EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS No capítulo qu irmos iniciar, studarmos as quaçõs difrnciais, sus aspctos, caractrísticas suas rspctivas soluçõs. Obviamnt sugrm a rsolução d algum tipo d quação nvolvndo drivadas. Ants d aprndrmos a rconhcr os tipos d quaçõs rsolvêlas, vamos aminar algumas dfiniçõs trminologias básicas sobr o assunto. As quaçõs difrnciais são d trma utilidad m divrsas áras, na vrdad, las stablcm o suport matmático para vários ramos da ngnharia das ciências surgm a partir da tntativa d formular, ou dscrvr, crtos sistmas físicos m trmos matmáticos.. Dfinição Uma quação qu contém as drivadas ou difrnciais d uma ou mais variávis dpndnts, m rlação a uma ou mais variávis indpndnts, é chamada d quação difrncial. Emplos: - snd cosd 0 0 d d d d cos 0 0 π 0

2 d 6 d d d d d. d d 7.sn d d z z 8 0. Classificação Havndo uma só variávl indpndnt, as drivadas são ordinárias a quação é dnominada quação difrncial ordinária, mplos à 7. Havndo duas ou mais variávis indpndnts, as drivadas são parciais a quação é dnominada quação difrncial parcial, mplo 8. Nst livro, não studarmos tais quaçõs.. Ordm A ordm d uma quação difrncial é a ordm da mais alta drivada qu nla aparc. As quaçõs, são d primira ordm; 4, 5 7 são d sgunda ordm 6 é d trcira ordm..4 Grau O grau d uma quação difrncial, qu pod sr scrita, considrando as drivadas como um polinômio, é o grau da drivada d mais alta ordm qu nla aparc. Todas as quaçõs dos mplos acima são do primiro grau, cto 4 qu é do sgundo grau..5 Solução O problma nas quaçõs difrnciais lmntars é, ssncialmnt, a dscobrta da primitiva qu du origm à quação. Em outras palavras, a solução d uma quação difrncial d ordm n é, ssncialmnt, a dtrminação d uma rlação ntr as variávis, nvolvndo n constants arbitrárias indpndnts, qu, juntamnt com as drivadas dla obtidas, satisfaz à quação difrncial. Uma solução particular d uma quação difrncial é a qu s obtém quando

3 s dão, para as constants arbitrárias qu aparcm na primitiva, valors dfinidos. Nas quaçõs 5 dos mplos, vistos no itm dfinição, aprsntamos condiçõs iniciais, qu srão utilizadas para o cálculo das constants. Gomtricamnt, a primitiva é a quação d uma família d curvas uma solução particular é a quação d uma dssas curvas. Estas curvas são dnominadas curvas intgrais da quação difrncial..6 Tipos Aprsntamos, a sguir, alguns tipos d quaçõs difrnciais ordinárias ª ª ordns ordm n, qu srão objto d studo dst livro: Equaçõs Difrnciais Ordinárias ª. Ordm ª. Ordm Ordm n A n. n A n-. n-... A. A 0. B. Variávis sparávis. Homogênas. Eatas.4 Não-atas.5 Linars.6 Envolvndo sistmas. f. f,. f.4 f,. Coficints constants A n, A n-,..., A, A 0.. B 0 quação homogêna... Raízs rais... Raízs rptidas... Raízs complas.. B f... B polinômio... B k... B snk ou cosk...4 Todos os casos juntos. Coficints não - constants.. Séris d potências.7 Equaçõs difrnciais d ª ordm.7. Variávis sparávis Uma quação difrncial da forma d d g é chamada sparávl ou tm variávis h sparávis. As quaçõs d variávis sparávis são as mais simpls d todas as quaçõs. Sua rsolução stá na sparação das funçõs qu dpndm d daqulas qu dpndm d, tndo qu utilizar possivlmnt, intgração por parts, fraçõs parciais, substituição, qu são os métodos d intgração mais usados num curso d cálculo.

4 Emplos: d d d d d d ln - - ln C A solução acima, é a solução gral da quação na forma implícita. S dsjarmos plicitar o valor d m função d algo qu nm smpr é possívl fazr dvrmos usar algumas propridads d logaritmos. Assim: ln - - ln C ln ln - - C ln. - - C Ou ainda:. -/C k. / ond: C foi trocado por k. d. 6 d d 6 6 d d d 5.ln C A solução gral qu obtivmos stá na forma plícita, foi rsolvida mdiant a divisão dos binômios uma substituição..7. Homogênas Vamos considrar inicialmnt a dfinição d função homogêna, para m sguida aminarmos as quaçõs difrnciais homogênas d primira ordm. Uma função é dita homogêna d grau n, s la satisfaz a condição: fλ, λ λ n.f,, para algum númro ral n. Assim, uma quação difrncial da forma: M, d N, d 0 é chamada d homogêna s ambos os coficints M N são funçõs homogênas do msmo grau. Emplos: d d d d 0 Vamos aminar M N: M, Mλ, λ λ - λ λ. λ.m, homogêna d grau N, - Nλ, λ -λ - λ λ.[- ] λ.n, homogêna d grau Nst livro utilizamos o logaritmo natural, rsultado d intgrais, com parêntss, pla facilidad d scrita. Ond scrvmos ln ntnda-s ln.

5 Portanto, a quação acima é uma quação difrncial homogêna; para rsolvê-la farmos a sguint substituição:.t d.dt t.d rgra do produto d drivadas d d 0.td.t..dt t.d 0, assim:.td dt td tdt t d 0 t t d tdt 0 d t d t. t t d. tdt dt dt t t t t ln ln t t C, aqui é ncssário voltarmos para as variávis originais homogêna, na forma implícita. ln ln C, qu é a solução gral da quação difrncial d d 0 Vamos aminar M N: M, Mλ, λ λ λ.m, homogêna d grau N, Nλ, λ λ - λ λ. λ.n, homogêna d grau Portanto, a quação acima é uma quação difrncial homogêna; para rsolvê-la farmos a sguint substituição:.t d.dt t.d d t.dt t.d 0 d tdt t d dt td 0 t t d t dt 0. t t d. tdt d t d t dt dt t t t t ln ln t t ln ln C, voltando para as variávis originais, trmos: C, qu é a solução gral da quação difrncial na forma implícita. Na intgral acima, utilizamos fraçõs parciais para a sua rsolução..7. Eatas

6 Várias quaçõs difrnciais d ª ordm qu vmos nst livro, aprsntam-s com o formato: M, d N, d 0. S ncontrarmos uma função z f, cuja drivada difrncial total rsult atamnt na quação acima, trmos uma quação difrncial ata. Convém rssaltar, do cálculo qu, s z f, é uma função com drivadas parciais contínuas m uma rgião R do plano, ntão o qu chamamos d difrncial total é: f f dz d d f f Portanto, s tivrmos f, C, sgu-s da prssão acima qu d d 0, m outras palavras, dada uma família d curvas f, C, podmos grar uma quação difrncial d ª ordm calculando a difrncial total. Para solucionarmos uma quação difrncial ata, vamos procdr da sguint forma: Vrificar s a quação é ralmnt ata usando o tst das drivadas parciais, qu nunciamos abaio; f f Comparando a quação qu qurmos rsolvr com a difrncial total d d 0 dsta forma, usando intgração para a dscobrta da função f,. Torma Tst das drivadas parciais Sjam M, N, funçõs contínuas com drivadas parciais contínuas m uma rgião rtangular R dfinida por a < < b, c < < d. Então, uma condição ncssária suficint para qu M, d N, d sja uma difrncial ata é: Emplos: d d 0 M N Primiro, prcisamos vrificar s a quação acima é ata: M M,. N M N N, - Portanto:. Agora, comparamos a quação qu prcisamos rsolvr, com a difrncial total: d d 0 f f f d d 0 Assim: d d

7 Usando intgração d ambos os lados: f d d f, g O aparcimnto d uma constant g dv-s ao fato d intgrarmos m rlação a, a constant pod ntão sr um númro ral ou até msmo dpndr d. Passamos, agora, para a drivação m função d da prssão qu obtivmos, pois a rsposta dsta drivação stá na própria quação qu prtndmos rsolvr obsrv a comparação com a difrncial total. f f, g g' g ' 0 g c g' A solução gral da quação ata é: f, C 4 5 d 4 d 0 M A quação é ata, pois: 4 N 4. f f Comparando com a difrncial total: d d 0. f d 4 5 d f d 4 5 f, 4 5 f 4 g g' d 4 4 g' g ' g A solução gral da quação difrncial ata é: f, 4 5 C..7.4 Não-atas No mplo das quaçõs atas, s trocarmos o sinal d N,, a quação diará d sr ata, ntão, trmos um caso d quação não-ata. Nsts casos, para o tst das drivadas parciais trmos valors difrnts, prcisarmos multiplicar as quaçõs por um trmo κ,, dnominado fator intgrant, transformando a quação m ata. O fator intgrant srá:

8 κ, d d ou ψ ψ ond: N M M N M N ψ ψ Emplos: d d 0 Primiro, prcisamos vrificar s a quação acima é ata: M, M N, N Portanto: N M, a quação não é ata. Vamos fazr a difrnça ntr as drivadas parciais, para montarmos o fator intgrant: N M 4. S dividirmos por M,, não podrmos intgrar a função rsultant, pois dpndrá d d. Portanto, a scolha crta, sria dividir por N,. Logo: N M N 4. ψ Fator intgrant: κ, ln ln d Vamos multiplicar a quação plo fator intgrant acima: d d d d Agora, a quação rsultant é ata. A prova dst fato ficará com o litor. Agora, comparamos a quação qu prcisamos rsolvr, com a difrncial total: 0 d d d f d f 0 Assim: d d f Usando intgração d ambos os lados: d d f f, g ' g f g ' 0 ' g c g A solução gral da quação é: f, C

9 d.lnd 0 Primiro, prcisamos vrificar s a quação acima é ata: M M, N N,.ln ln Portanto: M N, a quação não é ata. Vamos fazr a difrnça ntr as drivadas parciais, para montarmos o fator intgrant: M N ln. Vamos dividir por N,.ln. Logo: ψ M N N ln.ln Fator intgrant: κ, d ln ln Vamos multiplicar a quação plo fator intgrant acima: d.lnd 0. - d ln d 0 Agora, a quação rsultant é ata. A prova dst fato ficará com o litor. Agora, comparamos a quação qu prcisamos rsolvr, com a difrncial total: d ln d f d 0 f d f 0 Assim: d d Usando intgração d ambos os lados: f d d f f, ln g ln g' ln g' ln g ' 0 g c A solução gral da quação é: f, ln C.7.5 Linars quação linar. Uma quação difrncial d primira ordm da forma P Q é chamada d

10 Para rsolvr a quação linar também irmos multiplicá-la por um fator intgrant, dtrminado por: κ P d. A dmonstração da origm dst fator sgu abaio: Multiplicando a quação P Q por κ, trmos: κ. κ.p κ.q vamos adicionar subtrair o trmo κ. Assim: κ. κ. - κ. κ.p κ.q A prssão m ngrito é a drivada d um produto, logo: κ.. κ.p - κ κ.q Sria intrssant, para qu pudéssmos rsolvr facilmnt a quação qu: κ ' κ.p - κ foss igual a zro, logo: κ.p - κ 0 P κ O primiro mmbro da última quação é a drivada d ln[κ], ntão: {ln[κ]} P intgrando ambos os lados m rlação a {ln[κ]} d Pd ln[κ] Pd κ Portanto, a quação, ficaria: P d κ. κ.q intgrando ambos os lados m rlação a κ. d κ.q d κ. κ.q d κ. Q d C solução gral da quação difrncial linar d ª ordm κ κ Emplos: intgrant; logo: d cot g cos d Fator intgrant: κ P d d cot g cos. [sn] d d. sn cos cos. sn d cot g d ln[ sn ] sn Obsrv, qu o primiro mmbro da quação srá a drivada do produto d plo fator [.sn] cos.sn intgrando ambos os lados m rlação a [.sn] d cos.snd.sn cos C

11 cos C solução gral da quação difrncial linar d ª ordm. sn sn Compar os passos ralizados nst rcício, com o qu dmonstramos acima para a dscobrta do fator intgrant. Fator intgrant: κ P d d.... [. ]. [. ] d. d. C C. solução gral.7.6 Envolvndo sistmas Algumas quaçõs difrnciais d primira ordm aprsntam o aspcto abaio: d d a b c a b c Nsts casos a prsnça dos trmos c c não prmitm qu a quação sja homogêna, dsta forma, istm dois casos a considrarmos: a b º. Caso: 0 a b Para rsolvrmos a quação difrncial com a condição acima, o primiro passo é rsolvr o sistma formado plas quaçõs qu aparcm no º mmbro da prssão, ao dscobrirmos sua solução, trocamos a variávl por outra ltra mais o valor d qu satisfaz o sistma, da msma forma procdmos para. Emplo: d d 4 4 A solução do sistma, quando igualado a zro, é:, -. u d du v d dv Substituindo na quação, tmos: dv du u v 4 4 u v dv du u v 6 4 4u 4 v dv du u 4u v v

12 Com stas substituiçõs, a quação passa a sr homogêna, assim: dv du u 4u v v u v du 4u v dv 0 Fazmos uma nova substituição, conform itm.7.: v ut dv udt tdu u ut du 4u ut udt tdu 0 u ut du 4u dt 4utdu u tdt ut du 0 u ut ut du 4u u t dt 0 u t t du u 4 t dt u du u 4 t t t 5 ln u ln t ln t C v 5 v Voltando para as variávis v u, trmos: ln u ln ln u u dt C, para as 5 variávis originais : ln ln ln implícita, da quação difrncial. C, solução gral, na forma a b º. Caso: 0 a b Nst caso, a solução do sistma é impossívl ou trá infinitas soluçõs. Para rsolvrmos a quação difrncial, trocamos o grupo a b por uma ltra, conform vmos abaio: Emplo: d d Trocamos por u fazmos a mudança também para a drivada, assim: du d u u u du u 4 du u d u d ln 4 9 du d u u u lnu 4 9 C 4 variávis sparávis ond u C solução gral da quação difrncial

13 Eistm outras quaçõs d primira ordm qu não foram aqui abordadas, no ntanto, uma quação difrncial pod sr transformada por mio d substituiçõs apropriadas, como vimos m alguns casos studados até st momnto. Uma quação pod parcr difrnt d todas as qu aprsntamos, mas mudando a variávl adquadamnt, um problma aparntmnt complicado pod sr rsolvido. Métodos difrnciados d rsolução d quaçõs difrnciais, a prsnça do grau m algumas situaçõs, quaçõs d Brnoulli, Ricatti, Clairaut, ntr outros, podrão sr studados com dtalhs m um curso mais complto d quaçõs difrnciais. Ercícios.. Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais: a 5 4d 4 8 d 0 d b cot g cos d c 4. d -. d 0 d f.d.sn d g d d 0 h d d i d 4 - d 0 j.. -.sn k d d 4 8 l - -- m -/ d d n o. Rsolvr as quaçõs difrnciais com as sguints condiçõs iniciais:

14 a.. ond: - - b.d 4.d ond: c d d 0 ond: d - snd cosd 0 0 d d 0 0 f cos d sn lnd Equaçõs difrnciais d ª ordm Abordamos nsta sção, quatro casos d quaçõs difrnciais bastant spcíficos, qu podrão não aparcr no próimo capítulo dvido algumas pculiaridads qu passamos a studar. É important notar, qu as quaçõs dsta sção aprsntarão duas constants C C na solução gral..8. A sgunda drivada dpndnt d [ f] Est é o caso mais simpls d quaçõs difrnciais d sgunda ordm, bastando para rsolvê-las, usarmos intgração. Emplos: d d d d d cos 4 d cos d sn C d 4 d d 4 Cd 4 d sn cos C C d 8.cos 4. sn ond: 0 0, π 0 d d d sn d d 8cos 4 d 4sn 4cos C d

15 d d sn C d d 4 4cos cos 4sn C C Vamos aplicar as condiçõs iniciais propostas nst mplo para dscobrir C C : 0 cos0 4sn 0 C C cos 4sn C C ' 4sn 4cos C 0 4sn 4cos π C π C 4 A solução gral cos 4sn C C com as constants calculadas acima fica assim dfinida: cos 4sn 4, qu é a solução particular para a quação difrncial d sgunda ordm, dadas as condiçõs iniciais propostas no mplo..8. A sgunda drivada dpndnt d d [ f, ] Nsta situação, uma variávl auiliar qu chamarmos d p, transformará a quação difrncial d sgunda ordm m uma quação d primira ordm. Emplo: Trocando por p, sria a drivada d p, dsta forma a quação d sgunda ordm fica rduzida à uma d primira ordm linar, adotamos ntão todos os procdimntos vistos no itm.7.5: p p Fator intgrant: κ p ' p. [ - ] P d d p'. p.. [p. - ] intgrando ambos os lados m rlação a [p. - ] d d p. - C trocando p por. - C. '. C tmos um caso d variávis sparávis d. C. d d. C. d C C solução gral.8. A sgunda drivada dpndnt d [ f] Vamos trocar por p, a sgunda drivada sria a drivada d p m rlação a, no ntanto, s utilizarmos sta stratégia, trmos p, p, com dificuldads para rsolução da

16 quação. Chamarmos ntão: ' p Emplo: 0 fazndo as dvidas substituiçõs dp dp dp d dp " p obsrv qu: " p. d d d d d dp p 0 p pdp d d pdp d K p K chamarmos K d W p ± W d ± W d d ± d W C ln C C ± solução gral W.8.4 A sgunda drivada dpndnt d d [ f, ] Nst tipo d quação fazmos as msmas substituiçõs do itm antrior. Emplo: d d d d 0 dp dp p p 0 p p d d pdp d pdp d p p ln p ln K ln p ln W A A p d A p ± ± d p. A d ± A d A ± A solução gral na forma implícita Ercícios.. Rsolvr as quaçõs difrnciais d sgunda ordm propostas: a d d sn

17 d b d d d d d c d sn d d d d 4 d d d 0 d f d d cos d d g 0 d d. Rsolvr as quaçõs difrnciais d sgunda ordm com condiçõs iniciais: a π 0 d b 5 0 d d c 64 6 d d d sn4 d 0 0 0

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