Hewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hwltt-Packard MTRIZES ulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz no 06

2 Sumário MTRIZES NOÇÃO DE MTRIZ REPRESENTÇÃO DE UM MTRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDMENTL MTRIZES ESPECIIS IGULDDE ENTRE MTRIZES 3 3 MTRIZ OPOST 3 MTRIZ TRNSPOST 3 MTRIZ SIMÉTRIC 3 MTRIZ NTISSIMÉTRIC t OPERÇÕES ENTRE MTRIZES 4 DIÇÃO DE MTRIZES 4 SUBTRÇÃO DE MTRIZES 4 PROPRIEDDES D DIÇÃO DE MTRIZES 4 MULTIPLICÇÃO DE UM MTRIZ POR UM NÚMERO REL 4 4 MULTIPLICÇÃO ENTRE MTRIZES 5 5 PROPRIEDDES D MULTIPLICÇÃO DE MTRIZES 5 MTRIZ INVERS 6 6 QUESTÕES EXTRS 6 CIU NO SIGM 6 CIU NO VEST 7

3 UL 0 MTRIZES NOÇÃO DE MTRIZ Dados dois númros naturais m n, dnomina-s matriz m por n (dnotado por ), uma tabla formada por númros rais distribuídos m m linhas n colunas Exmplo : sguir tmos a rprsntação d uma matriz,, d três linhas ( m 3) cinco colunas n x 5 REPRESENTÇÃO DE UM MTRIZ E SEUS ELEMENTOS Os lmntos d uma matriz,, são rprsntados por a, m qu i,, 3,, m indica ij a linha j,, 3,, n indica a coluna na qual ss lmnto s ncontra na matriz ssim podmos rprsntar uma matriz,, dos sguints modos: i ii iii a a a a a a a a a a a a 3 n 3 n m m m3 mn a a a a a a a a a a a a 3 n 3 n m m m3 mn mxn a a a a 3 n a a a a 3 n a a a a m m m3 mn Obs: Pod-s rprsntar uma matriz,, por a ij EXERCÍCIO FUNDMENTL Escrva a matriz dtrminada m cada itm a sguir a) a ij 3 x, m qu a i j ij c) C c ij, m qu 4 x 4 c ij, s i j 0, s i j MTRIZES ESPECIIS Matriz linha: uma matriz, x n, é dnominada matriz linha Matriz coluna: uma matriz, m x, é dnominada matriz coluna 3 Matriz nula: uma matriz é dnominada matriz nula s todos sus lmntos são iguais a zro 4 Matriz quadrada d ordm n: uma matriz, n x n, é dnominada matriz quadrada d ordm n 5 Matriz triangular: uma matriz quadrada d ordm n, na qual todos os lmntos qu stão acima, ou abaixo, da diagonal principal são iguais a zro 6 Matriz idntidad d ordm n: Matriz quadrada d ordm n na qual todos os lmntos da diagonal principal são iguais a todos os outros lmntos dssa matriz são iguais a zro Exmplo : sguir tmos a rprsntação d uma matriz idntidad d ordm I 3 = ( 0 0) 0 0 Obs: Em uma matriz quadrada d ordm n os lmntos cujos índics d linha coluna são iguais constitum a diagonal principal dssa matriz a a n [ ] a n a nn Diagonal Principal Obs: Em uma matriz quadrada d ordm n os lmntos cuja soma dos índics é igual a n+ constitum a diagonal scundária dssa matriz Diagonal Scundária a a n [ ] a n a nn, m qu b 3i j b) B b ij x 3 ij Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página

4 TREF Lr páginas 8 9 do capítulo "Matrizs " fazr os PROPOSTOS,, 3 UL 0 IGULDDE ENTRE MTRIZES Duas matrizs, B, são iguais s todos os lmntos corrspondnts, isto é, qu ocupam a msma linha msma coluna, form iguais Exmplo : s matrizs B a sguir são matrizs iguais , B Dtrmin os valors rais d x y nos itns a sguir a) b) c) x y x y 5 5x y x 4y x 3 y x y 3y 5 3y Considr as matrizs 4 x log3 6 B 5, m qu x, y R Sndo = B, dtrmin o valor d x + y MTRIZ OPOST 5 y x matriz oposta d a ij é a matriz Exmplo : S a ij 5 0, ntão MTRIZ TRNSPOST Dada a matriz t a matriz a' ji a ij, dnomina-s transposta d, m qu a' ji a ij para todo n x m Transposição d matriz i,,, m j,,, n Fazr a transposição d uma matriz simpls, basta trocar ordnadamnt as linhas por colunas, ou sja, a primira linha da matriz srá a primira coluna sgunda coluna d xmplo: MTRIZ SIMÉTRIC Uma matriz quadrada d ordm n,, é dnominada Exmplo 3: matriz simétrica s t 5 5 t MTRIZ NTISSIMÉTRIC Uma matriz quadrada d ordm n,, é dnominada Exmplo 4: matriz antissimétrica s t t Sabndo qu a matriz qual o valor d x + y z?, a sgunda linha d srá a 3 y x 5 3 z, é, assim sucssivamnt, por é simétrica, Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 3

5 TREF No capítulo "Matrizs " fazr os PROPOSTOS d 4 a 9 UL 03 OPERÇÕES ENTRE MTRIZES DIÇÃO DE MTRIZES Dadas duas matrizs, a ij matriz soma B C, m qu B b ij, a mx n C c ij, é tal qu mx n cij aij bij para todo i,,, m j,,, n Em outras palavras, para somar duas matrizs basta somar sus lmntos corrspondnts Obs3: Só é possívl somar duas matrizs s las tivrm a msma quantidad d linhas colunas Exmplo 3: Sjam 4 B 6 4 C , a matriz soma C B é SUBTRÇÃO DE MTRIZES Dadas duas matrizs, a ij B b ij, a mx n matriz difrnça B é, por dfinição, a soma da matriz, com a oposta d B B, ou sja, B B Em outras palavras, para subtrair duas matrizs basta subtrair sus lmntos corrspondnts PROPRIEDDES D DIÇÃO DE MTRIZES Sja, B, C O matrizs com m linhas n colunas Em qu O é a matriz nula, É possívl provar qu valm as sguints propridads para a adição d matrizs I Comutativa: B B II ssociativa: B C B C III Elmnto nutro: O IV Oposto: O MULTIPLICÇÃO DE UM MTRIZ POR UM NÚMERO REL Multiplicar uma matriz por um númro ral k é, por dfinição, multiplicar todos os lmnto d por k 5 0 Exmplo 3: Sja, tmos qu k k 5 k 0 k, para todo k k3 k k 3 Dadas as matrizs B 3 5 0, dtrmin: 7 a) B b) B c) d) 3B Rsolva a quação X + B =, m qu B Sndo as matrizs a ij 3 x, com aij cos i + B B b ij, com x 3 bij i j Dtrmin Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 4

6 34 Rsolva o sistma 6 6 XY X Y TREF 3 No capítulo "Matrizs " fazr os PROPOSTOS d 3 COMPLEMENTR UL 04 MULTIPLICÇÃO ENTRE MTRIZES Dadas duas matrizs a ij m x p dnomina-s o produto B a matriz qu cij ai b j ai b j ai 3 b3 j aip bpj Multiplicação d matrizs Para dtrminar o trmo B b ij, p x n C c ij, tal mx n da matriz produto basta "pgar" a linha i da matriz a coluna j da matriz B Em sguida ralizar os produtos dos primiros trmos, dos sgundos trmos, dos trciros trmos, assim sucssivamnt, somar os rsultados Por xmplo, considr as matrizs, assim para dscobrir, dvmos "pgar" a primira linha da matriz a trcira coluna da matriz B Em sguida façamos a soma dos produtos ralizados ntr os primiros trmos, ntr os sgundos trmos assim sucssivamnt, obtndo o trmo Fazndo ss procsso é possívl dscobrir totalmnt a matriz Obs4: Só é possívl multiplicar duas matrizs s o númro d colunas da primira matriz for igual ao númro d linhas da sgunda m p B p n = C m n Obs5: matriz produto, caso xista, trá o númro d linhas da primira o númro d colunas da sgunda m p B p n = C m n Tablt: Em "Matrizs " Lr a situação 3 na página 4 4 Considr as matrizs B 3 0 os produtos a sguir a) B b) C c) C d) B ) f) B, 3 C Dtrmin s xistir 3 4 PROPRIEDDES D MULTIPLICÇÃO DE MTRIZES Sja, B, C I matrizs para as quais é possívl ralizar as opraçõs a sguir Em qu I é uma matriz idntidad É possívl provar qu valm as sguints propridads para a multiplicação d matrizs I ssociativa: BC B C II III Distributiva a dirita m rlação a adição: B C C B C Distributiva a squrda m rlação a adição: C B C C B IV Elmnto nutro: I I Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 5

7 TREF 4: No capítulo "Matrizs " fazr os PROPOSTOS d 4 a 6 UL 05 MTRIZ INVERS Considr uma matriz quadrada,, d ordm n Essa matriz é dita invrsívl s xist uma matriz B tal qu B B I n m qu I n é a matriz idntidad d ordm n Nss caso a matriz B é dita a invrsa d é indicada por 5 5 Vrifiqu s Dtrmin, s xistir, as matrizs invrsas das matrizs dadas nos itns a sguir a) b) c) 5 3 B 4 C 3 6 TREF 5: No capítulo "Matrizs " fazr os PROPOSTOS d 7 a EXTR QUESTÕES EXTRS CIU NO SIGM ) Dtrmin a matriz B bij x 3, m qu bij sn i cos j, com i j 3 ) Dtrmin o valor d x para qu x x 4 x x 3x 4 3) Sndo, calcul 0, 3 4 4) s matrizs 0 x y B são tais qu 3 B B Calcul x y 5) Sndo quação 5 T T X B 6) S a matriz é igual a T matriz B 3, rsolva a 4 3, dtrmin a 7) soma d todos os lmntos da diagonal principal com todos os lmntos da diagonal scundária da matriz transposta da matriz = (a ij ) x, m qu a ij = { i +, s i = j i + j, s i j é igual a a) 7 b) 5 c) 6 d) ) 8 8) invrsa da matriz = [ ] é igual a () [ 0 0 ] (B) [ ] (C) [ ] (D) [ 5 3 ] (E) [ ] 9) Considr as matrizs = (a ij ) 3x = [ 3 ], 0 3 B = (b ij ) 3x = [ 3] C = (c ij ) 3x = x yb, com x, y R Para qu os lmntos c c sjam iguais a, os valors d x y dvm sr, rspctivamnt, iguais a () 3 3 (B) 3 3 (C) 3 3 (D) 3 3 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 6

8 (E) 3 3 0) Sjam as matrizs = ( 0 ), B = x3 ( ), X = (x ij ) x3 x3 Y = (y ij ) x3 X Y = Sabndo qu {, dtrmin as matrizs X + 3Y = B X Y CIU NO VEST (F) Dadas as matrizs: = (a ij ) 8x3 B = (b ij ) 3x7, ond a ij = i j b ij = i j, o lmnto c 56 da matriz C = (c ij ) = B é: a) 74 b) 6 c) 8 d) 76 (ESPECEX 008) Considr as matrizs M = tg x [ cos x cotg x ] M = [ tg x ] para x kπ, k Z matriz rsultant do produto matricial M M é a) [ sc x cos x ] b) [ tg x cos x ] c) x [sc sn x ] d) x [cossc sn x ] ) [ cos x sn x ] 3 (UERJ) Dnominamos traço d uma matriz quadrada à soma dos lmntos da sua diagonal principal ssinal a opção qu contém o traço da matriz C, ond C = B, m qu = (a ij ) x, com a ij = i + j, B = (b ij ) x, com b ij = i j a) 0 b) c) d) 3 4 (F) s matrizs, B C são do tipo m 3, n p 4 r, rspctivamnt S a matriz transposta d BC é do tipo 5 4, ntão a) m = p b) mp = nr c) n + p = m + r d) r = n 5 (IT) Considr as matrizs = ( 0 0 ), I = ( 0 0 ), X = (x y ) B = ( ) S x y são soluçõs do sistma ( t 3 I) X = B, ntão x + y é igual a a) b) c) 0 d) - ) - GBRITO a) b) c) a) x5, y 7 b) x, y 3 c) x3, y a) b) c) d) Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página X Y a) b) c) d) Não xist ) Não xist

9 f) Sim a) b) c) Não xist QUESTÕES EXTRS 0 0 B x 3 0, x 7 y X C 8 D 9 B X Y CIU NO VEST D C 3 C 4 5 D Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 8

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