Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 6

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1 Introdução ao Soluçõs dos Exrcícios Propostos Capítulo 6 1. Dadas as squências x[n] abaixo com sus rspctivos comprimntos, ncontr as transformadas discrtas d Fourir: a x[n] = n, para n < 4 X[] = 6 X[1] = +j X[] = X[3] = j b x[n] = n, para n < 6 X[] = 15 X[1] = 3+5,196j X[] = 3+1,731j X[3] = 3 X[4] = 3 1,731j X[5] = 3 5,196j c x[n] = 4 snπn/4, para n < 4 πn X[] =,837 X[1] =,3634,6j X[] =,436 x[3] =,3634 +,6j { 1, s n < 4 d x[n] = para n < 8., s 4 n < 8 X[] = 4 X[1] = 1,414j X[] = X[3] = 1,414j X[4] = X[5] = 1+,414j X[6] = X[7] = 1+,414j x[n] = cos π 6n, para n < 6 X[] = 1 X[1] = 1,366j X[] = 1,634j X[3] = 1 X[4] = 1+,634j X[5] = 1+,366j f x[n] = sn π 6n, para n < 6 X[] = 3,731 X[1] = 1,366 X[] =,366 X[3] =,679 X[4] =,366 X[5] = 1,366 g x[n] = cos 6 n+ π, para n < 6 4 X[] = 1,9319 X[1] = 1,673 1,673j X[] =,9659,4483j X[3] =,8966 X[4] =,9659+,4483j X[5] = 1,673+1,673j h x[n] = 1 n, para n < N 1 N 1 1 jπk/n i x[n] = n, para n < N. 1 N 1 jπk/n 1

2 . Calcul a convolução circular ntr as squências x[n] h[n]. S as squências não tivrm o msmo númro d amostras, stnda a d mnor comprimnto para qu a opração possa sr ralizada. a x[n] = δ[n]+δ[n 1]+δ[n ]+δ[n 3] h[n] = δ[n] δ[n 1]+δ[n 4]+δ[n 5] Podmos obtr a convolução circular a partir da convolução linar. A convolução d x[n] h[n] dados nst xrcício é: x[n] h[n] = δ[n]+δ[n 1] δ[n ]+3δ[n 5]+3δ[n 6]+δ[n 7]+δ[n 8] Como a maior squência contém 6 amostras, no intrvalo n < 5, obtmos a convolução circular somando o rsultado da convolução linar nss intrvalo com o rsultado no intrvalo 5 n < 1. Assim, y[n] = 4δ[n]+3δ[n 1]+3δ[n 5] Os xrcícios sguints são ralizados sgundo a msma técnica. b x[n] = n u[n], para N x = 8 h[n] = n u[n], para N h = 4 y[n] = 1, 1δ[n]+, 736δ[n 1]+, 461δ[n ]+, 1991δ[n 3]+, 733δ[n 4]+, 7δ[n 5]+, 99δ[n 6]+, 36δ[n 7] c x[n] = 1 n, para n < 4 h[n] = δ[n] δ[n 1], para n < 4 y[n] =,875δ[n],5δ[n 1],5δ[n ],15δ[n 3] d x[n] = δ[n]+ 1 δ[n 1]+ 1 4 δ[n ]+ 1 8 δ[n 3] h[n] = δ[n]+,5δ[n 1],5δ[n ] y[n] =,9375δ[n] +,9375δ[n 1] x[n] = u[n] u[n 4], ( para n < 8 π h[n] = cos 4 n, para n < 8 y[n] = δ[n]+,414δ[n 1]+,414δ[n ]+δ[n 3] δ[n 4],414δ[n 5],414δ[n 6] δ[n 7] f x[n] = 1 (u[n] u[n ]+u[n 6], para n < 8 h[n] = δ[n]+δ[n 1]+δ[n 6]+δ[n 7], para n < 8 y[n] = 1,5δ[n]+δ[n 1]+,5δ[n ]+,5δ[n 4]+δ[n 5]+1,5δ[n 6]+δ[n 7] 3. Rpita o xrcício antrior, mas agora calculando a convolução circular a partir da DFT. Utiliz para cada itm o comprimnto ncssário. As rspostas d cada itm dst xrcício são as msmas do xrcício antrior. Os rsultados são obtidos calculando as DFTs d cada squência, multiplicando coficint a coficint, obtndo a DFT invrsa do rsultado da multiplcação. 4. Rpita mais uma vz o xrcício, mas agora calculando a convolução linar ntr as squências, não sua convolução circular. Raliz o cálculo: a Extndndo as squências até o númro d amostras ncssárias para qu não haja suprposição das amostras no domínio do tmpo. a x[n] = δ[n]+δ[n 1]+δ[n ]+δ[n 3] h[n] = δ[n] δ[n 1]+δ[n 4]+δ[n 5]

3 3 Para a rsolução dst itm, ambas as squências são stndidas até o comprimnto dado por N x+n h 1 (nst caso, 9 amostras. As DFTs são computadas multiplicadas, o rsultado é obtido pla transformada invrsa. Para st itm, a rsposta é: y[n] = δ[n]+δ[n 1] δ[n ]+3δ[n 5]+3δ[n 6]+δ[n 7]+δ[n 8] Os itns sguints são computados d manira smlhant. b x[n] = n u[n], para N x = 8 h[n] = n u[n], para N h = 4 y[n] = δ[n]+,7358δ[n 1]+,46δ[n ]+,1991δ[n 3]+,733δ[n 4]+,7δ[n 5] +,99δ[n 6]+,36δ[n 7]+,1δ[n 8]+,δ[n 9] c x[n] = 1 n, para n < 4 h[n] = δ[n] δ[n 1], para n < 4 y[n] = δ[n],5δ[n 1],5δ[n ],15δ[n 3],15δ[n 4] d x[n] = δ[n]+ 1 δ[n 1]+ 1 4 δ[n ]+ 1 8 δ[n 3] h[n] = δ[n]+,5δ[n 1],5δ[n ] y[n] = δ[n]+δ[n 1],65δ[n 4],65δ[n 5] x[n] = u[n] u[n 4], ( para n < 8 π h[n] = cos 4 n, para n < 8 y[n] = δ[n]+1,771δ[n 1]+1,771δ[n ]+δ[n 3] δ[n 4],414δ[n 5],414δ[n 6] δ[n 7]+,771δ[n 9]+,771δ[n 1] f x[n] = 1 (u[n] u[n ]+u[n 6], para n < 8 h[n] = δ[n]+δ[n 1]+δ[n 6]+δ[n 7], para n < 8 y[n] = +,5δ[n]+δ[n 1]+,5δ[n ]+δ[n 6]+δ[n 7]+δ[n 8]+,5δ[n 1]+δ[n 13]+,5δ[n 14] b Utilizando o método d sobrpor adicionar. As rspostas para ss itm do xrcício são idênticas aos do itm antrior, apnas o método d rsolução é difrnt. Para xmplificar, vamos utilizar o itm b. Utilizamos N = 4, mas a rsolução sria bastant smlhant caso ss valor foss difrnt. Sparamos a squência x[n] m duas squências, dadas por x [n] = δ[n]+,3679δ[n 1]+,1353δ[n ]+,498δ[n 3] x 1 [n] =,183δ[n 4]+,67δ[n 5]+,5δ[n 6]+,9δ[n 7] Estndmos ambas as squências até 7 amostras, para ralizar a convolução com a squência h[n] (através da DFT, obtmos y [n] = δ[n]+,7358δ[n 1]+,46δ[n ]+,1991δ[n 3]+,549δ[n 4]+,135δ[n 5]+,5δ[n 6] y 1 [n] =,183δ[n 4]+,135δ[n 5]+,74δ[n ]+,36δ[n 6]+,1δ[n 7]+,δ[n 8] O rsultado obtido é a convolução ntr as duas squências. Os outros xrcícios são rsolvidos d manira smlhant. c Utilizando o método d sobrpor salvar. Assim como no itm antrior, as rspostas são idênticas, apnas o método d rsolução é difrnt. Vamos considrar o msmo xmplo, novamnt com N x = 6 N h = 4, o qu significa um spaçamnto d N y = 3 amostras ntr cada bloco. Isso significa qu apnas as três últimas amostras da convolução circular são válidas. Assim, tmos x [n] = δ[n]+,3679δ[n 1]+,1353δ[n ]+,498δ[n 3]+,183δ[n 4]+,67δ[n 5] x 1 [n] =,498δ[n 3]+,183δ[n 4]+,67δ[n 5]+,5δ[n 6]+,9δ[n 7] x [n] =,67δ[n 5]+,5δ[n 6]+,9δ[n 7]

4 4 x 3 [n] =,9δ[n 7] As convoluçõs circulars são calculadas através das DFTs, lmbrando qu todas as squências dvm sr stndidas para 6 amostras, através do prnchimnto com zros. Os rsultados obtidos são, rspctivamnt, y [n] = 1,74δ[n]+,7376δ[n 1]+,463δ[n ]+,1991δ[n 3]+,733δ[n 4]+,7δ[n 5] y 1 [n] =,5δ[n 3]+,367δ[n 3]+,δ[n 4]+,99δ[n 5]+,36δ[n 6]+,1δ[n 7] y [n] =,67δ[n 5]+,5δ[n 6]+,7δ[n 7]+,1δ[n 8]+,δ[n 9]+,δ[n 1] y 3 [n] =,9δ[n 8]+,3δ[n 9]+,1δ[n 1]+,δ[n 11]+,δ[n 1],δ[n 13] O rsultado final pod sr obtido slcionando as três últimas amostras d cada uma das squências rsultants. Not qu aqui, rprsntamos as amostras com amplitud nula, para qu não considrmos rsultados qu não são rlvants. Not também qu as primiras amotras do rsultado final stão rradas, mas las podm sr obtidas fazndo o prnchimnto por zros à squrda rptindo o procdimnto, ou sja, x 1 [n] = δ[n]+,3679δ[n ]+,1353δ[n 3] y 1 [n] =,1494δ[n +3]+,366δ[n +]+,67δ[n +1]+δ[n]+,7358δ[n ]+,46δ[n 3] 5. Sja x[n] = δ[n] 3δ[n 1]+δ[n ] δ[n 3] uma squência d comprimnto N = 4. Encontr a squência y[n] tal qu Y[k] = R{X[k]}. Rpita o procdimnto para N = 6. A transformada discrta d x[n] é dada por X[] = 1 X[1] = 1+j X[] = 7 X[3] = 1 j Dsja-s qu Y[k] = R {X[k]}. Assim, é possívl formar Y[k] fazndo Y[] = 1 Y[1] = 1 Y[] = 7 Y[3] = 1 Com a transformada invrsa, y[n] = δ[n] δ[n 1]+δ[n ] δ[n 3] Para N = 6, stndmos x[n] com zros,, plo msmo raciocíno, tmos y[n] = δ[n] 1,5δ[n 1]+δ[n ] δ[n 3]+δ[n 4] 1,5δ[n 5] 6. Sja uma squência x[n] d N amostras qu tm a sguint propridad: [ x[n] = x n+ N ] Mostr qu os coficints ímpars da transformada são nulos, ou sja,, s k é ímpar. A dmonstração dssa propridad difr s N é par ou ímpar. No ntanto, o raciocínio é basicamnt o msmo. Mostramos aqui a rsolução para quando N é par. A dfinição da DFT é x[n] jω kn Podmos dividir ssa soma m duas parts N/ 1 x[n] jωkn + n=n/ x[n] jω kn Com uma mudança d variávl no sgundo somatório, chgamos a N/ 1 N/ 1 x[n] jωkn + x[n] jω k(n+n/

5 5 assim = N/ 1 N/ 1 ( x[n]+ jω kn/x[n] jω kn ( 1+ jω kn/ x[n] jω k(n+n/ Como ω = π/n, N/ 1 ( 1+ jkπ x[n] jω k(n+n/ Quando k é ímpar, jkπ = 1, portanto o rsultado do somatório é nulo. 7. Sja uma squência x[n] d N amostras qu tm a sguint propridad: [ x[n] = x n+ N ] Mostr qu os coficints pars da transformada são nulos, ou sja,, s k é par. A dmonstração dssa propridad sgu virtualmnt os msmos passos qu a do xrcício antrior. A difrnça é qu o trmo ntr parêntss não é uma soma, sim uma subtração, o qu faz com qu coficints pars sjam anulados. 8. Sja x[n] um sinal finito cuja nrgia é E x, y[n] a rsposta d um sistma linar invariant com o tmpo s a ntrada é x[n]. Considr a rsposta ao impulso do sistma como sndo h[n]. Dmonstr qu a nrgia E y do sinal d saída é N 1 E y = E x k= H[k] Ess rsultado pod sr obtido dirtamnt plo torma d Parsval. 9. Encontr a matriz qu é o núclo da transformada d Fourir d uma squência d 6 amostras, o núclo da transformada invrsa. Utiliz as matrizs para calcular as transformadas discrtas d Fourir das squências abaixo, considrando N = 6: O núclo da transformada é dado por ,5,866j,5,866j 1,5+,866j,5+,866j 1,5,866j,5+,866j 1,5,866j,5+,866j F = ,5+,866j,5,866j 1,5+,866j,5,866j 1,5+,866j,5+,866j 1,5,866j,5,866j a x[n] = δ[n]+δ[n 1]+δ[n 4]+δ[n 5] b x[n] = n 4 1,5+,866j,5,866j,5+,866j 1,5,866j ,196j 3+1,731j 3 3 1,731j 3 5,196j

6 6 c x[n] = sn 6 n d x[n] = sn 3 n 3, 731 1, 366, 366, 679, 366 1, 366 3j 3j 1. Mostr qu a convolução circular ntr duas squências pod sr scrita na forma vtorial, y = hx, s dfinirmos h como h[] h[n 1] h[n ] h[1] h[1] h[] h[n 1] h[] h[] h[1] h[] h[3] h = h[n ] h[n 3] h[n 3] h[n 1] h[n 1] h[n ] h[n 3] h[] Est tipo d matriz é chamado matriz circulant, plas suas caractrísticas priódicas. Invstigu as suas propridads. Para um n qualqur ntr N, o rsultado da convolução circular pod sr scrito assim: y[n] = = x[m]h[n m] m= n x[m]h[n m]+ m= m=n+1 x[m]h[n m] O sgundo somatório rprsnta amostras d h[n] fora do intrvalo n < N. Como a convolução circular prssupõ a xtnsão priódica das squências, o sgundo somatório pod sr scrito, rsultando m y[n] = n x[m]h[n m]+ m= m=n+1 x[m]h[n m+n] Assim, a n-ésima linha da matriz qu rprsnta a aplicação do filtro h[n] é dada por { h[n m], s m n h nm = h[n m+n], s n+1 m < N 11. Sjam as squências abaixo todas com comprimnto N = 8. Calcul as transformadas d Fourir através do algoritmo rápido, utilizando a dcimação no tmpo ou dcimação m frquência: a x[n] = u[n] u[n 4] b x[n] = cos 4 n X[] = 4 X[1] = 1,414j X[] = X[3] = 1,414j X[4] = X[5] = 1+,414j X[6] = X[7] = 1+,414j X[] = X[1] = 4 X[] = X[3] = X[4] = X[5] = X[6] = X[7] = 4

7 7 c x[n] = 1 n X[] = 1,99 X[1] = 1,1861,6487j X[] =,7969,3984j X[3] =,6889,1799j X[4] =,6641 X[5] =,6889 +,1799j X[6] =,7969 +,3984j X[7] = 1,1861 +,6487j d x[n] = 1 3 n(u[n] u[n 4] X[] = 1,4815 X[1] = 1,95,373j X[] =,8889,963j x[n] = 1 4 n 4 X[3] =,795,158j X[4] =,747 X[5] =,795+,158j X[6] =,8889+,963j X[7] = 1,95+,373j X[] = 1,66 X[1] = 1,376 X[] =,8789 X[3] =,6646 X[4] =,5977 X[5] =,6646 X[6] =,8789 X[7] = 1, Dv-s calcular a transformada discrta d Fourir d uma squência d 51 amostras. Encontr o númro d opraçõs complxas (multiplicaçõs adiçõs d opraçõs rais qu dvm sr ralizadas caso o cálculo sja fito sgundo a dfinição utilizando um algoritmo rápido. Suponha qu uma adição ral é fita m,5ñs uma multiplicação ral é fita m 1ñs. Qual o ganho d tmpo no uso da transformada rápida? Rpita o procdimnto para uma transformada d 496 amostras. O númro d multiplicaçõs adiçõs complxas pod sr ncontrado inspcionando m dtalhs o algoritmo. No cálculo dirto, o comando nos laços do Algoritmo 6.1 é xcutado N vzs, contém uma adição complxa uma multiplicação complxa. Como uma adição complxa corrspond a duas adiçõs rais uma multiplicação complxa a duas adiçõs quatro multiplicaçõs rais, cada atualização d um coficint corrspond a quatro adiçõs quatro multiplicaçõs rais. Portanto, para N = 51, tmos adiçõs multiplicaçõs. Com os tmpos dados no nunciado do problma, uma DFT dirta d 51 amostras lvaria 1,57864 spara sr compltada. Plo msmo raciocínio, uma DFT dirta d 496 amostras lvaria 1,66396 spara sr compltada. No caso da transformada rápida pla dcimação no tmpo, a atualização d um coficint é xcutada N log N vzs, também corrspondndo a uma soma um produto complxos, portanto, 4 adiçõs multiplicaçõs rais. Assim, uma FFT d 51 amostras sria compltada m,7648 s, o qu corrspond a pouco mnos d 1,76% do tmpo original. Para uma FFT d 496 amostras, o tmpo para o cálculo é d,9491 s, o qu corrspond a apnas,3% do tmpo original. 13. Sria possívl dsnvolvr um algoritmo rápido para a transformada d Fourir caso o númro d amostras N sja uma potência d 3, ou sja, N = 3 r? S sua rsposta é ngativa, justifiqu. Caso contrário, dsnvolva o algoritmo. O algoritmo da FFT é basado nas caractrísticas d priodicidad da xponncial complxa, qu indpnd do intrvalo m qu o príodo é dividido. Assim, um raciocínio muito smlhant ao ralizado na Sção 6.4 pod sr xcutado, mas como é rlativamnt complxo, é dixado como xrcício para o litor. Particularmnt, um algoritmo rápido basado m r = 3 tria como complxidad Nlog 3 N. O msmo sria válido para r = 5,7,11 ou qualqur outro fator primo. 14. Uma squência d N amostras é convoluída com uma squência d M amostras utilizando o método d sobrpor adicionar. Considr N > M. Quantas DFTs dvm sr calculadas para qu a opração sja ralizada? E s o método utilizado foss o d sobrpor salvar? Plo método sobrpor adicionar, a squência rsultant é obtida m blocos d tamanho N x + N h 1, spaçados N x amostras ntr ls. Isso significa qu um bloco é formado a cada N x amostras, como N h = M, a squência rsultant da convolução tm comprimnto N +M 1, a quantidad d blocos é dada por (N +M 1/N x (ou sja, arrdondado para cima. Por outro lado, o método sobrpor salvar propõ qu a squência rsultant sja obtida m blocos d tamanho N x N h +1. Plo msmo raciocínio, a quantidad d blocos é dada por (N +M 1/(N x N h +1, vntualmnt, com um bloco a mais para a obtnção das primiras amostras do rsultado. É intrssant notar qu, supondo Nx > N h, isso rsulta m um númro maior d blocos, portanto, d DFTs a srm xcutadas. Compar sss rsultados com os obtidos no Exrcício 4.