ITA-98) Sobr a função f() = n podmos afirmar qu: a) é uma função priódica d príodo 4. b) é uma função priódica d príodo. c) é uma função priódica d príodo. d) é uma função priódica ond o príodo prtnc ao intrvalo ( ). ) não é uma função priódica. 7- (ITA-98) Sjam A B subconjuntos não vazios d R f : A B g : B A duas funçõs tais qu fog = I ond I é a função idntidad m B. Então podmos afirmar qu: a) f é sobrjtora. b) f é injtora. c) f é bijtora. d) g é injtora par. 6

5 ) g é bijtora ímpar. 8- (ITA-98) Sja f(t) = 4 + cos( t) n( t) uma função dfinida m R. Sobr sta função qual das altrnativas abaio é corrta? a) f(t) é função par. b) f(t) é função ímpar. c) o maior valor qu f(t) assum é 9. d) o mnor valor qu f(t) assum é -. ) o mnor valor qu f(t) assum é -/. 9- (ITA-98) Dnotmos por R o conjunto dos númros rais. Sja g uma função ral d variávl ral não nula qu satisfaz para todo y rais a rlação g( + y) = g() + g(y). S f : R R for dfinida por f() = n a) f é priódica com príodo a..g() a b) Para a = n (n natural) tmos: f(n) = n[g()]. c) S g() ntão g() = f(). d) S g(t) = a ntão T é o príodo d f. ) S g(t) = ntão T é o príodo d f. ; a ntão podmos garantir qu: - (ITA-98) Sjam três funçõs f u v: R R tais qu f( + /) = f() + /f() para todo não nulo [u()] + [v()] = para todo ral. Sabndo qu é um númro ral tal qu u( ). v( ) ainda f u(. ) v( ) = ntão o valor d f u ( v( ) ) é igual a: a) b) c) d)/ )- - (ITA-984) Sja f() = 4 ond R. Um subconjunto D d R tal qu f : D R é uma função injtora é: a) { R: - } b) { R : ou - } c) R d) { R : - < < } 7

6 ) { R: } - (ITA-985) Considr as guints funçõs: f() = 7/ g() = ¼ dfinidas para todo ral. Então a rspito da solução da inquação l(gof)()l > (gof)() podmos garantir qu: a) Nnhum valor d ral é solução. b) S < ntão é solução. c) S > 7/ ntão é solução. d) S > 4 ntão é solução. ) S < < 4 ntão é solução. - (ITA-986) Considr as afirmaçõs sobr uma função f qualqur:. S ist R tal qu f() f(-) ntão f não é par.. S ist R tal qu f() = -f(-) ntão f é ímpar.. S f é par ímpar ntão ist R tal qu f() =. 4. S f é ímpar ntão fof é ímpar. Podmos afirmar qu stão corrtas as afirmaçõs d númros: a) 4 b) 4 c) d) 4 ) 4- (ITA-986) Sja f: R R uma função qu satisfaz a guint propridad: f( + y) = f() + f(y) y R. S g() = f(log ( +) ) ntão podmos afirmar qu: a) O domínio d g é R g() = f(). b) g não stá dfinida m R - \ { } g() =.f(log ( +) ) para. c) g() = g() = f(log ( +) ) R. d) g() = f() g é injtora. ) g() = - g() = [f(log ( +) - ]. 5- (ITA-988) Sja f : R R uma função stritamnt dcrscnt. Dadas as afirmaçõs: (i) f é injtora (ii) f pod r uma função par. (iii) S f possui invrsa ntão sua invrsa é stritamnt dcrscnt. Podmos asgurar qu: a) Apnas as afirmaçõs (i) (iii) são vrdadiras. 8

7 b) Apnas as afirmaçõs (ii) (iii) são vrdadiras. c) Apnas a afirmação (i) é falsa. d) Todas as afirmaçõs são vrdadiras. ) Apnas a afirmação (ii) é vrdadira. 6- (ITA-988) Sjam f g funçõs rais d variávl ral dfinidas por : f() = ln( -) g() =. Então o domínio d fog é: a) ( ) b) ( ) c) ( +) d) (- ) ) ( + ) 7- (ITA-989) Os valors d < < / para os quais a função f: R R f() = tg tm valor mínimo igual a 4 são: a) /4 /4 b) /5 /5 c) / / d) /7 /7 ) /5 /5 8- (ITA-989) Sjam A B subconjuntos d R não vazios possuindo B mais d um lmnto. Dada uma função f: A B dfinimos uma nova função L : A A X B por L(a) = (af(a)) para todo a A. Então: a) A função L mpr rá injtora. b) A função L mpr rá sobrjtora. c) S f for sobrjtora ntão L também o rá. d) S f for injtora ntão L também o rá. ) S f for bijtora ntão L rá sobrjtora. 9- (ITA-99) Sja a função f : R \ { } R \ { } dfinida por f() = +. Sobr sua invrsa podmos garantir qu: a) não stá dfinida pois f não é injtora. b) stá dfinida por f - (y) = y y y. 9

8 c) stá dfinida por f - (y) = d) stá dfinida por f - (y) = y y y y 5 y. 5 y. ) não stá dfinida pois f não é sobrjtora. - (ITA-99) Dadas as funçõs f() = g() =.n R podmos afirmar qu: a) ambas são pars. b) f é par g é ímpar. c) f é ímpar g é par. d) f não é par nm ímpar g é par. ) ambas são ímpars. - (ITA-99) Sja f : R R a função dfinida por: f() Considr as afirmaçõs: (i) f não é injtora f - ( [ 5] ) = { 4 } (ii) f não é sobrjtora f - ( [ 5] ) = f - ( [ 6] ) (iii) f é injtora f - ( [ 4] ) = [ - + ) Então podmos garantir qu: a) Apnas as afirmaçõs (ii) (iii) são falsas. b) As afirmaçõs (i) (iii) são vrdadiras. c) Apnas a afirmação (ii) é vrdadira. d) Apnas a afirmação (iii) é vrdadira. ) Todas as afirmaçõs são falsas. - (ITA-99) Considr as afirmaçõs: (i) S f : R R é uma função par g : R R uma função qualqur ntão a composição gof é uma função par.

9 (ii) S f : R R é uma função par g : R R uma função ímpar ntão a composição fog é uma função par. (iii) S f : R R é uma função ímpar invrsívl ntão f - : R R é uma função ímpar. Então: a) Apnas a afirmação (i) é falsa. b) Apnas as afirmaçõs (i) (ii) são falsas. c) Apnas a afirmação (ii) é vrdadira. d) Todas as afirmaçõs são falsas. a - (ITA-99) Sjam a R a > f : R R dfinida por f() = f é dada por: a) log a ( - ) para >. b) log a ( - + ) para R. c) log a ( + ) para R. d) log a ( - + ) para < -. a. A função invrsa d 4- (ITA-99) Sja f: R R dfinida por: f ( ) - ln S D é o maior subconjunto não vazio d R tal qu f : D qu: a) D = R f(d) = [- + ) R é injtora ntão podmos garantir b) D = (- ] ( + ) f(d) = ]- + ) c) D = [ + ) f(d) = [- + ) d) D = ( ) f(d) = [- ] Obs.: Esta qustão pod (ou ja dv) r rsolvida graficamnt.

10 5- (ITA-99) Considr as funçõs f : R * R g : R R h: R * R dfinidas por f() = (+/) g() = h() = 8/. O conjunto dos valors d m R * tais qu (fog)() = (hof)() é um subconjunto d: a) [ ] b) [ 7 ] c) [ -6 ] d)[ - ] 6- (ITA-99) Dadas as funçõs f : R R g : R R ambas stritamnt dcrscnts sobrjtoras considr h = fog. Então podmos afirmar qu: a) h é stritamnt crscnt invrsívl sua invrsa é stritamnt crscnt. b) h é stritamnt dcrscnt invrsívl sua invrsa é stritamnt crscnt. c) h é stritamnt crscnt mas não é ncssariamnt invrsívl. d) h é stritamnt crscnt invrsívl sua invrsa é stritamnt dcrscnt. 7- (ITA-994) Dadas as funçõs rais d variávl ral f() = m + g() = + m ond m é uma constant ral com < m < considr as afirmaçõs:. (fog)() = (gof)() para algum ral.. f(m) = g(m).. a R / (fog)(a) = f(a) 4. b R / (gof)(b) = mb 5. < (gog)(m) < Podmos concluir qu: a) Todas são vrdadiras. b) Apnas quatro são vrdadiras. c) Apnas três são vrdadiras. d) Apnas duas são vrdadiras. ) Apnas uma é vrdadira. 8- (ITA-995) Sja a função f : R R dfinida por: f () a a - n

11 ond a > é uma constant. Considr K = { y R; f(y) = }. Qual o valor d a sabndo- qu f( /) K? a) /4 b) / c) d) / ) 9- (ITA-996) Sja f: R R dfinida por: f ( ) 4 Então: a) f é bijtora (fof) (-/) = f - (). b) f é bijtora (fof) (-/) = f - (99). c) f é sobrjtora mas não é injtora. d) f é injtora mas não é sobrjtora. ) f é bijtora (fof) (-/) = f - (). 4- (ITA-996) Considr as funçõs rais f g dfinidas por : f ( ) R - { - } - g() R - { - } Qual é o maior subconjunto d R ond pod r dfinida a composta fog tal qu (fog)() <? a) ( - -/) (-/ -/4) b) (- -) (-/ -/4) c) (- -) (-/ ) d) ( + ) ) (-/ -/) 4- (ITA-996) Sja f: R + \ { } R uma função injtora tal qu f() = f(. y) = f() + f(y) para todo > y >. S 4 5 formam nssa ordm uma progrssão gométrica ond i > sabndo qu 5 i f ( i ) =.f() +.f( ) 4 f i i i = -.f( ) ntão o valor d é: a) b) c) d) 4 )

12 4- (ITA-997) S Q rprntam rspctivamnt o conjunto dos númros racionais o conjunto dos númros irracionais considr as funçõs f g : R f () Q g() Q R dfinidas por Sja J a imagm da função composta fog : R a) J = R b) J = Q c) J = { } d) J = { } ) J = { } R. Então: 4- (ITA-997) O domínio D da função - ( ) f ( ) ln é o conjunto: - a) D = { R : < < / } b) D = { R : < / ou > } c) D = { R : < / ou } d) D = { R : > } ) D = { R : < < / ou < < / } 44- (ITA-997) Sjam f g : R R funçõs tais qu g() = f() + f( ) = ( ) para todo R. Então f[g()] é igual a: a) ( ) b) ( ) c) d) ) 45- (ITA-998) Sja f : R R a função dfinida por: f() = n cos Então: a) f é ímpar priódica d príodo. b) f é par priódica d príodo /. c) f não é par nm ímpar é priódica d príodo. 4

13 d) f não é par é priódica d príodo /4. ) f não é ímpar não é priódica. 46- (ITA-998) Sja f : R R a função dfinida por f() = -a ond a é um númro ral com < a <. Sobr as afirmaçõs abaio conclui- qu: ( ) f( + y) = f().f(y) para todo y R. ( ) f é bijtora. ( ) f é crscnt f( ] + [ ) = ]- [. a) Todas as afirmaçõs são falsas. b) Todas as afirmaçõs são vrdadiras. c) Apnas as afirmaçõs ( ) ( ) são vrdadiras. d) Apnas a afirmação ( ) é vrdadira. ) Apnas a afirmação ( ) é vrdadira. 47- (ITA-998) Sjam as funçõs f : R R g : A R R tais qu f() = 9 (fog)() = 6 m us rspctivos domínios. Então o domínio A da função g é: a) [- + [ b) R c) [-5 + [ d) ]- -[ [ + [ ) ]- 6 [ 48- (ITA-999) Sjam f g : R R funçõs dfinidas por: f( ) Considr as afirmaçõs: g() ( ) Os gráficos d f g não intrcptam. ( ) As funçõs f g são crscnts. ( ) f(-).g(-) = f(-).g(-). Então: a) Apnas a afirmação ( ) é falsa b) Apnas a afirmação ( ) é falsa.. 5

14 c) Apnas as afirmaçõs ( ) ( ) são falsas. d) Apnas as afirmaçõs ( ) ( ) são falsas. ) Todas as afirmaçõs são falsas. 49- (ITA-999) Sjam f g h: R R funçõs tais qu a função composta hogof : R R é a função idntidad. Considr as afirmaçõs: ( ) A função h é sobrjtora. ( ) S R é tal qu f( ) = ntão f() R com. ( ) A quação h() = tm solução m R. Então: a) Apnas a afirmação ( ) é vrdadira. b) Apnas a afirmação ( ) é vrdadira. c) Apnas a afirmação ( ) é vrdadira. d) Todas as afirmaçõs são vrdadiras. ) Todas as afirmaçõs são falsas. 5- (ITA-) Sjam f g : R R dfinidas por f() = g() = cos5. Podmos afirmar qu: a) f é injtora par g é ímpar. b) g é sobrjtora gof é par. c) f é bijtora gof é ímpar. d) g é par gof é ímpar. ) f é ímpar gof é par. 5- (ITA-) Considr f: R R dfinida por f() =.n - cos. Sobr f podmos afirmar qu: a) é uma função par. b) é uma função ímpar priódica d príodo fundamntal 4. c) é uma função ímpar priódica d príodo fundamntal 4 /. d) é uma função priódica d príodo fundamntal. ) não é par não é ímpar não é priódica. 6

15 5- (ITA- qustão convidada ) S f: () R é tal qu () f() < ½ f() =. f f 4 ntão a dsigualdad válida para qualqur n =... < < é: a) f() + < ½ n b) f ( ) n c) f ( ) < n d) f( ) > n ) f( ) < n GABARITO - A 6- C - C 46- E - D 7- A - E 47- A - D 8- C - C 48- E 4- D 9- D 4- B 49- D 5- A - B 5- C 5- E 6- A - E 6- A 5- B 7- B - E 7- E 5- E 8- A - A 8- D 9- E 4- C 9- B - C 5- A 4- A - A 6- B 4- B - D 7- C 4- C - C 8- A 4- E 4- C 9- D 44- C 5- E - C 45- C 7