Oscilações amortecidas

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1 Oscilaçõs amortcidas Uso d variávl complxa para obtr a solução harmônica ral A grand vantagm d podr utilizar númros complxos para rsolvr a quação do oscilador harmônico stá associada com o fato d qu ssa quação é linar. Para vr isso, pns qu s z é uma variávl complxa d z = ω z, sndo ω uma constant ral positiva, ntão tanto a part ral d z como a imaginária dvm satisfazr a msma quação. Em outras palavras, s z = x + iy, com x y rais, sgu qu a validad da quação implica m isto é, d z = ω z d (x + iy = ω (x + iy, d x + y id = ω x iω y, ou sja, d ( x d + y ω x = i + ω y, qu somnt pod sr vrdadira quando, simultanamnt, d x + ω x = 0 d y + ω y = 0, já qu, obviamnt, um númro ral não nulo jamais pod sr igual a um númro puramnt imaginário. Isso qur dizr qu podmos ncontrar a solução gral da variávl complxa, tomando a part ral ou imaginária dssa solução, obtr a solução gral da quação para variávl ral. 1

2 Exmplo: oscilaçõs amortcidas O oscilador amortcido pod sr pnsado como o sistma massa-mola, mas agora com uma força d rsistência proporcional oposta à vlocidad. A força, ntão, pod sr xprssa assim: F x = kx α dx, ond α k são constants rais positivas. Usando a sgunda li d Nwton, camos com a quação difrncial do oscilador amortcido: m d x = kx α dx. Como é costumiro, vou dividir tudo por m dnir as constants ω 0 = k m = α m. A quação do oscilador harmônico amortcido ca, portanto, d x + dx + ω 0x = 0. Vja qu quando fazmos = 0 obtmos a quação do oscilador harmônico simpls. O objtivo aqui é xmplicar o método para obtr a solução dssa quação da variávl ral x através do método da variávl complxa, como xplicado acima. Ao invés d rsolvr a quação para x, procurmos pla solução gral da quação d z + dz + ω 0z = 0, ond z é uma variávl complxa, digamos, z = x + iy. Usar ssa variávl complxa é um grand ngócio, pois a xponncial srv como tntativa. Not qu o sno ou o cossno sozinhos não funcionam, pois há, ao msmo tmpo, a drivada sgunda a drivada primira com rlação a z na quação. Para ntndr mlhor o qu acabo d scrvr, tntmos uma solução xponncial assim: z (t = A xp (ζt,

3 ond A ζ são constants complxas. Facilmnt vmos qu dz (t = ζa xp (ζt = ζz (t d z (t = ζ dz (t = ζ z (t. Substituindo ssas drivadas na quação difrncial acima, obtmos d z (t + dz (t + ω 0z (t = ζ z (t + ζz (t + ω 0z (t = ( ζ + ζ + ω 0 z (t = 0. Como qurmos ncontrar uma solução z (t qu não sja idnticamnt nula, sgu qu ζ + ζ + ω 0 = 0. As soluçõs para ζ são dadas pla fórmula d Bhaskara para a quação algébrica quadrática acima: ζ ± = ± ω 0 = ± ω 0 = ± ω 0. Olhando para ss rsultado distinguimos dois casos: quando ω 0, dando ω 0 0, quando = ω 0, dando ω 0 = 0. No primiro caso, ζ + é distinto d ζ, nquanto qu, no sgundo, ζ + = ζ. Amortcimnto suprcrítico Quando ζ + é distinto d ζ, sgu qu a solução gral do problma complxo é dada por z (t = A + xp (ζ + t + A xp (ζ t, ond A + A são duas constants complxas arbitrárias indpndnts. Quando > ω 0, tanto ζ + como ζ são rais ngativas. Essa situação é conhcida como amortcimnto suprcrítico. Nss caso particular, R [z (t] = a + xp (ζ + t + a xp (ζ t, 3

4 ond a + = R (A + a = R (A. Consguimos, ntão, quando > ω 0, a solução da quação difrncial para x = R [z (t], o rsultado é d x + dx + ω 0x = 0 x (t = a + xp (ζ + t + a xp (ζ t, ond a + a são constants rais arbitrárias indpndnts Amortcimnto subcrítico ζ ± = ± ω 0 < 0. Agora vamos vr como obtr x (t quando < ω 0. Essa situação é conhcida como amortcimnto subcrítico. Nss caso, scrvmos ζ ± = ( ± ω 0 = ± ω0, isto é, ζ ± = ± 1 ω 0 = ± i ω 0 = ± iω, ond, por convniência notacional, dnimos ω = ω0. Nss caso, podmos scrvr z (t = A + xp (ζ + t + A xp (ζ t = xp Usando a fórmula d Eulr, scrvmos xp (iωt = cos (ωt + i sn (ωt ( t [A + xp (iωt + A xp ( iωt].

5 Com isso, z (t = xp xp ( iωt = cos (ωt i sn (ωt. ( t [(A + + A cos (ωt + i (A + A sn (ωt]. Para ncontrar x (t, basta tomar a part ral dssa xprssão: R [z (t] = xp t {R (A + + A cos (ωt + R [i (A + A ] sn (ωt}. É claro qu R [i (A + A ] = Im (A + A. Então, dnindo as constants rais c 1 c como c 1 = R (A + + A c = Im (A + A, obtmos a solução para x (t quando < ω 0 : x (t = xp t [c 1 cos (ωt + c sn (ωt], ond c 1 c são constants rais arbitrárias indpndnts. Amortcimnto crítico A situação m qu = ω 0, implicando qu ζ + = ζ, é conhcida como amortcimnto crítico. Agora, difrntmnt dos casos tratados acima, quando ζ + = ζ, camos apnas com uma só constant arbitrária: z 0 (t = A 0 xp t, ond A 0 é uma constant complxa arbitrária. Cadê a outra constant? Anal, o problma é ncontrar a solução gral d uma quação difrncial ordinária d sgunda ordm, portanto, prcisamos d uma solução com duas constants complxas arbitrárias indpndnts. Considrmos, ntão, a quação difrncial para o problma quando = ω 0 : d z (t + + z (t = 0. Essa msma quação pod sr scrita assim: ( d + z (t + ( + z (t = 0. 5

6 Para vr isso, not qu ( d + z (t + ( + z (t = d z (t + + z (t, qu dá zro, pois, como sabmos, d z (t + + z (t = 0. Olh para a quação: ( d + z (t + ( + z (t = 0. Sja a nova função complxa f (t = + z (t. Então, a quação acima pod sr scrita, m trmos d f (t, como df (t + f (t = 0. Essa quação para f (t é d primira ordm, portanto, sua solução trá apnas uma constant arbitrária. O rsultado é fácil: f (t = B xp t, ond B é uma constant complxa arbitrária. Qu ssa é a solução da quação para f (t é óbvio, pois df (t, portanto, = d df (t [ B xp ] t = ( B xp t = f (t + f (t = f (t + f (t = 0. é, Not qu dnimos f (t m trmos d z (t d sua primira drivada, isto f (t = + z (t. Mas ssa quação pod sr pnsada como uma quação difrncial ordinária d primira ordm para z (t : + z (t = f (t, 6

7 isto é, substituindo a solução para f (t, vm + z (t = B xp ( t. S você olhar rmmnt para ssa quação por um tmpo sucint, vrá qu também é possívl scrvê-la assim: ( xp t + ( xp t z (t = B. Nss ponto, imdiatamnt você prcbrá qu ( xp t = d ( xp t, portanto, a quação difrncial acima ca ( xp t + z (t d ( xp t = B. Mas o mmbro squrdo dssa quação nada mais é do qu a drivada do produto d duas funçõs, isto é, ssa quação pod sr scrita como d [ ( ] z (t xp t = B. É ou não é vrdad? Intgrando ambos os mmbros dssa última quação, vm ( z (t xp t = Bt + C, ond C é outra constant complxa arbitrária. Encontramos, assim, para o caso m qu = ω 0, a solução gral da quação do oscilador harmônico amortcido: z (t = (Bt + C xp t, ond B C são constants complxas arbitrárias indpndnts. D manira análoga aos casos tratados acima, podmos ncontrar a solução para x (t tomando a part ral d z (t obtmos R [z (t] = [R (B t + R (C] xp t. Portanto, no caso particular m qu = ω 0, dnindo tomando x (t = R [z (t], vm b = R (B c = R (C x (t = (bt + c xp ( t, ond b c são constants rais arbitrárias indpndnts. Ufa! Qu postagm longa! Espro qu você tnha acompanhado todos os argumntos. 7