CAPÍTULO 14. Exemplo : Mostre que y = g(x) = 1 x 2, x 1 está dado de forma implícita na equação x 2 + y 2 1 = 0.

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1 CAPÍTULO 4 TEOREMA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 4 Introdução No studo d funçõs da rta na rta dfinimos qu uma função y = gx x Domg stá dada implicitamnt numa quação nvolvndo as variávis x y s para todo x Domg o ponto x gx é solução da quação Agora qu já studamos funçõs rais d duas variávis rais podmos rscrvr sta dfinição d uma forma mais lgant conform aprsntado a sguir Um função y = gx x Domg stá dfinida implicitamnt na quação fx y = 0 s fx gx = 0 para todo x Domg Exmplo 4: Mostr qu y = gx = x x stá dado d forma implícita na quação x + y = 0 Solução: Considrando fx y = x + y substituindo y = x na xprssão d f ncontramos qu f x x = x + x = x + x = 0 x o qu mostra qu y = gx = x x stá d fato dado d forma implícita na quação dada Lmbr-s qu no studo d funçõs da rta na rta mais do qu simplsmnt star intrssados m funçõs quaisqur dfinidas implicitamnt nosso intrss s concntra m funçõs dfinidas implicitamnt qu além d contínuas também são difrnciávis Nst caso para dscobrir y = g x já conhcmos d dois métodos: - o método: consist m sr capaz d aprsntar xplicitamnt a função y = gx dsta forma calcular dirtamnt a drivada y = g x; - o método: utiliza drivação implícita para calcular y = g x 44

2 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Vamos a sguir fazr alguns xmplos rlmbrando sts fatos Exmplo 4: Sabndo qu a função difrnciávl y = gx stá implícita na quação x + y = 0 dtrmin a quação da rta tangnt ao gráfico da função g no ponto utilizando os dois métodos mncionados acima Solução: Plo o método como já vimos no Exmplo 4 qu a função y = gx = x x stá implícita na quação x + y = 0 é tal qu g = ncontramos g d forma xplícita d modo qu basta drivá-la dirtamnt Nst caso obtmos qu g x x = x = x < x d forma qu g função g no ponto = portanto a quação da rta tangnt ao gráfico da é dada por y = x Plo o método vamos aplicar drivação implícita drivar ambos os lados da quação x + y = 0 m rlação à variávl x Nst caso obtmos qu d x + y = d dx dx 0 x + yy = 0 y = x s y 0 y Portanto y primiro método = d modo qu a quação pdida é a msma obtida plo Obsrv qu agora com conhcimntos novos adquiridos partindo ainda do prssuposto d qu xist uma função difrnciávl y = gx x Domg implícita na quação fx y = 0 tmos um 3 o método d calcular y = g x Para isto vamos olhar f como uma função d duas variávis i f = fx y vamos fazr y = gx na quação fx y = 0 finalmnt aplicar a rgra da cadia para obtr y = g x Nst caso drivando a função h dfinida por hx := fx gx = 0 x Domg

3 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis tmos qu Lmbr-s qu f f x gx + x gxg x = 0 x Domg Domg rprsnta os pontos intriors do Domg Dsta forma s f x gx 0 tmos qu f f x gx x y g x = y = = f x gx x f x y Domg Exmplo 43: Rsolva o Exmplo 4 utilizando a fórmula obtida acima Solução: Nst caso tmos qu fx y = x + y d modo qu utilizando a fórmula dada m ncontramos qu Portanto y função g no ponto f x y y = x = f x y y = x f s x y = y 0 y = Dsta forma a quação da rta tangnt ao gráfico da é dada por y = x Exmplo 44: A função difrnciávl y = gx stá dfinida implicitamnt na quação y 3 + xy + x 3 = 3 Dtrmin y m trmos d x y utilizando difrnciação implícita a fórmula dada m Solução: Utilizando drivação implícita obtmos qu d y 3 + xy + x 3 = d dx dx 3 3y y + y + xy + 3x = 0 y 3y + x = 3x y

4 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis S 3y + x 0 tmos ntão qu y = 3x + y 3y + x Utilizando agora fórmula dada m ond fx y = y 3 + xy + x 3 3 ncontramos qu f x y y = x = f x y y = + y 3x 3y + x s 3y + x 0 Podmos gnralizar nosso raciocínio trabalhar com funçõs implícitas m dimnsõs maiors É o qu farmos a sguir 4 Funçõs Dfinidas Implicitamnt DEFINIÇÃO 4: Dada uma função F : DomF R n+m R m X Y = x x n y y m F X Y = F x x n y y m dizmos qu a função g : Domg R n R m stá dfinida implicitamnt na quação F X Y = 0 s F X gx = 0 para todo X Domg Exmplo 4: Dtrmin y z como funçõs d x implícitas nas quaçõs abaixo x + y + z = x + z = Solução: Vamos primiro xrcitar a idntificação d X n Y m F g aprsntados na Dfinição 4 Nst caso ncontramos qu X = x n = Y = y z m = F : DomF R + R X Y = x y z F x y z = x + y + z x + z g : Domg R R x gx = yx zx Vamos ntão dtrminar yx zx = Y = gx = gx implícita na quação F x y z = x + y + z x + z = 0 0

5 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Tmos portanto qu rsolvr o sistma { x + y + z = 0 x + z = 0 Da sgunda quação ncontramos qu z = zx = x Substituindo agora z = x na primira quação ncontramos qu y = yx = x z = x x = +x x R Dsta forma sgu qu z = zx = x x R y = yx = x stão implícitas na quação F x y z = x + y + z x + z = 0 0 Exmplo 4: Dtrmin z como função d x y implícita na quação x + y + z = Solução: Vamos novamnt xrcitar primiro a idntificação d X n Y m F g aprsntados na Dfinição 4 Nst caso ncontramos qu X = x y n = Y = z m = F : DomF R + R X Y = x y z F x y z = x + y + z g : Domg R R x y gx y = zx y Vamos ntão dtrminar z = Y = gx = gx y implícita na quação F x y z = x + y + z = 0 Rsolvndo ntão a quação acima para z ncontramos as duas possibilidads abaixo g x y = zx y = x y x + y g x y = zx y = x y x + y 43 Drivadas d Funçõs Dfinidas Implicitamnt Conform fito ants vamos supor qu a função difrnciávl Y = gx X Domg stá dfinida implicitamnt na quação F X Y = 0 vamos calcular g X X Domg utilizando drivação implícita

6 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Exmplo 43: Considr as quaçõs x + y + z = x + z = Supondo qu y z são funçõs difrnciávis d x qu stão implícitas nas quaçõs acima dtrmin dy dx dz drivando implicitamnt as quaçõs acima dx Solução: Drivando implicitamnt as duas quaçõs dadas acima tmos qu 0 + dy dx + dz dx = 0 + dz dx = 0 Portanto para dtrminar dy dx dz dvmos rsolvr o sistma dx dy dx Dsta forma tmos qu dy dx = dz dx 0 dz dx = = 0 = D fato rparando qu st é o Exmplo 4 ond ncontramos qu as funçõs y = yx z = zx implícitas nas duas quaçõs dadas são as funçõs yx = x zx = x x R comprovamos mais uma vz qu dy dx = dz dx = Exmplo 43: Considr a quação x + y + z = Supondo qu z é uma função difrnciávl das variávis x y qu stá implícita na quação acima dtrmin drivando implicitamnt a quação dada

7 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Solução: Drivando implicitamnt a quação dada acima tanto m rlação à variávl x como m rlação á variávl y tmos qu Portanto s z 0 sgu qu x + z = 0 y + = 0 = x z = y z D fato rparando qu st é o Exmplo 4 ond ncontramos qu as funçõs g x y = zx y = x y x +y g x y = zx y = x y x + y stão ambas implícitas na quação dada calculando dirtamnt as drivadas parciais d ambas as funçõs comprovamos como sprado qu g x y = = x x y = x z g x y = = y x y = y z g x y = = g x y = = x x y = x z y x y = y z Exmplo 433: Considr as quaçõs x + y + z = 5 xyz = 0 Suponha qu x y são funçõs difrnciávis d z qu stão implícitas nas quaçõs acima Dtrmin dx dz dy drivando implicitamnt as quaçõs acima dz Solução: Drivando implicitamnt as duas quaçõs dadas acima tmos qu x dx dz yz dx dz + y dy dz + z = 0 + xz dy dz + xy = 0

8 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis 08-5 Portanto para dtrminar dx dz dy dvmos rsolvr o sistma dz dx dz x y yz xz dy dz = z xy x y Dsta forma s a matriz for invrsívl tmos qu yz xz dx dz x y z dy = yz xz xy dz Exmplo 434: Considr as quaçõs xu + yv + zw = x + y + z + u + v + w = 0 xy + zuv + w = 0 Suponha qu x y z são funçõs difrnciávis d u v w qu stão implícitas nas quaçõs acima Dtrmin drivando implicitamnt as quaçõs acima com rspito à w Solução: Drivando implicitamnt as três quaçõs acima tmos qu Portanto para dtrminar u + v + w + z = = 0 y + x + uv + = 0 u v w y x uv dvmos rsolvr o sistma = z

9 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis 08-5 Dsta forma s a matriz u v w y x uv = for invrsívl tmos qu u v w y x uv z Obsrvação 43: Analogamnt podmos dtrminar v v drivando implicitamnt as quaçõs acima com rspito à v dtrminar drivando implicitamnt as quaçõs acima com rspito à v u Basado nos xmplos rsolvidos acima obsrv qu para rsolvrmos os sistmas aprsntados é ncssário qu o númro d quaçõs dadas sja igual ao númro d funçõs dfinidas implicitamnt Isto é qu os spaços contradomínios d F g tnham a msma dimnsão Por causa disto é qu no nosso modlo sts númros são ambos rprsntados por m Podmos nquadrar os xmplos antriors como casos particulars d um caso mais gral o qual partindo do conhcimnto da xistência d uma função difrnciávl Y = gx X Domg implícita numa quação da forma F X Y = 0 concntra-s m dtrminar Y = g X vamos utilizar a rgra da cadia X Domg Para atingir st objtivo Para facilitar o dsnvolvimnto a sguir vamos dfinir a função GX = X gx Dsta forma tmos qu Portanto pla rgra da cadia tmos qu F X gx = F GX = 0 F GXG X = 0

10 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis ond é multiplicação matricial Obsrv qu f f F GX = F X gx = f m f n f f n f f m n f m f m f m f m m ond cada uma das drivadas parciais é avaliada m GX = X gx Para auxiliar vamos dfinir as sguints matrizs f f n F X GX = F X X gx = f f m f n f m n F Y GX = F Y X gx = f f f m f m f m f m m ond cada uma das drivadas parciais conform dito é avaliada m GX = X gx Nst caso tmos qu F GX = F X GX F Y GX Obsrv qu X = x x x n gx = Y = y y y n d modo qu Gx x x n = GX = X gx = x x x n y y y n

11 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Dsta forma tmos qu G X = X g X = n n n n m n m n Not qu como i j = 0 s i j i j = s i = j sgu qu G X = X g X = 0 0 n m m n

12 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Utilizando uma notação mais sucinta ond I n é a matriz idntidad n n n g X = m m n tmos qu G X = X g X = I n g X Dsta forma podmos rscrvr a rgra da cadia F GXG X = 0 como F GXG X = F X GX F Y GX I g X = 0 Com isto tmos qu F X GX I + F Y GX g X = 0 Portanto s F Y GX for invrsívl tmos qu g X = F Y GX F X GX Isto é g X = F Y X gx F X X gx Exmplo 435: Nos Exmplos spcifiqu X n Y m F g d acordo com a Dfinição 4 Além disso dtrmin F X X gx F Y X gx g X conform dfinidos acima Solução: No Exmplo 43 tmos qu X = x n = Y = y z m =

13 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis F : DomF R + R X Y = x y z F x y z = x + y + z x + z g : Domg R R x gx = yx zx Além disso stamos falando sobr a função difrnciávl y z = Y = gx = gx qu stá implícita na quação Sndo assim tmos qu F z x y = x + y + z x + z = 0 0 F X X gx = F x x y z = F Y X gx = F yz x y z = g X = g x = 0 Portanto a fórmula g X = F Y X gx F X X gx nst caso é rscrita como = 0 No Exmplo 43 tmos qu X = x y n = Y = z m = F : DomF R + R X Y = x y z F x y z = x + y + z g : Domg R R x y gx y = zx y Além disso stamos falando sobr a função difrnciávl z = Y = gx = gx y qu stá implícita na quação F x y z = x + y + z = 0

14 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Sndo assim tmos qu F X X gx = F xy x y z = x y F Y X gx = F z x y z = z g X = g x = Portanto a fórmula g X = F Y X gx F X X gx caso F Y X gx = F z x y z sja invrsívl nst caso é rscrita como = z x y No Exmplo 433 tmos qu X = z n = Y = x y m = F : DomF R + R X Y = z x y F z x y = x + y + z 5 xyz g : Domg R R z gz = xz yz Além disso stamos falando sobr a função difrnciávl x y = Y = gx = gz qu stá implícita na quação Sndo assim tmos qu F z x y = x + y + z 5 xyz = 0 0 F X X gx = F z z x y = z xy x y F Y X gx = F xy z x y = yz xz g X = g z =

15 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Portanto a fórmula g X = F Y X gx F X X gx caso F Y X gx = F xy z x y sja invrsívl nst caso é rscrita como No Exmplo 434 tmos qu x y = yz xz z xy X = u v w n = 3 Y = x y z m = 3 F : DomF R 3+3 R 3 X Y = u v w x y z F u v w x y z = xu + yv + zw x + y + z + u + v + w xy + zuv + w g : Domg R 3 R 3 u v w gu v w = xu v w yu v w zu v w Além disso stamos falando sobr a função difrnciávl Y = x y z = gu v w = gx qu stá implícita na quação xu + yv + zw 0 F u v w x y z = x + y + z + u + v + w = 0 xy + zuv + w 0 Sndo assim tmos qu F X X gx = F uvw u v w x y z = x y z zv zu F Y X gx = F xyz u v w x y z = g X = g z = v v v u v w y x uv

16 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Portanto a fórmula g X = F Y X gx F X X gx caso F Y X gx = F xyz u v w x y z sja invrsívl nst caso é rscrita como v v v = u v w y x uv x y z zv zu Sgu ntão qu = u v w y x uv x zv v v v = u v w y x uv y zu = u v w y x uv z

17 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Torma da Função Implícita Na sção antrior vimos qu admitindo-s qu xist uma função difrnciávl Y = gx implícita na quação F X Y = 0 s F Y X gx é invrsívl ntão a rgra da cadia nos diz qu g X = F Y X gx F X X gx O Torma da Função Implícita qu vamos nunciar a sguir d fato afirma qu s X 0 Y 0 é tal qu F X 0 Y 0 = 0 F Y X 0 Y 0 é invrsívl ntão numa vizinhança d X 0 xist uma função difrnciávl Y = gx qu stá implícita na quação F X Y = 0 Confira o torma a sguir TEOREMA 44: Torma da Função Implícita Sja F : DomF R n+m R m uma função d class C m um abrto A DomF Suponha qu xistm X 0 R n Y 0 R m X 0 Y 0 A tais qu i F X 0 Y 0 = 0; ii F Y X 0 Y 0 é invrsívl Então num abrto N R n contndo X 0 xist uma função g d class C g : N R n R m tal qu Y 0 = gx 0 F X gx = 0 para todo X N Além disso g X = F Y X gx F X X gx Obsrv qu dizr qu xist uma função difrnciávl Y = gx implícita da quação F X Y = 0 numa vizinhança do ponto X 0 Y 0 quival a dizr qu numa vizinhança do ponto X 0 Y 0 o conjunto d nívl zro da função F pod sr dscrito como gráfico d uma função difrnciávl g Isto é numa vizinhança d X 0 Y 0 o conjunto dscrito d forma implícita como conjunto d nívl d uma função F também pod sr dscrito d forma xplícita com gráfico d uma outra função a função g Pnsando dsta forma vamos analisar duas situaçõs simpls vrificar qu pdir qu F Y X 0 Y 0 sja invrsívl é bm natural Considr uma curva C m R qu satisfaz F x y = 0 ond F é uma função difrnciávl Isto é C stá contida na curva d nívl zro d F Obsrv qu para sr possívl qu numa vizinhança do ponto x 0 y 0 possa-s scrvr y como função d x i para qu sta part da curva rprsnt o gráfico d uma função nsta vizinhança a curva não pod sr vrtical numa vizinhança do ponto x 0 y 0 Uma forma d vitar qu a curva não sja vrtical numa vizinhança do ponto x 0 y 0 é impdir qu a rta tangnt à curva no ponto x 0 y 0 sja vrtical Como sabmos qu o gradint da função F é prpndicular as suas curvas d nívl pdir qu a curva não tnha rta tangnt vrtical é pdir qu o gradint d F não sja horizontal Ou sja é pdir qu a sgunda componnt do vtor gradint d F não sja nula i F 0 Como aqui

18 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis 08-6 Y = y F = F Y ntão F 0 quival a F Y 0 conform diz o Torma da Função Implícita Com isto vitamos casos ond a curva aprsnta um formato d ou na vizinhança do ponto x 0 y 0 qu é o caso por xmplo da circunfrência dada pla quação x + y = nos pontos 0 0 É claro qu com isto também liminamos casos d curvas qu na vizinhança do ponto x 0 y 0 aprsntam um formato do tipo ou su rflxo m rlação ao ixo y qu não impdm a possibilidad d srm gráficos Entrtanto obsrv qu nst caso apsar da possibilidad da xistência da função g da qual a curva sria o gráfico no ponto x 0 a função g não sria difrnciávl pois a rta tangnt ao gráfico é vrtical É important rssaltar qu o Torma da Função Implícita é um torma d suficiência apnas não d ncssidad No final da sção vrmos um xmplo qu prova sta afirmação Not qu o caso citado antriormnt não srv para st intuito pois uma função com st formato d gráfico conform obsrvado não pod sr difrnciávl Da msma forma vamos agora considrar uma suprfíci S m R 3 qu satisfaz à quação F x y z = 0 ond F é uma função difrnciávl Isto é S stá contida na suprfíci d nívl zro d F Obsrv qu para sr possívl qu numa vizinhança do ponto x 0 y 0 z 0 possa-s scrvr z como função d x y isto é para sta part da suprfíci rprsnt o gráfico d uma função nsta vizinhança a suprfíci não pod sr vrtical numa vizinhança do ponto x 0 y 0 z 0 Como sabmos qu o gradint da função F é prpndicular as suas suprfícis d nívl pdir qu a suprfíci não sja vrtical é pdir qu o gradint d F não sja horizontal Ou sja é pdir qu a trcira componnt do vtor gradint não sja nula i 0 Como aqui Y = z F F = F Y ntão F 0 quival a F Y 0 conform diz o Torma da Função Implícita Exmplo 44: Considr as quaçõs x y + yz = 0 xyz + = 0 a Mostr qu numa vizinhança do ponto x y podm sr scritas m função d z b Dtrmin dx dz dy no ponto z = dz Solução: a Como trata-s d um caso d aplicação do Torma da Função Implícita vamos comçar idntificando n m X Y F g F X F Y X = z Y = x y X 0 = z 0 = Y 0 = x 0 y 0 = F : DomF R + R X Y = z x y F z x y = x y + yz xyz + g : Domg R R z gz = xz yz

19 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis 08-6 Vamos agora analisar s as hipótss do Torma da Função Implícita são satisfitas A primira hipóts do Torma da Função Implícita qu F dv satisfazr é a d sr uma função d class C Isto é d fato satisfito pois as funçõs coordnadas d F são polinomiais A sgunda hipóts do Torma da Função Implícita qu F dv satisfazr é a d qu F X 0 Y 0 = F z 0 x 0 y 0 = F = 0 0 Esta condição também é satisfita pois F = + = 0 0 Por último dvmos vrificar s F Y X 0 Y 0 = F xy z 0 x 0 y 0 = F xy é invrsívl Como xy x F xy z x y = + z yz xz tmos qu 0 F xy z 0 x 0 y 0 = F xy = Dsta forma F xy é invrsívl pois su dtrminant é difrnt d zro Sndo assim como foram satisfitas as três hipótss do Torma da Função Implícita tmos qu num abrto N R contndo z 0 = xist uma função d class C g : N R R gz = xz yz tal qu = x 0 y 0 = gz 0 = g F z gz = F z xz yz = 0 0 para todo z N Portanto tmos qu xist uma vizinhança do ponto x 0 y 0 z 0 = tal qu nsta vizinhança x y podm sr scritos m função d z b Adaptando a fórmula aprsntada no Torma da Função Implícita para st caso particular tmos qu dx g X 0 = g z 0 = g dz = dy = F Y X 0 gx 0 F X X 0 gx 0 dz = F xy z 0 gz 0 Fz z 0 gz 0 = F xy Fz Como sgu qu F X X gx = F z z x y = F z = y xy

20 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis d modo qu dx dz dy dz 0 = / 0 = / = / 3/ 0 Abaixo tmos o cálculo d l =l / l =l +l l = l 0 / / 0 0 / 0 / 0 0 / Exmplo 44: Considr as quaçõs x + yu + xv + w = 0 x + y + uvw + = 0 a Mostr qu numa vizinhança do ponto x y u v w = x y podm sr scritas m função d u v w b Dtrmin no ponto Solução: a Como trata-s d um caso d aplicação do Torma da Função Implícita vamos comçar idntificando n m X Y F g F X F Y X = u v w Y = x y X 0 = u 0 v 0 w 0 = Y 0 = x 0 y 0 = F : DomF R 3+ R X Y = u v w x y F u v w x y = x + yu + xv + w x + y + uvw + g : Domg R 3 R u v w gu v w = xu v w yu v w Vamos agora analisar s as hipótss do Torma da Função Implícita são satisfitas A primira hipóts do Torma da Função Implícita qu F dv satisfazr é a d sr

21 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis uma função d class C Isto é d fato satisfito pois as funçõs coordnadas d F são polinomiais A sgunda hipóts do Torma da Função Implícita qu F dv satisfazr é a d qu F X 0 Y 0 = F u 0 v 0 w 0 x 0 y 0 = F = 0 0 Esta condição também é satisfita pois F = + + = 0 0 Por último dvmos vrificar s F Y X 0 Y 0 = F xy u 0 v 0 w 0 x 0 y 0 = F xy é invrsívl Como tmos qu F xy u v w x y = x + v u F xy u 0 v 0 w 0 x 0 y 0 = F xy = 3 Dsta forma F xy é invrsívl pois su dtrminant é difrnt d zro Sndo assim como foram satisfitas as três hipótss do Torma da Função Implícita tmos qu num abrto N R 3 contndo u 0 v 0 w 0 = xist uma função d class C g : N R 3 R gu v w = xu v w yu v w tal qu = x 0 y 0 = gu 0 v 0 w 0 = g F u v w gu v w = F u v w xu v w yu v w = 0 0 u v w N Portanto tmos qu xist uma vizinhança do ponto x 0 y 0 u 0 v 0 w 0 = tal qu nsta vizinhança x y podm sr scritas m função d u v w b Adaptando a fórmula aprsntada no Torma da Função Implícita para st caso m particular tmos qu g X 0 = g u 0 v 0 w 0 = g v = v = F Y X 0 gx 0 F X X 0 gx 0 = F xy u 0 v 0 w 0 gu 0 v 0 w 0 Fuvw u 0 v 0 w 0 gu 0 v 0 w 0 = F xy Fuvw Como sgu qu F X X gx = F uvw u v w x y = F uvw = y x vw uw uv

22 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis d modo qu v v = 3 Portanto = 3 / / = / 3/ = 0 3 Abaixo tmos o cálculo d 3 0 l l l =l 3l l = l / l =l l 0 / 3/ 0 / / 0 / 3/ Exmplo 443: As quaçõs x 3 y + yx + t = 0 x + y + t = 0 dfinm implicitamnt uma curva C paramtrizada por γt = xt yt qu satisfaz a γ = Dtrmin a rta tangnt a C m t = Solução: Vamos ofrcr duas soluçõs para st xmplo A primira srá aplicando o Torma da Função Implícita Para isto vamos inicialmnt idntificar n m X Y F g F X F Y X = t Y = x y X 0 = t 0 = Y 0 = x 0 y 0 =

23 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis F : DomF R + R X Y = t x y F t x y = x 3 y + yx + t x + y + t a função g foi chamada d γ d modo qu Como a quação da rta pdida é dada por γ : Domγ R R t γt = xt yt x y = γ + λγ λ R dvmos dtrminar γ Obsrv qu as hipóts do Torma da Função Implícita são satisfita D fato a primira hipóts é a d qu F sja uma função d class C qu é satisfita pois as funçõs coordnadas d F são polinomiais A sgunda hipóts do Torma da Função Implícita é a d qu F X 0 Y 0 = F t 0 x 0 y 0 = F = 0 0 Esta condição também é satisfita pois F = = 0 0 Por último tmos qu F Y X 0 Y 0 = F xy t 0 x 0 y 0 = F xy é invrsívl uma vz qu 6x F xy t x y = y + xy x 3 + x portanto F xy t 0 x 0 y 0 = F xy = 4 qu é uma matriz é invrsívl pois su dtrminant é difrnt d zro Dsta forma como satisfizmos as três hipótss do Torma da Função Implícita tmos qu num abrto N R contndo t 0 = xist uma função d class C γ : N R R γt = xt yt tal qu = x 0 y 0 = γt 0 = g F t γt = F t xt yt = 0 0 para todo t N Portanto tmos qu xist uma vizinhança do ponto t 0 x 0 y 0 = tal qu nsta vizinhança x y podm sr scritas m função d t Adaptando a fórmula aprsntada no Torma da Função Implícita para st caso m particular tmos qu dx γ X 0 = γ t 0 = γ dt = dy = F Y X 0 γx 0 F X X 0 γx 0 dt = F xy t 0 γt 0 Ft t 0 γt 0 = F xy Ft Como sgu qu F X X gx = F t t x y = F t = t

24 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis d modo qu γ = dx dt dy dt = 4 /5 /5 = /5 4/5 = 3/5 /5 Dsta forma a quação da rta pdida é dada por x y = γ + λγ λ R = + λ3/5 /5 λ R Abaixo tmos o cálculo d l l l =l 4l l = l /5 l =l l /5 4/5 0 /5 /5 0 /5 4/5 Uma outra solução possívl d dtrminar γ = x y sm passar pla fórmula aprsntada no Torma da Função Implícita é drivando implicitamnt as quaçõs Nst caso tmos qu x 3 y + yx + t = 0 x + y + t = 0 6x tx ty + x 3 ty t + y tx t + ytxtx t + t = 0 x t + y t + = 0 Sndo assim fazndo t = nas quaçõs acima como γ = x y = obtmos qu 6x y + y x + = 0 x + y + = 0

25 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis ou sja 4x y = x + y = Portanto para dtrminar x y dvmos rsolvr o sistma x 4 = y Dsta forma tmos qu x y = 4 = 3/5 /5 Exmplo 444: Considr a função d class C F x y u v = f x y u v f x y u v Suponha qu F 3 5 = 0 0 dfina X = x y Y = u v Sab-s qu 3 5 F 3 5 = 0 0 Sja S = {X Y R 4 F X Y = 0 0} a Mostr qu S é o gráfico d uma função d class C Y = gx numa vizinhança no ponto 3 5 S b Dtrmin g c Obtnha a mlhor transformação afim qu aproxima g numa vizinhança d X 0 = x 0 y 0 = Solução: a Como trata-s d um caso d aplicação do Torma da Função Implícita vamos comçar idntificando n m X Y F g F X F Y X = x y Y = u v X 0 = x 0 y 0 = Y 0 = u 0 v 0 = 3 5 F : DomF R + R X Y = x y u v F x y u v = f x y u v f x y u v g : Domg R R x y gx y = ux y vx y A primira condição do Torma da Função Implícita qu F dv satisfazr é a d sr uma função d class C Isto é d fato satisfito por hipóts A sgunda condição do Torma da Função Implícita qu F satisfazr é a d qu F X 0 Y 0 =

26 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis F x 0 y 0 u 0 v 0 = F 3 5 = 0 0 a qual também é satisfita por hipóts Por último dvmos vrificar s F Y X 0 Y 0 = F uv x 0 y 0 u 0 v 0 = F uv 3 5 é invrsívl Obsrv qu F 3 5 = F uv 3 5 = f f ond todas as drivadas parciais são avaliadas m tmos qu 3 5 Dsta forma tmos qu f f v f f f f v f f = f v f v Portanto F uv 3 5 é invrsívl pois su dtrminant é difrnt d zro Dsta forma como satisfizmos as três hipótss do Torma da Função Implícita tmos qu num abrto N R contndo x 0 y 0 = xist uma função d class C g : N R R gx y = ux y vx y tal qu 3 5 = u 0 v 0 = gx 0 y 0 = g F x y gx y = F x y ux y vx y = 0 0 x y N Portanto tmos qu xist uma vizinhança do ponto x 0 y 0 u 0 v 0 = 3 5 tal qu nsta vizinhança u v podm sr scritas m função d x y b Adaptando a fórmula aprsntada no Torma da Função Implícita para st caso m particular tmos qu g X 0 = g x 0 y 0 = g = v v = F Y X 0 gx 0 F X X 0 gx 0 = F uv x 0 y 0 gx 0 y 0 Fxy x 0 y 0 gx 0 y 0 = F uv 3 5 Fxy 3 5 Como F X X gx = F xy x y u v = f f f f = 0

27 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis sgu qu 3 5 g = 0 = = 0 / /5 3/0 0 / /5 /0 0 0 Abaixo tmos o cálculo d l l l = l / l = 3l l =l / / / 0 5 3/ 0 0 / 0 /5 3/0 c Sabmos qu a mlhor transformação afim qu aproxima g numa vizinhança d X 0 = x 0 y 0 = é dada por x Lx y = g + g y Dsta forma tmos qu Lx y = = / /5 /0 3 + x 5 5 x y 0 x y Exmplo 445: Mostr qu numa vizinhança do ponto 0 0 a quação x 9 y 3 = 0 dfin uma única função difrnciávl y = gx Us st xmplo para vrificar qu a condição ii do Torma da Função Implícita não é ncssária para qu a quação F X Y = 0 dfina uma única função difrnciávl f tal qu Y 0 = gx 0 Solução: É imdiato vrificar qu x 9 y 3 = 0 y 3 = x 9 y = x 3

28 Cálculo B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis 08-7 Dsta forma tmos qu a quação x 9 y 3 = 0 dfin uma única função difrnciávl y = gx = x 3 Entrtanto ao tntarmos aplicar o Torma da Função Implícita nos dparamos com um problma Idntificando n = m = X = x Y = y X 0 = 0 Y 0 = 0 F : DomF R + R x y F x y = x 9 y 3 vmos qu mbora a primira a sgunda condiçõs do Torma da Função Implícita sjam satisfitas pois F é uma função d class C F X 0 Y 0 = F x 0 y 0 = F 0 0 = 0 tmos qu F Y X 0 Y 0 = F y 0 0 = 0 qu não é invrsívl