Coordenadas polares. a = d2 r dt 2. Em coordenadas cartesianas, o vetor posição é simplesmente escrito como

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1 Coordnadas polars Sja o vtor posição d uma partícula d massa m rprsntado por r. S a partícula s mov, ntão su vtor posição dpnd do tmpo, isto é, r = r t), ond rprsntamos a coordnada tmporal pla variávl ral t. Para aplicar a sgunda li d Nwton prcisamos da aclração a da partícula, portanto, dvmos calcular a sgunda drivada tmporal do vtor posição da partícula: a = d r. Em coordnadas cartsianas, o vtor posição é simplsmnt scrito como r = xˆx + yŷ + zẑ, ond x, y z são as coordnadas cartsianas do vtor posição r ˆx, ŷ ẑ são os vrsors rspctivamnt ao longo dos sntidos dos ixos x, y z. Not qu você não dv confundir as coordnas, x, y z, com os noms dos ixos x, y z; as coordnadas mudam d valor dpndm do tmpo, plo mnos no prsnt caso, nquanto os ixos tm apnas noms x, y z sss noms não mudam. Concordo qu isso ca um pouco confuso, mas com o tmpo acabamos acostumando. A gura abaixo mostra uma rprsntação gráca do qu stamos falando. Em coordnadas cartsianas, portanto, porqu as coordnadas dpndm do tmpo, isto é, x = x t), 1

2 y = y t) z = z t), mas os vrsors são xos no spaço, assim, não dpndm do tmpo, não importa como o vtor posição r possa movr-s, ntão a aclração da partícula d massa m ca a = d xˆx + yŷ + zẑ) = ˆx d x + ŷ d y + z ẑd. Para simplicar a comprnsão do qu stamos studando, vamos agora particularizar o problma para o caso m qu a partícula d massa m mov-s apnas no plano xy, smpr com a coordnada z igual a zro. Nss caso, o vtor posição scrv-s a aclração ca r = xˆx + yŷ a = ˆx d x + ŷ d y. A próxima gura ilustra ss caso mais simpls.

3 Em coordnadas polars no plano xy, dnimos novos vrsors, ˆr ˆθ, novas coordnadas, r θ. É mais fácil vrmos como o vrsor ˆr é dnido, pois é apnas o vtor posição r dividido por su módulo r : ˆr = r r. Conform indica a gura a sguir, as coordnadas cartsianas, x y, podm sr scritas m trmos das coordnadas polars, r θ, assim: x = r cos θ y = rsnθ. Assim,, portanto, ˆr = xˆx + yŷ r ˆr = ˆx cos θ + ŷsnθ. Not qu como, para um movimnto arbitrário no plano xy, a coordnada angular θ dpnd do tmpo, ntão o vrsor ˆr também é uma função do tmpo. Da dnição do vrsor ˆr sgu qu o vtor posição pod sr scrito como r = rˆr. 3

4 Em coordnadas polars, o vtor vlocidad, dado por scrv-s, ntão, v = dr, v = d rˆr), qu, pla rgra da drivada do produto d duas funçõs dpndnts do tmpo, rsulta m Como acabamos d vr qu sua drivada tmporal dá v = ˆr dr + r. ˆr = ˆx cos θ + ŷsnθ, = ˆx d cos θ Da rgra da cadia para drivadas dcorr qu d cos θ dsnθ Dnamos a vlocidad angular como + ŷ dsnθ. = snθ dθ = cos θ dθ. ω = dθ. Not também qu ω é uma função do tmpo s houvr aclração do ângulo θ, isto é, ω = ω t). Com tudo isso m mnt, podmos agora concluir qu a drivada também pod sr scrita como = ˆx d cos θ + ŷ dsnθ = ˆxsnθ dθ dθ + ŷ cos θ, 4

5 isto é, ou sja, = dθ ˆxsnθ + ŷ cos θ), = ω ˆxsnθ + ŷ cos θ). Not agora qu aparcu, naturalmnt, um vtor ˆxsnθ + ŷ cos θ qu é, na vrdad, um vrsor vamos dnotá-lo por Assim, ˆθ = ˆxsnθ + ŷ cos θ. = ω ˆθ. O vtor ˆθ é um vrsor porqu, obviamnt, ˆθ ˆθ = sn θ + cos θ = 1. Not também qu o vrsor ˆθ é ortogonal ao vrsor radial ˆr : ˆθ ˆr = ˆxsnθ + ŷ cos θ) ˆx cos θ + ŷsnθ) = snθ cos θ + cos θsnθ = 0. Mais ainda, vja qu o vrsor ˆθ nada mais é snão o próprio vrsor ˆr rodado mais π/ para além do ângulo θ. Para vrmos isso, façamos ˆr θ + π ) = ˆx cos θ + π ) + ŷsn θ + π ). Mas, Logo, cos θ + π ) sn θ + π ) ˆr θ + π ) = cos θ cos π snθsnπ = snθ = snθ cos π + snπ cos θ = cos θ. = ˆxsnθ + ŷ cos θ = ˆθ. 5

6 Com sss rsultados, a vlocidad da partícula pod agora sr scrita como v = ˆr dr + r = ˆrdr + rω ˆθ. Vja qu o trmo ao longo da dirção do vrsor ˆr é a chamada componnt radial da vlocidad o trmo ao longo da dirção do vrsor ˆθ é a chamada componnt tangncial da vlocidad. A gura a sguir ilustra gracamnt os vrsors ˆr ˆθ. isto é, E a drivada do vrsor ˆθ? Agora é fácil: dˆθ = d ˆxsnθ + ŷ cos θ) = ˆx cos θ ŷsnθ) dθ, dˆθ = ωˆr. Sabndo as drivadas primiras dos vrsors ˆr ˆθ prmit-nos ncontrar suas drivadas sgundas: d ˆr = dω ˆθ + ω dˆθ = αˆθ ω ˆr d ˆθ = dω ˆr ω = αˆr ω ˆθ, 6

7 ond dnimos a aclração angular como α = dω = d θ. Agora qu já conhcmos os vrsors ˆr ˆθ suas primiras sgundas drivadas tmporais, podmos calcular a aclração m coordnadas polars d uma partícula d massa m vtor posição r : isto é, a = d r = d dr ) = dv = d ˆr dr ) + rω ˆθ, ou sja, a = dr + r ˆrd + d rω) ˆθ + rω dˆθ, ou ainda, Assim, dr a = ω ˆθ + r ˆrd + ω dr ˆθ + r dω ˆθ rω ˆr, d ) r a = ˆr rω + ˆθ ω dr + r dω ). d ) r a = ˆr rω + ˆθ ω dr ) + rα. Como xmplos particulars, considrmos dois casos. S o movimnto for sobr uma circunfrência, ntão a distância radial r srá constant suas drivadas anular-s-ão. Nss caso, a aclração cará a circ. = ˆrrω + ˆθrα. S o movimnto for circular uniform, não havrá aclração angular a aclração srá igual à chamada aclração cntrípta: a circ. unif. = ˆrrω, ond, nss caso, r ω são constants. Espro qu sta postagm possa tr proporcionado a você algum sclarcimnto sobr um assunto muitas vzs complicado no início. A noção d drivada é smpr rcnt para studants do primiro ano d graduação uma abordagm como sta pod trazr diculdads. Além d Cálculo Difrncial, a disciplina chamada Gomtria Analítica pod ajudar muito para o ntndimnto da prsnt postagm. S você acha qu algum trcho stá dmasiado obscuro, dix-m um comntário tntari torná-lo mais claro. 7

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